Тема АЛГЕБРА

Алгебраические текстовые задачи

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Алгебраические текстовые задачи

Различные подсчеты без составления уравнения

Составление уравнений

Задачи на проценты

Задачи на дроби

Задачи на работу

Задачи на движение: алгебраический подход

Среднее арифметическое в текстовых задачах

Среднее геометрическое и гармоническое в текстовых задачах

Задачи с неравенствами

Конструктивы в алгебре

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 401#91933Максимум баллов за задание: 7

Посылка должна быть упакована в ящик в форме прямоугольного параллелепипеда и перевязана один раз вдоль и два раза поперек.

$PIC$

Можно ли отправить посылку объема 37 $дм3$ , имея 3,6 м веревки? (толщиной стенок ящика и уходящей на узлы веревкой пренебречь)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Введём длины сторон коробки: x, y и z. Тогда можно легко выразить длину верёвки.

Подсказка 2

Длина веревки равна (с точностью до замены переменных) 2x + 6y + 4z.

Подсказка 3

Как легче всего оценить сумму нескольких слагаемых снизу?

Подсказка 4

Правильно, воспользуемся неравенством о средних и посмотрим, какое наименьшее значение длины может быть у верёвки.

Показать ответ и решение

Пусть ящик имеет размеры $x ×y× z$ . Тогда веревка имеет длину $2x+ 6y +4z$ . Но по неравенству о средних

3∘-------- 3√---- 2x+6y +4z ≥ 3 2x ⋅6y⋅4z = 6 6 ⋅37> 36.

Ответ: нет

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 402#43621Максимум баллов за задание: 7

Из пунктов $A$ и $B$ навстречу друг другу одновременно отправились два поезда. Известно, что в $14 :00$ они встретились и, не меняя скорости, продолжили движение. Один поезд прибыл в пункт $B$ в $18:00$ , а другой прибыл в пункт $A$ в $23:00$ . В какой момент времени поезда отправились в путь?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Выразите через неизвестные скорости поездов и время между моментом отправления и встречи.

Подсказка 2

Как можно получить уравнение относительно t?

Подсказка 3

Перемножьте 2 полученных уравнения.

Показать ответ и решение

Пусть поезда отправились за $t$ часов до момента встречи, и пусть $v 1$ - скорость первого поезда, $v 2$ - скорость второго. Тогда первый поезд прошёл расстояние $tv1$ от пункта $A$ до пункта встречи со вторым поездом, а второй поезд прошёл это же расстояние (после встречи с первым поездом) за 9 часов, поэтому $tv1 = 9v2$ . Аналогично второй поезд прошёл расстояние $tv2$ от пункта $B$ до пункта встречи, а первый поезд затем прошёл это расстояние за $4$ часа, поэтому $tv2 =4v1.$ Перемножая эти два уравнения, получим

tv1⋅tv2 =9v2⋅4v1 ⇒ t2 =36 ⇒ t=6

Итак, поезда отправились в путь за $6$ часов до $14:00$ , т. е. в $8 :00.$

Ответ:

$8 :00$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 403#47041Максимум баллов за задание: 7

Для детского сада закупили наборы конфет трех разных типов, потратив $2200$ рублей. Первый набор стоит $50$ рублей и содержит $25$ конфет. Второй набор стоит $180$ рублей и содержит $95$ конфет, третий набор стоит $150$ рублей и содержит $80$ конфет. Сколько каких наборов купили, если общее количество конфет в них максимально?

Источники: ПВГ 2011

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Задача на максимизацию суммы, поэтому первое, что хочется сделать - как-то ее записать) Составим систему уравнению по количеству конфет и по тому, что нам нужно максимизировать

Подсказка 2

Немного преобразований и приходим к тому, что 5a + 18b + 15c = 220, 5a + 19b + 16c мы хотим максимизировать) Посмотрев внимательно на эти два выражения, можем заметить, что максимизировать достаточно лишь...что? Так же в условии следует попробовать найти какие-то варианты "замены" подарков, чтобы вручную как-то увеличивать количество конфет при той же цене.

