Тема АЛГЕБРА

Алгебраические текстовые задачи → .05 Задачи на работу

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Алгебраические текстовые задачи

Различные подсчеты без составления уравнения

Составление уравнений

Задачи на проценты

Задачи на дроби

Задачи на работу

Задачи на движение: алгебраический подход

Среднее арифметическое в текстовых задачах

Среднее геометрическое и гармоническое в текстовых задачах

Задачи с неравенствами

Конструктивы в алгебре

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#33845Максимум баллов за задание: 7

Как мы уже знаем, бассейн Лосяша заполняется первой трубой за $6$ часов, а второй трубой — за $10$ часов. Лосяш сначала открыл только вторую трубу. Через какое время надо открыть еще и первую, чтобы заполнить бассейн за $6$ часов?

Показать ответ и решение

Так как вторая труба все время работает, а ее производительность равна $1- 10$ части в час, то за 6 часов она наполнит

-1 6- 3 6⋅10 = 10 = 5 бассейна

Значит, остальная часть, то есть $3 2 1− 5 = 5$ бассейна, должна заполниться первой трубой. Посчитаем, какое время ей на это потребуется. Для этого нужно ее работу, то есть $2 5,$ поделить на производительность первой трубы, то есть на $1 6 :$

2 1 2 12 2 5 :6 = 5 ⋅6=-5 = 25 часа

Чтобы найти время, через которое ее надо открыть, надо вычесть это время из 6 часов:

6− 22= 30−-12= 18= 33 5 5 5 5

Итого, первую трубу надо открыть через 3 часа и $35 ⋅60=36$ минут после второй.

Ответ: 3 часа 36 минут

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#33846Максимум баллов за задание: 7

Лосяш подвел к бассейну третью трубу. Теперь только первая труба заполняет бассейн за $6$ часов, вторая — за $10$ часов, а третья — за $15$ часов. За сколько часов заполнится бассейн, если открыть все три трубы одновременно?

Показать ответ и решение

Обозначим всю работу через 1. Тогда производительность первой трубы равна $1 6$ в час, второй трубы — $1- 10$ в час, третьей — $1- 15$ в час. Их суммарная производительность равна

1 1 1 10+6 +4 20 1 6 + 10-+ 15-= ---60----= 60-= 3

Тогда всю работу, то есть 1, с такой производительностью трубы выполнят за $1 1:3 = 3$ часа.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#33847Максимум баллов за задание: 7

У Лосяша есть бассейн, и его заполняют три трубы. Первая труба заполняет бассейн за $6$ часов. Вторая и третья труба засорились, и теперь Лосяш не знает, как они работают. Чтобы быстрее это проверить и не ждать слишком долго, он сначала заполнил за $5$ часов $30$ минут бассейн с помощью первой и второй трубы, а потом заполнил весь бассейн за $4$ часа и $40$ минут с помощью всех трех труб одновременно. За какое время теперь заполнила бы каждая труба целый бассейн, работая отдельно от остальных?

Показать ответ и решение

Рассмотрим для начала первую и вторую трубу. По условию, они заполняют бассейн за 5 часов 30 минут. Так как производительность первой трубы равна $1 6$ бассейна в час, то за это время она заполнит $11- 12$ бассейна.

Тогда оставшуюся часть, то есть $11- 1- 1− 12 = 12,$ за 5 часов 30 минут заполнила вторая труба.

То есть для заполнения всего бассейна второй трубе понадобится в 12 раз больше времени:

1 11 52 ⋅12 = 2-⋅12 =66 часов

Осталось посчитать производительность третьей трубы.

Когда к первым двум трубам добавилась третья, время уменьшилось на 50 минут. Рассчитаем, какую часть составляют эти 50 минут от всего времени, которое работали первая и вторая труба:

---50 минут--= 50: 11-= 5⋅-2 =-5 5 часов 30 минут 60 2 6 11 33

Значит, именно $533-$ всей работы приходится на третью трубу. Таким образом, третья труба заполняет $353$ бассейна за 4 часа 40 минут. Найдем время, за которое труба заполнит весь бассейн:

4 часа 40 минут: 5-= 280 минут:-5= 280⋅33минут= 1848 минут 33 33 5

Итак, вторая труба заполняет бассейн за 66 часов, а третья — за 1848 минут, или 30 часов и 48 минут.

