Тема АЛГЕБРА

Алгебраические текстовые задачи → .06 Задачи на движение: алгебраический подход

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Алгебраические текстовые задачи

Различные подсчеты без составления уравнения

Составление уравнений

Задачи на проценты

Задачи на дроби

Задачи на работу

Задачи на движение: алгебраический подход

Среднее арифметическое в текстовых задачах

Среднее геометрическое и гармоническое в текстовых задачах

Задачи с неравенствами

Конструктивы в алгебре

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#39315Максимум баллов за задание: 7

У Маши в школе уроки заканчиваются в $13:00$ , мама встречает её на машине, и они едут домой. Однажды уроки закончились в $12:00$ , и Маша пошла домой пешком. По пути она встретила маму, которая, как обычно, поехала забирать дочь к $13:00$ в школу. И дальше Маша с мамой поехали домой на машине, причём приехали на $12$ минут раньше обычного. Во сколько Маша встретила маму на дороге? (Скорости Маши и мамы постоянны, время на посадку в машину не тратится.)

Ответ вносите в формате “ЧЧ:ММ”.

Источники: Школьный этап - 2020, Москва, 9.2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обозначим путь, который прошла Маша пешком за x и будем отталкиваться от этого. На сколько меньше в таком случае прошла мама, чем обычно?

Подсказка 2

На 2x! (почему?). А за какое время мама проезжала это расстояние?

Подсказка 3

За те самые 12 минут, которые сэкономили Маша и мама) Тогда мы знаем, за какое время она бы проехала расстояние, которое прошла Маша! Осталось осознать, что же мы на самом деле нашли)

Показать ответ и решение

Пусть Маша прошла пешком расстояние $l$ . Тогда мама и по дороге к школе, и по дороге обратно проехала на $l$ меньше, чем обычно. Значит, мама проезжает расстояние $2l$ за $12$ минут. Тогда расстояние $l$ она проезжает за $6$ минут. Отсюда следует, что мама встретила Машу за $6$ минут до того, как обычно приезжает в школу. Значит, их встреча произошла в $12:54$ .

Ответ: 12:54

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#42113Максимум баллов за задание: 7

Иван и Петр бегут в одном направлении по круговым дорожкам с общим центром, причем вначале они находятся на минимальном расстоянии друг от друга. Иван делает один полный круг каждые $20$ секунд, а Пётр делает один полный круг каждые $28$ секунд. Через какое наименьшее время они будут находиться на максимальном расстоянии друг от друга? В ответ внесите число секунд.

Источники: Муницип - 2020, Республика Башкортостан, 9.1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала подумайте, через какое время они снова будут на минимальном расстоянии друг от друга?

Подсказка 2

Через НОК(20, 28) = 140 секунд! За это время Иван пробежал 7 кругов, а Петр - 5. Теперь подумайте вот над чем: в каком случае между ними будет максимальное расстояние?

Подсказка 3

Когда один пробежал на половинку круга больше, чем второй! Когда они вернулись к изначальному положению с минимальным расстоянием друг от друга, Иван пробежал на 2 круга больше за 140 секунд. Тогда через какое время он пробежит на половину круга больше?)

Показать ответ и решение

Иван и Пётр будут на минимальном расстоянии друг от друга в стартовых точках через $НО К(20,28)=140$ сек. За это время Иван сделает $7$ кругов, а Петр — $5$ кругов относительно точки старта. Рассмотрим это движение в системе отсчёта, где Петр неподвижен, тогда Иван сделает $2$ круга. Следовательно, через $140:4 =35$ секунд Иван пробежит половину круга. В этот момент они впервые будут на максимальном расстоянии друг от друга.

Ответ: 35

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#77818Максимум баллов за задание: 7

Пункты $A$ и $B$ , находящиеся на кольцевой аллее, соединены прямолинейным отрезком шоссе длиной 4 км, являющимся диаметром кольцевой аллеи. Из пункта $A$ из дома по аллее вышел на прогулку пешеход. Через 1 час он обнаружил, что забыл ключи и попросил соседа-велосипедиста поскорее привезти их. Через какое минимальное время он может получить ключи, если скорость велосипедиста на шоссе равна 15 км/ч, на аллее – 20 км/ч, а скорость пешехода – 6 км/ч? Пешеход может идти навстречу велосипедисту.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала поймем, какие у нас в принципе есть возможности для велосипедиста: он может поехать в разные направления по окружности, либо просто по шоссе. Какой случай точно можно убрать?

Подсказка 2

Будем считать, что пешеход пошел против часовой стрелки. Тогда он прошел только 6км, что меньше чем длина дуги полуокружности! Значит, как минимум велосипедисту выгоднее поехать тоже против часовой стрелки, нежели по часовой. А дальше какие есть варианты?

Подсказка 3

Теперь либо пешеход идет навстречу велосипедисту по аллее, либо до пункта B, и велосипедист туда же. Посчитайте, когда это произойдет, и просто сравните числа)

Показать ответ и решение

Для определенности будем считать, что пешеход вышел на прогулку по кольцевой аллее против часовой стрелки. В пункте $A$ у велосипедиста есть три возможности:

1. Поехать по аллее против часовой стрелки

2. Поехать по шоссе

3. Поехать по аллее по часовой стрелке

За 1 час прогулки пешеход прошел 6 километров и не дошел до пункта $B$ $(2π− 6$ км $),$ поэтому третий вариант точно дольше первого и его можно исключить.

В первом случае двигаясь по аллее они должны будут преодолеть расстояние 6 км и в случае, если они будут двигаться навстречу друг другу, необходимое время равно $6 6+20$ ч.