Подсказка 3

Из подсказки 2 замечаем, что достаточно максимизировать b+c, а так же, что 3 подарка первого типа выгодно менять на подарок третьего типа. Значит, у нас нет трех подарков вида a. Остается лишь рассмотреть три оставшихся случая на a!

Показать ответ и решение

Пусть взяли $a,b,c$ наборов конфет каждого вида соответственно. Запишем уравнение на общую сумму денег и условие про максимальное количество конфет:

{ 50a +180b+150c= 2200 { 5a+ 18b+15c= 220 ⇐⇒ 25a +95b+ 80c→ max 5a+ 19b+16c→ max

Второе эквивалентно $b+c → max.$ Заметим, что три подарка первого вида можно за ту же стоимость заметить на один подарок третьего вида, где конфет будет больше, потому $a< 3.$ Рассмотрим случаи

$a =2.$ Получаем уравнение $18b+15c= 210 ⇐⇒ 6b+ 5c =70,$ откуда $b$ кратно пяти, то есть $b∈{0,5,10}.$ Имеем решения $(0,14),(5,8),(10,2).$ Максимум достигается на первом, потому получаем набор $(2,0,14).$
$a =1.$ Имеем уравнение $18b+15c= 215,$ у которого нет решений в целых числах, потому что $220$ не делится на $3$ , а левая часть делится на $3$ .
$a =0.$ Аналогично нет решений для $18b+ 15c=220.$

Ответ:

$(2,0,14)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 404#67154Максимум баллов за задание: 7

Два поезда, содержащие по $15$ одинаковых вагонов каждый, двигались навстречу друг другу с постоянными скоростями. Ровно через $28$ с после встречи их первых вагонов пассажир Саша, сидя в купе третьего вагона, поравнялся с пассажиром встречного поезда Валерой, а еще через $32$ с последние вагоны этих поездов полностью разъехались. В каком по счету вагоне ехал Валера?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Очень удобно, что в условии поезда полностью одинаковы. Значит, несложно представить, как взаимодействуют вагоны поезда. Также обратим внимание, что же случилось с поездами в конце всех описанных в условии действий. О чём это говорит?

Подсказка 2

Заметим, что вагоны разъезжались попарно(первый с первым, второй со вторым), а с момента встречи первых вагонов до момента разъезда последних вагонов прошло 60 секунд. Что тогда произошло ровно через 28 секунд?

Подсказка 3

Разъехались седьмые вагоны, т.к. через каждые 60:15=4 секунды разъезжались очередные вагоны. Значит, седьмой вагон одного поезда сравнялся с восьмым вагоном второго поезда! Осталось аккуратно посчитать, какой вагон встретил Валера)

Показать ответ и решение

Так как с момента встречи их первых вагонов до момента разъезда последних вагонов прошло $60$ секунд, то, так как вагоны одинаковые, через каждые $60:15= 4$ секунды разъезжались очередные вагоны. Поэтому через $28$ секунд разъехались седьмые вагоны поездов, то есть седьмой вагон одного поезда поравнялся с восьмым вагоном другого. В этот момент третий, Сашин, вагон поравнялся с Валериным вагоном, имеющим номер $8+ (7 − 3)= 12.$

Ответ:

$12$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 405#69857Максимум баллов за задание: 7

Одна тетрадь, 3 блокнота и 2 ручки стоят 98 рублей, а 3 тетради и блокнот — на 36 рублей дешевле 5 ручек. Сколько стоит каждый из предметов, если тетрадь стоит чётное число рублей? (Каждый из этих предметов стоит натуральное число рублей.)

Внесите в ответ через пробелов без знаков препинания, сколько стоят тетрадь, блокнот и ручка (именно в таком порядке).

