Тема АЛГЕБРА

Алгебраические текстовые задачи → .02 Составление уравнений

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Алгебраические текстовые задачи

Различные подсчеты без составления уравнения

Составление уравнений

Задачи на проценты

Задачи на дроби

Задачи на работу

Задачи на движение: алгебраический подход

Среднее арифметическое в текстовых задачах

Среднее геометрическое и гармоническое в текстовых задачах

Задачи с неравенствами

Конструктивы в алгебре

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#35445Максимум баллов за задание: 7

Род Муромцевых (ныне, увы, прекратившийся) основали трое сыновей Ильи Муромца. Все мужчины в этом роду имели по трое детей, за исключением семерых, не оставивших потомства. Всего в роду были 1994 женщины. Сколько всего человек было в роду Муромцевых? (Роду принадлежали основатели, а также те и только те дети, чей отец принадлежал роду).

Показать ответ и решение

Пусть в роду было $k$ мужчин. Посчитаем число людей в роду двумя способами. С одной стороны, они делятся на мужчин и женщин, то есть их $k+ 1994$ . С другой стороны, они делятся на сыновей Ильи Муромца и на детей мужчин рода. Отцов в роду было $k− 7$ , поэтому детей $3(k − 7)$ , то есть всего $3+3(k− 7)$ . Приравнивая, получим уравнение $3+ 3(k− 7)= k+1994$ , откуда $k =1006$ . А всего в роду $1006+1994= 3000$ человек.

Ответ: 3000

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#35446Максимум баллов за задание: 7

В таблицу $3 ×3$ записаны числа. Сумма трех чисел в каждой строке, в каждом столбце и на каждой диагонали равна 111. Найдите число в центральной клетке таблицы.

Показать ответ и решение

Заметим, что сумма всех девяти чисел в таблице равна 333. С другой стороны, если рассмотреть сумму чисел по двум диагоналям и по средним строке и столбцу, то получится сумма всех чисел в таблице и еще утроенное число в центральной клетке. Вся эта сумма равна 444. Тогда утроенное число в центральной клетке равно 111, то есть центральное число равно 37.

Ответ: 37

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#38670Максимум баллов за задание: 7

Во время математического диктанта учительница сказала поделить данное число на $3$ и прибавить $4$ , но Маша, переволновавшись, умножила данное число на $3$ и вычла $4$ . К счастью для нее, результат получился верный. Какое число было дано учительницей?

Показать ответ и решение

Если дано число $x$ , можно составить следующее уравнение: $x :3+4 =x ⋅3− 4$ . Отсюда $8 = 8x- 3$ . Значит, $x= 3$ .

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 44#38882Максимум баллов за задание: 7

В ряд выписано $23$ натуральных числа так, что сумма любых трех подряд идущих чисел равна $15$ . При этом сумма всех чисел равна $115$ . Найдите число посередине.

Показать ответ и решение

Посмотрим на два соседних числа. Так как их сумма с левым равна их сумме с правым (по условию равна $15$ ), то числа слева и справа равны. Значит, последовательность имеет вид $x$ , $y$ , $z$ , $x$ , $y$ , $z$ , $...$ , $x$ , $y$ . Полных троек среди $23$ чисел будет $7$ штук, значит, их сумма равна $7 ⋅15 =105$ . Тогда сумма последних двух чисел $x+ y$ равна $115− 105= 10$ . Тогда, так как $x +y+ z = 15$ , имеем $z = 15 − 10= 5$ . Осталось заметить, что посередине будет именно число $z$ , так как именно оно и идет 12-м.

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 45#39373Максимум баллов за задание: 7

Есть $10$ одинаковых куриных стрипсов. Маша ест в $2$ раза быстрее, чем Сабина, поэтому съела свои $5$ стрипсов на $1$ минуту раньше. За какое время съела свои стрипсы Сабина, если известно, что кушать они начали одновременно? Ответ дайте в минутах.

Показать ответ и решение

Если скорость Сабины $v$ , то скорость Маши — это $2v$ . Если время Сабины $t$ , то время Маши — это $t− 1$ . Но съели они поровну, поэтому $2v(t− 1) =vt$ . Раскрывая скобки, получим, что $vt=2v$ , откуда $t=2$ .