Во втором случае при движении навстречу друг другу через $2π−6 -6--$ ч пешеход достигнет пункта $B,$ а велосипедист ещё будет ехать по шоссе $($ поскольку $415-> 2π−66).$ Тогда велосипедист всё время до встречи будет ехать по шоссе и скорость сближения пешехода и велосипедиста всё время будет составлять $15+ 6= 21$ км/ч. Значит, они встретятся через $2π2−12$ ч.

Сравним числа, полученные в 1 и 2 случаях:

3-> 0,23> 0,21> 2⋅3,15−-2 > 2π-− 2 13 21 21

Следовательно, ответ достигается во 2-м случае.

Ответ:

через $2π−-2 21$ часа

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 44#80501Максимум баллов за задание: 7

В бассейне, на соседних дорожках тренируются два пловца Петя и Костя. Петя проплывает дорожку 50 м за две минуты, Костя — за три. Вначале тренировки оба находились на линии старта у края дорожки, спустя 60 мин тренировка закончилась. Сколько раз за это время, включая начало, они находились на одинаковом расстоянии от линии старта?

Источники: Росатом - 2020, 11.1 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумаем, есть ли какая-то периодичность в их движениях за эти 60 минут? Быть может, через некоторое время ситуация повторится?

Подсказка 2

Будет ли момент времени, когда они оба вернутся к старту?

Подсказка 3

Именно, они вернутся на старт ровно через 12 минут! Тогда нужно внимательно разобрать, между какими минутами произойдут их встречи в первые 12 минут ;)

Показать ответ и решение

За 12 минут и Петя, и Костя возвращаются в начало дорожки. Заметим, что если они находятся на одинаковом расстоянии от линии старта, то именно в этот момент они меняются местами.

За один проплыв бассейна Петя встречается с Костей ровно один раз. Значит, за первые 12 минут они встретятся на старте, между 2 и 4 минутой, между 4 и 6 минутой, $...$ , между 8 и 10 минутой, а на 12 минуте вместе приплывут к старту. Значит, за 60 минут они $4⋅5$ раз встретятся в середине дорожке и 6 раз (но 0, 12, 24, 36, 48 и 60 минуте) на старте.

Ответ: 26

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 45#90896Максимум баллов за задание: 7

Велотрек имеет форму окружности. Из его диаметрально противоположных точек одновременно стартуют два велосипедиста, которые двигаются против часовой стрелки с постоянными скоростями. Сколько полных кругов проедет каждый велосипедист до того момента как они поравняются первый раз после старта, если отношение их скоростей равно $32 31$ .

Источники: ПВГ - 2020, 11.2 (pvg.mk.ru))

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте обозначим скорость более медленного за v, а длину за S. С какой скоростью они приближаются друг к другу?

Подсказка 2

Они приближаются друг к другу со скоростью 32v/21 - v. А каким расстояние между ними было изначально?

Подсказка 3

Изначально расстояние между ними было S/2, а должно стать нулём.

Показать ответ и решение

Пусть $S$ — длина круга, а $v$ — скорость более медленного. Тогда они встретятся через $-S2---= 31S- 3231v−v 2v$ времени. За это время медленный проедет 15 с половиной кругов, а быстрый 16.

Ответ: медленный проедет 15 с половиной кругов, а быстрый 16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 46#102483Максимум баллов за задание: 7

Автомобили Нива и Тойота едут по кольцевой трассе испытательного полигона, четверть которой проходит по грунтовой дороге, а оставшаяся часть — по асфальтовой. Скорость Нивы на грунтовой дороге равна 80 км/ч, а на асфальтовой — 90 км /ч. Скорость Тойоты на грунтовой дороге равна 40 км/ч, а на асфальтовой — 120 км/ч. Автомобили одновременно стартуют в начале грунтовой части трассы и сначала едут по этой грунтовой части. На каком по счёту круге один из автомобилей впервые обгонит другой?

Источники: Ломоносов - 2020, 11.6 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам в условии даны все скорости, а ещё мы можем за S обозначить длину грунтовой части. Давайте тогда попробуем посчитать, кто же кого обгонит и на какой части трассы мог произойти обгон?

Подсказка 2

Мы можем выразить через S время, за которое обе машины проезжают один круг. Давайте порассуждаем, могла ли машина, которая на данном участке едет медленнее, обогнать соперника?

Подсказка 3

Именно Нива совершит обгон на грунтовом участке дороги! Тогда имеет смысл рассмотреть период первого обгона и посчитать, кому же сколько пришлось ехать до данной точки.

Подсказка 4

Пусть к моменту первого обгона Тойота проедет n целых кругов + S*x по грунтовой части, причем 0 < x < 1. Осталось понять, сколько же времени пригодилось машинам, чтобы добраться до этого момента, и воспользоваться условием!

Показать ответ и решение

Пусть $S$ км — длина грунтовой части трассы, тогда $3S$ км — длина асфальтовой части. Нива проезжает один круг за

S- 3S 11S 80 + 90 = 240 ч ,

а Тойота — за

S 3S 12S 11S 40 + 120 = 240 > 240 ч

Поскольку автомобили начинают движение по грунтовой дороге, где скорость Нивы выше, Нива изначально выйдёт вперёд и впоследствии совершит обгон, причём обгон может произойти только на грунтовой дороге, где скорость Нивы выше. Пусть к моменту первого обгона Тойоты Нивой Тойота проедет $n$ целых кругов и ещё расстояние $S⋅x$ , где $0< x< 1$ (если $x= 1$ , обгона не произойдёт: автомобили поравняются, но после выезда на асфальтовую дорогу Тойота поедет быстрее Нивы). Тогда к моменту обгона время Тойоты в пути будет равно $122S40-⋅n+ S4⋅x0-$ , а время Нивы будет равно

11S ⋅(n+ 1)+ S⋅x- 240 80

Поскольку автомобили стартуют одновременно, получаем уравнение

12S ⋅n+ S⋅x-= 11S-⋅(n +1)+ S⋅x, 240 40 240 80

откуда

12n+ 6x= 11n +11+ 3x

n +3x= 11

Поскольку $0< x< 1$ , отсюда следует, что $n =9$ или $n= 10$ . Значит, к моменту первого обгона Тойота проедет 9 полных кругов и перейдёт на 10-й, а Нива проедет 10 полных кругов и перейдет на 11-й.