Источники: ОММО-2011, номер 3 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первым и самым очевидным шагов будет составление системы уравнений. Пусть тетрадь стоит z рублей, блокнот — y рублей, а ручка — z рублей. Подумайте, как в данную систему привести к уравнению, которое можно будет использовать в дальнейшем решении. Не забудьте про дополнительное условие на стоимость тетради, его дали нам не просто так.

Подсказка 2

Достаточно очевидно, что y стоит сохранить, чтобы воспользоваться в дальнейшем его четностью, от z будет сложнее избавиться из-за неудобных коэффициентов. Поэтому избавляемся от x путем домножения на 3 одного из уравнений и сложения его со вторым. И получаем 8y+11z=330. Подумайте, на что должен делиться y и какие значения может принимать.

Подсказка 3

Из уравнения 8y+11z=330 следует, что y обязан делиться на 11. Но при этом стоит отметить, что y > 22 нам не подойдет. Докажите, почему это так, а после найдите остальные переменные.

Показать ответ и решение

Пусть тетрадь стоит $x$ рублей, блокнот — $y$ рублей, а ручка — $z$ рублей. $x, y, z ∈ℕ$ . Составим систему уравнений:

{ x +3y+ 2z = 98 5z− (3x +y)= 36

Домножим первое уравнение на $3$ и сложим со вторым, получим

8y+ 11z =330

Так как $11z и 330$ делятся на $11$ , то $y$ должно делиться на $11$ .

Рассмотрим первое уравнение. Так как $x$ четное по условию и $2z, 98$ — четные, то $3y$ — тоже четное, следовательно $y$ — четное.

Единственным возможным значением $y$ , кратным $22$ , является $22$ (если $y ≥44$ , то первое уравнение не имеет решений, так как переменные натуральные).

Находим остальные переменные: $z = 14, x = 4.$

Ответ: 4 24 14

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 406#82258Максимум баллов за задание: 7

Даны $10$ попарно различных чисел. Для каждой пары данных чисел Вася записал у себя в тетради квадрат их разности, а Петя записал у себя в тетради модуль разности их квадратов. Могли ли в тетрадях у мальчиков получиться одинаковые наборы из $45$ чисел?

Источники: Всеросс., 2011, ЗЭ, 10.5(см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Предположим противное. Если среди исходных чисел есть ноль, то для любого другого числа $a$ имеем $a2− 02 = (a − 0)2.$ Значит, если вычеркнуть ноль, то останутся $9$ чисел, также удовлетворяющих условию.

Итак, можно считать, что исходных чисел $9$ или $10,$ и все они ненулевые. Пусть среди них есть числа разных знаков; рассмотрим минимальное и максимальное из них - обозначим их $a< 0< b.$ Тогда у Васи присутствует число $2 (b− a) ,$ которое больше как $2 a ,$ так и $2 b ;$ у Пети же любое число не превосходит $( 2 2) max a ,b .$ Противоречие.

Значит, все исходные числа — одного знака; заменив, если надо, все числа на противоположные, можно считать, что все они положительны. Опять обозначив через $a$ и $b$ соответственно минимальное и максимальное из этих чисел, имеем

b2− a2 = (b− a)(b+ a)>(a− b)2 ≥ (c− d)2

где $c$ и $d$ — произвольные два исходных числа. Тогда число $2 2 b − a$ не встретится на листке у Пети, но встретится у Васи — противоречие.

Ответ:

Не могли

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 407#83953Максимум баллов за задание: 7

Каждому из двух рабочих поручили обработать одинаковое количество деталей. Первый выполнил работу за 8 часов. Второй потратил больше 2 часов на наладку оборудования и с его помощью закончил работу на 3 часа раньше первого. Известно, что второй рабочий через 1 час после начала работы оборудования обработал столько же деталей, сколько к этому времени первый. Во сколько раз оборудование увеличивает производительность труда?

Источники: ОММО-2011, номер 4 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первое, что хочется сделать, это что-то в задаче неизвестное обозначить за переменную. Что в этой задаче идеально подходит на эту роль?

