Алгебраические текстовые задачи → .01 Различные подсчеты без составления уравнения

Всего пар человек в кружке . За 360 дней в кафе побывало пар (так как каждый день прибавляется по три пары). Так как все пары побывали одинаковое количество раз, это количество равно .

За воскресеньем идёт понедельник. Если в каком-то месяце воскресений оказалось больше, чем понедельников, то последний день месяца — воскресенье. Итак, марта г. — воскресенье. Воскресенье выпадает также на апреля и мая, а июня будет суббота.

a) Нужные куски всегда можно получить, например, так. Выберем из образовавшихся частей ту, которая не короче другой (и, значит, не короче метров), вырезаем из неё -метровый кусок. У нас останется две части, сумма длин которых равна м. По крайней мере одна из этих частей будет не короче вырезаем -метровый кусок и так далее. Оставаться будут пары частей с суммами длин м, м и м, а вырезаться куски длиной м, м и м соответственно.

б) Если провод длиной метров разрезали, например, на части с длинами м и м, то получить требуемые куски нельзя. В самом деле, из куска 0,995 м невозможно вырезать ни одного требуемого куска, а из куска м это сделать не получится, поскольку сумма длин больше

Первое решение.

Если мальчик отъедет от остановки не более чем на м, то он успеет вернуться к приезду автобуса, который за это время проедет до остановки не более м. Если мальчик отъедет от остановки на расстояние, большее м, то вернуться на неё до приезда автобуса он уже не успеет, значит, чтобы не упустить автобус, он должен продолжить движение до следующей остановки.

Если мальчик заметит автобус, когда до второй остановки останется не более км, то он сможет продолжить движение и оказаться на остановке не позднее автобуса, который за это время проедет не более км. Таким образом, наибольшее расстоянии между остановками, при котором мальчик гарантированно не упустит автобус, равно км.

Второе решение.

Если мальчик с того момента, как он заметил автобус, проехал расстояние то автобус проехал расстояние Предположим, что мальчик поехал навстречу автобусу и приехал на остановку одновременно с автобусом, тогда

Cледовательно, мальчик проехал км до остановки, поэтому если расстояние до этой остановки будет больше км, то мальчик на неё не успеет.

Если он продолжил ехать в том же направлении, что ехал изначально, и приехал на остановку одновременно с автобусом, то

Cледовательно, мальчик проехал км, поэтому если расстояние до этой остановки будет больше км, то мальчик на неё не успеет. Таким образом расстояние между остановками не должно превышать км.

Будем класть одни сундуки внутрь других по очереди. Изначально у нас было пустых сундуков. За одну операцию добавления средних или маленьких сундуков внутрь другого, количество пустых сундуков увелчивается на штук. А значит, мы сделали операций добавления сундуков и в итоге их стало .

Пусть в классе человек, которые ниже Димы. Тогда выше него человек и ещё сам Дима, то есть всего в классе . Пусть в классе человек, которые выше Лёни. Тогда ниже него человек и ещё сам Лёня, то есть всего в классе . Получается, что количество детей в классе без одного человека делится на и на , то есть на . Такое число в нужном диапазоне есть только одно — . Тогда всего детей в классе .

Способ 1. На половину свитера идёт столько же шерсти, сколько и на 2 шапочки, значит на свитер уходит столько же шерсти, как и на 4 шапочки. Тогда 4 шапочки и три носка требуют столько же шерсти, как и 5 шапочек. Поэтому одна шапочка равносильна трём носкам. Всего можно связать шапочек или 21 носков.

Способ 2. Пусть на носок, шапочку и свитер уходит соответственно и шерсти (не важно, в каких единицах взяты неизвестные). Тогда шерсти у бабушки в первом клубке и во втором. Требуется выразить сумму через Выразим из второго уравнения и подставим результат в первое: , откуда Тогда , то есть из всей шерсти можно связать 21 носков.

Заметим, что максимум доставали 30 красных, 20 синих и 50 зелёных шариков. Поскольку 30+20+50=100, в коробке изначально было как раз 30 красных, 20 синих и 50 зелёных шаров. Если потерянный шарик был синим или зелёным, значит, до его потери шариков соответствующего цвета было бы на 1 больше, что невозможно. Значит, потерян красный.

Заметим, что раз у четверти кукол по четыре косички, то всего ленточек на них потрачено столько же, сколько всего кукол. У половины кукол по одной косичке, то есть на них ушло ленточек в два раза меньше, чем всего кукол. А у четверти кукол по две косички, следовательно на них также ушло ленточек в два раза меньше, чем всего кукол. Получается, что ленточек в два раза больше, чем кукол. То есть у Маши всего 28 кукол.

Сумма ростов двух несредних братьев равна м. А сумма всех ростов равна метра. Значит рост среднего брата равен метра.

Во-первых, заметим, что выражение

всегда равно нулю. В дальнейшем мы можем использовать 0 , подразумевая, что вместо него должно быть записано именно это выражение.

Выражение

всегда равно Аналогично, теперь мы можем использовать операцию + с двумя аргументами.

Наконец, выражение

всегда равно Теперь легко выписать искомое выражение:

Способ 1. Каждый рыбак поймал карасей и щук вместе столько же, сколько всего щук поймано. Суммируя уловы всех рыбаков, получим, что общий улов всех рыбаков (в количестве рыб) равен общему количеству пойманных щук, умноженному на количество рыбаков. С другой стороны, карасей в 10 раз больше, чем щук, поэтому общей улов по числу рыб в 11 раз больше числа щук. Значит, всего рыбаков

Способ 2. Пусть всего рыбаков , и -й рыбак поймал щук и карасей . Тогда для всех . Просуммируем по все эти равенства, получим

Назовем велосипедистов и со скоростями и соответственно. и могут встречаться только в одной точке и в точке и в точке которые являются серединами сторон большого треугольника. Пусть и встретятся в точке Пусть после этого доедет до точки тогда за это же время доедет до точки В этот момент должен находиться в иначе он с первым никогда не встретится. Но тогда и никогда не встретятся, так как пока делает один круг, делает полтора круга.

Пусть сломанные часы будут идти в два раза медленнее. При этом количество искомых моментов за одни сутки станет в два раза меньше. Скорость часовой стрелки сломанных часов будет совпадать с часовой стрелкой обычных часов. Минутная же стрелка будет идти в четыре раза медленнее. Тогда искомые моменты это моменты, когда эти минутные стрелки совпадают. За сутки обычная минутная стрелка делает полных оборота, а сломанная — в четыре раза меньше, т. е. оборотов. За сутки обычная минутная стрелка сделает на оборотов больше, поэтому они будут совпадать раз. Тогда искомый ответ

Мама получила столько же цветочков, сколько принесли вместе Иван и Петр. Это значит, что Дмитрий подарил маме столько же цветочков, сколько Иван и Петр вместе подарили тете. Отсюда следует, что Иван подарил тете цветочков.

Всего в году или дней, что составляет полных недели и еще или дня. Так как за неделю Винни съедает кг меда, то за полных недели Винни съел килограмма меда. Значит, еще за один или два дня он должен съесть кг меда. Такое возможно, только если остался один день, в который Винни съел кг меда. Значит, этим «лишним» днем было воскресенье, и именно воскресеньем и закончился этот невисокосный год. Тогда первым днем нового года будет понедельник.

Добавляя по 3 бряки и мряки, мы увеличиваем разницу в стоимости между мряками и бряками на 21 рубль. Значит, одна мряка дороже одной бряки на 7 рублей. Тогда семь мряк дороже девяти бряк на рублей.

Сейчас Ульяне лет, тогда и ее сыновьям в сумме лет. лет назад им было в сумме лет. Число можно единственным способом представить в виде суммы трех натуральных слагаемых: Следовательно, сейчас ее сыновьям и лет.

Из условия следует, что до украшения торт весил от до граммов, а после украшения — от до граммов. Значит, суммарный вес свечей принимает значения от до граммов. Так как вес каждой свечи по отдельности показывается равным г, то одна свеча весит от до граммов.

Если внучке меньше лет, то суммарный вес свечей не больше граммов, а если внучке больше то суммарный вес свечей не меньше граммов. Ни те, ни другие значения не возможны, значит, внучке ровно года.

Каждый разрез в сумме периметров учтён дважды, а границы исходного прямоугольника — по разу. Поэтому сумма периметров пяти прямоугольников равна