Ответ:

Нива на своём $11−$ м круге обгонит Тойоту на её $10−$ м круге

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 47#120842Максимум баллов за задание: 7

Иван Семёнович каждый день выезжает в одно и то же время, едет на работу с одной и той же скоростью и приезжает ровно в $9:00.$ Однажды он проспал и выехал на $40$ мин. позднее обычного. Чтобы не опоздать, Иван Семёнович поехал со скоростью на $60%$ большей, чем обычно и приехал в $8:35.$ На сколько процентов он должен был увеличить обычную скорость, чтобы приехать ровно в $9 :00?$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть он едет со скоростью v километров в минуту и тратит t минут на дорогу. Перепишите условие задачи в данных терминах.

Подсказка 2

Не забывайте, что скорость должна быть положительной. Пусть ему надо было увеличить скорость на k процентов, как ее тогда можно записать?

Показать ответ и решение

Пусть Иван Семёнович обычно едет со скоростью $v$ километров в минуту и тратит $t$ минут на дорогу. Тогда расстояние до его работы равно $vt$ километров.

В день, когда он проспал, он выехал из дома на $40$ минут позже, а приехал на место на $25$ минут раньше, таким образом, время его пути уменьшилось на $65$ минут и стало равно $t− 65$ минут. А его скорость в тот день была равна $1,6v.$ Тогда расстояние до его работы равно $1,6v(t− 65)$ километров. Получается,

vt= 1,6v(t− 65)

v(t− 1,6t+ 1,6⋅65)= 0

Итак, $v ⁄=0,$ так как скорость положительна, поэтому $t= 520 3$ минут.

Пусть ему нужно было увеличить свою обычную скорость на $k$ процентов, чтобы приехать ровно в $9:00.$ В этом случае время его пути будет равно $t− 40$ минут, а скорость — $100-+k- 100 ⋅v$ километров в минуту. Отсюда:

100 +k vt= -100--⋅v (t− 40)

( 100+ k 100+k ) v t− -100-t+ -100--⋅40 = 0

k-- 100+-k 100 ⋅t− 100 ⋅40= 0

4000 4000 k =t−-40 = 520---= 30 3 − 40

Итак, Ивану Семёновичу нужно было увеличить свою скорость на $30%.$

Ответ:

$30%$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 48#124050Максимум баллов за задание: 7

Во время собеседования при приеме на работу в разных IT-компаниях любят задавать разные тестовые нестандартные задачи для проверки творческих способностей кандидата на работу. Одна из таких популярных тестовых задач следующая (см. рисунок):

$PIC$

Точки $A$ и $B$ двигаются на встречу друг-другу (обычно говорят о двух «путниках») со скоростями $a$ и $b$ соответственно, а между ними все время «летает» со скоростью $v (v >a$ и $v >b)$ еще одна точка (обычно говорят о «мухе», которая летает с носа одного путника на нос другого путника без задержек на носу ни одного из путников). Начальное расстояние между точками $A$ и $B$ равно $S.$ Вопрос: какое расстояние пролетит точка-муха от момента начала движения точек-путников до момента их встречи?

Так вот, в этой задаче вам сначала надо ответить на вопрос, сформулированный в тестовой задаче: какое расстояние пролетит точка-муха от момента начала движения точек-путников до момента их встречи? Далее, вам надо ответить на следующий вопрос (и доказать ответ!): конечное или бесконечное число полетов между точкам-путниками совершит точка-муха от момента начала движения до момента встречи точек-путников?

И, наконец, вам надо ответить на еще один вопрос. Пусть в начальный момент точка-муха находилась в точке $A.$ Какое суммарное расстояние пролетит точка-муха, когда движется от $A$ до $B?$ А какое суммарное расстояние пролетит точка-муха, когда движется от $B$ до $A?$

Источники: Иннополис - 2020, 11.5 (см. lk-dovuz.innopolis.university)

Подсказки к задаче

Вопрос 1, подсказка 1

Сначала можно вычислить время, которое будет летать точка-муха, а потом уже найти расстояние.

Вопрос 2, подсказка 1

Предположим, что точка-муха совершила конечное число полетов, тогда мы либо докажем это, либо получим противоречие.

Вопрос 2, подсказка 2

Попробуйте рассмотреть последний полет точки-мухи.

Вопрос 2, подсказка 3

Пусть последний полет был от точки А. Какие будут скорости у точки А и у точки-мухи?

Вопрос 2, подсказка 4

У точки-мухи будет скорость v, у точки А — a. Какая из этих точек прилетит раньше в точку встречи точек-путников?

Вопрос 2, подсказка 5

Сравните скорости a и v, опираясь на условие, и проведите аналогичные рассуждения в случае, если последний полет точки-мухи происходит от точки B.

Вопрос 3, подсказка 1

Давайте попробуем составить формулы расстояний перелетов в общем виде. Для этого можно посчитать расстояния в конкретных ситуациях.

Вопрос 3, подсказка 2

В некоторый момент времени точка-муха находится в точке А, пусть в этот момент расстояние между A и B равно p₀. Через какое время точка-муха окажется в точке B?

Вопрос 3, подсказка 3

t₁ = p₀ / (v + b). Какое расстояние при этом пролетит точка-муха?

Вопрос 3, подсказка 4

w₁ = t₁v = p₀v / (v + b). Чему будет равно расстояние между точками A и B после полета?

Вопрос 3, подсказка 5

p₁ = p₀ - t₁(a + b) = p₀ ⋅ (v - a) / (v + b). Через какое время точка-муха вновь окажется в точке А?

Вопрос 3, подсказка 6

t₂ = p₁ / (v + a) = p₀ ⋅ (v - a) / ((v + a)⋅(v + b)). Какое расстояние она пролетит от B к A?

Вопрос 3, подсказка 7

w₂ = t₂v = p₀ ⋅ (v - a) ⋅ v / ((v + a)⋅(v + b)). Какое расстояние между точками A и B после этого?

Вопрос 3, подсказка 8

p₂ = p₁ - t₂(a + b) = p₀ ⋅ (v - a)(v - b) / ((v + a)(v + b)). Посмотрите на полученные результаты и попробуйте записать в общем виде формулы для расстояний между точками A и B до и после k-го перелета.

Вопрос 3, подсказка 9

Теперь вспомним, что мы хотим найти. Запишите формулы для расстояний, которые будет пролетать точка-муха.

Вопрос 3, подсказка 10

Рассмотрим случай, когда точка-муха летит от A к B. Заметьте, что расстояния, которые будет пролетать точка-муха, образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию.

Вопрос 3, подсказка 11

Ее суммой и будет суммарное расстоние, которое пролетит точка-муха от A до B. Чтобы найти суммарное расстояние, которое пролетит точка-муха от B к A, для начала посчитайте общее расстояние, которое пролетит точка-муха.

Показать ответ и решение

Первый вопрос.

Общее время движения точек-путников

S t= a+-b,

поэтому расстояние, которое пролетит точка-муха за это время

l= vt= aS+vb

Второй вопрос.

Давайте предположим, что точка-муха совершит некоторое конечное число полетов между точками-путниками. Тогда либо мы докажем это, либо прийдем к противоречию и получим, что полетов было бесконечное количество.

Рассмотрим последний полет точки-мухи между точками-путниками. Если это был полет от точки $A,$ движущейся направо со скоростью $a,$ то, так как это был последний полет, точка-муха тоже летит направо со скоростью $v$ и прилетает в точку встречи точек-путников не раньше точки $A,$ то есть скорость точки-мухи $v,$ которая не больше скорости $a.$

Получаем противоречие с тем, что $v > a.$ Аналогично получаем противоречие в случае, если последний полет точки-мухи происходит от точки $B.$ Следовательно, предположение о конечном числе полетов неверно.

Третий вопрос.

Пусть в некоторый момент времени точка-муха находится в точке $A$ и в это время расстояние между точками $A$ и $B$ равно $p0 >0.$ Тогда точка-муха окажется в точке $B$ спустя время

-p0- t1 = v+ b,

при этом точка-муха пролетит расстояние

w1 =t1v = p0v v+ b

в направлении от $A$ к $B,$ а расстояние между точками $A$ и $B$ после полета будет равно

p1 = p0− t1(a+b)= p0− p0(a+-b)= p0(v−-a)= p0⋅ v−-a v+ b v +b v+ b

Точка-муха вновь окажется в точке $A$ спустя время

-p1- -p0(v-− a)- t2 = v+ a = (v+ a)(v+ b)

Она пролетит в направлении от $B$ к $A$

w2 =t2v =-p0(v−-a)v- (v +a)(v +b)

После этого расстояние между точками $A$ и $B$ будет равно

p0(v−-a) p0(v−-a)(a+-b)- p0(v−-a)(v−-b)- (v−-a)(v−-b) p2 =p1− t2(a+ b)= v+ b − (v+ a)(v+ b) = (v+ a)(v+ b) =p0⋅(v+ a)(v+ b)

Следовательно, для любого $k≥ 1$ мы имеем: расстояние между точками $A$ и $B$ после $k- ого$ перелета

от $A$ до $B$ равно
$( ) S ⋅ v− a-⋅ (v−-a)(v− b) k−1 v+b (v+ a)(v+b)$
от $B$ до $A$ равно
$( ) S⋅ (v−-a)(v−-b) k (v+ a)(v+ b)$

Теперь заметим, что для любого $k ≥ 1$ расстояние между точками перед $k-ым$ перелетом

от $A$ до $B$ равно
$((v− a)(v− b))k−1 S⋅ (v+-a)(v+-b)$
от $B$ до $A$ равно
$v− a ((v−-a)(v− b))k−1 S ⋅v− b ⋅ (v+ a)(v+b)$

Тогда для любого $k≥ 1$ расстояние, которое пролетит точка-муха в $k-ый$ раз,

от $A$ до $B$ равно
$( )k− 1 W2k−1 = S⋅-v-⋅ (v−-a)(v−-b) v+ b (v+ a)(v+ b)$
от $B$ до $A$ равно
$( )k−1 W2k = S ⋅-v-⋅ v−-a⋅ (v−-a)(v−-b) v+b v+ a (v+ a)(v+ b)$

$W2k−1$ — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с первым членом

-v-- S ⋅v+ b

и знаменателем

(v− a)(v− b) (v+-a)(v+-b)

Сумма прогрессии равна

S⋅--v- ⋅----1------= S(v-+a)- v +b 1− (v(v−+aa)()(vv−+b)b)- 2(a +b)

Это и есть суммарное расстояние, которое пролетит точка-муха, когда движется от $A$ до $B.$

Так как общее расстояние, которое пролетит точка-муха, равно

-Sv-, a +b

то, следовательно, суммарное расстояние, которое пролетит точка-муха, когда движется от $B$ к $A,$ равно

-Sv-− S(v+-a)= S(v-− a)- a+ b 2(a+ b) 2(a +b)

Ответ:

1) $-Sv-; a +b$ 2) Бесконечное; 3) $S(v-− a) 2(a +b)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 49#42076Максимум баллов за задание: 7

Пункты $A,B,C,D$ расположены в вершинах прямоугольника $ABCD$ , его стороны и диагонали $AC$ и $BD −$ дороги. Первая машина проехала за час по маршруту $B → C → A → D$ , а вторая проехала за час по маршруту $D → B → C → A$ . Через сколько минут машины встретятся, если они одновременно выедут из пункта $C :$ первая по маршруту $C → B → D$ , вторая — по маршруту $C → A → D → B$ , а встреча произойдет на дороге $BD?$ (Скорости обеих машин постоянны). В ответ укажите число минут.

Источники: Муницип - 2019, Московская область, 7.2

Показать ответ и решение

Диагонали прямоугольника имеют одинаковую длину и длиннее любой его стороны. За один час вместе обе машины проехали бы трижды сторону $BC$ и трижды диагональ, так как одна проезжает за час две стороны, равные $BC$ , и одну диагональ, а вторая проезжает за час две диагонали, и одну сторону, равную $BC.$ Значит, за треть часа, то есть за 20 минут вместе машины проедут одну сторону, равную $BC$ , и одну — равную диагонали. А весь описанный маршрут до встречи на $BD$ они проедут за вдвое больший промежуток времени.

Ответ: 40

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 50#42933Максимум баллов за задание: 7

Винни-Пух и Пятачок одновременно пошли друг к другу в гости по одной и той же дороге. Пройдя со своей обычной скоростью до высокой сосны, Пятачок вдруг вспомнил, что забыл у себя дома подарок для своего лучшего друга Винни-Пуха и побежал назад со скоростью вдвое большей своей обычной. Прибежав домой, Пятачок тут же увидел подарок, схватил его и, не теряя времени, отправился к Винни-Пуху со своей обычной скоростью и встретился с ним у высокой сосны. Во сколько раз высокая сосна растет дальше от домика Винни-Пуха, чем от домика Пятачка, если обычная скорость Винни-Пуха в полтора раза больше скорости Пятачка и весь путь Винни-Пух шел со своей обычной скоростью?

В ответ внесите число в виде десятичной дроби, дробную часть отделяйте запятой.

Источники: Муницип - 2019, Калужская область, 7.2

Показать ответ и решение

Пусть Пятачок тратит на путь до сосны со своей обычной скоростью время $t 1$ , а на путь от сосны до дома Винни-Пуха — время $t 2$ . Тогда Винни-Пух потратил на дорогу время $-t2 2 1.5 = 3t2$ , а Пятачок $5 2.5t1 = 2t1$ (два раза с обычной скоростью и один с в два раза быстрее). Отсюда $2 5 3t2 = 2t1$ и $t2 15 t1 = 4$ . Осталось заметить, что данное отношение является нужным нам отношением расстояний до сосны от каждого дома (достаточно каждое время умножить на скороть Пятачка).

Ответ: 3,75

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 51#47235Максимум баллов за задание: 7

Из поселка на станцию по одной дороге одновременно отправились дачник А пешком и мотоцикл с пассажиром - дачником Б. Не доехав до станции, мотоциклист высадил пассажира и сразу поехал обратно к поселку, а дачник Б пошел к станции пешком. Встретив дачника А, мотоциклист посадил его к себе и привез на станцию. В результате оба дачника прибыли на станцию одновременно. Какую часть пути от поселка до станции дачник А проехал на мотоцикле, если дачники шли с одинаковой скоростью, в $9$ раз меньшей скорости мотоцикла?

Источники: Ломоносов-2019, 11.1 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если дачники отправились и прибыли одновременно, могли ли они проехать на мотоцикле разную долю пути?

Подсказка 2

Подумайте, сколько проехал мотоциклист прежде, чем забрал дачника А? Для удобства, можно ввести переменную на долю пути, которую прошел дачник самостоятельно.

Подсказка 3

А что можем сказать о времени, затраченном на путь мотоциклистом и дачником А до их встречи? Составьте уравнения, используя условие на скорости и найденные расстояния и вычислите все нужные величины!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Пусть расстояние от посёлка до станции равно $1$ . Если какой-то из дачников ехал на мотоцикле дольше другого, то он должен был преодолеть большее расстояние (меньше перемещаясь пешком), поскольку их скорости пешком равны. Значит, дачники ехали на мотоцикле (и шли пешком) одинаковое время. Пусть каждый прошёл $x$ , тогда мотоциклист высадил дачника Б в точке $1− x$ , считая от посёлка, а затем забрал дачника А в точке $x$ , проехав до неё $1− x− x= 1− 2x$ . Отсюда суммарно до встречи с дачником А мотоцикл проехал расстояние $1− x+ 1− 2x =2 − 3x$ , за это время сам дачник прошёл $x$ . Из условия на скорости выполнено соотношение

1 2− 3x= 9⋅x ⇐⇒ x= 6

Отсюда на мотоцикле каждый дачник проехал $56$ пути.

Второе решение.

$PIC$

Пусть расстояние от посёлка до станции равно $1.$ Будем решать задачу графически. Условие про скорость в девять раз больше будет означать в 9 раз больший коэффициент наклона. Пусть первый дачник следовал по маршруту $ABC$ , мотоциклист — по $ABDC$ , второй дачник — по $ADC$ . Из равных скоростей дачников следует, что $AD ∥BC$ , из одинаковой скорости мотоциклиста $AB ∥CD$ , значит, $ABCD$ — параллелограмм, откуда мотоциклист проехал с каждым дачником одно и то же расстояние и каждый дачник прошёл одно и то же расстояние. Пусть каждый дачник шёл пешком часть пути $r∈[0,1]$ , тогда мотоциклист вёз каждого из них часть $1− r$ , при этом кусочек $m0$ является частью пути $1− r− r= 1− 2r$ . Тогда пока второй дачник шёл $r$ , мотоциклист проехал $m0 +m1$ , получаем соотношение

1 m1 + m0 = 1− r+ 1− 2r= 2− 3r= 9⋅r⇐⇒ r =6

Ответ:

$5 6$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 52#89256Максимум баллов за задание: 7

На проволоку в форме окружности радиуса 6 нанизаны 5 одинаковых бусинок, равноотстоящих друг от друга. В некоторый момент времени 4 бусинки начали двигаться со скоростью $π 2(1∕$ сек) в направлении против часовой стрелки, а оставшаяся бусинка с той же скоростью в обратном направлении. После столкновения любых двух бусинок величина скорости их движения сохраняется, а направление мгновенно меняется на противоположное. Сколько столкновений произойдет между бусинками за 48 секунд?

Показать ответ и решение

Для начала решим задачу в общем виде. Пусть $m = 5$ (бусин всего) , $v = π(1∕ 2$ сек), $R= 6$ и $T = 48$ (сек). Рассмотрим столкновение двух бусинок $A$ и $B$ .

До столкновения бусинки двигались навстречу друг другу. После столкновения — наоборот, удаляются друг от друга.

Так как бусинки по виду одинаковые, то поменяв на правом рисунке буквы $A$ и $B$ местами, можно интерпретировать столкновение как переход бусинки $A$ через бусинку $B$ (так как бусинка $A$ теперь движется так, будто продолжает движение бусинки $B$ ). За один оборот окружности по часовой стрелке образ бусинки $A$ совершает $(m − 1)$ столкновение. С учётом относительности движения один оборот совершается за $2πR πR- 2v = v$ сек. Если число $T$ ему кратно, то за время $T$ совершается $T⋅v πR$ полных оборотов, что сопровождается $T⋅v πR ⋅(m − 1)$ столкновениями. Итого:

T ⋅v ⋅(m − 1) k= ----πR----

Возвращаясь к замене переменной, получаем ответ:

π k= 48⋅2 ⋅(5−-1)-=16. π ⋅6

Ответ: 16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 53#96834Максимум баллов за задание: 7

Поезд вышел со станции A, проследовал мимо станции B, затем C и прибыл на станцию D. Часть пути от A до C он прошел за $2$ часа, а от B до D — за $3$ часа. Расстояние от A до B — $100$ км, от B до C — $60$ км, от C до D — $180$ км. Какое наименьшее время поезд мог потратить на весь путь, если известно, что он нигде не превышал скорость в $100$ км/час?

Источники: Лига открытий - 2018

Показать ответ и решение

Пусть от B до C поезд шел $x$ часов. Тогда на весь путь от A до D он потратил $(2− x)+x +(3− x)=5 − x$ часов. Поэтому минимальное время достигается при максимальном $x.$ Поскольку от A до B поезд шёл не меньше часа, то $x≥ 1.$ Вариант $x =1$ возможен, если от A до B поезд шёл со скоростью $100$ км/ч, а от B до C — со скоростью $60$ км/ч, и от C до D — со скоростью $90$ км/ч. Отсюда — ответ.

Ответ:

$4$ часа

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 54#34004Максимум баллов за задание: 7

Вокруг озера тянется круговая беговая дорожка, на которой тренируются два спортсмена. Опытный бегун Алина бежит в том же направлении, что и новичок Карим, но вдвое быстрее. При этом Алина обгоняет Карима каждые $4$ минуты. Известно, что если Алина увеличит скорость еще на $2$ км/ч, то будет обгонять Карима каждые $3$ минуты. Найдите длину круговой дорожки.

Источники: Лига открытий - 2017

Показать ответ и решение

Обозначим скорость Карима в км/ч через $v,$ тогда первоначальная скорость Алины равна $2v.$ Скорость, с которой Алина обгоняет Карима, равна $2v− v =v,$ а после увеличения скорости $2v+ 2− v = v+2.$ Чтобы обогнать Карима один раз, Алине нужно пробежать ровно на один круг больше. Тогда длина одного круга равна $4- 3- 60v = 60(v+ 2),$ откуда $v = 6$ км/ч, а длина круга равна $-4 60v = 0,4$ км.

Ответ:

$400$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 55#90889Максимум баллов за задание: 7

Когда автомобиль едет из пункта $A$ в пункт $B$ , он тратит $25%$ времени на путь в гору, $60%$ — по равнине, а остальное время — с горы. Время его движения из $A$ в $B$ и по той же дороге из $B$ в $A$ одинаково, а его скорости в гору, с горы и по равнине постоянны, но различны. Во сколько раз быстрее автомобиль едет с горы, чем в гору?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте за x обозначим то, во сколько одна скорость больше другой. Учтём, что путь по равнине абсолютно одинаков в обе стороны, т.е. мы его вообще можем не учитывать, запишем тогда уравнение по условию задачи.