Подсказка 2

Верно, давайте обозначим за x время наладки оборудования. Значит, нам нужно получить какое-то соотношение, чтобы найти это время. Мы понимаем, что второй работал 8 - 3 - x = 5 - x часов. Теперь осталось воспользоваться вторым условием задачи. Если обозначить объём работы за единицу (как обычно в задачах такого рода), то сколько сделает за час второй?

Подсказка 3

Да, он выполнит 1/(5 - x) часть работы. Получается, что для уравнения нам только не хватает понять, сколько к тому времени сделал первый. Но мы ведь знаем, что он уже работал x+1 часов к тому моменту. Тогда как можно найти количество сделанной работы за это время?

Подсказка 4

Верно, давайте просто составим пропорцию. Мы знаем, что за 8 часов первый сделал всю работу, а за x+1 часов неизвестно. Отсюда найти неизвестное количество работы легко. Теперь из условия получается уравнение на x. Какие значения у вас получились? А все ли из них удовлетворяют условию?

Подсказка 5

Ага, по условию сказано, что второй чинил оборудование больше двух часов, поэтому остаётся только один вариант. Теперь мы знаем производительность первого и второго, осталось только посчитать отношение. Победа!

Показать ответ и решение

Пусть $x$ — время, потраченное на наладку оборудования. Тогда второй рабочий работал (на оборудовании) $8− 3− x= 5− x$ часов, делая за час столько же, сколько первый за $x+ 1$ час. Следовательно,

8 x+ 1 5-− x =-1--

Получаем, что $x2− 4x +3 =0$ . Но по условию $x> 2$ , значит, $x= 3$ , а искомое отношение равно

x+11 =4

Ответ: в 4 раза

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 408#37481Максимум баллов за задание: 7

После вырубки нескольких деревьев в парке оказалось, что число оставшихся деревьев равно числу процентов, на которое число деревьев в парке уменьшилось за время вырубки. Какое наименьшее число деревьев могло остаться в парке?

Источники: ПВГ-2010, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) У нас есть несколько величин, которые друг с другом связаны, что-то такое было, может быть, нужно использовать уравнение? Обозначим процент вырубленных деревьев за х, а изначально пусть их было n. Тогда сколько осталось вырубленных деревьев?

Подсказка 2!

2) Так-так-так, уравнение нашли, осталось только решить - половина задачи сделана. Домножим уравнение на 100, чтобы было легче, а теперь посмотрим, 100х должно делиться на 100-х. Как бы использовать это, чтобы получить оценку на х...

Подсказка 3!

3) Верно! Нужно написать выражение, чтобы х сократился. Например, 100(100-х) делится на 100х. Тогда мы знаем, что еще делится на х. Попробуем вычислить отсюда минимальный х, а там и до n недалеко..

Показать ответ и решение

Пусть вырублено $x%$ деревьев, а изначально их было $n$ . Тогда осталось $n ⋅(1− -x-)= x 100$ деревьев, то есть $n⋅(100− x)= 100x$ . Левая часть делится на $100− x$ , значит, правая часть $100x$ делится на $100− x$ , следовательно, сумма правой части и $100$ левых частей, то есть $100⋅(100− x)+100x= 10000$ тоже делится на $100− x$ . Итак, $4 4 10000= 2 ⋅5$ кратно $100− x$ . Легко видеть, что минимальное $x >0$ равно $20$ , поскольку числа из множества ${81,...99}$ не представимы в виде $k m 2 5$ . Подставим его в уравнение $n ⋅80= 100⋅20 =⇒ n =25$ .

Ответ:

$20$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 409#83955Максимум баллов за задание: 7

Бабушка читает незнакомую ей книгу из 970 страниц. Незнакомый текст она читает со скоростью 10 страниц в час, а прочитанный ранее — со скоростью 20 страниц в час. Пока книга не прочитана, бабушка читает её ежедневно по 5 часов с того места, где лежит закладка, и оставляет закладку там, где закончила чтение. В какой день недели бабушка прочтёт книгу до конца, если первые страницы она прочла в понедельник, а каждую ночь её внук переносит закладку на 20 страниц назад?