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 46#72041Максимум баллов за задание: 7

В коллекции Алика есть два типа предметов: значки и браслеты. Значков больше, чем браслетов. Алик заметил, что если он увеличит количество браслетов в некоторое (не обязательно целое) число раз, не изменив количества значков, то в его коллекции будет 100 предметов. А если, наоборот, он увеличит в это же число раз первоначальное количество значков, оставив прежним количество браслетов, то у него будет 101 предмет. Сколько значков и сколько браслетов могло быть в коллекции Алика?

Источники: ММО-2022, 11.1 (см. mmo.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

При решении подобных задач в первую очередь стоит попробовать составить систему уравнений. Так, пусть значков было х, брелков - y, и мы увеличиваем в n раз. При этом структура уравнений в полученной системе очень схожа - одни и те же переменные, справа числа, только коэффициенты меняются местами. Как лучше всего такие системы преобразовывать?

Подсказка 2

Кажется, удобно будет сложить эти уравнения и вычесть первое из второго (чтобы справа осталось положительное число), а потом сгруппировать по скобкам. Теперь у нас в обоих уравнениях справа числа, а слева две скобки - при том n есть только в одной из них. Дальше в ответе оно не используется, может, стоит как-нибудь избавиться от n? Но раскрывать скобки и выносить как-то неудобно, может, есть ещё способы?

Подсказка 3

Да, можем выразить а-1 и а+1, поделив выражения на них, а затем сложить - полученное выражение равно двойке. Теперь в уравнении только x, y и натуральные числа. так как x y тоже натуральные, будет удобно привести уравнение их к виду "произведение скобок = число" - тогда мы получим конечное число вариантов значений скобок. Остаётся только подставить эти значения и проверить, возможны ли они

Показать ответ и решение

Пусть у Алика $x$ значков и $y$ браслетов, а увеличение происходит в $n$ раз. Тогда получаем систему

{ x +ny =100 nx +y =101

Складывая эти уравнения и вычитая первое из второго, приводим систему к виду

{ (n +1)(x +y)= 201 (n − 1)(x − y)= 1

Исключая $n,$ получаем

-201-− --1- =2 x+ y x− y

Это уравнение преобразуем к виду

(201− 2u)(2v +1)= 201 =3 ⋅67,

где $u = x+y,v = x− y$ — натуральные числа.

Случай $201− 2u= 201,2v+ 1= 1$ противоречит условию, что значков больше, чем браслетов. Если же $201 − 2u= 1,$ $2v+ 1= 201,$ то $x =100,y =0,$ что невозможно, поскольку по условию в коллекции присутствуют предметы обоих типов. Поэтому возможны два случая:

1.: $2v+ 1= 3,201− 2u= 67,$ тогда $x= 34,y =33,n= 2$
2.: $2v+ 1= 67,201− 2u = 3,$ тогда $x= 66,y =33,n= 3343$

Ответ:

34 значка и 33 браслета или 66 значков и 33 браслета

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 47#72257Максимум баллов за задание: 7

$31$ декабря $2011$ года возраст Евгения Александровича совпадал с суммой цифр его года рождения. Сколько лет Евгению Александровичу было $31$ декабря $2014$ года? Докажите единственность ответа.

Источники: Муницип - 2022, Камчатский край, 7.5

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Условие говорит о том, что сумма цифр совпадает с возрастом. Посчитаем, а в каких диапазонах тогда лежит возраст Евгения Александровича, если сумму цифр года мы все-таки может ограничить?

Подсказка 2

Сумма цифр года может быть от 2 до 28, значит мы можем посчитать, в каком диапазоне родился Е.А. Годов много, перебирать не хочется...а что если посмотреть на то, что же меняется, когда мы меняем последнюю цифру года?

Подсказка 3

При изменении последней цифры возраст и сумма цифр изменяются "в разные стороны". Значит, в каждом десятилетии можно поставить уравнение на последнюю цифру и перебирать придется не так уж и много ;)

Показать ответ и решение

Максимум сумма цифр года рождения может равняться $1+ 9+ 9+9 =28,$ минимум — $2.$ Поэтому Е.А. родился самое раннее в $1983,$ а самое позднее — в $2009.$ Заметим, что если менять только последнюю цифру года рождения, то сумма цифр будет увеличиваться, а возраст — уменьшаться (и наоборот) на одну и ту же величину. Поэтому в каждом десятилетии не более одного подходящего года. Остаётся проверить возможные десятилетия. Если год рождения попадает на нулевые, получаем уравнение $2+ 0+ 0+ x= 11 − x.$ То есть $2x= 9,$ что не имеет решения в целых числах. Если год рождения попадает на восьмидесятые, то получаем уравнение $1 +9+ 8+ x= 31− x$ или $2x= 13,$ что тоже не имеет решения в целых числах. Наконец, для девяностых получаем уравнение $1+ 9+ 9+ x= 21− x.$ Решая его, получаем, единственный ответ: $x =1.$ Поэтому Е.А. родился в $1991$ году. Значит, в $2014$ году ему исполнилось $23$ года.

