Тема АЛГЕБРА

Алгебраические текстовые задачи → .10 Конструктивы в алгебре

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Алгебраические текстовые задачи

Различные подсчеты без составления уравнения

Составление уравнений

Задачи на проценты

Задачи на дроби

Задачи на работу

Задачи на движение: алгебраический подход

Среднее арифметическое в текстовых задачах

Среднее геометрическое и гармоническое в текстовых задачах

Задачи с неравенствами

Конструктивы в алгебре

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#73703Максимум баллов за задание: 7

Дана бесконечно возрастающая арифметическая прогрессия. Первые её несколько членов сложили и сумму объявили первым членом новой последовательности, затем сложили следующие несколько членов исходной прогрессии и сумму объявили вторым членом новой последовательности, и так далее. Могла ли новая последовательность оказаться геометрической прогрессией?

Подсказки к задаче

Подсказка

Попробуем разбить натуральные числа по степеням какого-то небольшого натурального числа. Как тогда будут выглядеть суммы подряд идущих чисел?

Показать ответ и решение

Пример 1

1 n 1 n+1 n 1,2 +3+ 4,5+...+13,...,2(3 + 1)+...+ 2(3 − 1),...= 1,9,81,...,9

Пример 2

3,5+ 7,...,(2n+ 1)+...+ (2n+1 − 1),...=3,12,...,3⋅4n−1,...

Ответ:

Могла

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#70351Максимум баллов за задание: 7

Набор разновесов содержит по одной гире каждого из весов $1,3,5,7,9...$ граммов. Для натурального $n> 1$ докажите, что количество способов набрать этими гирями $n$ граммов не больше, чем количество способов набрать $n+ 1$ грамм.

Источники: СпбОШ - 2015, задача 11.3(см. www.pdmi.ras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так-с, давайте введём несколько переменных, зависящих от n. Пусть a(n) — количество способов собрать вес n без гири в 1 г, a b(n) — количество способов собрать вес n с гирей в 1 г.

Подсказка 2

Хмммм, что же теперь делать. Интуитивно кажется, что собрать n + 1 грамм легче, чем собрать n грамм. Попробуем это доказать строго. Для строгого обоснования данного факта нам нужна индукция.

Подсказка 3

Применив мат. индукцию, мы получили, что a(n + 1) ≥ a(n), а также b(n + 1) ≥ b(n). Кажется, остаётся просто сложить 2 получившихся неравенства!

Показать доказательство

Пусть имеется $a n$ способов выбрать $n$ граммов без использования гири в $1$ г и $b n$ способов набрать $n$ граммов с использованием гири в $1$ г.

Добавив к каждому из способов первой группы гирю в $1$ г, мы получим суммарный вес $n +1$ граммов. Значит, $bn+1 ≥an$ (способов выбрать $n$ граммов без единицы может быть равно нулю, поэтому знак больше или равно).

С другой стороны, если для каждого способа набрать $n$ граммов с использованием гири в $1$ г мы уберём эту гирю и заменим самую большую использованную гирю в этом способе на ту, которая весит на $2$ г больше, снова получится суммарный вес $n+ 1$ граммов.

Следовательно, $an+1 ≥bn$ (при нечётном $n$ появляется ещё один способ взять гири вне этого алгоритма, поэтому знак больше или равно).

Сложив полученные два неравенства, имеем требуемое.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#70842Максимум баллов за задание: 7

Обозначим через $f(x)$ функцию, которая равна $1$ при любом целом $x$ и равна $0$ при остальных $x.$ Учительница дала задание двоечнику Васе записать функцию $f(x)$ с помощью букв $x,$ целых чисел, знаков сложения, вычитания, умножения, деления и операции взятия целой части. Помогите Васе.

Источники: СпбОШ - 2014, задача 11.1(см. www.pdmi.ras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

На самом деле нам дали очень много свободы, давайте для начала попытаемся выполнить хотя бы одно из условий.

Подсказка 2

Раз нам нужна функция, которая равна при любом целом x, то понятно, что свободный член берём равный одному.

Подсказка 3

Чтобы остальное компенсировалось при целых x, возьмём сумму целых частей с x и -x. Проверьте, выполняется ли второе условие.

Показать ответ и решение

Например, подойдёт $f(x) =1+ [x]+ [−x].$ Какие рассуждения могут привести к примеру? Раз нам нужна функция, которая равна $1$ при любом целом $x,$ то понятно, что свободный член берём равный одному. И соответственно, чтобы остальное компенсировалось при целых $x$ возьмём сумму целых частей с $x$ и $− x.$ Теперь легко проверить, что второе условие задачи для функции тоже выполняется.

Ответ:

$f(x)= 1+[x]+ [−x]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 44#82258Максимум баллов за задание: 7

Даны $10$ попарно различных чисел. Для каждой пары данных чисел Вася записал у себя в тетради квадрат их разности, а Петя записал у себя в тетради модуль разности их квадратов. Могли ли в тетрадях у мальчиков получиться одинаковые наборы из $45$ чисел?

Источники: Всеросс., 2011, ЗЭ, 10.5(см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Предположим противное. Если среди исходных чисел есть ноль, то для любого другого числа $a$ имеем $a2− 02 = (a − 0)2.$ Значит, если вычеркнуть ноль, то останутся $9$ чисел, также удовлетворяющих условию.

Итак, можно считать, что исходных чисел $9$ или $10,$ и все они ненулевые. Пусть среди них есть числа разных знаков; рассмотрим минимальное и максимальное из них - обозначим их $a< 0< b.$ Тогда у Васи присутствует число $2 (b− a) ,$ которое больше как $2 a ,$ так и $2 b ;$ у Пети же любое число не превосходит $( 2 2) max a ,b .$ Противоречие.

Значит, все исходные числа — одного знака; заменив, если надо, все числа на противоположные, можно считать, что все они положительны. Опять обозначив через $a$ и $b$ соответственно минимальное и максимальное из этих чисел, имеем

b2− a2 = (b− a)(b+ a)>(a− b)2 ≥ (c− d)2

где $c$ и $d$ — произвольные два исходных числа. Тогда число $2 2 b − a$ не встретится на листке у Пети, но встретится у Васи — противоречие.

Ответ:

Не могли

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 45#94423Максимум баллов за задание: 7

Среди чисел $a,b,c$ есть два одинаковых. А оставшееся число — другое. Составьте такое арифметическое выражение из букв $a,b,c,$ знаков $+,$ $−,×,:$ и скобок, чтобы в результате вычислений получилось это число. (Скобки, знаки и буквы можно использовать любое количество раз.)

Подсказки к задаче

Подсказка

В этой задаче надо просто поиграться с выражениями. Пусть b=c. Попробуйте рассуждать от обратного. Рассмотрите a и попробуйте превратить его в дробь, например, умножив и поделив на что-то. Помните, что любое выражение можно усложнить, добавив что-то, умноженное на b - c.

Показать доказательство

Например, подойдёт такой вариант ( $b= c):$

a(a− b)(a-− c)+-b(b−-a)(b− c)+-c(c−-a)(c− b) (a− b)(a− c)+ (b − a)(b− c)+(c− a)(c− b)

Предыдущая подтема