Подсказка 2

Ага, у нас получилось квадратное уравнение с двумя корнями. Какой же корень подходит? Воспользуйтесь условием, что скорости автомобиля в гору и с горы различные, и у вас останется только один возможный вариант.

Показать ответ и решение

Пусть скорость с горы в $x$ раз больше, чем скорость в гору. Тогда

25 15+ 25= x-+ 15x

15x2− 40x+ 25= 0

5(x− 1)(3x − 5)= 0

$x> 1,$ так что $x= 5. 3$

Ответ:

$5 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 56#90891Максимум баллов за задание: 7

Между пунктами $A$ и $B$ с постоянной скоростью курсирует один автобус (время на остановки пренебрежимо мало). Из пункта $A$ в пункт $B$ со скоростью 11 км/ч выехал велосипедист и за время пути строго между этими пунктами ровно 5 раз поравнялся с автобусом. В каких пределах может находиться скорость автобуса при этих условиях?

Источники: ПВГ 2017

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте обозначим время пути велосипедиста за t. Чему тогда равен весь путь между остановками? Можно ли оценить расстояние, которое должен проехать автобус, чтобы встретиться с велосипедистом 5 раз?

Подсказка 2

Заметим, что пока автобус едет от одной остановки до другой, он может встретить велосипедиста максимум 1 раз. Тогда можно оценить количество пройденных им остановок, и, следовательно, и весь путь через t!

Подсказка 3

Может ли путь автобуса принимать значение 33t? Есть ли ограничение сверху? Достигается ли верхняя граница?

Подсказка 4

Расстояние, пройденное автобусом, больше 33t и не больше 77t! Не забудьте про пример ;)

Показать ответ и решение

Пусть время пути велосипедиста равно $t$ часов, тогда расстояние между остановками равно $11t$ км.

Заметим, что пока автобус едет от одной остановки до другой, он может встретить велосипедиста максимум 1 раз. Получается, автобус ехал от одной остановки до другой минимум 5 раз, а значит, он побывал на остановках минимум 4 раза, то есть расстояние, которое он проехал, не меньше $33t$ км.

Предположим, что расстояние, которое проехал автобус за время движения велосипедиста, равно $33t.$

Пусть во время начала движения велосипедиста автобус был на расстоянии $k$ км от остановки, в сторону которой ехал, где $0≤ k< 11t.$ Тогда сначала автобус проехал $k$ км до следующей остановки, за это время он встретил велосипедиста максимум 1 раз. Затем он развернулся и проехал $11t$ км до другой остановки, по пути встретив велосипедиста ровно 1 раз. Далее он ещё раз развернулся и проехал $11t$ км, так же встретив велосипедиста ровно 1 раз. Наконец, автобус развернулся последний раз и до окончания движения велосипедиста проехал ещё $(11t− k)$ км, встретив велосипедиста не более одного раза за это время. Всего получается, что автобус встретил велосипедиста не более четырёх раз, что не равно пяти.

Получили противоречие, а значит, автобус проехал строго больше $33t$ км.

С другой стороны, автобус не мог посетить остановки больше шести раз, так как между двумя остановками он точно встречает велосипедиста. Отсюда расстояние, которое проехал автобус, не больше $77t$ км.

При этом $77t$ км достигается, если автобус выехал из пункта $A$ одновременно с велосипедистом. В таком случае, велосипедист за время пути ровно 5 раз поравнялся с автобусом строго между остановками и 2 раза встретился с автобусом на остановках.

Если скорость автобуса не меньше 66 и не больше 77, то ровно 5 встреч с велосипедистом строго между остановками достигаются, если автобус и велосипедист одновременно отъехали от пункта $A.$

А если скорость автобуса больше 33, но меньше 66, то 5 встреч достигаются, если автобус подъезжал к пункту $A,$ когда велосипедист начал движение между остановками.

Значит, скорость автобуса находится в пределах $(33;77]$ километров в час.

Ответ:

$(33;77]$ км/ч

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 57#105942Максимум баллов за задание: 7

Из пункта $A$ в пункт $B,$ расстояние между которыми равно $8$ км, одновременно вышел турист и выехал велосипедист. Затратив на путь от $A$ до $B$ не менее получаса, велосипедист, не останавливаясь, повернул обратно и стал двигаться по направлению к пункту $A,$ увеличив при этом свою скорость на $25%.$ Через $10$ мин после своего отправления из пункта $B$ велосипедист встретился с туристом. Определите наибольшее возможное целое значение скорости (в км/ч) туриста, и для этого значения скорости туриста найдите первоначальную скорость велосипедиста.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Решение любой задачи на скорость начинается с правильного введения неизвестных. Пусть x км/ч — скорость туриста, а y км/ч суть первоначальная скорость велосипедиста, t — время в часах, затраченное велосипедистом на путь от A до B. Какие уравнения можно составить, исходя из условия?

Подсказка 2

Верно! Из условия имеем x(t + 1/6) + 5y/24 = 8, yt = 8 и, кроме того, t ≥ 0,5. Можно ли теперь в первом уравнении оставить две переменных?

Подсказка 3

Конечно! Тогда получится 5y² + (4x-192)y + 192x = 0. Какое теперь нужно условие, чтобы это уравнение имело решения?

Подсказка 4

Верно! Нужно потребовать неотрицательность дискриминанта! Какое тогда наибольшее возможное значение x (с учетом, что это натуральное число) и какое значение y ему соответствует?

