Тема АЛГЕБРА

Алгебраические текстовые задачи → .03 Задачи на проценты

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Алгебраические текстовые задачи

Различные подсчеты без составления уравнения

Составление уравнений

Задачи на проценты

Задачи на дроби

Задачи на работу

Задачи на движение: алгебраический подход

Среднее арифметическое в текстовых задачах

Среднее геометрическое и гармоническое в текстовых задачах

Задачи с неравенствами

Конструктивы в алгебре

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#99213Максимум баллов за задание: 7

На торги выставлен лот из трёх пакетов акций нефтедобывающих компаний: Разнефти, Дванефти и Тринефти. Суммарное количество акций пакетов Разнефти и Дванефти совпадает с количеством акций в пакете Тринефти. Пакет акций Дванефти в $4$ раза дешевле пакета Разнефти, а их суммарная стоимость совпадает со стоимостью пакета Тринефти. Одна акция Разнефти превышает стоимость одной акции Дванефти на величину от $16$ тыс. руб. до $20$ тыс. руб., а цена одной акции Тринефти колеблется в пределах от $42$ тыс. руб. до $60$ тыс. руб. Определить, какой наименьший и наибольший процент от общего количества акций в лоте может составлять пакет акций Дванефти.

Источники: Газпром - 2022, 11.5 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В условии дано очень много чисел, поэтому нам нужно ввести много переменных для них и записать систему. Далее нужно выразить величину, про которую мы хотим что-то узнать.

Подсказка 2

Оказывается, исследование величины из вопроса задачи сводится к исследованию m/n, где m и n — количества акций в пакетах Разнефти и Дванефти соответственно.

Подсказка 3

Рассмотрим, например, максимизацию отношения. Тогда m максимально, а n минимально. Значит, цена акции Тринефти максимальна, а разность стоимости минимальна. Нужно это доказать, а потом решить систему уравнений. Аналогично для минимизации.

Показать ответ и решение

Введем обозначения: $x$ — цена одной акции Дванефти, $y$ — цена одной акции Разнефти, $z$ — цена одной акции Тринефти; $n$ — количество акций в пакете Дванефти, $m$ — количество акций в пакете Разнефти. Остальные условия задачи запишем в виде системы уравнений и неравенств:

(| (| m- 4x- ||||| 4xn =ym, ||||| n = y , |{ xn +ym = z(m + n), |{ y = x+a,am- ||| 16≤ y− x≤ 20, ⇒ ||| z = x+ n+m, ||||( 42≤ z ≤ 60 ||||( 16 ≤a ≤20 42 ≤z ≤60

Необходимо найти переделы изменения величины

n n n+-m-+(n+-m)-⋅100% = 2(n+-m)-⋅100%

Если удастся найти отношения $mn,$ то задача будет решена, так как $( ) 2(n+nm) =2 1+ mn- .$ Определим сначала, при каких условиях процент акций Разнефти в общем лоте будет наименьшим. Для этого $2(nn+m-) → min,$ если $n→ min,m → max,y − x → min ,$ следовательно, $y− x= 16,$ значит, $a =16.$ Если $n → min,m → max ,$ то $z = x+ 1n6+mm-→ max,$ следовательно, $z = 60.$ Тогда,

m- = -4x-,x= -16m--,z = -16m--+ -16m-= 60 n x+16 4n− m 4n − m n +m

16m(m + n)+ 16m(4n− m)= 60(4n− m)(n +m )

( ) 80mn = 60 4n2+ 3mn − m2

3m2 − 5mn − 12n2 = 0

(m )2 m 3 -n − 5n-− 12= 0

[ m-= 3 nm-= − 4 n 3

По условию задачи выбираем $m = 3n,$ тогда наименьший процент

---n---100% = 12,5% 2(n+ m)

Аналогично найдем наибольший процент: для этого $--n-- 2(n+m) → max,$ если $n→ max,m → min,y − x → max,$ следовательно, $y− x =20,$ значит, $a= 20.$ Если $n→ max,m → min,$ то $-20m- z =x +n+m → min,$ следовательно, $z = 42.$ Тогда, $-20m- x= 4n−m$ , $20m- 20m- z = 4n−m + n+m = 42.$ Имеем:

21m2 − 13mn − 84n2 = 0

(m-)2 m- 21 n − 13 n − 84= 0

{ m-= 7 nm-=−312 n 7

По условию задачи выбираем $m = 73n,$ наибольший процент $2(nn+m-)100% =15%.$

Ответ:

$12,5%$ и $15%$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#63901Максимум баллов за задание: 7

Автовладелец Авдей продал автосалону свой автомобиль за $60%$ его первоначальной стоимости. Автосалон выставил на продажу этот автомобиль за цену, на $20%$ большую уплаченной Авдею. Какова доля получившейся цены по отношению к первоначальной?