Ответ: 23

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 48#72373Максимум баллов за задание: 7

Денис поселил у себя хамелеонов, которые могут окрашиваться только в два цвета: красный и коричневый. Сначала красных хамелеонов у Дениса было в пять раз больше, чем коричневых. После того, как два коричневых хамелеона покраснели, количество красных хамелеонов стало в восемь раз больше, чем коричневых. Найдите, сколько хамелеонов у Дениса.

Источники: Муницип - 2022, Республика Башкортостан, 7.2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем обозначить количество коричневых через x, тогда у нас подучится записать количество красных хамелеонов. Теперь нужно записать уравнение по условию. Каким оно будет?

Показать ответ и решение

Пусть у Дениса изначально было $x$ коричневых хамелеонов. Тогда красных хамелеонов было $5x$ . Из условия задачи получаем уравнение $8(x− 2)= 5x+ 2$ . Откуда получаем $x =6$ . Всего хамелеонов $x+ 5x= 6x$ , то есть $36.$

Ответ: 36

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 49#76462Максимум баллов за задание: 7

Колхоз имени Лопе де Вега планирует построить на своих землях два одинаковых прямоугольных в плане розария и квадратный в плане свинарник. Сумма периметров розариев должна быть больше периметра свинарника на 16 м, а суммарная площадь розариев превышать площадь свинарника на 16 кв. м. Если такой план может быть реализован, то найдите длины сторон всех строений. Если план нереален, то объясните почему.

Источники: Надежда энергетики-2022, 11.3 (см. www.energy-hope.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте для начала попробуем записать условие в виде системы уравнений. Какие для этого следует ввести переменные? Что связывает значения периметра и площади?

Подсказка 2

Конечно, обозначим через х и у стороны прямоугольников и через а сторону квадрата. Теперь можем составить уравнения из условий про периметры и площади. Выразим х из уравнения х+у-а=4 и подставим во второе, мы получили квадратное уравнение относительно у. Вспомните, что в условии сказано либо найти все переменные, либо доказать, что таких не бывает. Как можно проверить существование решений?

Подсказка 3

Конечно, дискриминант должен быть неотрицательным. Остаётся только найти подходящие значения а и решить систему для таких значений

Показать ответ и решение

Обозначим стороны прямоугольников через $x$ и $y,$ сторону квадрата через $a$ и составим систему уравнений

{ 2(2x+ 2y)− 4a= 16 { x+ y− a= 4 2xy − a2 = 16 ⇔ 2xy− a2 = 16

Выразим из первого уравнения $x =4 +a− y$ и подставим во второе

2(4+a − y)y− a2 =16

−2y2+2(a+ 4)y− a2− 16

Это квадратное относительно $y$ уравнение. Оно имеет решение, если его дискриминант неотрицателен. Дискриминант (без учета множителя 2) равен

(a+ 4)2 − 2a2− 32 =a2+ 8a+ 16 − 2a2− 32=− (a − 4)2

Отсюда сразу получаем, что $a =4$ и для поиска сторон прямоугольника систему

{ x+ y = 8 2xy =32

имеющую единственное решение $x =y =4.$

Ответ:

Все помещения — квадраты со стороной 4 ед. длины.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 50#88886Максимум баллов за задание: 7

Гонорар за книгу был распределён между тремя соавторами в отношении $8:6:5.$ Если бы этот же гонорар был распределён в отношении $7 :5 :4,$ то один из соавторов получил бы на $250$ руб. больше. Чему равна сумма гонорара?