Ответ: Вторая труба заполняет бассейн за 66 часов, а третья- за 1848 минут, или 30 часов и 48 минут.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#33848Максимум баллов за задание: 7

Лосяш снова прочистил трубы, и теперь первая труба заполняет бассейн за $6$ часов, вторая — за $10$ часов, третья — за $15$ часов. В магазине ему предложили хорошую скидку на точно такие же трубы, как третья. Какое минимальное число труб Лосяшу нужно докупить, чтобы заполнять бассейн меньше, чем за час?

Показать ответ и решение

Посчитаем, какую часть бассейна за час заполнят первая и вторая трубы. Их производительности равны $1 6$ части в час и $1- 10$ части в час, в сумме $10 -6 16 60 + 60 = 60$ части в час. Значит, оставшиеся $16 44 1− 60 = 60$ должны успеть заполниться трубами, равными третьей.

Одна труба заполняет за час $1- 4- 15 = 60,$ поэтому, чтобы заполнить $44 60$ бассейна за час, нужно 11 труб.

Итого 11 труб дадут нам заполнение бассейна ровно за час. Но нам нужно быстрее, чем за час, значит, нужно 12 таких труб. Так как одна уже есть, нужно купить еще 11 труб.

Ответ: 11

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#33849Максимум баллов за задание: 7

Лосяш решил все-таки не покупать себе дополнительные трубы, а купить еще один бассейн. К нему он также провел три трубы, но другой производительности. Известно, что первая и вторая труба заполняют бассейн вместе за $5$ часов, первая и третья — за $4$ часа, а вторая и третья — за $6$ часов и $40$ минут. За какое время заполнится бассейн, если включить одновременно все три трубы?

Показать ответ и решение

Обозначим всю работу через 1, производительность первой трубы через $x$ частей в час, второй — $y$ частей в час, третьей — $z$ частей в час. Из первого условия следует, что суммарная производительность первой и второй труб равна $1 5,$ то есть

1 x+ y = 5

Аналогично для первой и третьей труб

1 x+ z = 4

Суммарная производительность второй и третьей труб равна

y+ z =------1------= -60-минут-= -3 6 часов 40 минут 400 минут 20

Нам нужна суммарная производительность трех труб, поэтому сложим три полученных равенства:

x+y +x +z+ y+ z = 1+ 1 + 3 5 4 20 2x +2y+ 2z = 12+-15-+9 60 2x+ 2y +2z = 36 60 2x+ 2y+ 2z = 3 5 3- x+ y+ z = 10

Итак, суммарная производительность трех труб равна $3- 10.$ Тогда всю работу, то есть 1, они выполнят за $-3 10 1 1:10 = 3 = 33$ часа, или 3 часа 20 минут, это и есть ответ на вопрос задачи.

Ответ: 3 часа 20 минут

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#33850Максимум баллов за задание: 7

Бассейн Лосяша заполняет только первая труба за 6 часов, только вторая — за $10$ часов. Третью трубу Лосяш улучшил, и теперь только третья труба заполняет бассейн за $12$ часов. Сначала Лосяш включил все три трубы одновременно. После того, как бассейн был заполнен на $1- 30$ , третья труба сломалась. Лосяш смог починить третью трубу только после того, как бассейн заполнился на $1 2$ , и после этого он вновь открыл третью трубу. На сколько минут быстрее заполнился бы бассейн, не будь поломки?

Показать ответ и решение

Сначала посчитаем, что без третьей трубы заполнялась $1− 1-= 14 =-7 2 30 30 15$ бассейна.

Чтобы узнать, сколько времени было потеряно, достаточно сравнить время, которое нужно для заполнения $715$ бассейна только первыми двумя трубами и всеми трубами вместе.