Источники: ДВИ - 2021, вариант 213, задача 2 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте обозначим первоначальную стоимость автомобиля за х. Попробуйте теперь выразить все остальные стоимости автомобиля!

Подсказка 2

Для этого будем действовать последовательно. Выразите стоимость, за которую Авдей продал его обратно в автосалон. А за какую стоимость автосалон выставил автомобиль на продажу?

Подсказка 3

Дело за малым, осталось только вспомнить, о чем нас спрашивают в задаче и посчитать нужное число!

Показать ответ и решение

Пусть автомобиль стоил $x$ (у.е.), тогда Авдей продал его за $0.6x$ , а затем его выставили на продажу за $1.2⋅0.6x= 0.72x$ , так что доля равна $72%.$

Ответ:

$72%$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#96831Максимум баллов за задание: 7

Пекарня планирует перейти на округление чеков в меньшую сторону (покупатель будет платить $p$ рублей за товар ценой в $p$ рублей с копейками). В связи с этим коммерческий директор выбрал $100$ чеков и подсчитал, что выручка при таком округлении снизилась бы на $1%.$ Известно, что чеков на сумму менее $10$ рублей не было, и что все цены в пекарне кратны $10$ копейкам. Каким наибольшим (среди этих чеков) могло быть количество чеков на сумму более $100$ рублей каждый?

Источники: Миссия выполнима - 2021, 11.8 (см. www.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем, а какое вообще количество может потерять пекарня с одного чека? А со всех?

Подсказка 2

С одного чека теряет не более 90 копеек, значит, мы можем оценить потери со всех чеков и с помощью условия оценить сумму всех чеков!

Подсказка 3

Отлично, теперь попробуем посчитать сумму всех чеков другим способом. Что, если ввести переменную, отвечающую за количество чеков на сумму от 100 рублей? Сколько тогда пекарня могла получить после округления?

Подсказка 4

Если больших (на сумму от 100 рублей) было n, то после округления пекарня получила бы не меньше, чем 100n + 10*(100-n). Теперь, исходя из условия, мы можем оценить сумму чеков до округления! Здорово, ведь эту сумму можно сравнить с суммой из подсказки 2 ;)

Показать ответ и решение

Чек на сумму более $100$ рублей будем называть большим. Заметим, что при округлении одного чека пекарня теряет не более $90$ коп., а при округлении $100$ чеков — не более $90$ руб. Поэтому чеки были выбраны на общую сумму, не превышавшую $9000$ руб.

Пусть ровно $n$ чеков из выбранных были большими. Тогда при округлении всех $100$ чеков пекарня получила бы не меньше, чем $100⋅n+ 10⋅(100− n)=90⋅n +1000$ рублей. Следовательно, без округления получено не меньше, чем $90⋅n+1000 100⋅(90⋅n+1000) 0,99 = 99$ руб. Наибольшее целое, удовлетворяющее неравенству $100⋅(90⋅n+1000) -----99-----< 9000,$ равно $87.$ И оно, действительно, могло быть реализовано на чеках. Например, при $87$ чеках на сумму $100,9$ руб. каждый, $12$ чеках на сумму $16,9$ руб. каждый и одном чеке на сумму $18,9$ руб.

Ответ:

$n =87$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#98073Максимум баллов за задание: 7

Три золотодобытчика — Вася, Миша и Гриша — накопали по мешку золота (каждый себе). По пути домой они встретили старика Хоттабыча. Он предложил им на выбор:

1. Увеличить на $10%$ добычу Васи и на $20%$ добычу Миши;

2. Увеличить на $10%$ добычу Миши и уменьшить на $10%$ добычу Гриши;

3. Увеличить на $40%$ добычу Гриши и на $20%$ добычу Васи.

Гриша, самый сообразительный из них, посчитал, что в первом случае их суммарная добыча увеличится на 1 кг; во втором случае — уменьшится на 0,5 кг; в третьем случае — увеличится на 4 кг. Какая была суммарная добыча друзей (в килограммах) до встречи с Хоттабычем?

Показать ответ и решение

Обозначим добычу Васи, Миши и Гриши за $x,y,z$ соответственно. Тогда, $0,1x+ 0,2y =$ $1;0,1y− 0,1z =− 0,5;0,4z+0,2x =4.$ Сложив уравнения, получим $0,3(x +y +z)= 4,5,$ откуда $x+y +z =15.$

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#84144Максимум баллов за задание: 7

В некотором регионе $60%$ работающих — бюджетники, и их зарплата в среднем на $20%$ ниже средней зарплаты по этому региону. На сколько процентов должна повыситься зарплата бюджетников, чтобы сравняться со средней зарплатой всех работающих?

Источники: Миссия выполнима - 2020, 11 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем выразить зарплату бюджетников через количество всех работающих и их среднюю зарплату. Какую долю от всех денег получают бюджетники?