Показать ответ и решение

Сравним доли, которые получили авторы в первом и во втором дележе. Второй автор получил $5∕16$ в первом случае и $6∕19$ во втором. Так как $5∕16< 6∕19,$ то увеличиться он не мог. Аналогично для третьего автора, так как $4∕16< 5∕19,$ то и его гонорар не мог стать больше. Получается, что во втором случае больший гонорар мог получить только первый соавтор. Пусть $x$ — сумма гонорара, тогда по условию $(7∕16− 8∕19)x= 250,$ откуда $x= 15200.$

Ответ:

$15200$ руб

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 51#92021Максимум баллов за задание: 7

Тридцать школьников – семиклассников и восьмиклассников – обменялись рукопожатиями. При этом оказалось, что каждый семиклассник пожал руку восьми восьмиклассникам, а каждый восьмиклассник пожал руку семи семиклассникам. Сколько было семиклассников и сколько восьмиклассников?

Показать ответ и решение

Пусть $x$ – число семиклассников, $y$ – число восьмиклассников; тогда $x+ y = 30.$ Второе уравнение мы получим, если подсчитаем двумя способами общее количество рукопожатий. С одной стороны, число рукопожатий равно $8x$ , поскольку от каждого семиклассника «исходит» 8 рукопожатий. С другой стороны, число рукопожатий равно $7y$ , так как от каждого восьмиклассника «исходит» 7 рукопожатий. Следовательно, $8x= 7y.$ Решая полученную систему уравнений, находим: $x =14,y = 16$ .

Ответ: 14 семиклассников и 16 восьмиклассников

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 52#92028Максимум баллов за задание: 7

В комнате стоят трехногие табуретки и четырехногие стулья. Когда на все эти сидячие места уселись люди, в комнате оказалось 39 ног. Сколько в комнате табуреток?

Показать ответ и решение

Пусть табуреток $a$ , а стульев $b$ . Тогда всего ног $3a+4b+ 2(a +b)= 5a+6b= 39$ . Посмотрим на это по модулю 6. Тогда $5a≡ −a ≡3 (mod 6)$ . Значит $a= 6k − 3$ . Если $a =3$ , то $b= 4$ . Если $a≥ 9$ , то $45≤ 5a+ 6b= 39$ ?!

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 53#97947Максимум баллов за задание: 7

В районе три посёлка А, Б и В связаны просёлочными дорогами, при этом любые два посёлка связывают несколько (больше одной) дорог. Движение на дорогах двустороннее. Назовём путем из одного поселка в другой либо связывающую их дорогу, либо цепочку из двух дорог, проходящую через третий поселок. Известно, что посёлки А и Б связывают 34 пути, посёлки Б и В - 29 путей. Какое наименьшее число путей может связывать посёлки А и В?

Источники: ВСОШ - 2022, школьный этап, 10 класс

Показать ответ и решение

Пусть между городами А и Б проходит $k$ дорог, между городами Б и В — $m$ дорог, между городами А и В — $n$ дорог. Тогда количество путей из А в Б равно $k+ mn$ , а количество путей из Б в В равно $m+ kn$ .

Мы получили систему уравнений $k+ mn =34,m+ kn= 29$ , в которой неизвестные натуральные числа, большие 1. Вычитая из первого уравнения второе, получаем: $(m − k)(n− 1)=5$ . Нам осталось перебрать все делители 5: 1 и 5. Значит, $n= 2$ или $n =6$ .

Для каждого $n$ мы находим $k$ и $m$ , решая исходную систему линейных уравнений. Если $n= 2$ , то $k= 8$ и $m =13$ . Если $n =6$ , то $k =4$ и $m = 5$ .

Количество путей, связывающих города А и В, равно $n +km$ . В первом случае $n+ km = 2+ 8⋅13= 106$ , а во втором — $n +km = 6+4 ⋅5 =26$ . Значит, искомый ответ равен 26.

Ответ: 26

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 54#42213Максимум баллов за задание: 7

На четырёх карточках написали четыре числа, сумма которых равна 360. Можно выбрать три карточки, на которых написаны одинаковые числа. Есть две карточки, на одной из которых написано число в три раза больше другого. Какие числа могут быть написаны на карточках?

Источники: Муниципальный этап, 7 класс

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В условии сказано, что есть два числа, для которых одно больше другого в 3 раза. Если мы меньшее обозначим за x, то больше можно обозначить за 3x. Как тогда можно записать уравнение, подходящее под условие?

Подсказка 2

Так же нам сказали, что есть три одинаковых числа, но мы не знаем это три числа по x или три числа по 3x. Значит, нам нужно рассмотреть оба случая. Запишите уравнение под каждый случай и решите их.

