Тема АЛГЕБРА

Алгебраические текстовые задачи

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Алгебраические текстовые задачи

Различные подсчеты без составления уравнения

Составление уравнений

Задачи на проценты

Задачи на дроби

Задачи на работу

Задачи на движение: алгебраический подход

Среднее арифметическое в текстовых задачах

Среднее геометрическое и гармоническое в текстовых задачах

Задачи с неравенствами

Конструктивы в алгебре

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 81#68962Максимум баллов за задание: 7

У Маши есть копилка, куда она каждую неделю кладет купюру в 50 или 100 рублей. В конце каждых 4 недель она выбирает из копилки купюру наименьшего достоинства и дарит сестренке. Через год оказалось, что сестренке она отдала 1250 рублей. Какое минимальное количество денег могло накопиться за это время у нее самой?

Источники: КФУ-2023, 11.1 (см. kpfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала давайте посчитаем, сколько раз за год Маша будет дарить купюры сестре?

Подсказка 2

Верно, 13 раз! А теперь вспомним, что суммарно она подарила 1250 рублей, при том, что каждый раз она дарила либо 100, либо 50 рублей! Тогда, сколько раз она подарила сестре 50 рублей?

Подсказка 3

Верно, она подарила 50 рублей ровно один раз! А в какой временной период это могло произойти, учитывая, что нам нужно минимизировать сумму в копилке?

Подсказка 4

Да, чтобы сумма была минимальна, она должна была отдать 50 рублей в последний — 13-ый раз! Тогда, какая минимальная сумма может остаться у неё в копилке?

Показать ответ и решение

Назовем 4-недельный промежуток “месяцем”, таких “месяцев” в году $13$ . Если бы все подаренные Машей купюры были сторублевыми, сестра получила бы $1300$ рублей. Значит, Маша двенадцать раз дарила по $100$ рублей и один — 50. Если в какой-то “месяц” Маша отдала $100$ р., значит, и в копилке у неё были только сотни. То есть за эти $12$ “месяцев” она оставила себе $12⋅300= 3600$ р.

Итак $50$ -рублевки могли появиться у Маши только в один месяц из $13$ . Если за “месяц” в копилку попала только одна, она ее подарила в конце месяца, так что ее "доход"был по-прежнему $300$ р.

Если в какой-то “месяц” Маша откладывает не менее двух $50$ -рублевых купюр, она отдает их сестре в течение последовательных “месяцев”, что противоречит условию. Исключение - случай, когда они все пришли в $13$ -м “месяце”, тогда она не успеет их отдать. Итак, в этом случае первые $12$ “месяцев” Маша получала по $300$ рублей, а в последний могла положить в копилку от нуля до трех $50$ -рублевых купюр, то есть недобрать до $300$ рублей максимум $150$ р.

Ответ: 3750 рублей

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 82#69312Максимум баллов за задание: 7

Во всем мире популярна игра в хоккей. Многое в игре зависит от вратаря. Для отработки навыков вратарей и обеспечения тренировочного процесса, который бы не зависел от других игроков, создали шайбомет. Автомат можно настроить так, чтобы он выбрасывал шайбы с заданной временной частотой, скоростью и под определенным углом.

Пусть линия ворот находится на расстоянии 25 м от центральной точки $O$ хоккейной площадки. Автомат установлен на расстоянии $d =16$ м от точки $O$ по направлению к воротам, скорость выброса шайбы равна $V0 = 20$ м/c. Броски производятся в плоскости, перпендикулярной поверхности льда и линии ворот. При этом для обеспечения безопасности траектория вылетающих шайб должна, с одной стороны, находиться не выше прямой линии, соединяющей центр ледовой площадки $O$ с точкой, находящейся в плоскости полета шайб, в плоскости ворот, и на расстоянии одного метра от поверхности льда, а с другой стороны — должна пересекать плоскость ворот по нисходящей ветви траектории.

$PIC$

Определите максимально возможное значение тангенса угла, под которым могут вылетать шайбы из шайбомета, если траектория движения шайбы, рассматриваемой как материальная точка, в плоскости ее полета в системе координат с центром в $O$ и осью абсцисс, направленной вдоль поверхности льда, описывается уравнениями

({ x =d +V0tcosα ( gt2 y =V0tsinα − 2

Для упрощения вычислений можно считать, что ускорение свободного падения $g = 10$ м/c $2 .$

Источники: ШВБ-2023, 11.6 (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1.