Подсказка 2

Правильно, нужно 0.6 умножить на 0.8 — именно такую долю получают бюджетники. Тогда какую долю от средней зарплаты по всем работникам получают не бюджетники?

Подсказка 3

Итак, мы знаем, какую долю от средней зарплаты получают не бюджетники, тогда теперь нужно в процентах от доли бюджетников выразить разность между их долей средней зарплаты и долей не бюджетников, и мы получим ответ!

Показать ответ и решение

Пусть $n$ - число всех работающих, $s−$ их средняя зарплата. Тогда число бюджетников равно $0,6n$ , а их средняя зарплата равна $0,8s$ . Зарплата всех бюджетников равна $0,6n⋅0,8s= 0,48ns$ . Средняя зарплата остальных $0,4n$ работающих равна

ns− 0,48ns --0,4n----=1,3s.

Чтобы зарплата бюджетников стала равной зарплате всех работающих в данном регионе, необходимо чтобы она выросла с $0,8s$ до $1,3s$ , то есть на

1,3s-− 0,8s ⋅100% =62,5%. 0,8s

Ответ:

на $62,5%$ .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#90885Максимум баллов за задание: 7

В Курчатовской школе за каждой партой сидит ровно 2 человека. Известно, что ровно у $70%$ мальчиков сосед по парте – мальчик, а ровно у $40%$ девочек – девочка. Во сколько раз мальчиков больше чем девочек?

Источники: Курчатов - 2020, 11.1 (см. olimpiadakurchatov.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы знаем, какой процент мальчиков сидит за одной партой с мальчиком. Тогда сколько мальчиков сидит с девочкой?

Подсказка 2

Верно, 30%. Аналогично, 60% девочек сидит с мальчиками. Пусть количество мальчиков x, а девочек — y. Выразите через эти переменные количество мальчиков, сидящих с девочками, и количество девочек, сидящих с мальчиками. Что можно сказать про эти числа?

Подсказка 3

Верно, они равны! Теперь можно преобразовать равенство и найти ответ!

Показать ответ и решение

Пусть количество мальчиков $x$ , а девочек – $y$ . Заметим, что $30%$ мальчиков сидит за партами с девочками и $60%$ девочек сидят за партами с мальчиками. Так как за каждой партой сидит ровно 2 человека, то $0,3x =0,6y$ , откуда $x= 2y.$ Таким образом, мальчиков в 2 раза больше, чем девочек.

Ответ: в 2 раза

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#98154Максимум баллов за задание: 7

В доме 720 квартир. Однокомнатные квартиры составляют более $12%,$ но менее $13%$ от общего числа квартир. $60%$ от оставшихся были двухкомнатные квартиры, остальные — трехкомнатные. Определите, какое количество процентов от общего числа квартир этого дома составили двухкомнатные квартиры.

Источники: Газпром - 2020, 11.2 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем, можно ли всё выразить через одну переменную. Как будет выглядеть количество однокомнатных квартир?

Подсказка 2

Однокомнатные квартиры будут заданы через неравенство. Если перебирать варианты не хочется, обратимся к выражению двухкомнатных квартир через переменную и поставим ограничение.

Показать ответ и решение

Пусть $x$ — суммарное количество двухкомнатных и трехкомнатных квартир, тогда количество однокомнатных квартир $(720 − x).$

По условию задачи количество двухкомнатных квартир — $0,6x,$ количество трехкомнатных квартир — $0,4x$ , количество однокомнатных квартир заключено в интервале от $0,12⋅720$ до $0,13⋅720,$ то есть

0,12⋅720< 720 − x <0,13 ⋅720

86,4< 720 − x <93,6

626,4< x< 633,6

Число $0,6x$ — число двухкомнатных квартир — целое. Следовательно, оно должно делиться на $5.$ Но в интервале $626,4< x< 633,6$ одно целое число, которое делится на $5$ — это $630$ , так что $x= 630.$ Тогда количество двухкомнатных квартир $0,6 ⋅630= 378,$ что составляет $52,5%$ от общего числа квартир.

Ответ:

$52,5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#67156Максимум баллов за задание: 7

Ученикам на входе в школу разрешалось брать из коробки любое количество карандашей. Позже выяснилось, что не менее $60%$ карандашей, полученных любой группой из десяти человек, оказывались у одного ученика из этой группы. Докажите, что в школе есть ученик, забравший более $58%$ карандашей, взятых всеми школьниками из коробки.

Источники: Росатом-19, 11.3 (см. mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам нужно доказать, что существует ученик, который взял достаточно много карандашей. Также есть условие про то, что в любой группе из 10 человек есть человек, который взял хотя бы 60 процентов карандашей из их группы. Это наталкивает на мысль упорядочить учеников по убыванию кол-ва взятых ими карандашей и доказывать что-то про ученика, который взял больше всех!

