Алгебраические текстовые задачи → .02 Составление уравнений

Обозначим через количество действий каждого из четырёх возможных типов. Требуется решить систему (первое уравнение соответствует изменению количества пятерок, второе — двоек)

Умножим второе уравнение на два и сложим с первым.

Согласно условию, величина является целым числом. Однако уравнение не имеет решения в целых числах.

Сумма чисел на всех карточках Юры равна сумме чисел от 1 до что равно

Пусть на потерянной карточке было число тогда:

Так как — это одно из чисел на карточках, то откуда:

Если то

Таким образом, С другой стороны:

Дискриминант уравнения равен то есть корни равны и Неравенство не верно для всех чисел, больших при этом заметим, что откуда

Значит, при неравенство неверно, то есть

Получается, сумма чисел на всех карточках равна а на потерянной карточке написано число

Пусть в квадратных гранях и параллельных им записаны числа соответственно. Тогда

Рассмотрим грань выберем в ней произвольный квадрат, его центр назовем Будем считать, что — начало маршрута Гоши.

По условиям и будет существовать 2 допустимых маршрута с началом в

Первый маршрут — ломаная пересечения поверхности коробки с плоскостью, проходящей через точку параллельная основанию Сумма чисел, расположенных в квадратах на пути Гоши по этому маршруту, равна

Второй маршрут — ломаная пересечения поверхности коробки и плоскости, проходящей через и параллельной грани Сумма чисел, расположенных в квадратах на пути Гоши по этому маршруту, равна

Возьмем произвольный квадрат, расположенный на грани обозначим его центр за Рассмотрим соответствующий ему маршрут, полученный пересечением поверхности коробки с плоскостью, параллельной грани Сумма чисел на этом пути

По условию,

Получим, что

Тогда

По условию,

Подставим и

Тогда

Пусть экономистов, историков и филологов соответственно , и , тогда:

Все числа натуральные, потому кратно 24. Если , то , откуда сумма больше 100, а иначе .

Первую половину пути Вася шёл с одинаковой скоростью и потратил на неё минут. На вторую половину в первый раз он потратил , а во второй — минут или на пять минут меньше, откуда минут, а всё время в пути в каждой случае равнялось минут.

Пусть — количество учеников в категории: биологии, химики, физики. Тогда по условию задачи получим систему уравнений:

Это значит, что минимальные значения могут быть только:

Пусть и — первоначальное количество монет у Ивана и Петра соответственно.

Через некоторое время количество монет у Ивана будет , а у Петра . При этом .

Следовательно, .

Нужно определить при какой наименьшей сумме это возможно.

Так как должно делиться на , а — на , то наименьшая сумма равна .

Итак, отношение количества монет у Ивана к количеству монет у Петра снова может стать только через дней, то есть февраля года.

Пусть одна конфета стоит рублей. Тогда условие говорит о том, что .

Переписав это уравнение, получим, что

Отсюда , но так как за конфеты нужно платить положительную сумму (жаль), то отрицательное значение не подходит, поэтому .

Получается, что на рублей можно купить конфет.

Обозначим количество пар мальчик-мальчик через а пар девочка-девочка — через В остальных парах мальчиков и девочек поровну, поэтому разница между количеством девочек и мальчиков равна По условию, эта же разница равна то есть а именно эту разность и требовалось найти.

Обозначим данные последовательные натуральные числа через

Заметим, что если некоторое число лежит на отрезке то сумма расстояний от него до данных семи чисел не превосходит (сумма расстояний до двух крайних чисел в точности равна сумма расстояний до и не превосходит сумма расстояний до и также не превосходит расстояние до не превосходит половины длины отрезка между крайними числами, т.е. ). Следовательно, числа и лежат вне отрезка Тогда сумма расстояний от числа до каждого из данных последовательных чисел выражается формулой

Аналогично, сумма расстояний от числа до каждого из данных чисел равна Получаем систему уравнений

Рассмотрим четыре случая раскрытия модуля.