Вспоминаем уроки физики:) Так как переменная t у нас нигде не фигурирует, то хорошей идеей было бы от неё избавиться, подставив из первого уравнения во второе. Мы получим выражение вида y(x), в котором из тригонометрии будет находиться tg(a) и 1/cos²(a). Как бы нам получить только тангенс?

Подсказка 2.

1/cos²(a) = 1 + tg²(a). По условию наша шайба должна быть ниже условной линии на протяжении всего полёта. Тогда x * tg(b) <= y(x), где b - угол между осью площадки и линии, соединяющей центр поля с верхним концом ворот. Для каких x это должно выполняться?

Подсказка 3.

Поскольку траектория вылетающих шайб должна пересекать плоскость ворот по нисходящей ветви траектории, получили стандартное квадратичное неравенство, которое должно быть верно для всех x. Осталось записать условие неположительности дискриминанта и неотрицательности старшего члена, и оттуда найти наибольший возможный тангенс

Показать ответ и решение

Введем систему координат с центром в точке $O.$ Ось абсцисс направим к линии ворот.

Выразим время из первого уравнения системы и подставим во второе

( x − d )2 V0(x− d) g V0cosα g( x − d )2 y(x)= -V0cosα-sin α− -----2-----= (x− d)tgα − 2 V0cosα

2 y(x)=(x− d)tgα − g⋅ (x−2d)-⋅(1+ tg2α) 2 V0

Чтобы шайба была ниже условной линии для любого значения $x,$ требуется выполнение условия

x-≥ y(x) 25

x 25 − y(x)≥ 0

для любого $x ∈[16;25].$ Поскольку траектория вылетающих шайб должна пересекать плоскость ворот по нисходящей ветви траектории, то неравенство

2 -x − (x− d)tgα + g⋅ (x−2d)-⋅(1+ tg2α)≥ 0 25 2 V0

должно выполняться для всех $x.$

Перепишем неравенство в более удобном виде и учтем, что выполнение этого неравенства возможно лишь при неположительном дискриминанте.

g (x-− d)2 2 ( 1-) -d 2 ⋅ V20 ⋅(1+tg α)− (x− d) tgα− 25 + 25 ≥ 0

( )2 D = tgα −-1 − 4⋅-d ⋅ g⋅-12-⋅(1+ tg2α)≤0 25 25 2 V0

Подставляем $g = 10$ м/c $2$

( 1 )2 4d 2 tgα − 25 − 5V20 (1+tg α)≤ 0

′ ( ) ( )( ) D-= -1 − 1 −-4d2 -12 −-4d2 4 25 5V0 25 5V0

D′ -4d 1-- 4d-( -4d) 4d- 626 (-4d )2 4 = 5V20 ⋅252 + 5V02 1− 5V20 = 5V20 ⋅625 − 5V02

Подставляем $d= 16$ м, $V0 = 20$ м/с

( )2 ( ) D′ = 4⋅16-⋅ 626-− 4⋅16- = --4--- 626-− 4 = -4⋅606⋅2-- 4 5⋅400 625 5⋅400 25 ⋅252 5 252 ⋅25⋅5⋅2

Теперь посчитаем сам $tgα$

( 1 2 ∘ 1212) ( 121) 5± 2√121,2 tgα= 25 ±25⋅5 -10- ∕ 125- = ---121---

Значит, максимально возможное значение $tg α$ равно $√---- 5+2121121,2.$

Ответ:

$5-+2√121,2 121$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 83#69373Максимум баллов за задание: 7

Участник соревнований по триатлону на первом этапе плыл $1$ км. На втором ехал на велосипеде $25$ км, на третьем бежал $4$ км. Всю дистанцию он преодолел за $1$ час $15$ мин. Перед соревнованиями он опробовал трассу: плыл $1∕16$ часа, ехал на велосипеде и бежал по $1∕49$ часа, пройдя в сумме $5∕4$ км. На соревнованиях каждый этап он проходил с той же скоростью, что и на тренировке. Сколько времени он ехал на велосипеде и с какой скоростью?