Подсказка 2

Давайте попробуем записать условие про группу из 10 человек, которые идут подряд по убыванию после нашего упорядочивания) Выйдет что-то вида x_k/(x_k + x_{k+1}+..+x_{k+9}) >= 0,6. Во что это можно преобразовать, чтобы получить оценку x_k через другой один x?

Подсказка 3

Например, можно получить что x_k >= 27/2 * x_{k+9}! Мы понимаем, что мы умеем оценивать x_1 через первые 10 иксов. А можем ли мы оценить теперь сумму вообще всех иксов через сумму первых десяти иксов?

Подсказка 4

Можем! С помощью нашего полученного неравенства) Остаётся только использовать обе эти оценки, чтобы получить оценку x_1 через сумму всех иксов, и станет понятно, что задача решилась!

Показать доказательство

Пусть ученики школы упорядочены по убыванию числа взятых ими карандашей: ученик под номером $k$ взял из коробки $x k$ карандашей и

x1 ≥ x2 ≥ ...≥ xk ≥xk+1 ≥ ...

По условию для любого $k$ выполняется неравенство. Преобразуем его

-------xk-------- xk+ xk+1 +...+ xk+9 ≥ 0,6

(1− 0,6)xk ≥0,6(xk+1+ ...+ xk+9)

3 3 27 xk ≥ 2(xk+1+...+xk+9)≥ 2(xk+9 +...+xk+9)= 2-xk+9

То есть $xk+9 ≤ 227xk$ для любого $k.$ Тогда для любого $n$

x2 +x3+ ...+ xn = (x2+ x3+ ...+ x10)+ (x11+ x12+ ...+ x19)+

( ( )2 ) + ...≤ (x2 +x3+ ...+ x10)⋅ 1+ -2 + 2- +... 27 27

По условию

x1 ≥ 0,6(x1+ x2 +...+ x10)

0,4x1 ≥ 0,6(x2+ ...+x10)

2 x2+ ...+ x10 ≤ 3x1

Суммируя прогрессию, получим неравенство.

27 27 2 18 x2+ x3+...+xn ≤25 (x2+ x3+ ...+x10)≤ 25 ⋅3x1 = 25x1 =⇒

=⇒ x1+ x2+ x3+...+xn ≤ 4235x1

Если в школе $n$ учеников, то

x1 ≥ 25-(x1+ x2+ x3+...+xn)> 43

> 0,58 ⋅(x + x +x +...+ x ) 1 2 3 n

Итого, ученик под номером $1$ забрал более $58%$ карандашей.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#89253Максимум баллов за задание: 7

Петя и Вася участвовали в выборах на должность президента шахматного клуба. К полудню у Пети было $25%$ голосов, а у Васи — $45%$ . После полудня на голосование приходили только друзья Пети (и, соответственно, голосовали только за него). В итоге у Васи осталось только $27%$ голосов. Сколько процентов голосов набрал Петя?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хм, что же делать с такой текстовой задачей? Постараться составить уравнение! Обозначим за x количество проголосовавших до полудня, а за y — количество проголосовавших после полудня. Далее надо составить уравнение, воспользовавшись условием задачи.

Подсказка 2

Найдем тогда отношение x : y. Получилось, что 2x = 3y. Теперь мы можем без проблем посчитать отношение, которое нас просят найти.

Показать ответ и решение

Пусть $x$ — количество проголосовавших до полудня, а $y$ —– количество проголосовавших после. Тогда за Васю проголосовало $0,45x$ человек, что составляет $27%$ от $x+ y$ . Таким образом, получаем равенство $0,45x =0,27(x+ y)$ , откуда $2x= 3y$ . Согласно условию, Петя набрал голосов $0,25x+ y$ , вычислим, какую долю от $x+ y$ составляет это количество:

0,25x+ y 0,25+ y -x-+y--= -1+-yx-= x

= 14 +-23= 11 =55% 1+ 23 20

Ответ:

$55%$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#42922Максимум баллов за задание: 7

Цену на товар сначала подняли на $x$ процентов, а потом опустили на $y$ процентов. В результате цена осталась прежней. Найдите все значения, которые может принимать разность $1 1 x − y.$ Если возможных значений несколько, введите в качестве ответа их сумму.

Источники: Муницип - 2018, Свердловская область, 11.1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте обозначим изначальную цену за S. Мы знаем, что если цена увеличилась на x процентов, то она стала равной S(1+x). Как тогда можно переписать в этих терминах условие задачи?

Подсказка 2

S(1+x)(1-y)=S. Видно, что от S можно избавится, тогда останется выражение на x и y. Подумайте, что можно с ним сделать, и завершите решение!

