Тема АЛГЕБРА

Алгебраические текстовые задачи → .09 Задачи с неравенствами

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Алгебраические текстовые задачи

Различные подсчеты без составления уравнения

Составление уравнений

Задачи на проценты

Задачи на дроби

Задачи на работу

Задачи на движение: алгебраический подход

Среднее арифметическое в текстовых задачах

Среднее геометрическое и гармоническое в текстовых задачах

Задачи с неравенствами

Конструктивы в алгебре

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#74601Максимум баллов за задание: 7

Каждый из 2017 учащихся средней школы изучает английский или немецкий язык. Английский язык изучают от $70%$ до $85%$ от общего числа учащихся, а оба языка изучают от $5%$ до $8%$ . Какое наибольшее число школьников может изучать немецкий язык?

Источники: Миссия выполнима 2017

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что надо сделать с количеством учеников, которые изучают английский язык или оба языка, чтобы максимизировать число тех, кто изучает немецкий?

Подсказка 2

Для ответа на предыдущий вопрос, давайте составим уравнение на количество учеников! 2017 = A + C - B(это можно понять с помощью кругов Эйлера), где A - те, кто изучает только английский, C - количество тех, кто изучает только немецкий, B - оба языка! Отсюда видно, что C = 2017 - A + B, то есть надо минимизировать число тех, кто изучает английский и максимизировать число тех, кто изучает обо языка!

Подсказка 3

Английский изучает не менее 2017*0.7 = 1411.9, а оба языка изучают не более 2017*0.08 = 161.31, остаётся в правильную сторону округлить числа, и задача решена!

Показать ответ и решение

Пусть $A$ человек изучают английский язык, $B$ – немецкий язык, а $C$ – оба языка. Тогда $B = 2017 − A +C.$ Известно, что $A ≥ 2017⋅0,7= 1411,9$ и $C ≤ 0,08⋅2017= 161,31.$

Следовательно, $B ≤ 2017 − 1412+161= 766.$

Тогда наибольшее $B = 766,$ а достигается при $A= 1412,C =161.$

Ответ: 766

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#82261Максимум баллов за задание: 7

Петя и Вася играют в следующую игру. Петя выбирает $100$ (не обязательно различных) неотрицательных чисел $x,x ,...,x , 1 2 100$ сумма которых равна $1.$ Вася разбивает их на $50$ пар по своему усмотрению, считает произведение чисел в каждой паре и выписывает на доску наибольшее из $50$ полученных произведений. Петя хочет, чтобы число на доске оказалось как можно больше, а Вася — чтобы оно было как можно меньше. Какое число окажется на доске при правильной игре?

Источники: Всеросс., 2017, РЭ, 9.10(см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Если Петя выберет числа $1,-1-, 1-,...,-1-, 2 198 198 198$ то, как бы ни разбивал эти числа Вася, в паре с числом $1 2$ будет число $-1. 198$ Их произведение будет равно $3196,$ а остальные будут не больше него. Тогда на доске окажется число $3196.$

Покажем, как Васе для любых Петиных чисел получить на доске число, не большее $-1-. 396$ Перенумеруем числа в порядке невозрастания: $x ≥ x ≥ ...≥ x . 1 2 100$ Разобьём числа на пары следующим образом: $x k$ в паре с $x . 101−k$ Тогда произведениями чисел в парах будут

x1x100,x2x99,x3x98,...,xkx101−k,...,x50x51

Покажем, что $a =x x ≤ 1-- k 101−k 396$ при $k≤ 49.$ Действительно, из неравенств $x ≤x ≤ ...≤ x1 k k−1$ следует, что $kx ≤x1+ x2+ ...+ x, k k$ поэтому

ka= kxk⋅x101−k ≤ (x1+x2+ ...+ xk)x101−k

Аналогично из неравенств $x101−k ≤ x100−k ≤ x99−k ≤...≤xk+1$ следует, что

(101− 2k)x101−k ≤ x101−k+ x100−k+ ...+ xk+1 ≤ ≤xk+1+ xk+2+...+x100 = 1− x1− x2− ...− xk

Поэтому

k(101− 2k)a ≤(x1+ x2 +...+ xk)(1 − x1− x2− ...− xk)= x(1− x)

где $x =x1 +x2+ ...+ xk.$ Поскольку по неравенству о средних для двух чисел $x(1− x) ≤( x+(12−-x))2 = 14,$ получаем неравенство $x x = a≤ ----1-----. k 101−k 4k(101− 2k)$ Осталось доказать, что $k(101− 2k)≥ 99$ при $k≤49.$ Это неравенство можно переписать в виде $(k− 1)(99− 2k)≥ 0,$ и обе скобки в последней формуле неотрицательны.

Осталось доказать, что $1 x50x51 ≤ 396.$ Поскольку $x50 ≤x49 ≤ x48 ≤...≤x2 ≤ x1,$ имеем

x50 ≤ x1+-x2-+5.0..+-x50≤ 150

и, аналогично,

x41 ≤ x1+-x2-+...+-x51≤ 1 51 51

Следовательно, $x50x51 ≤--1--< -1. 50⋅51 396$

Ответ:

$-1- 396$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#41297Максимум баллов за задание: 7

Ученику дано число $x:$ это обыкновенная дробь со знаменателем $9.$ Ученик вычислил три новых числа $2x,4x$ и $5x,$ каждое из этих трёх чисел округлил до ближайшего целого и результаты округлений сложил. Получилось $120.$ Найдите $x.$ (Число округляется в меньшую сторону, если его дробная часть меньше $1∕2,$ и в большую, если дробная часть больше либо равна $1∕2.)$

Источники: Курчатов-2015, 11.1 (см. olimpiadakurchatov.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте сначала понять между какими двумя целыми числами заключен х. Для этого решите уравнение без округления.