Источники: ПВГ - 2010, Омск, 10-11 классы, №1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сколько времени каждый день бабушка тратит на чтение незнакомых страниц? (Понятно, что если мы хотим получить число всех страниц в книге, важны только незнакомые страницы)

Подсказка 2

Каждый день, кроме первого, час тратится на чтение знакомого текста, а 4 часа — на чтение незнакомого.

Подсказка 3

Осталось ввести переменную — количество дней — и с помощью неё записать уравнение, определяющее общее число страниц в книге (не забывая про первый день).

Показать ответ и решение

В первый бабушка прочитала $5⋅10= 50$ страниц. Каждый следующий день бабушка тратила $20 :20 =1$ час на чтение знакомого текста. Значит, у нее остается $4$ часа на новый текст.

Пусть $n$ — число дней, которые бабушка читала книгу. Тогда за все дни, кроме первого, она читает $4⋅10 ⋅(n− 1)= 40(n− 1)$ страниц. Получаем уравнение

50+ 40(n− 1)=970

Таким образом, $n= 24.$ Так как бабушка начала читать в понедельник, то закончила она в среду, так как $n≡ 3 (mod 7).$

Ответ: в среду

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 410#89254Максимум баллов за задание: 7

Ваня налил себе полный стакан смеси кофе с молоком. Сначала, выпив половину смеси, он долил в стакан доверху кофе и перемешал. Затем, выпив половину новой смеси, долил в стакан доверху молоко и вновь перемешал. Доля кофе в полученной смеси оказалась равной доле кофе в исходной. Найдите эту долю.

Источники: ПВГ 2010

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Раз почти ничего не дано, то почему бы не обозначить как-то объём стакана, чтобы было с чем работать? И заодно, какую часть смеси занимал кофе изначально.

Подсказка 2

Почему бы буквально не посмотреть, сколько кофе будет оставаться после каждого действия?

Подсказка 3

Если вы пили половину стакана, то сколько осталось именно кофе? А если долили еще полстакана кофе?

Подсказка 4

А сколько осталось именно кофе во второй раз? Осталось воспользоваться тем, что изначальная доля кофе равна конечной доле, и получить ответ!

Показать ответ и решение

Примем за 1 объем всей чашки. Пусть x - доля кофе в чашке вначале. Ваня выпил половину смеси, потом долил только кофе и перемешал, теперь количество кофе в чашке равно $x∕2+ 1∕2 =(x+ 1)∕2$ . Затем он снова отпил половину смеси и доливал только молоко, количество кофе в этом случае равно $(x+1)∕2∕2 =(x+ 1)∕4$ . По условию, последнее выражение равно $x$ :

(x +1)∕4 =x x+ 1= 4x x= 1∕3

Ответ: 1 / 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 411#89255Максимум баллов за задание: 7

Два вкладчика вложили деньги в общее дело. После этого один из них добавил ещё 1 млн р., в результате чего его доля в общем деле увеличилась на 0,05, а когда он добавил ещё 1 млн р., его доля увеличилась ещё на 0,04. Сколько денег ему нужно добавить ещё, чтобы увеличить свою долю ещё на $0,06$ ?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть суммарно вклад составлял y миллионов рублей, из которых x миллионов рублей — первого вкладчика. Перепишите условие задачи в этих терминах.

Подсказка 2

Выразив x, скажите, что первый вкладчик добавил еще k миллионов рублей.