Показать ответ и решение

Пусть изначально цена была $S$ . Тогда после поднятия цена стала равна $S⋅(1+ x-) 100$ . После уменьшения новая цена стала равна $-x- -y- S ⋅(1+ 100)⋅(1− 100).$ По условию это равно первоначальной цене, поэтому

x y (1+ 100)⋅(1− 100)= 1

Обозначим $x y p =100,t=100,$ тогда

1+ p− pt− t= 1

t− p= −pt

1 1 p − t = −1

1 − 1= −-1- x y 100

Варианты правильных ответов:

-0.01
-0,01

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#66355Максимум баллов за задание: 7

Сотрудники фирмы делятся на трудяг и лентяев. В $2016$ году средняя зарплата трудяг превышала в два раза среднюю зарплату лентяев. Повысив свою квалификацию, трудяги в $2017$ году стали получать на $50%$ больше, а зарплата лентяев не изменилась. При этом часть лентяев уволили в конце $2016$ года. Средняя зарплата всех сотрудников в $2017$ году стала на $20%$ больше, чем была в $2016$ году. Найдите, сколько процентов от общего числа сотрудников составляли в $2017$ году трудяги, если в $2016$ году их было $10%.$

Источники: Миссия выполнима - 2018, 11.4 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Надо придумать, какие бы такие переменные ввести, чтобы они нормально описывали происходящее. Подумаем, какие есть независимые “составляющие” у задачи. Во-первых, число людей, его для удобства в начале можно обозначить за 10х. Во-вторых, зарплаты этих людей, и в-третьих, доля сотрудников, которых уволили. Вводя эти три величины, можно описать всё, что происходит в задаче. Неважно, например, какую вводить переменную: “зарплата трудяги” или “зарплата лентяя” — они все равно выражаются друг через друга. Поэтому вводим переменные из соображений удобства подсчетов.

Подсказка 2

Понятно, что такое средняя зарплата — количество всех денег, отнесенное к числу сотрудников. Как раз от этой величины и надо отталкиваться — записываем через наши три переменные, чему средняя зарплата была равна в начале и чему стала равна в конце. Отсюда получится выразить k — долю уволенных лентяев, а зная k, легко понять, как изменилась доля трудяг среди работников.

Показать ответ и решение

Пусть в $2016$ было $9x$ лентяев и $x$ трудяг, при этом зарплата лентяев была $y,$ трудяг — $2y.$ Отсюда в $2017$ зарплата трудяг стала $3y,$ то есть в полтора раза больше. Пусть также оставили долю $k <1$ всех лентяев (остальных $1− k$ уволили), посчитаем среднюю зарплату. Для этого нужно весь поток денег поделить на число сотрудников. В $2016$ она была

9x⋅y+ x⋅2y 11 ----10x----= 10y

а в $2017$ стала

9kx⋅y+ x⋅3y 9k+ 3 12 11 ---x+9kx---= 9k+-1y = 10 ⋅10y

где последнее равенство следует из повышения зарплаты в $1.2$ раза.

В итоге $900k+ 300= 132⋅9k+ 132 ⇐⇒ k= 172,$ то есть лентяев осталось $9x⋅ 712 = 241x.$ Тогда доля трудяг равна $x+x21∕4x = 425 = 16%.$

Ответ:

$16$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#89258Максимум баллов за задание: 7

Незнайка собирается приготовить ко дню своего рождения три бочки малинового морса, смешивая малину с водой, причём процентное содержание малины в бочках будет таково, что если смешать содержимое бочек в отношении $1:2:3$ , то получится $10%$ морс, а если в пропорции $5:4:3$ , то получится $25%$ морс. Каким будет процентное содержание малины в морсе при смешивании равных количеств исходных трёх растворов? Каким планируется содержание малины в третьей бочке?

Источники: ПВГ 2018

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В первую очередь хочется понять, а что нам вообще дано изначально. Запишите систему из двух уравнений, пользуясь данными из условия.

Подсказка 2

Пусть p, q, r – объем малины в одном литре растворов в первой, второй и третей бочках соответственно. Как мы видим, у нас получается два уравнения и три неизвестных. Ситуация не из приятных. Но обратите внимание на коэффициенты и свободные члены уравнений. Как мы можем получить значение сразу двух переменных за несколько действий?

Подсказка 3

Мы имеем два уравнения p + 2q + 3r = 6*0,1 и 5p + 4q + 3r = 12*0,25. Умножим первое на 5 и вычтем из него второе. Получили, что 6q + 12r = 0. Что нам дает это уравнение? Вспомните, какие значения могут принимать p, q, r.

Показать ответ и решение

Пусть $p,q,r$ - объемы малины в одном литре (процентное содержание) растворов в первой, второй и третьей бочках соответственно. Заметим, что $0≤ p,q,r≤1$ . Планы Незнайки означают

{ p+ 2q+ 3r= 6⋅0,1, 5p+4q+ 3r= 12 ⋅0,25

p+ q+ r= 0,6= 3⋅0,2

Далее из системы, умножая первое уравнение на 5, и вычитая из полученного второе, получаем

6q+ 12r= 0

q = r= 0

Ответ:

В морсе при смешивании будет $20%$ малины, а в третьей бочке малины не будет ( $0%$ ).