Показать ответ и решение

Пусть $x$ км/ч — скорость туриста, $y$ км/ч — первоначальная скорость велосипедиста, $t$ ч — время, затраченное велосипедистом на путь от $A$ до $B.$ Тогда

( |{ x(t+ 1∕6)+5y∕24 =8 |( yt=8 t≥0,5

(8 1) 5y- x ⋅ y + 6 + 24 = 8

5y2+(4x− 192)y+ 192x= 0

Для того чтобы квадратное уравнение имело решение, необходимо

D∕4 =(2x− 96)2− 960x≥ 0

x2− 336x+ 2304 ≥0

√ - √ - x ∈(−∞;168− 72 5]∪ [168+ 72 5;+∞ )

Поскольку по условию $x∈ N,$ и $x∕6 <8,$ т.е. $x< 48,$ то $√- x∈ [1;168 − 72 5]∩N.$ Используя оценку $√- 2,23< 5< 2,24,$ получаем оценку $√- 160 <72 5 <161$ и $√- 7< 168 − 72 5< 8.$ Наибольшее возможное целое значение скорости $xmax = 7.$ Найдем первоначальную скорость велосипедиста при $x= 7$ из уравнения

5y2− 164y+ 192⋅7= 0

y1 = 84∕5;y2 =16

Поскольку $t≥ 0,5, t= 8 ≥ 1, y 2$ и $y ≤ 16,$ то $y = 16.$

Ответ: 7 км/ч, 16 км/ч.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 58#44156Максимум баллов за задание: 7

Два мальчика в течение нескольких часов ходили кругами вокруг здания, оба по часовой стрелке, каждый с постоянной скоростью. Более быстрый проходил один круг за $5$ минут, более медленный — за некоторое целое число минут. При этом время между встречами тоже равнялось некоторому целому числу минут, причём оно было не меньше $12$ . За какое время более медленный мальчик проходил полный круг?

Источники: ПВГ-2016, 11.2 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) Воспользуемся частой идеей про задачи на круговое движение - выразим скорость их сближения через разность скоростей. Для этого нам понадобится время встречи, а еще время обхода круга каждым из них. Одно из них мы знаем, оставшиеся два неизвестных можем обозначить за t и t'.

Подсказка 2!

2) Итак, мы получим уравнение S/t = S/5 - S/t'. Заметим, что так как t' - целое, мы могли бы найти все подходящие t'!

Подсказка 3!

3) Для этого нужно сократить на S и получить несколько вариантов для t'. Останется только их разобрать!

Показать ответ и решение

Время между их встречами равно $t≥ 12$ , а время обхода круга для второго $t > 5 1$ . Запишем скорость сближения через разность их скоростей ( $S$ — длина круга)

S S S t-= 5 − t1 =⇒ 5t1 = (t1− 5)⋅t

Заметим, что $Н ОД(t1,t1− 5)∈{1,5}$ , потому $t1− 5∈{1,5,25}$ , чтобы $5t1$ было ему кратно. Если $t1− 5= 1,t1 = 6$ , то имеем $t= 30$ . Иначе $t1 ≥10$ . В этом случае первый хотя бы в два раза быстрее и время между встречами будет не более $10$ минут, поскольку за это время первый пройдёт два круга, а второй не более одного. Отсюда наш ответ единственный возможный.

Ответ:

$6$ минут

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 59#44155Максимум баллов за задание: 7

Из пунктов $A$ и $B$ навстречу друг другу выехали одновременно два автобуса, которые встретились $2$ февраля в $12:00.$ Найдите дату и время начала движения автобусов, если их скорости на всём пути постоянные, и один из них прибыл $3$ февраля в $04:00$ в пункт $B$ , а другой прибыл $3$ февраля в $13 :00$ в пункт $A$ .

Источники: ПВГ-2015, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) Задачи с датами и временем часто пытаются запутать, давайте попробуем достать из условия то, что мы знаем. После встречи один из автобусов ехал 16 часов, а второй - 25. А время, которое они ехали до встречи мы не знаем, но оно одинаковое! Попробуйте составить уравнение.

Подсказка 2!

2) Верно, мы можем сказать, что 16/t = t/25. (так как каждый из автобусов либо от А до встречи либо от В до стречи проехал за t, а оставшуюся часть за 16 или 25).

Показать ответ и решение

Первый после встречи ехал ещё $16$ часов, а второй — $25$ . Пусть до встречи они ехали $t$ часов, тогда $25= -t t 16$ , как отношение их скоростей (для каждого из двух участков, время езды каждого по которым мы знаем), отсюда $t= 20$ часам и выехали автобусы $1$ февраля в $16:00.$

Ответ:

$1$ февраля, $16:00$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 60#80604Максимум баллов за задание: 7

Василий выехал из пункта $A$ в пункт $B$ на велосипеде. Проехав треть пути, велосипед Василя сломался. Не теряя времени, Василий пошел пешком обратно в пункт $A$ . В момент поломки из пункта $A$ выехал мотоциклист Михаил. На каком расстоянии от пункта $A$ он встретит Василия, если расстояние между пунктами $A$ и $B$ $4$ км, скорости велосипедиста, мотоциклиста и пешехода постоянны, а Василий доберется до пункта $A$ тогда же, когда Михаил до пункта $B$ ?

Источники: ДВИ - 2015, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте построим график движения, будем рассматривать расстояние от пункта А относительно времени.

Подсказка 2

Строим графики движения обоих велосипедистов и далее вспоминаем про подобие треугольников!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Поскольку Григорий проехал втрое больше до пункта $B$ , чем Василий прошёл до $A$ , то его скорость втрое выше. Тогда на момент встречи он проехал $3 4$ расстояния между ними, откуда расстояние до пункта $A$ на момент встречи будет $1 3 3 ⋅4 ⋅4=1$ (км).

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Ломаная $AYV$ — график движения Василия, а отрезок $XU$ — график движения Михаила $UV =PT = AB =4$ .