Подсказка 2

Вы получили, что 10<x<11. То есть нам осталось перебрать 8 вариантов. При этом если подставить 11 вместо х, то получится значение более близкое к тому, что нам требуется , чем если подставить 10. Что это может значить?

Подсказка 3

Это значит, что искомая дробь ближе к 11 чем к 10. Значит перебор надо начинать сверху(при этом, если мы уже получили решение, не значит, что дальше по перебору не будет еще одного). Осталось перебрать и получить ответ.

Показать ответ и решение

Давайте число $a$ после округления обозначать $R (a).$ Будем пользоваться тем, что если $a≤ b,$ то и $R(a)≤ R(b).$

Докажем, что

7 109 <x <11.

Пусть $S = R(2x)+ R(4x)+R(5x).$

Если $7 x≤ 10 9,$ то

( 5) ( 1) ( 8) S ≤ R 219 + R 439 +R 539 =22+ 43+54 =119< 120

Если $x≥ 11,$ то

S ≥R (22)+R (44)+R (55)= 121 >120

В указанном интервале есть только одно число со знаменателем $9$ — это $1089.$ Оно подходит:

( ) ( ) ( ) S = R 217 + R 435 + R 544 = 22 +44+ 54= 120 9 9 9

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание. Более естественно другое решение: показать, что $10< x< 11,$ а дальше просто перебрать все числа со знаменателем $9$ между ними. Если всё сделано верно, то это тоже полное решение.

Ответ:

$98 9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#84146Максимум баллов за задание: 7

В организации работает 200 сотрудников. Для изменения административно-правового статуса организации необходимо, чтобы за это проголосовали не менее $2 3$ ее сотрудников. При первом голосовании было принято решение не менять административно-правовой статус. Через год статус организации решили поменять, поскольку число сторонников этого изменения выросло в $12 11$ раза. Сколько сторонников изменения правового статуса было изначально, если общее число сотрудников не менялось?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть х – число изначальных сторонников изменения, как мы можем оценить х с учётом того, что изначально статус компании не изменился?

Подсказка 2

Теперь сторонников стало больше, и статус компании все же поменялся. Какое неравенство мы можем составить?

Подсказка 3

Мы получили две оценки на х, остается лишь учесть, что х – целое число, и получить ответ)

Показать ответ и решение

Пусть $x$ — число изначальных сторонников изменения. Тогда по условию $x< 2⋅200= 1331, 3 3$ а иначе административно-правовой статус компании изменился бы сразу. Так как $x$ — целое, то $x≤ 133.$

С другой стороны, через год стало $12 11x$ сторонников изменения, и изменение было принято. Тогда получаем неравенство

12 400 11x≥ -3-

То есть $x≥ 11090= 12229.$ Так как, $x$ — целое, то $x ≥123.$

Из условия следует, что $12x 11$ — целое, значит, $x ... 11.$ Таким образом, нужно найти число $x$ , делящееся на $11,$ которое удовлетворяет условию $123≤ x≤ 133.$ Легко видеть, что это единственное число $132.$

Ответ: 132

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#91933Максимум баллов за задание: 7

Посылка должна быть упакована в ящик в форме прямоугольного параллелепипеда и перевязана один раз вдоль и два раза поперек.

$PIC$

Можно ли отправить посылку объема 37 $дм3$ , имея 3,6 м веревки? (толщиной стенок ящика и уходящей на узлы веревкой пренебречь)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Введём длины сторон коробки: x, y и z. Тогда можно легко выразить длину верёвки.

Подсказка 2

Длина веревки равна (с точностью до замены переменных) 2x + 6y + 4z.

Подсказка 3

Как легче всего оценить сумму нескольких слагаемых снизу?

Подсказка 4

Правильно, воспользуемся неравенством о средних и посмотрим, какое наименьшее значение длины может быть у верёвки.

Показать ответ и решение

Пусть ящик имеет размеры $x ×y× z$ . Тогда веревка имеет длину $2x+ 6y +4z$ . Но по неравенству о средних

3∘-------- 3√---- 2x+6y +4z ≥ 3 2x ⋅6y⋅4z = 6 6 ⋅37> 36.

Ответ: нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#34977Максимум баллов за задание: 7

В турнире по шахматам участвуют мастера спорта и кандидаты в мастера. Какое наименьшее число людей может участвовать в этом турнире, если известно, что среди них мастеров меньше половины, но больше 45%?

Показать ответ и решение

Пусть в турнире участвуют $n$ шахматистов и $k$ из них — мастера. По условию $0,9n< 2k< n$ . Отсюда $0,1n >n − 2k >0$ . $n− 2k$ — целое число, значит, оно не меньше 1. Следовательно, $0,1n > 1$ , $n > 10$ .

Случай $n= 11$ подходит: в турнире могут играть 5 мастеров и 6 кандидатов.

Ответ: 11

Предыдущая подтема

Следующая подтема