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#91542Максимум баллов за задание: 7

На выборах кандидат получил от $50,332%$ до $50,333%$ голосов. Какое при этом могло быть наименьшее число избирателей?

Источники: ПВГ 2018

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть было n избирателей, и за кандидата отдали k голосов. Хотим оценить n, как это лучше сделать?

Подсказка 2

Приведите неравенство к виду x ≤ n ≤ y.

Подсказка 3

Переберите различные значения k.

Показать ответ и решение

Пусть было $n$ избирателей, и за данного кандидата отдано $k$ голосов. Тогда

k 0,50332≤ n ≤0,50333

2k 1,00664≤ n-≤ 1,00666

Если обозначить $m= 2k− n$ , то

0,00664≤ m-≤ 0,00666 n

a) Если $m =1$ , то

150,1< ---1--≤ n≤ ---1--< 150,7 0,00666 0,00664

Целых решений нет.

б) Если $m =2$ , то

--2--- --2--- 300< 0,00666 ≤ n≤ 0,00664 < 302.

Но если $n= 301$ и $m= 2$ , то соответствующего значения $k$ не существует.

в) Если $m =3$ , то

450< ---3--≤ n≤ ---3--< 452 0,00666 0,00664

Значит, $n= 451$ и $k =227$ , и все неравенства выполняются.

Ответ: только 451

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#38889Максимум баллов за задание: 7

Во время распродажи Пётр купил брюки с $40%$ -ной скидкой и рубашку с $20%$ -ной скидкой. На следующий день Иван купил такие же брюки и рубашку без скидок. Мог ли Иван заплатить в полтора раза больше, чем Пётр? В ответ укажите “да” или “нет”.

Источники: Школьный этап - 2017, Москва, 11.1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обозначим цену брюк за x, а цену рубашки за y. Попробуйте составить уравнение, которое описывает условие.

Подсказка 2

Из условия мы понимаем, что Петр заплатил за покупку 0,6x+0,8y рублей, а Иван x+y рублей. Если ответ в задаче да, то должно быть верно следующее равенство: 1,5(0,6x+0,8y)=x+y. Попробуйте найти какие-нибудь x и y, при которых оно верно.

Подсказка 3

Наше равенство равносильно тому, что y=2x, а это означает, что достаточно взять цену рубашки за 2000 рублей, а брюк за 1000.

Показать ответ и решение

Пусть брюки без скидки стоят $x$ рублей, а рубашка без скидки стоит $y$ рублей. Тогда Пётр заплатил за покупку $0,6x +0,8y$ рублей, а Иван, купивший всё без скидки, заплатил $x+ y$ рублей. Запишем уравнением то, что Иван заплатил в полотора раза больше и получим: $1,5(0,6x+0,8y)=x +y$ . Это равносильно уравению $0,9x +1,2y =x +y$ , что в свою очередь есть $0,1y = 0,2x$ . Умножив обе части на $10$ получаем, что $y =2x$ и рубашка должна быть в два раза дороже, чем брюки.

Также в качестве ответа подойдёт предъявление конкретных стоимостей рубашки и брюк, например $2000$ и $1000$ рублей, с обоснованием того, что при таких ценах условию задачи будет выполнено — Пётр заплатит $2000$ рублей, а Иван — $3000$ рублей.

Ответ: да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#98020Максимум баллов за задание: 7

Имеется неограниченное количество пробирок трёх видов: $A,B$ и $C$ . Каждая из пробирок содержит один грамм раствора одного и того же вещества. В пробирках вида $A$ содержится $10%$ раствор этого вещества, в пробирках $B$ — 20 % раствор и в C — 90% раствор. Последовательно, одну за другой, содержимое пробирок переливают в некоторую ёмкость. При этом при двух последовательных переливаниях нельзя использовать пробирки одного вида. Какое наименьшее количество переливаний надо сделать, чтобы получить в ёмкости $20,17%$ раствор? Какое наибольшее количество пробирок вида $C$ может быть при этом использовано?

Показать ответ и решение

Пусть пробирок вида $A,B$ и $C$ взяли соответственно $a,b$ и $c$ штук. По условию

0,1a +0,2b+ 0,9c= 0,2017(a+ b+ c)⇔ 1000(a+ 2b+ 9c)= 2017(a+ b+c)

Левая часть последнего равенства делится на 1000, следовательно, на 1000 должна делиться и правая часть. Значит, наименьшее возможное значение суммы $a+ b+ c$ равно 1000. Покажем, что эта оценка достижима. То есть докажем, что существуют неотрицательные целые числа $a,b$ и $c$ такие, что

(| a +b+ c= 1000 { a +2b+ 9c=2017 |( a ≤500,b≤500,c ≤500

Последние три неравенства служат необходимым и достаточным условиям того, что удастся избежать использования пробирок одного вида при двух последовательных переливаниях. Из первых двух уравнений системы находим

a =7c− 17,b= 1017 − 8c

Подставив эти выражения в последние три неравенства системы, получим

7c≤ 517,8c≥518,c ≤500

Отсюда наибольшее значение $c$ равно 73. Ему соответствующие значения $a= 7c− 17,b= 1017− 8c$ удовлетворяют неравенствам системы. Таким образом, разрешимость в неотрицательных целых числах системы доказана.