Производительность первой трубы равна $1 6$ части бассейна в час, второй трубы — $1- 10$ части в час, третьей трубы — $-1 12$ части в час. Суммарная производительность первой и второй трубы равна $1 1- 16 -4 6 + 10 = 60 = 15$ части в час, а всех трех труб одновременно $16 + 110 + 112 = 10+660+5-= 2610 = 720$ части в час.

Тогда $7- 15$ части бассейна наполняются первой и второй трубой вместе за

-7 4- 7 3 15 : 15 = 4 = 14 часа= 105 минут,

а всеми тремя трубами одновременно за

7 7 20 4 1 15-:20 = 15 = 3 = 13 часа= 80 минут.

Разница составляет $105 − 80= 25$ минут. Таким образом, не будь поломки, бассейн заполнился бы на $25$ минут быстрее.

Ответ: 25 минут

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#35315Максимум баллов за задание: 7

Половину книги наборщик печатал со скоростью 6 страниц в час. Затем его сменил другой наборщик, который печатал со скоростью 12 страниц в час. С какой постоянной скоростью надо было печатать, чтобы набрать текст этой же книги за такое же время?

Показать ответ и решение

Пусть $V$ страниц в час - искомая скорость, а в половине книги содержится $A$ страниц, тогда время работы первого $− A- 6$ ч, время работы второго - $A- 12$ ч, а предполагаемое время печатания книги - $2A- V$ ч. Приравнивая это время, получим $A- A- 2A 6 + 12 = V .$ Тогда $-2-- V = 16+112 =$ $=8($ страниц в час).

Ответ: 8 страниц в час

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#35322Максимум баллов за задание: 7

В кинофильме «Разбавляльщики» три друга изготавливают разбавленный сок. У Труса течёт жидкость с содержанием сока $a%$ и стандартная бутыль наполняется за $a$ часов, у Балбеса течёт жидкость с содержанием сока $b%$ и такая же бутыль наполняется за $b$ часов, а у Бывалого — с содержанием сока $c%$ и наполняется за $c$ часов. Для ускорения процесса друзья направили трубки аппаратов в одну бутыль и наполнили её за сутки. Найдите процент сока получившейся смеси.

Показать ответ и решение

Пусть $v$ — объем бутыли. Тогда скорость заполнения бутыли из крана Труса равна $v a$ , Балбеса — $v b$ , Бывалого — $v c$ . Тогда при одновременном наполнении бутыль наполниться за время $----v---- v∕a+v∕b+v∕c$ . Тогда процент сока равен

v(v +v+ v) 1 3 v∕a+-v∕b+v∕c ⋅v = 1∕a-+1∕b+-1∕c.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#38667Максимум баллов за задание: 7

Гравировщик делает таблички с буквами. Одинаковые буквы он гравирует за одинаковое время, разные — возможно, за разное. На две таблички ДОМ МОДЫ и ВХОД вместе он потратил $50$ минут, а одну табличку В ДЫМОХОД сделал за $35$ минут. За какое время он сделает табличку ВЫХОД? Ответ укажите в минутах.

Показать ответ и решение

В табличках ДОМ МОДЫ, ВХОД и В ДЫМОХОД отделим буквы, образующие слово ВЫХОД, тогда от первых двух табличек останется Д, О, М, М, О, Д, а от третьей — Д, М, О. Заметим, что ДОМ МОДЫ и ВХОД отличается от В ДЫМОХОД на буквы Д, О, М, а по времени — на $15$ минут. Значит, на изготовление букв Д, О, М уходит $15$ мин. Теперь мы знаем, что при изготовлении В ДЫМОХОД $15$ минут ушло на изготовление букв Д, М, О, т.е. оставшиеся $20$ минут понадобилось на изготовление букв В, Ы, Х, О, Д.

Ответ: 20

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#71524Максимум баллов за задание: 7

Бригада рабочих трудилась на заливке катка на большом и малом полях, причем площадь большого поля в 2 раза больше площади малого поля. В той части бригады, которая работала на большом поле, было на 4 рабочих больше, чем в той части, которая работала на малом поле. Когда заливка большого катка закончилась, часть бригады, которая была на малом поле, еще работала. Какое наибольшее число рабочих могло быть в бригаде?