Источники: Звезда - 2023, 11.4 (см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте обозначим скорости спортсмена на разных участках за три различные переменные, а далее запишем систему уравнений, которая будет удовлетворять условию. Система выглядит как-то страшно, да и вообще переменных больше, чем уравнений. Хорошей идей здесь будет метод оценки, но подумайте, как его здесь можно применить и на что нам намекает тот факт, что в одном уравнении переменные в числителе, а в другом - в знаменателе.

Подсказка 2

Если мы сложим уравнения системы, то справа получим 5/2, а слева - три суммы, в которых переменные, то в числителе, то в знаменателе. При этом коэффициенты при переменных явно являются квадратами натуральных чисел. Такая конструкция нам намекает на применения одного классического неравенства для каждой пары слагаемых с одинаковыми переменными. Попробуйте догадаться, на какое именно.

Подсказка 3

Именно неравенство Коши в данном случае поможет нам оценить выражение в левой части уравнения. И если применить его для каждой пары слагаемых с одинаковыми переменными, то получится, что данное выражение не меньше 5/2. Но также мы знаем, что оно равно 5/2. Вспомните, при каком условии достигается равенство в неравенстве Коши.

Показать ответ и решение

Пусть $v ,v,v 1 2 3$ - скорости спортсмена на этапах $1,2,3$ соответственно. Из условия следует: $1-+ 25-+ 4-= 5 v1 v2 v3 4$ часа. $-1 1- -1 1- 5 16v1+ 16v1+ 49v2+ 49v3 = 4$ км. Складывая эти уравнения и учитывая, что для любых положительных чисел $x,y$ выполнено неравенство $√ -- x+ y ≥ 2 xy$ , получим:

5 1 v1 25 v2 4 v3 2 =(v1 + 16)+ (v2 + 49)+ (v3 + 49)≥

∘----- ∘ ----- ∘ ----- ( ) ≥ 2 1⋅-1 +2 25⋅ 1-+ 2 4⋅-1= 2 1+ 5+ 2 = 5 16 49 49 4 7 7 2

Равенство достигается тогда и только тогда, когда слагаемые в левой части неравенства равны. Следовательно,

1- v1 25- v2 4- v3 v1 = 16;v2 = 49;v3 = 49

то есть $км км км- v1 = 4 ч ,v2 =35 ч ,v3 = 14 ч$

Ответ:

$2∕7$ часа со скоростью $14$ км/ч.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 84#70160Максимум баллов за задание: 7

Из пункта А в пункт В выехал велосипедист, а из В в А вышел пешеход. После их встречи велосипедист повернул обратно, а пешеход продолжил свой путь. Велосипедист вернулся в пункт А на 30 минут раньше пешехода, а скорость его была в 5 раз больше скорости пешехода. Сколько минут затратил пешеход на путь из В в А?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте выделим основные моменты: скорость велосипедиста в 5 раз больше, чем пешехода (V=5P), когда кто-то двигается навстречу друг другу и встречается, то часто бывает полезно записать, что за время до встречи вместе они прошли весь путь от A до B за время t!

Подсказка 2

Верно, весь путь S = 6Pt! Идём дальше, после встречи велосипедист поехал обратно, а значит к моменту, когда он вернулся прошло ещё t минут, что тогда можно сказать про пешехода, сколько он прошёл за время 2t со старта и сколько ему осталось пройти?

Подсказка 3

Мы до сих пор не использовали то, что велосипедист вернулся в пункт А на 30 минут раньше пешехода, но мы уже знаем через сколько минут вернулся велосипедист - 2t минут, а за это время наш пешеход протопал 2Pt. За сколько тогда пешеход прошёл оставшееся расстояние? Не забудьте, что нас спрашивали сколько времени он потратит на весь путь, а не на оставшийся, очень важно особое вниманию уделять тому, что именно нужно дать в ответе!

Показать ответ и решение

До встречи пешеход прошёл расстояние, в $5$ раз меньшее, чем проехал велосипедист, то есть $1 6$ всего пути. К моменту возвращения велосипедиста в пункт А пешеход прошёл еще столько же, то есть ему осталось еще $2 3$ пути. На это он потратил $30$ минут. Следовательно, на все расстояние ему потребовалось в полтора раза больше времени, то есть $45$ минут.

Ответ: 45

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 85#70188Максимум баллов за задание: 7

После семи стирок длина, ширина и высота куска мыла уменьшились вдвое. На сколько стирок хватит оставшегося куска? В ответе укажите число.