Ответ:

Наименьшее количество переливаний равно 1000. При этом могут быть использованы максимум 73 пробирки вида $C$ .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#97447Максимум баллов за задание: 7

Егоров решил открыть накопительный вклад для покупки автомобиля стоимостью $900000$ руб. Начальная сумма вклада равна $300000$ руб. Через месяц и далее ежемесячно Егоров планирует пополнять свой вклад на $15000$ руб. Банк начисляет ежемесячно проценты по ставке $12%$ годовых. Начисленные за месяц проценты перечисляются на вклад, и в следующем месяце на них также начисляются проценты. Через какое наименьшее число месяцев на вкладе будет сумма достаточная для покупки автомобиля?

Источники: Миссия выполнима 2016

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если банк начисляет ежемесячно проценты по ставке 12% годовых, сколько процентов в месяц будет добавляться у Егорова? Введем обозначения и посчитаем сумму в первые месяцы.

Подсказка 2

Сумма для пополнения через n месяцев будет считаться по формуле геометрической прогрессии, а для первоначальной суммы?

Подсказка 3

С первоначальной суммой еще проще — каждый месяц она домножается на 1,01. Осталось составить неравенство и найти наименьшее целое n.

Показать ответ и решение

Пусть $S n$ - сумма вклада через $n$ месяцев после начисления процентов и после внесения дополнительных взносов $D$ ( 15000 руб.). Так как в месяц банк начисляет $1%$ , то

S1 =300000(1+ 0,01)+D, S2 =S1(1+ 0,01)+ D = (S0(1+0,01)+ D)(1+ 0,01)+D = S0(1+ 0,01)2 +D (1+ (1+0,01)) S3 =S2(1+ 0,01) =(S0(1 +0,01)2+D (1 +0,01)+ D)(1+ 0,01)+ D = = S0(1+ 0,01)3+ D ((1+ 0,01)2 +(1+ 0,01)+ 1) .........................................(................... ) Sn = S0(1+ 0,01)n +D (1+ 0,01)n− 1+(1+ 0,01)n−2+ ...+ (1 +0,01)+ 1

По формуле суммы $n$ членов геометрической прогрессии получаем

1,01n− 1 1,01n − 1 (1 +0,01)n−1+(1+ 0,01)n−2+ ...+ (1+0,01)+ 1= -1,01− 1-=--0,01--

Следовательно, $Sn = S0(1+ 0,01)n +D 1,001n,0−1-1$ . Искомое число месяцев удовлетворяет неравенству

300000⋅1,01n+ 150001,01n−-1 ≥900000 ⇔ 0,01 ⇔ 3⋅1,01n+15(1,01n− 1)≥9 ⇔ ⇔ 18 ⋅1,01n ≥24⇔ 1,01n ≥ 24-⇔ n≥ 28,91 18

Таким образом, достаточная для покупки автомобиля сумма будет на вкладе через 29 месяцев.

Ответ: 29

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#77216Максимум баллов за задание: 7

Инвестиционная компания вложила равное количество денег в несколько проектов. При этом для каждого проекта в случае успеха вложенный капитал увеличивался на $25%$ , а в случае неудачи фирме возвращалось только четверть вложенных в проект средств. За год фирма увеличила свой капитал на 20 $%.$ Определите, во скольких случаях фирме сопутствовал успех, если средства были вложены не более чем в 25 проектов.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нужно перевести условие задачи на математический язык, введя несколько переменных и составив уравнения. Что лучше обозначить за неизвестные, чтобы использовать как можно меньше переменных и описать всю известную информацию?

Подсказка 2

Давайте считать, что х — деньги, вкладываемые в один проект, m — число всех проектов, a y — количество успешных проектов.

Подсказка 3

У нас есть ограничение на m, и мы можем выразить начальный капитал фирмы, а также количество денег, которое вернулось с удачных и неудачных проектов. Кроме того, нам известны итоги года, давайте сравним с ними данные значения.

Подсказка 4

В полученном уравнении мы можем сократить на x и выразить количество успешных проектов через общее количество. Но мы помним, что y, m — целые числа, не большие 25, тогда количество успешных проектов выражается однозначно!