Источники: ОММО-2022, номер 3 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Исходя из условия сразу можно с помощью переменных выразить, сколько человек в каждой части бригады(через n), какова производительность групп, площадь катка и время работы.

Подсказка 2

Запишем неравенство по условию: S/an > 2S/(a(n+4)). Осталось лишь его решить и оценить n.

Показать ответ и решение

Обозначим число рабочих на меньшем поле как $n,$ тогда их количество на большем поле равно $n+ 4,$ а всего в бригаде $2n+ 4$ человека. В условии задачи предполагается, что производительность каждого рабочего одинаковая, обозначим ее $a.$ Соответственно, производительности каждой части бригад равны $an$ и $a(n+ 4).$ Если площадь малого поля $S,$ то площадь большого равна $2S.$ Время, затраченное на выполнение всей работы каждой из бригад, соответственно равно

S 2S an и a(n-+4)

По условию задачи

-S > --2S-- an a(n +4)

В силу положительности всех переменных, это неравенство равносильно неравенству

n +4 >2n ⇔ n< 4

Поэтому $n ≤3,$ следовательно, $2n+ 4≤ 10.$ Ситуация равенства, очевидно, возможна: достаточно взять любые положительные $S$ и $a.$

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#88879Максимум баллов за задание: 7

Одна снегоуборочная машина могла бы убрать всю улицу за $1$ час, а другая — за $45$ минут. Начав работу одновременно, машины проработали вместе $20$ минут, после чего первая сломалась. Через сколько минут вторая машина закончила работу?

Показать ответ и решение

Пусть объём работы равен $V$ у.е., тогда скорость первой машины равна $V- 60$ у.е./мин, скорость второй — $V-. 45$ За $20$ минут совместной работы они обработают $V V 7 20(60 + 45)= 9 ⋅V.$ Оставшиеся $2 9 ⋅V$ условных единиц вторая машина обработает за $2⋅V 9V45-= 10$ минут.

Ответ:

$10$ минут

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#88881Максимум баллов за задание: 7

Бак наполняется водой тремя трубами разного диаметра. Сначала бак наполняли через I трубу столько времени, сколько нужно для полного наполнения через II и III трубы вместе. Затем бак наполняли через II трубу столько времени, сколько нужно для полного наполнения через I и III трубы вместе. После чего пришел слесарь и вычислил, что через III трубу бак будет заполняться до конца столько времени, сколько нужно для полного заполнения через I и II трубы вместе. Не ошибся ли он?

Показать ответ и решение

Предположим, что слесарь прав.

Обозначим за $v1,v2,v3$ скорости наполнения труб, за $V$ литров — объём бака. Для полного заполнения бака второй и третьей трубами вместе нужно $--V- v2+v3$ часов, тогда из первой трубы налито $-V-- v1⋅v2+v3$ литров. Аналогично подсчитывается объём, налитый из других труб. Тогда справедливо следующее равенство:

v1 v2 v3 V(v2+-v3 + v1+v3-+v1+-v2)= V

Сократим на $V$ и рассмотрим следующие очевидные неравенства:

-v1--> ----v1---,--v2--> ----v2----,--v3---> ---v3---- v2 +v3 v1+ v2+v3 v1+ v3 v1+ v2 +v3 v1+v2 v1 +v2+ v3

Если их просуммировать, то получим

--v1---+--v2--+ --v3--> 1 v2+v3 v1+ v3 v1+ v2

противоречие. Значит, слесарь не прав.

Ответ:

Ошибся

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#88882Максимум баллов за задание: 7

На дне озера бьют ключи. Стадо из $183$ слонов могло бы выпить озеро за один день, а стадо из $37$ слонов — за $5$ дней. За сколько дней выпьет озеро один слон?