Показать ответ и решение

Пусть изначально суммарный вклад составлял $y$ миллионов рублей, из них $x$ миллионов рублей — первого вкладчика. Тогда его доля составляла $x y$ . После того, как первый добавил 1 млн рублей, суммарно вклад составил $(y+ 1)$ млн рублей, из них $(x+ 1)$ — первого вкладчика. Тогда его доля возросла до $x+1 y+1$ . По условию:

x +1 x y-+1 − y = 0,05

Умножим обе части на $y⋅(y+ 1):$

(x+1)⋅y− x⋅(y+1)= 0,05⋅(y+ 1)⋅y

y− x= 0,05y(y +1)

После того как он снова добавил 1 млн рублей, общая сумма вклада стала равна $(y +2)$ млн рублей, из них $(x+ 2)$ — первого вкладчика. По условию:

x+ 2 x+ 1 y+-2 − y+-1 =0,04

Умножим обе части на $(y+ 1)⋅(y+ 2):$

(x +2)⋅(y+1)− (x+1)⋅(y+2)= 0,04⋅(y+ 1)⋅(y+ 2)

y− x= 0,04(y+1)(y +2)

Тогда:

0,05y(y+ 1)= 0,04(y+ 1)(y+ 2)

0,05y = 0,04(y+ 2)

5y = 4(y+ 2)

y = 8

Из условия:

y− x= 0,05y(y +1)

Получим:

8− x= 0,05⋅8⋅9

x= 8− 3,6

x= 4,4

Если тот же вкладчик добавит ещё $k$ млн рублей, то его доля составит $x+2+k y+2+k$ . При найденных значениях $x$ и $y$ решим относительно $k$ уравнение, составленное из условия задачи:

4,4+2-+k − 4,4+-2= 0,06 8+ 2+ k 8+ 2

64 +10k− 6,4(10+ k)= 0,6(10+ k)

64+10k= 70+ 7k

3k= 6

k= 2

Таким образом, для того, чтобы достичь требуемого, вкладчик должен добавить 2 млн рублей.

Ответ: 2 млн р.

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 412#47063Максимум баллов за задание: 7

На сколько одно из двух положительных чисел больше другого, если их среднее арифметическое равно $2√3-$ , а среднее геометрическое равно $√- 3$ ?

Источники: Ломоносов-2009, 11.1

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Составляем уравнения для чисел a и b в соответствии с условием. (a+b)/2 = 2 √3 и √(ab) = √3.

Подсказка 2!

Остается найти числа, зная их сумму и произведение! Например, по известной теореме о корнях многочленов!

Показать ответ и решение

Пусть эти числа $a,b$ , тогда из условия

{ a+b= 2√3 √2ab= √3

{ a+ b=4√3- 2 √- √ - ab=3 ⇐⇒ a,b — корни t − 4 3t+3 =0 ⇐ ⇒ a,b= 2 3± 3

Оба числа действительно положительны и разница между ними равна $6$ .

Ответ:

$6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 413#77820Максимум баллов за задание: 7

В свежих грибах содержание воды колеблется от $80%$ до $99%$ , а в сушёных — от $20%$ до $40%$ . В какое наибольшее число раз при этих ограничениях может уменьшиться вес грибов в результате сушки?

Источники: Ломоносов - 2009, 11 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Процент содержания воды - это процент веса воды в этом грибе) Давайте обозначим за x вес сухой части гриба. Как можно выразить вес гриба до и после сушки?

Подсказка 2

Если у нас есть какой-то процент содержания воды, например k%, то значит, что сухая часть - это (100-k)% от веса гриба. Найдите из этого вес гриба до/после сушки и максимум отношения весов до и после сушки)

Показать ответ и решение

Пусть $x$ — вес сухой части грибов, $a%$ — содержание воды в свежих грибах, $b%$ — в сушёных.

Тогда вес грибов в обоих состояниях будет равен соответственно

x x 100⋅100− a-и 100⋅100−-b

Значит, вес грибов уменьшился на

-x-- -100x−a= 100−-b 100−b 100− a

Чтобы максимум этого значения, нужно взять наибольшее значение $a$ и наименьшее $b.$ В итоге получается

100−-20- 100− 99 = 80

Ответ: 80

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 414#91917Максимум баллов за задание: 7

Лиса преследовала кролика по прямолинейной дорожке, ведущей к норе кролика. Их скорости были постоянны. В некоторый момент расстояние от кролика до норы было равно $7$ м, а до лисы – $13$ м. В некоторый следующий момент расстояние между кроликом и норой стало вдвое меньше расстояния между ним и лисой. Успела ли лиса догнать кролика, прежде чем тот юркнул в нору?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В подобных задачах бывает очень полезно ввести обозначения. x — скорость кролика, y — скорость лисы. Пусть время между моментами равно t. Какое уравнение тогда можно составить?