Показать ответ и решение

Пусть меньшее из четырёх чисел равно $x$ . Тогда большее равно $3x$ . Равными могут быть три больших или три меньших, откуда получаем два уравнения: $3x+ 3x+3x+ x= 360$ и $x+ x+x +3x =360.$ Из первого находим $x =36$ , и на карточках написаны числа $36,108,108,108.$ Из второго находим $x= 60$ , и на карточках написаны числа $60,60,60,180$ .

Ответ:

$36,108,108,108$ или $60,60,60,180.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 55#66354Максимум баллов за задание: 7

Какие линейные размеры может иметь прямоугольный параллелепипед, если его объем равен $200см3,$ площадь полной поверхности равна $2 300см ,$ а периметр основания равен $50см$ ?

Источники: Миссия выполнима - 2021, 11.2 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Прямоугольный параллелепипед задаётся своими сторонами, так давайте обозначим их переменными x, y, z.

Подсказка 2

Мы получили систему из трёх уравнений с тремя неизвестными, её можно решить методом подстановки.

Показать ответ и решение

Пусть его стороны $a,b,c,$ тогда получаем систему

(| abc= 200 { 2(ab+bc+ ac) =300 |( 2(a+ b) =50

{ b =25− a c = 150−ab= 150−ab a+b 25

150−-200c- 8 c= 25 = 6− c

2 c − 6c+ 8= 0

c= 2 или c =4

Получили два случая.

В первом $c= 2,$ откуда $ab= 100,a +b= 25 ⇐⇒ a= 5,b= 20$ (второй вариант не будем включать из-за симметрии обозначений).

Во втором $c= 4$ и $25−5√17- 25+5√17 ab =50,a+b =25 ⇐⇒ a= ---2--,b= --2---.$

Ответ:

$2$ см $× 5$ см $× 20$ см (с точностью до порядка следования)

или

$4$ см $25−5√17 × 2$ см $25+5√17 × 2$ см (с точностью до порядка следования)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 56#96825Максимум баллов за задание: 7

При оптимизации штатного расписания в учреждении было сокращено $13$ вакансий, в результате чего их доля в расписании снизилась на $13$ процентных пунктов. Зная, что вакансии в этом учреждении еще остались, определите их количество.

Источники: Миссия выполнима - 2021, 11.1 (см. www.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте обозначим за m количество оставшихся вакансий, а за n — количество работников. Как тогда записать условие на долю?

Подсказка 2

(m+13)/(m+n+130)- m/(m+n) = 0.13. Попробуем преобразать в произведение двух скобок! Нам повезло, что скобки целые — тогда мы решаем уравнение в натуральных числах!

Подсказка 3

(m+n)(m+n+13) = 100n. Какие выводы можно сделать о каждой скобке, на что они должны делиться?

Подсказка 4

Одна из них кратна 25, а другая — 4! Тогда несложно перебрать их значения ;)

Показать ответ и решение

Пусть в учреждении было $m + 13,$ а осталось $m >0$ вакансий. Тогда, если $n$ — число работающих, то

-m-+13-- -m--- 13- m+ n+ 13 − m +n = 100

(m + n)(m +n +13)= 100 ⋅n

Отсюда ясно, что ( $m + n$ ) и ( $m + n+ 13$ ) — натуральные числа, меньшие $100.$ Причём одно из них кратно $25,$ а другое $4.$ Перебором устанавливаем, что $m + n= 12$ либо $m +n = 75.$ В первом случае $12⋅(12+13) n = 100 = 3,$ а во втором: $75⋅(75+13) n = --100---= 66.$

Число оставшихся вакансий $m$ в обоих случаях равно $9.$

Ответ:

$9$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 57#98071Максимум баллов за задание: 7

Море включает в себя залив с более соленой водой. Солёность воды в море $120$ промилле, в заливе $240$ промилле, в части моря, не включающей залив — $110$ промилле. Во сколько раз объём воды в море больше объёма воды в заливе? Объём воды считается, включая объём соли. Промилле — тысячная часть числа; солёность определяется как отношение объема соли к общему объему смеси.

Показать ответ и решение

Пусть в заливе объём соли $s, 1$ а объём воды $v; 1$ в части моря, не включающей залив, объём соли $s , 2$ а весь её объём $v. 2$ Имеем уравнения

s1 240 s2 110 s1+ s2 120 v1 = 1000; v2 = 1000; v1+-v2 = 1000

Таким образом, $120 (v1+ v2)= 1000(s1+ s2)= 240v1+ 110v2,$ откуда $120v1 = 10v2,12v1 =v2.$ Нам требуется найти отношение $(v1+ v2)∕v1.$ Оно равно 13.