Показать ответ и решение

Пусть ключи пополняют озеро со скоростью $v 1$ литров в день, а слон выпивает $v$ литров в день, объём озера — $V$ литров. Тогда по условию $183v − v1 = V$ и $5(37v − v1)= V.$ Решая эту систему относительно $v$ и $v1,$ получим $2V- -V- v = 365,v1 = 365.$ Если слон один, то озеро опустошается со скоростью $V-- v− v1 = 365.$ Тогда он выпьет озеро за $365$ дней.

Ответ:

$365$ дней

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#88883Максимум баллов за задание: 7

За ящерицей в зоопарке наблюдали несколько школьников в течение $30$ секунд. Каждый наблюдатель следил за животным ровно $10$ секунд, за которые ящерица пробегала ровно $1$ м. Ящерицу ни на секунду не оставляли без присмотра. Могла ли она пробежать $4$ метра?

Показать ответ и решение

Приведём пример ситуации, когда это возможно. Всего $4$ наблюдателя. Первый следит первые десять секунд, второй — с шестой по пятнадцатую секунды, третий — с тринадцатой по двадцать вторую секунды, четвёртый — с двадцать первой по тридцатую. Ящерица пробегала по $1$ метру в те промежутки времени, когда за ней следил только один школьник: в секунды с первой по пятую, с одиннадцатой по двенадцатую, с шестнадцатой по двадцатую, с двадцать третьей по тридцатую; и нисколько не пробегала, когда за ней следило сразу два человека: в секунды с шестой по десятую, с тринадцатой по пятнадцатую, с двадцать первой по двадцать вторую. Легко можно убедиться в том, что этот пример подходит.

Ответ:

Да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#88891Максимум баллов за задание: 7

Шестеро фермеров совместно владеют некоторыми пахотными землями. Все шестеро, исключая $5$ -го, в состоянии обработать земли за $6$ дней. Если бы они работали вчетвером без $1$ -го и $3$ -го, то все земли были бы обработаны за $10$ дней. Поскольку $2$ -й, $4$ -й и $6$ -й были заняты на другой работе, то земли были обработаны оставшимися за $12$ дней. Какой процент всех земель при этом был обработан $1$ -м и $3$ -м фермерами за $4$ дня?

Показать ответ и решение

За день все фермеры вместе обрабатывают $1(1 + 1-+-1)= -7 2 6 10 12 40$ общей площади земель. Значит, $1$ -й и $3$ -й фермеры за день обрабатывают $7- -1 -3 40 −10 = 40,$ а за $4$ дня они обработали $0,3$ общей площади.

Ответ:

$30%$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#92139Максимум баллов за задание: 7

В хирургическом отделениии 4 операционных: I, II, III и IV. Утром они все были пусты. В какой-то момент началась операция в операционной I , через некоторое время — в операционной II, ещё через некоторое время — в III, а потом и в IV.

Закончились все четыре операции одновременно, и суммарная их продолжительность составила 2 часа 32 минуты. За 30 минут до момента завершения всех операций суммарная продолжительность уже идущих составляла 52 минуты, а ещё за 10 минут до этого — 30 минут. Продолжительности операций в каких операционных можно определить по этим данным, а в каких — нельзя?

Источники: ОММО - 2021, номер 3 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте, для начал, составим понятную систему уравнений, в которой мы бы ввели переменные - время проведения i-ой операции и попытались бы записать все, что написано в условии через эти переменные. Ну с первым уравнением на сумму всех - все совсем понятно. А что делать с уравнением для точки «30 минут до окончания»? У нас может быть множественный выбор, но быть может мы можем единственным образом определить второе уравнение используя информацию из третьего?

Подсказка 2

Время работы с 40 до 30 минут увеличилось на 22 минуты? Что это значит для каждой из точек? А что тогда следует из первых двух уравнений?

Подсказка 3

Так как увеличение произошло больше чем на 20 минут, то на момент 30 минут первые три операции уже шли, а это значит, что уравнение для 30 минут задается единственным образом, откуда мы находим четвертую переменную. Значит, она точно определяется единственным образом. А что насчет третьего уравнения? Два варианта там отметаются в силу первых двух уравнений, а может ли быть так, что система при каждом из вариантов имеет решение? А чтобы еще все кроме 4-ого были различные?

Показать ответ и решение

Для начала докажем, что продолжителыности операций в операционных I, II и III нельзя определить однозначно. Действительно, несложно проверить, что если продолжительности операций равны $70,39,33,10$ или $56,54,32,10$ минут, то все условия задачи выполняются. Однако в этих двух вариантах продолжительности операций в операционных I, II и III различны.

Теперь докажем, что продолжительность операции в операционной IV можно однозначно восстановить. Для этого давайте заметим, что суммарная продолжительность операций за 40 и за 30 минут до конца операций выросла на 22 минуты. Это значит, что за 30 минут до конца операции в операционных I, II и III уже шли, иначе суммарная продолжительность увеличилась бы не более чем на 20 минут. Тогда к концу всех операций их суммарная продолжительность составляет $52+30⋅3 =142$ минуты. Значит, операция в операционной IV длилась $152− 142 =10$ минут.

Ответ: Можно определить только продолжительность операции в операционной IV.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#94760Максимум баллов за задание: 7

Однажды Валера вышел из дома, дошёл пешком до дачи, покрасил там 11 досок забора и вернулся домой через 2 часа после выхода. В другой раз Валера с Ольгой пошли на дачу вместе, вдвоём покрасили 8 досок забора (не помогая и не мешая друг другу), вместе ушли и вернулись домой через 3 часа после выхода. Сколько досок успеет покрасить Ольга в одиночку, если ей надо вернуться домой через полтора часа после выхода? Физические способности Валеры и Ольги, их трудолюбие и условия работы неизменны.

Источники: ФЕ - 2021, 7.3 (см. www.formulo.org)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Кажется, произошло что-то странное — вдвоём за большее время персонажи успели выполнить меньше работы... Как думаете, почему так?

Подсказка 2

Дело в том, что скорость "совместной" ходьбы равна меньшей из скоростей путников! Надо бы тогда понять, сколько времени они потратили на дорогу.

Подсказка 3

Можно ввести переменные, а можно просто пооценивать. Если Валера за 2 часа успел 11 досок покрасить, то во второй раз он красил доски не более скольких часов? Тогда какое минимальное количество времени занимала дорога до забора вместе с Ольгой? Какой вывод делаем?

Показать ответ и решение

Странный результат (вдвоём за большее время персонажи успели выполнить меньше работы) объясняется разным временем, затраченным на ходьбу, ведь скорость «совместной» ходьбы равна меньшей из скоростей путников. Во второй раз Валера работал не более чем $-8 2⋅11$ часов, значит, на путь они затратили хотя бы $16 17 3− 11 = 11 > 1,5$ часов. Значит, за полтора часа Ольга не успеет даже дойти до дачи и вернуться.

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#99170Максимум баллов за задание: 7

Три насоса разной производительности наполняли танкер нефтью. Если бы производительность первого была в $2$ раза, а третьего — в $3$ раза больше, чем в действительности, то танкер был бы наполнен за $5$ часов. Если бы производительность первого была в $3$ раза, а второго — в $2$ раза, а третьего — в $4$ раза больше, чем в действительности, то танкер был бы наполнен за $3 34$ часа. За сколько часов танкер наполнен в действительности?

Источники: Газпром - 2021, 11.6 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В таких задачах на работу/движение/заполение чего-то, всегда удобно ввести параметры, через которые все выражается и дальше работать исключительно с получившейся системой. Какие здесь параметры удобно ввести?

Подсказка 2

Скорости работы и объём танкера. Тогда составим уравнения, которые следуют из условия. Какое выражение нам тогда нужно найти? А как его выразить, если мы посмотрим на уже имеющуюся систему?

Подсказка 3

Нам надо найти отношение объёма танкера к сумме скоростей заполнения. При этом два отношения уже есть. Заметим, что коэффициенты в одном (каждый из них) меньше соответствующих коэффицинтов в другом. Как тогда найти нужное нам отношение?