Показать ответ и решение

После семи стирок объем мыла уменьшился в $2⋅2⋅2= 8$ раз. Следовательно, осталось $1 8$ объема мыла.

$1 7 1− 8 = 8$ объема мыла истратили за семь стирок.

$7 7 1 1 8 :7= 8 ⋅7 = 8$ объема мыла тратится за одну стирку.

А значит, остатка мыла хватит на одну стирку.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 86#70189Максимум баллов за задание: 7

Рыбаки Степан и Макар поймали 3 рыбы: плотву, окуня и щуку. Плотва весит 200 г, окунь — 600 г. Степан разделил рыб между ними так, что ему досталось в два раз больше по весу. Макару это не понравилось, и он разделил рыб по-другому, и на этот раз по весу каждый получил поровну. Сколько граммов весит щука?

Показать ответ и решение

Если рыб разделили так, чтобы по весу каждый получил поровну, то сумма весов каких-то двух рыб равна весу третьей. Значит либо вес щуки равен сумме весов окуня и плотвы, то есть $200+600= 800$ , либо вес щуки в сумме с весом плотвы равен весу окуня, то есть вес щуки на $200$ меньше веса окуня и равен $600− 200= 400$ .

Степан также разделил рыб между ними так, что ему досталось в два раз больше по весу. Поэтому сумма весов всех рыб должна делиться на $3$ . А значит щука не может весить $800$ граммов.

Ответ: 400

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 87#71299Максимум баллов за задание: 7

Фишка стоит на одном из полей бесконечной в обе стороны клетчатой полоски бумаги. Она может сдвигаться на $5$ полей вправо или на $7$ полей влево. Сможет ли она переместиться в соседнюю справа клетку?

Показать ответ и решение

Пусть фишка сделала $x$ шагов вправо и $y$ шагов влево. Тогда она сместилась на $5x− 7y$ клеток вправо (при отрицательном значении этого выражения смещение происходит влево). Нам же надо переместить фишку на соседнюю справа клетку, другими словами, найти какое-нибудь решение уравнения $5x − 7y = 1$ в натуральных числах. Подходит, например, $x =3$ , $y = 2$ , то есть 3 шага влево и 2 шага вправо.

Ответ: да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 88#77201Максимум баллов за задание: 7

Ромашки распускаются по утрам. У распустившейся ромашки 12 лепестков. Каждый вечер от неё отлетает один лепесток, пока не отлетят все. Днём 1-го мая на лужайке росло 20 ромашек с лепестками (хотя бы одним), у них на всех было 219 лепестков. Днём 4-го мая лепестков в сумме на всех ромашках стало 198. Сколько новых ромашек за это время распустились?

Показать ответ и решение

Заметим, что ко дню $4$ мая ромашки, которые распустились с $1$ по $4$ мая, могут добавить к имеющимся лепесткам либо $10,$ либо $11,$ либо $12$ лепестков.

Посчитаем максимальное количество лепестков у $20$ ромашек: $20⋅12 =240$ лепестков. Посчитаем максимальное и минимальное количество лепестков, которое может остаться на изначальных ромашках $4$ мая.

Чтобы найти минимальное количество лепестков, нужно чтобы у каждой ромашки отлетало по $1$ лепестку, что означает, что у изначальных ромашек хотя бы $3$ лепестка изначально.Следовательно, каждый день отлетает по $20$ лепестков. Тогда минимальное количество лепестков будет равно: $219 − 20− 20− 20= 159.$ Тогда можно оценить, сколько максимум ромашек распустилось: $159+ 4⋅10 >198.$ ( $10$ потому, что нужно как можно больше новых ромашек). Следовательно, что новых ромашек меньше $4.$

Чтобы найти максимальное количество лепестков, нужно найти максимальное количество ромашек, у которых не более $2$ лепестков. Т.к. максимальное количество лепестков равно $240,$ а каждая такая ромашка уменьшает количество лепестков как минимум на $10,$ то таких ромашек не более $2,$ т.к. изначальное количество лепестков равно $219.$ Следовательно, максимальное количество лепестков равно: $219− 20 − 18− 18= 163.$ Тогда можно оценить, сколько минимум ромашек распустилось: $163+ 2⋅12 <198.$ ( $12$ потому, что нужно как можно меньше новых ромашек). Следовательно, что новых ромашек больше $2.$