Подсказка 2

По условию, (20-yt)/(7-xt) = 3. Осталось преобразовать, воспользоваться натуральностью чисел и получить ответ. Успехов!

Показать ответ и решение

Пусть $x$ — скорость кролика, $y$ — скорость лисы. Пусть через время $t$ после первого момента настал второй момент. Получаем уравнение $20−yt 7−xt = 3$ , откуда $3xt= yt+ 1$ , то есть $3x > y$ , поэтому лиса не догонит кролика.

Ответ: нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 415#94423Максимум баллов за задание: 7

Среди чисел $a,b,c$ есть два одинаковых. А оставшееся число — другое. Составьте такое арифметическое выражение из букв $a,b,c,$ знаков $+,$ $−,×,:$ и скобок, чтобы в результате вычислений получилось это число. (Скобки, знаки и буквы можно использовать любое количество раз.)

Подсказки к задаче

Подсказка

В этой задаче надо просто поиграться с выражениями. Пусть b=c. Попробуйте рассуждать от обратного. Рассмотрите a и попробуйте превратить его в дробь, например, умножив и поделив на что-то. Помните, что любое выражение можно усложнить, добавив что-то, умноженное на b - c.

Показать доказательство

Например, подойдёт такой вариант ( $b= c):$

a(a− b)(a-− c)+-b(b−-a)(b− c)+-c(c−-a)(c− b) (a− b)(a− c)+ (b − a)(b− c)+(c− a)(c− b)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 416#67155Максимум баллов за задание: 7

В семье $4$ человека. Если Маше удвоят стипендию, общий доход всей семьи возрастет на $5%,$ если вместо этого маме удвоят зарплату — на $15%,$ если же зарплату удвоят папе — на $25%.$ На сколько процентов возрастет доход всей семьи, если дедушке удвоят пенсию?

Источники: ММО-2003, 8.1 и отборочный этап Всесибирской олимпиады - 2016, 8 класс

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумаем, откуда же взялись 5%, на которые увеличился доход семьи?) Что в его составе?

Подсказка 2

После того, как к общему доходу добавили 1 зарплату Маши, общий доход увеличился на 5%) Значит, заплата Маши это...?)

Подсказка 3

5% от общего дохода! Аналогично с мамой и папой, тогда несложно посчитать пенсию дедушки)

Показать ответ и решение

При удвоении стипендии Маши общий доход всей семьи увеличивается ровно на величину этой стипендии, значит, она составляет $5%$ от общего дохода. Аналогично, зарплаты мамы и папы составляют $15%$ и $25%.$ Значит, пенсия дедушки составляет $100 − 5− 15− 25 =55$ процентов. Если её удвоят, то доход семьи возрастёт на $55%.$

Ответ:

$55%$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 417#38875Максимум баллов за задание: 7

Имеется $19$ гирек весом $1$ , $2$ , …, $19$ грамм, из которых девять бронзовых, девять серебряных и одна золотая. Известно, что общий вес бронзовых гирек на $90$ грамм меньше, чем общий вес серебряных гирек. Найдите вес золотой гирьки.

Источники: Турнир городов - 1999, осенний тур, базовый вариант, 11.1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Слишком мало данных для составления уравнений, не так ли? Надо искать другой путь...

Подсказка 2

Попробуем обозначить вес всех серебряных за х, тогда вес бронзовых = х-90, а еще одна золотая весом y. Их сумма = 190, отсюда следует лишь только четность веса золотой гирьки...

Подсказка 3

А если рассмотреть частичные суммы гирек? Это разумно, так как серебряные весят много больше бронзовых!