Показать ответ и решение

Обозначим объем танкера $V$ (а некоторых единицах), а производительности первого, второго и третьего насосов через $x,y,z,$ соответственно. Составим по условиям задачи два уравнения:

3 5(2x+ y+ 3z)= V и 34 (3x+ 2y+4z)= V

Пусть $t$ — число часов, за которое в действительности наполнен танкер. Получим третье уравнение: $t(x+ y+ z)=V.$ Составим систему уравнений:

( V |{ 2x+ y+ 3z = 54V |( 3x+ 2y+ 4z = 15 x +y+ z = Vt

Если найдем такие числа $α$ и $β$ , для которых

α(2x+ y+ 3z)+ β(3x+ 2y+ 4z)= x+ y+ z

то будет справедливо равенство:

V- 4V- V- α 5 +β 15 = t

Для нахождения чисел $α$ и $β$ сравним в уравнении

α(2x+ y+ 3z)+ β(3x+ 2y+ 4z)= x+ y+ z

коэффициенты при одинаковых неизвестных. Получим систему:

(| 2α+ 3β = 1 { α+ 2β = 1 |( 3α+ 4β = 1

Решая систему, находим $α = −1$ и $β = 1.$ Следовательно, решая уравнение $4V − V-= V- 15 5 t$ , получим $t =15.$

Ответ:

$15$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#95836Максимум баллов за задание: 7

Том и Гек вместе красили забор. Том один может покрасить его за $3$ часа, а Гек — за $4$ часа. Но, работая вместе, они начинают много болтать, и поэтому скорость каждого уменьшается на $20%.$ Они начали работать в полдень. Через некоторое время Геку стало скучно, поэтому он решил пойти на рыбалку. Том $10$ минут пытался уговорить его остаться (и все это время никто из них не притронулся к покраске), но безуспешно. Поэтому он бросил в Гека дохлую крысу и закончил работу в одиночку в $14:34.$ Во сколько Гек перестал красить?

Источники: Лига открытий - 2018

Показать ответ и решение

Том красил $2$ часа $24$ минуты, то есть $12 5$ часа. Пусть время совместной работы будет $x$ часов. Так как скорость работы Тома $1, 3$ а Гека $1 −4$ от всей работы в час, то можно написать следующее уравнение:

(x x) ( 12 ) 1 3 + 4 ⋅0,8 + 5-− x ⋅3 = 1

откуда получается, что $x = 32.$ Итак, Гек перестал красить в $13$ часов $30$ минут.

Ответ:

$13:30$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 40#90894Максимум баллов за задание: 7

Две бригады рабочих выполнили одинаковую работу. Вторая бригада работала на полчаса больше первой. Если бы в первой бригаде было на пять человек больше, то она могла бы закончить работу на два часа раньше. Найдите число рабочих в бригадах, если производительности всех рабочих одинаковы.

Источники: ПВГ 2017

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть в первой группе было x рабочих, во второй — y, а всего работы — S. Выпишите условие в данных терминах.

Подсказка 2

Выразите и подставьте S.

Подсказка 3

Воспользуйтесь тем, что x и y — натуральные числа.

Показать ответ и решение

Пусть в первой группе $x$ рабочих, во второй $y$ , а всего работы $S$ . Тогда по условию нам дано.

S S x-+0.5= y-

--S- +2 = S x +5 x

Из второго уравнения следует, что

Sx+ 2x(x +5)= Sx+ 5S

S = 2x(x+-5) 5

Тогда первое уравнение превращается в

2(x-+5)+ 0.5= 2x(x+-5) 5 5y

4(x+ 5)+5 = 4x(x+-5) y

4x(x+ 5) 5x y = 4(x+-5)+5-= x− 4(x+-5)+5-

$y$ должен быть целым, поэтому $4(x5+x5)+5-$ целое. Если $4(x5+x5)+5-= 1$ , то $x= 25$ , если $4(x+5x5)+5 ≥ 2$ , то $5x ≥8(x+ 5)+10$ . Значит единственный ответ $x= 25$ и $y =24.$

Ответ: 25 в первой и 24 во второй

Предыдущая подтема

Следующая подтема