Показать ответ и решение

Пусть $x$ — деньги, вкладываемые в один проект, $m$ — число всех проектов, $1≤ m ≤25$ . Тогда начальный капитал фирмы равен $mx$ . Пусть $y$ — количество успешных проектов, тогда ( $m− y$ ) — количество неуспешных проектов. Из вложенных в неуспешные проекты $(m − y)x$ денег компании вернется

1 4(m− y)x

Из вложенных в успешные проекты $yx$ денег компании вернется

1 5 yx +4 yx = 4yx

По условию задачи, за год фирма увеличила свой капитал на $20%$ , то есть он составил

mx + 1mx = 6mx. 5 5

Получим уравнение:

1(m − y)x+ 5yx = 6mx, m − y +5y = 24m, 4y = 19m, 4 4 5 5 5 y =19m. 20

Среди чисел $1,2,...,25$ только $m =20$ удовлетворяет условию натуральности числа $y$ , поэтому $y =19$ .

Ответ: в 19 случаях

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#44154Максимум баллов за задание: 7

Общий вес рюкзаков двух туристов за время похода уменьшился на $121% 3$ . При этом вес рюкзака первого туриста уменьшился на $15%$ , а вес рюкзака второго — на $10%$ . Известно также, что в конце похода рюкзак второго туриста весил на 1,2 кг больше, чем рюкзак первого туриста в начале похода. Определите первоначальный вес рюкзаков каждого из туристов.

Источники: ПВГ-2014, 11.3 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) Итак, у нас очень много условий, завязанных на весах двух рюкзаков, давайте составим с ними уравнения! Обозначим веса рюкзаков за х и у...

Подсказка 2!

2) Запишем веса рюкзаков в конце похода? Это 85x/100 и 90y/100. А вот теперь попробуйте записать первое условие о том, что их суммарный вес уменьшился!

Подсказка 3!

3) Да, мы получим, что суммарный вес стал (x+y)*(300-37)/300! Таким образом мы с двух сторон подсчитали, как изменился вес двух рюкзаков суммарный. Осталось только дорешать!

Показать ответ и решение

Пусть изначально веса рюкзаков были $x,y$ для первого и второго соответственно. Тогда после уменьшения они стали $x⋅0.85,y ⋅0.9$ , откуда выполнено

300− 37 85 90 8 7 7 (x+ y)⋅-300--= 100x+ 100y ⇐⇒ x⋅300 = y⋅300 ⇐⇒ 8x= 7y ⇐ ⇒ x = 8y

Также мы знаем, что

9 6 6 7 6 10y = 5 + x= 5 + 8y ⇐ ⇒ y = 5 ⋅40= 48,x= 42

Ответ:

$42,48$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#97444Максимум баллов за задание: 7

При осеннем сборе урожая собрали $200$ ящиков яблок и рассортировали. На консервный завод отправили более $8%,$ но менее $14%$ ящиков от их общего количества. $52%$ от оставшихся ящиков отправили в магазины, а остальные ящики с яблоками — на хранение. Сколько процентов ящиков с яблоками от общего их количества отправили на хранение?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сколько ящиков могли оправить на завод? Давайте оценим это количество y.

Подсказка 2

0.86*200 < y < 0.92 * 200. Так мы сможем понять, сколько же ящиков могли увезти. Давайте обратимся к здравому смыслу. Если в задаче сказано, что 0.52y увезли, то что можно сказать про это число?

Подсказка 3

Оно целое! Осталось понять, при каком y 0.52y будем целым!

Показать ответ и решение

Пусть $y$ — количество ящиков яблок, которые отправили в магазины и на хранение.

Из условия задачи следует

0,86 ⋅200< y < 0,92⋅200

172< y < 184

Итак, возможны следующие варианты:

y =173,174,175,176,177,178,179,180,181,182,183

Поскольку $0,48y$ является целым числом, то $y =175$ , а $0,48y =84$ . На хранение отправили 84 ящиков яблок, то есть $42%$ .

Ответ: 42

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 40#89257Максимум баллов за задание: 7

На покраску дома жёлтой краски потребовалось больше, чем белой, на $20%$ , а коричневой краски — на $25%$ меньше, чем жёлтой. На сколько процентов коричневой и жёлтой краски суммарно потребовалось больше, чем белой?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Логично, что если мы хотим сравнивать величины, то нужно их выразить через общую переменную. Подумайте, объем краски какого цвета будет удобнее всего здесь обозначить за эту неизвестную.

Подсказка 2

Пусть x – количество белой краски. Сколько тогда было потрачено желтой и коричневой краски, если выражать эти величины тоже через x?

Показать ответ и решение

Пусть $x$ – количество белой краски. Тогда желтой краски потребовалось $6x, 5$ а коричневой $3⋅ 6x= 9x. 4 5 10$ Отношение общего количества коричневой и желтой краски к количеству белой краски равно

( 9x 6x) 210 10 + 5 :x = 100.

Ответ: на 110 %

Предыдущая подтема

Следующая подтема