Ответ: 13

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 58#35444Максимум баллов за задание: 7

$50$ бизнесменов — японцы, корейцы и китайцы — сидят за круглым столом. Известно, что между каждыми двумя ближайшими японцами сидит ровно столько китайцев, сколько всего за столом корейцев. Сколько китайцев может быть за столом?

Источники: Муницип - 2020, Саратов, 10.2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте заметим, что между каждыми двумя ближайшими японцами сидит одно и то же количество китайцев (равное количеству корейцев).

Подсказка 2

Значит, можно ввести переменные для количества японцев и корейцев, и тогда количество китайцев будет через них легко выражаться. Чему оно равно?

Подсказка 3

Количество китайцев — произведение количества японцев и корейцев. А дальше просто получаем уравнение в целых числах, которое решается с помощью...

Подсказка 4

Разложения на множители вида (x+1)(y+1).

Показать ответ и решение

Обозначим число японцев через $x,$ число корейцев — через $y.$ Тогда число китайцев за столом равно $xy$ (между каждыми двумя соседними японцами сидит ровно $y$ китайцев). Тогда $x +y+ xy = 50,$ или же $(x+ 1)(y+ 1)=51= 3⋅17.$ Тогда либо $x= 2,y =16,$ либо $x =16,y = 2.$ В любом случае китайцев ровно $32$ человека.

Замечание.

По смыслу условия предполагается, что бизнесменов каждой нации за столом больше одного.

Ответ:

$32$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 59#42214Максимум баллов за задание: 7

Саша, Андрей и Оля выбрали по натуральному числу. Саша умножил своё число на число Оли, а также своё число на число Андрея; эти два произведения отличались друг от друга на 1. Андрей умножил своё число на Сашино и своё на Олино; эти произведения отличались на 25. Наконец, Оля умножила своё число на Сашино и своё на число Андрея. На сколько отличались произведения у Оли? Укажите все ответы и обоснуйте, что других нет.

Источники: Муницип - 2020, Санкт-Петербург, 7.2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Два Сашиных произведения отличаются на 1, тогда каким должно быть число Саши, если по условию все числа натуральные?

Подсказка 2

Мы можем вынести число Саши как общий множитель из разности произведений и тогда получим, что произведение двух натуральных чисел равно 1. Значит, каждое число в произведении равно 1. Значит, число Саши равно 1.

Подсказка 3

Теперь мы можем подставить Сашино число в условие для произведений Андрея. Если число Андрея это x, а число Оли это y, тогда условие можно будет записать как x(y-1)=25. Тогда какие значения принимают числа x и y, если мы знаем, что они натуральные и их разность равна 1 из первого условия?

Показать ответ и решение

Пусть числа Саши, Андрея и Оли равны $a,b,c$ соответственно. Тогда по условию $a⋅|b− c|= 1$ , $b⋅|a− c|=25.$ Из первого равенства а $=1$ , и тогда из второго b $(c− 1)= 25.$ Значит, либо $b=1,c= 26($ что противоречит первому равенству, либо $b= 25,c= 2$ (аналогично), либо, наконец, $b=5,c= 6.$ Поэтому у Оли получится $c⋅|a− b|=6⋅4= 24$ .

Ответ: 24

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 60#105074Максимум баллов за задание: 7

Газопровод разбит на несколько участков. На каждом участке работает одинаковое число работников. Известно, что число работников находящихся на одном участке, превышает число участков на $12.$ Когда $15$ человек пришли на первый участок, а с остальных участков ушло по $15$ человек, число работников на первом участке стало равным числу работников, оставшихся на всех остальных участках. Определить число участков газопровода.

Источники: Газпром - 2020, 11.5 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перед нами текстовая задача, а условие прямо намекает на составление уравнения) Но для этого нам нужно ввести переменные! Обозначим за n число участков, а за k — число работников, работающих первоначально на каждом участке. Как тогда записать условие с помощью уравнения?

Подсказка 2

k - n = 12, k + 15 = (n-1)(k+15). Как можно решить такую систему?

Подсказка 3

Выразим n через k и подставим!

Показать ответ и решение

Обозначим за $n$ число участков, а за $k$ — число работников, работающих первоначально на каждом участке. Исходя из условий задачи, получим систему: