Тема АЛГЕБРА

Алгебраические текстовые задачи → .03 Задачи на проценты

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Алгебраические текстовые задачи

Различные подсчеты без составления уравнения

Составление уравнений

Задачи на проценты

Задачи на дроби

Задачи на работу

Задачи на движение: алгебраический подход

Среднее арифметическое в текстовых задачах

Среднее геометрическое и гармоническое в текстовых задачах

Задачи с неравенствами

Конструктивы в алгебре

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#37481Максимум баллов за задание: 7

После вырубки нескольких деревьев в парке оказалось, что число оставшихся деревьев равно числу процентов, на которое число деревьев в парке уменьшилось за время вырубки. Какое наименьшее число деревьев могло остаться в парке?

Источники: ПВГ-2010, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) У нас есть несколько величин, которые друг с другом связаны, что-то такое было, может быть, нужно использовать уравнение? Обозначим процент вырубленных деревьев за х, а изначально пусть их было n. Тогда сколько осталось вырубленных деревьев?

Подсказка 2!

2) Так-так-так, уравнение нашли, осталось только решить - половина задачи сделана. Домножим уравнение на 100, чтобы было легче, а теперь посмотрим, 100х должно делиться на 100-х. Как бы использовать это, чтобы получить оценку на х...

Подсказка 3!

3) Верно! Нужно написать выражение, чтобы х сократился. Например, 100(100-х) делится на 100х. Тогда мы знаем, что еще делится на х. Попробуем вычислить отсюда минимальный х, а там и до n недалеко..

Показать ответ и решение

Пусть вырублено $x%$ деревьев, а изначально их было $n$ . Тогда осталось $n ⋅(1− -x-)= x 100$ деревьев, то есть $n⋅(100− x)= 100x$ . Левая часть делится на $100− x$ , значит, правая часть $100x$ делится на $100− x$ , следовательно, сумма правой части и $100$ левых частей, то есть $100⋅(100− x)+100x= 10000$ тоже делится на $100− x$ . Итак, $4 4 10000= 2 ⋅5$ кратно $100− x$ . Легко видеть, что минимальное $x >0$ равно $20$ , поскольку числа из множества ${81,...99}$ не представимы в виде $k m 2 5$ . Подставим его в уравнение $n ⋅80= 100⋅20 =⇒ n =25$ .

Ответ:

$20$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#77820Максимум баллов за задание: 7

В свежих грибах содержание воды колеблется от $80%$ до $99%$ , а в сушёных — от $20%$ до $40%$ . В какое наибольшее число раз при этих ограничениях может уменьшиться вес грибов в результате сушки?

Источники: Ломоносов - 2009, 11 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Процент содержания воды - это процент веса воды в этом грибе) Давайте обозначим за x вес сухой части гриба. Как можно выразить вес гриба до и после сушки?

Подсказка 2

Если у нас есть какой-то процент содержания воды, например k%, то значит, что сухая часть - это (100-k)% от веса гриба. Найдите из этого вес гриба до/после сушки и максимум отношения весов до и после сушки)

Показать ответ и решение

Пусть $x$ — вес сухой части грибов, $a%$ — содержание воды в свежих грибах, $b%$ — в сушёных.

Тогда вес грибов в обоих состояниях будет равен соответственно

x x 100⋅100− a-и 100⋅100−-b

Значит, вес грибов уменьшился на

-x-- -100x−a= 100−-b 100−b 100− a

Чтобы максимум этого значения, нужно взять наибольшее значение $a$ и наименьшее $b.$ В итоге получается

100−-20- 100− 99 = 80

Ответ: 80

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#67155Максимум баллов за задание: 7

В семье $4$ человека. Если Маше удвоят стипендию, общий доход всей семьи возрастет на $5%,$ если вместо этого маме удвоят зарплату — на $15%,$ если же зарплату удвоят папе — на $25%.$ На сколько процентов возрастет доход всей семьи, если дедушке удвоят пенсию?

Источники: ММО-2003, 8.1 и отборочный этап Всесибирской олимпиады - 2016, 8 класс

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумаем, откуда же взялись 5%, на которые увеличился доход семьи?) Что в его составе?

Подсказка 2

После того, как к общему доходу добавили 1 зарплату Маши, общий доход увеличился на 5%) Значит, заплата Маши это...?)

Подсказка 3

5% от общего дохода! Аналогично с мамой и папой, тогда несложно посчитать пенсию дедушки)

Показать ответ и решение

При удвоении стипендии Маши общий доход всей семьи увеличивается ровно на величину этой стипендии, значит, она составляет $5%$ от общего дохода. Аналогично, зарплаты мамы и папы составляют $15%$ и $25%.$ Значит, пенсия дедушки составляет $100 − 5− 15− 25 =55$ процентов. Если её удвоят, то доход семьи возрастёт на $55%.$

Ответ:

$55%$

Предыдущая подтема

Следующая подтема