Тогда единственное число, которое больше $2$ и меньше $4$ , это $3.$

Пример: первая ромашка с $1$ лепестком, вторая - с $2$ лепестками, остальные - с $12$ лепестками.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 89#82259Максимум баллов за задание: 7

Десять положительных чисел выписали в строчку в порядке возрастания. Оказалось, что все разности между соседними числами равны, и что удвоенное второе по счету число больше четвертого по счету. Докажите, что упятеренное произведение всех чисел, стоящих на нечетных местах, больше произведения всех чисел, стоящих на четных местах.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Фактически нам дана арифметическая прогрессия. Каждое из 10 чисел выражается через разность прогрессии — разность двух соседних чисел и самое маленькое число. Обозначим самое маленькое число через a, а разность — x. Какое неравенство для a и x получается из условия?

Показать доказательство

Пусть разности равны $x,$ первое число равно $a.$ Тогда $2(a +x)> a+ 3x,$ откуда $a> x.$ Разобьем числа на пары соседних, в каждой паре $(a+ 2kx)∕(a +(2k+ 1)x)$ оценим отношение снизу как $(2k+1)∕(2k+ 2),$ поскольку при уменьшении $a$ до $x$ правильная дробь тоже уменьшится. Тогда отношение произведений оценивается снизу как $(1∕2)⋅(3∕4)⋅(5∕6)⋅(7∕8)⋅(9∕10)= 945∕3840> 1∕5.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 90#97443Максимум баллов за задание: 7

Салон сотовой связи продал $495$ телефонов, базовая цена каждого из которых составляла $5000$ руб. При этом каждый $m$ -й продаваемый телефон был акционный и продавался со скидкой, равной $500$ руб. Покупатель каждого третьего акционного телефона получал, сверх того, и дополнительную скидку в размере $750$ руб. Определите число $m,$ если итоговая выручка салона от продажи телефонов составила 2 413 750 руб.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Понятно, что для такой задачи надо составить уравнение для дальнейшего решения, что стоит взять за x?

Подсказка 2

Пусть, x — количество телефонов, которые были проданы с максимальной скидкой. Как тогда можно выразить количество телефонов, которые были проданы со скидкой в 500 рублей?

Подсказка 3

Количество телефонов со скидкой 500 рублей равно 2x + r, где r — число от 0 до 2 (так как количество телефонов, которые были проданы со скидкой, может не делиться на 3). Какое уравнение тогда можно составить?

Подсказка 4

Мы знаем, что выручка равна 2413750, а если каждый телефон был бы продан без скидки, то получилось бы 495*500. Значит, скидка составила 61250 рублей. Тогда имеет место такое уравнение: 1250x + 500*(2x+r) = 61250. Остаётся решить это уравнение при разных r и задача решена!

Показать ответ и решение

Пусть $x$ — количество телефонов, проданных с максимальной $(500 +750= 1250$ руб.) скидкой. Количество остальных акционных телефонов тогда выражается формулой $2x +r$ , где $r∈ {0,1,2}$ . При этом общая сумма скидок, равная $1250x +500(2x+ r)=2250x+ 500r$ (руб.), равна с другой стороны $495 ⋅5000− 2413750 =61250$ (руб.).

Уравнение $2250x+ 500r =61250$ при $r =0$ и $r= 2$ не имеет целых корней, а при $r= 1$ получается $x =27$ . Искомое $m$ теперь находим как неполное частное от деления 495 на $27+ 2⋅27+ 1= 82$ .

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 91#98069Максимум баллов за задание: 7

Братья Лёша и Саша решили добраться из дома до скейт-парка. Они вышли одновременно, но Лёша пошёл пешком со скейтом в руках, а Саша поехал на скейте. Известно, что Саша едет на скейте в $3$ раза быстрее, чем Лёша идёт пешком со скейтом. Через некоторое время они одновременно поменяли способ передвижения: Лёша поехал на скейте, а Саша пошёл пешком. При этом скорость движения каждого из них изменилась в $2$ раза: у Лёши увеличилась, а у Саши уменьшилась. Оказалось, что до скейт-парка они добрались одновременно. Сколько метров проехал на скейте Саша, если расстояние от дома до скейт-парка составляет $3300$ метров?

Показать ответ и решение

Пусть Лёша идёт пешком со скоростью $x,$ тогда Саша едет на скейте со скоростью $3x,$ Лёша едет на скейте со скоростью $2x,$ а Саша идёт пешком со скоростью $1,5x.$ Раз они прибыли одновременно, при этом меняли способы передвижения тоже одновременно, тогда можем обозначить за $a$ — сколько времени Лёша шёл, а Саша ехал, и за $b$ — сколько времени Саша шёл, а Лёша ехал. Можем составить уравнение

ax+ 2bx = 3ax+ 1,5bx

bx= 4ax

А раз от дома до скейт-парка $3300$ метров, то

ax+2bx= 3300

9ax =3300

3ax =1100

В итоге Саша проехал 1100 метров на скейте.

Ответ: 1100

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 92#100429Максимум баллов за задание: 7

По законам королевства Арадон в хозяйстве каждой семьи может содержаться не более трёх животных. В хозяйстве семьи Арад были корова породы Швиц, лошадь и козочка Дона. Для содержания животных в холодное время года семья заготовила сено. Сын хозяина Дар подсчитал и сказал отцу, что этого сена хватит, чтобы кормить козочку и лошадь один месяц, или козочку и корову $3 4$ месяца, или же корову и лошадь $1 3$ месяца. Объясните, почему отец сказал, что сын плохо учится в школе.

Источники: Муницип - 2023, Орёл, 7.2 (см. tasks.olimpiada.ru)

Показать доказательство

Пусть корова поедает в месяц $x$ стогов, лошадь — $y$ , козочка — $z$ . Сын считает, что

-1-- -1-- 3 -1-- 1 y+ z = 1,z+x = 4,x+ y = 3

Но тогда

y+z =1,z+ x= 4,x+ y = 3 3

Поскольку $1+ 43 < 3$ , то выходит

(y+ z)+(z+ x)<x +y,

отсюда $z <0$ , что невозможно.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 93#100431Максимум баллов за задание: 7

Шнур длиной $3$ м состоит из нескольких зеленых и нескольких красных участков. Зеленый участок горит со скоростью $3$ см/сек, а красный — со скоростью $2$ см/сек. Когда шнур подожгли одновременно с двух концов, он сгорел за $59$ секунд. Какова суммарная длина красных участков шнура? Ответ запишите в см.

Источники: Муницип - 2023, Киров, 7.5 (tasks.olimpiada.ru)

Показать ответ и решение

Очевидно, если шнур поджечь с одного конца, он будет гореть вдвое дольше, чем подожженный с двух концов, то есть 118 секунд. Пусть общая длина красных участков — $x$ см. Тогда общая длина зеленых — $300− x$ см, и веревка, подожженная с одного конца, будет гореть $x∕2+ (300− x)∕3$ сек. Решая уравнение $x∕2+ (300− x)∕3= 118$ , находим $x = 108$ .

Ответ: 108

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 94#131035Максимум баллов за задание: 7

Велодорожка состоит из двух участков: сначала идёт асфальтовый, а затем песчаный. Петя и Вася стартовали порознь (сначала Петя, а затем Вася), и каждый проехал всю дорожку. Скорость каждого мальчика на каждом из двух участков была постоянной. Оказалось, что они поравнялись в середине асфальтового участка, а также в середине песчаного. Кто из мальчиков затратил на всю дорожку меньше времени?

Источники: ВСОШ, РЭ, 2023, 9.1 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Какую часть каждого из участков проехал каждый мальчик между моментами встречи?

Подсказка 2:

Они проехали по половине каждого из участков. Сколько времени затратил каждый из мальчиков на эти участки?

Показать ответ и решение

Первое решение. Между двумя моментами встречи каждый мальчик проехал половину асфальтового и половину песчаного участков, и они затратили на это поровну времени. Значит, на всю дорожку каждый из них затратил вдвое больше времени, то есть тоже поровну.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Нарисуем графики движения мальчиков по дорожке: на горизонтальной оси отмечаем время $t,$ на вертикальной — положение $y$ мальчика, считая от начала дорожки.

Пусть $P0,$ $P1,$ $P2$ — точки, соответствующие старту Пети, моменту, когда он перешёл с асфальтового участка на песчаный, и его финишу; пусть $V0,$ $V1,$ $V2$ — аналогичные точки для Васи. Тогда графики движения мальчиков — это ломанные $P0P1P2$ и $V0V1V2,$ при этом отрезки $P0V0,$ $P1V1$ и $P2V2$ горизонтальны (см. рисунок). По условию, середины отрезков $P0P1$ и $V0V1$ совпадают, откуда $P0V0P1V1$ — параллелограмм. Аналогично, $P1V1P2V2$ — параллелограмм. Значит, отрезки $P0V0,$ $V1P1$ и $P2V2$ параллельны и равны. Поэтому между моментами финиша Пети и Васи прошло столько же времени, сколько и между моментами их старта; отсюда и следует ответ.

$PIC$

Ответ:

они затратили поровну времени

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 95#131944Максимум баллов за задание: 7

Число $x$ таково, что $sin x+tgx$ и $cosx+ ctgx$ — рациональные числа. Докажите, что $sin2x$ является корнем квадратного уравнения с целыми коэффициентами.

Источники: ВСОШ, ЗЭ, 2023, 11.1 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Ясно, что sin(2x) выражается через sin(x)cos(x). Если найти уравнение с таким корнем, то будет несложно получить корень sin(2x).

Подсказка 2:

Давайте заметим, что выражения a + b и ab будут целыми и инвариантными относительно перестановки синуса и косинуса. Почему бы в дополнение к выражению v = sin(x)cos(x) не взять выражение u = sin(x) + cos(x) и попробовать выразить ab и a + b через u и v?

Подсказка 3:

Вы должны были получить такие равенства: a + b = u + 1/v, ab = v + u + 1. Как из них получить нужное уравнение?

Показать доказательство

Положим $a= sinx+ tgx$ и $b= cosx+ ctgx.$ Введём обозначения:

u= sinx+ cosx

v = sinxcosx

По условию рациональными являются числа

c =a+ b= u+ v−1

d =a⋅b= v+ u+ 1

Отсюда

k= d− c= v+1 − v−1

Значит,

t= sin2x= 2v

является решением квадратного уравнения

2 t + 2t− (4+ 2kt)= 0

с рациональными коэффициентами, откуда следует требуемое.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 96#31284Максимум баллов за задание: 7

Артемон подарил Мальвине букет из аленьких цветочков и чёрных роз. У каждой чёрной розы $4$ пестика и $4$ тычинки, а на стебле два листка. У каждого аленького цветочка $8$ пестиков и $10$ тычинок, а на стебле три листка. Листков в букете на $108$ меньше, чем пестиков. Сколько тычинок в букете?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте введем переменные для количества цветов: Пусть аленьких цветочков x штук, а черных роз y штук.
Тогда можно выразить общее число листков и пестиков через x и y и составить уравнение

Подсказка 2

Составим уравнение, опираясь на то, что разность числа пестиков и числа листков равна 108.

Подсказка 3

Нам необходимо найти число тычинок в букете. Выразим его через x, y и сравним это выражение с уравнением из предыдущего пункта.

Показать ответ и решение

Обозначим количество аленьких цветочков через $x$ , а количество черных роз — через $y$ . Тогда листков в букете $2y+3x$ , а пестиков — $4y+8x$ . При этом известно, что листков на 108 меньше, чем пестиков, значит, $4y+ 8x− (2y+ 3x)=108$ , откуда $2y+ 5x= 108$ .

Тычинок же в букете $4y+ 10x$ , что в 2 раза больше, чем $2y +5x$ . Таким образом, тычинок $108⋅2= 216$ .

Ответ:

$216$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 97#31285Максимум баллов за задание: 7

Коля и Вася за осень получили по $60$ оценок, причем Коля получил пятерок столько же, сколько Вася четверок, четверок столько же, сколько Вася троек, троек столько же, сколько Вася двоек, и двоек столько же, сколько Вася пятерок. При этом средний балл у них одинаковый. Сколько двоек за осень получил Коля?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте введем переменные для каждой оценки Коли. Например, х для пятерок, у для четверок, z для троек и t для двоек. Запишите теперь количество каждого вида оценок Васи, выраженное через эти же переменные! Составьте уравнения!

Подсказка 2

Да, мы можем составить одно уравнение, опираясь на суммарное количество оценок и второе, опираясь на то, что средние арифметические баллы мальчиков равны. Помните, что нам не нужно искать x, y и z, а нам нужно найти только t!