(a) Оба числа и лежат справа от отрезка Тогда

Ввиду того, что должно быть натуральным числом, этот случай не подходит

(b) Оба числа и лежат слева от отрезка Тогда

(c) Число лежит справа, а — слева от отрезка Тогда

(d) Число лежит справа, а — слева от отрезка Тогда

Итак, возможны три случая:

Пусть - выбитые очки за рассматриваемых серий, в последней из которых Иван выбил 82 очка. Тогда

и

Решая полученную систему, находим и .

Пусть для выполнения условия задачи Ивану необходимо выбить очков. В этом случае получаем

Способ 1. Каждый рыбак поймал карасей и щук вместе столько же, сколько всего щук поймано. Суммируя уловы всех рыбаков, получим, что общий улов всех рыбаков (в количестве рыб) равен общему количеству пойманных щук, умноженному на количество рыбаков. С другой стороны, карасей в 10 раз больше, чем щук, поэтому общей улов по числу рыб в 11 раз больше числа щук. Значит, всего рыбаков

Способ 2. Пусть всего рыбаков , и -й рыбак поймал щук и карасей . Тогда для всех . Просуммируем по все эти равенства, получим

Пусть отличников до контрольной было человек, а хорошистов — человек. После контрольной отличниками остались человек, а хорошистов стало человек. Так как по условию их стало поровну, полученные числа равны, а значит Отсюда делится на то есть Тогда из этого же равенства Поэтому учащихся в школе Если то учащихся получится больше Значит, и в школе учится человек.

Пусть количество стертых пар равно а количество стертых троек равно Можно составить систему уравнений: Решая эту систему, получаем

Пусть у Ани было орехов. Тогда стало а у Бори прибавилось. Так как у него число орехов восстановилось, то убыло тоже : орех он съел, значит, отдал. Но тогда и осталось У Ани тоже восстановилось, а убыло значит, и Вася ей дал Итого, у Васи после Бориного деления было орехов. Всего в этот момент орехов было откуда Поэтому вначале у Ани, Бори и Васи было соответственно и орехов. Нетрудно, проверить, что все сходится.

Обозначим количество шестиклассников через Тогда семиклассников а пятиклассников Посчитаем, для каждого класса разница между количеством подаренных подарков и полученных. Так как шестиклассники подарили на один подарок больше, чем получили, а всего их то они получили в сумме на подарков больше, чем подарили. Так как семиклассники подарили на два подарка больше, чем получили, а всего их то они получили в сумме на подарков больше, чем получили. Так как пятиклассники подарили на пять подарков меньше, чем получили, а всего их то пятиклассники получили на подарков больше, чем подарили. При этом подарки дети дарили только друг другу, значит, суммарное количество подаренных подарков равно суммарному количеству полученных. Таким образом, откуда Значит, семиклассников

Допустим, что в один день со сканером продано мониторов и принтеров. Тогда в другой день было продано и мониторов и принтеров соответственно. Если — цена принтера, учитывая, что принтер на дороже сканера то цена равна сканера а цена монитора равна а из условия задачи следует, что

Число может принимать одно из трех значений: или Рассмотрим по очереди каждое из них.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пусть тогда

Так как следовательно,

Единственное целое число которое удовлетворяет этому неравенству, равно

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

В случае

Так как то

Очевидно, что никакое целое число при не удовлетворяет получившемуся неравенству.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

При получим

Так как то

Т.е. при неравенство не выполняется ни при каких целых

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Таким образом, описанная в условии задачи ситуация может осуществиться только при Значит, в один день со сканером продано принтеров и ни одного монитора.

Пусть — объём всего добытого газа. Тогда — объёмы добытого газа каждой из компаний “Новатэк”, “Роснефть”, “ЛУКОЙЛ” и “Газпром нефть” соответственно. Тогда

Соответственно

Объём коробки равен кубических сантиметров. Из разложения легко видеть, что подойдут стороны для которых площадь равна см Докажем, что длины именно такие. Одна из них кратна но меньше то есть должна быть равна аналогично вторая равна а третья неизбежно равна

Пусть изначально на доске было чисел, тогда их сумма была равна , получаем систему

Откуда имеем единственное решение .