Подсказка 4

Идея минимальной суммы! Маленько поработай ручками и головой, и из нее однозначно следует вес золотой гирьки!

Показать ответ и решение

Девять самых легких гирек имеют массу $1+ 2+ ...+ 9= 9⋅10∕2= 45$ грамм, а девять самых тяжелых — $19+ 18+...+11= 30⋅4+ 15 =135$ грамм. Разность между весами этих двух наборов наибольшая из возможных и равна $135− 45= 90$ граммов. Это означает, что бронзовые гирьки самые лёгкие, а серебряные — самые тяжелые. Но тогда золотая гирька может весить только $10$ граммов.

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 418#53499Максимум баллов за задание: 7

Дамблдор и Лорд Волдеморт выпустили одновременно друг в друга по заклинанию, находясь на расстоянии $1526$ метров. Заклинание Дамблдора, Экспеллиармус, летит со скорость $16$ метров в секунду, а заклинание Волдеморта, Авада Кедавра, летит со скоростью $11$ метров в секунду. В итоге заклинания попали друг в друга. На каком расстоянии заклинания были за секунду до встречи?

Показать ответ и решение

За последнюю секунду Экспеллиармус пролетит $16$ метров, а Авада Кедавра — $11$ метров. В сумме получается $16+ 11= 27$ метров, и именно таким было расстояние за секунду до встречи.

Замечание. Разумеется, ответ в данной задаче не зависит от расстояния, на котором находились друг от друга два волшебника.

Ответ: 27

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 419#53501Максимум баллов за задание: 7

Гарри Поттер летит из Литл-Уингинга в Лондон с постоянной скоростью и по пути считает дорожные столбы, расположенные на равном расстоянии друг от друга. От первого столба до четвертого Гарри летел $40$ секунд. За какое время Гарри пролетит от $21$ -го столба до $36$ -го?

Показать ответ и решение

Докажем, что количество промежутков между столбами равно разнице их номеров. В самом деле, рассмотрим произвольный столбец. Между ним и первым столбом промежутков столько, каков номер этого столба. Поэтому если мы рассматриваем столбы с номерами $n$ и $k$ , где $n >k$ , то между столбами $1$ и $n$ промежутков $n − 1$ , а между столбами $1$ и $k$ промежутков $k− 1$ . Когда мы считаем промежутки между столбами $n$ и $k$ , мы из $n − 1$ промежутка от $1$ столба до столба номер $n$ должны вычесть лишние промежутки от $1$ столба до $k$ , то есть $k− 1$ промежуток. Итого получаем $n− 1− (k − 1)= n− k$ промежутков.

Поэтому по условию $4 − 1 =3$ промежутка Гарри пролетает за $40$ секунд. Между $21$ и $36$ столбами $36− 21=15$ промежутков, и Гарри будет лететь между ними в $15:3= 5$ раз дольше, то есть $40⋅5 =200$ секунд, или $3$ минуты и $20$ секунд.

Ответ: 200 секунд

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 420#53503Максимум баллов за задание: 7

Поезд с вокзала Кингс-Кросс до Хогсмида идет $9$ часов с постоянной скоростью и нигде не останавливается. Когда Невилл проехал треть пути, он лег спать и проснулся только тогда, когда осталось ехать половину того пути, который он проспал. Сколько всего часов спал в поезде Невилл?

Показать ответ и решение

Поезд проехал треть пути за $9:3 =3$ часа. Значит, ему оставалось ехать еще $9− 3 =6$ часов. В этот момент Невилл лег спать. По условию, спал Невилл до тех пор, когда ему осталось проехать половину пути, который он проспал. Значит, весь оставшийся путь можно поделить на три равные части: две из них он проспал, а еще одну ехал уже проснувшимся. Длительность одной части составляет $6:3= 2$ часа, а спал Невилл две такие части, значит, он спал $2 ⋅2 =4$ часа.

Ответ: 4

Следующая подтема