Подсказка 3

Давайте в обоих уравнениях сделаем с одной стороны одно и то же выражение, зависящее от х, у и z, чтобы с другой стороны были различные выражения от t, которые мы сможем приравнять и найти t!

Показать ответ и решение

Обозначим количества пятерок, четверок, троек и двоек, полученных Колей, через $x,y,z$ и $t$ соответственно. Тогда средний балл Коли равен $(5x +4y+ 3z+2t)∕60.$ Те же самые переменные будут обозначать для Васи количество четверок, троек, двоек и пятерок соответственно. Значит, его средний балл будет равен $(4x+3y+ 2z+ 5t)∕60.$ Приравняем средние баллы:

5x+ 4y+ 3z+2t 4x+ 3y+ 2z +5t x+ y+ z− 3t ------60-----= ------60------ ⇔ ----60----= 0 ⇔ x+ y+z =3t

Кроме того, по условию

x+ y+z +t= 60 ⇔ x +y+ z = 60− t

Тогда получаем равенство

60 − t= 3t ⇔ t= 15

Ответ:

$15$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 98#31289Максимум баллов за задание: 7

Род Муромцевых (ныне, увы, прекратившийся) основали трое сыновей Ильи Муромца. Все мужчины в этом роду имели по трое детей, за исключением семерых, не оставивших потомства. Всего в роду были $1994$ женщины. Сколько всего человек было в роду Муромцевых? Роду принадлежали основатели, а также те и только те дети, чей отец принадлежал роду.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обозначьте число всех мужчин в роду за х. Как будет выражаться общее число людей в роду, если мы запишем его, как сумму мужчин и женщин?

Подсказка 2

Теперь давайте по-другому выразим общее количество людей в роду.
Обратите внимание, что все представители рода, кроме трех основателей, является ребенком одного из мужчин, принадлежащему этому роду. Как тогда выражается число детей в этом роду? А как выражается число людей в роду через детей и основателей?

Подсказка 3

Теперь, когда мы выразили общее число людей в роду двумя способами мы можем приравнять эти выражения, и найти х.

Подсказка 4

Остается ответить на вопрос задачи. Мы нашли, чему равно количество мужчин в роду, остается прибавить к нему количество женщин, и мы найдём, сколько человек было в роду Муромцевых.

Показать ответ и решение

Обозначим количество всех мужчин в роду (в том числе основателей) через $x$ . Посчитаем двумя способами количество людей в этом роду. С одной стороны, их, очевидно, $x +1994$ , ведь всех людей можно посчитать, сложив мужчин и женщин.

С другой стороны, каждый человек в этом роду, кроме основателей, является ребенком одного из мужчин этого рода. По условию, каждый мужчина, кроме семерых, имел трое детей. Отсюда следует, что детей в этом роду было $3⋅(x− 7)$ . Непосчитанными остались лишь сами основатели, поэтому в итоге получается $3⋅(x− 7)+ 3$ .

Итак, имеем равенство $x+ 1994 =3 ⋅(x− 7)+3$ , откуда $x= 1006$ , а количество всех людей в роду равно $1006+ 1994= 3000$ .

Ответ:

$3000$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 99#32288Максимум баллов за задание: 7

У Кати, Лизы, Маши и Насти вместе $100$ леденцов. У любых двух девочек в сумме хотя бы $41$ леденец. Какое наименьшее количество леденцов может быть у Лизы?

Показать ответ и решение

Обозначим количество леденцов у Кати, Лизы, Маши и Насти соответственно за $k,l,m,n$ . Тогда $k+ l≥ 41,$ $l+ m ≥41,$ $l+n ≥ 41.$ Складывая эти неравенства, получаем

2l+(k+ l+ m + n)≥123.

Причем

k+ l+m + n= 100,

откуда $2l≥ 23,$ или же в целых числах $l≥ 12.$ Пример на $12$ существует: $l= 12,$ $m =n = 29,$ $k =30.$

Ответ:

$12$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 100#32987Максимум баллов за задание: 7

На тараканьих бегах $20$ тараканов выбегают друг за другом с интервалом в одну минуту и бегут с постоянными скоростями. Второй догнал первого через $2$ минуты после своего старта, третий догнал второго через $3$ минуты после своего старта, и так далее, двадцатый догнал девятнадцатого через $20$ минут после своего старта. Через сколько минут после своего старта двадцатый таракан догнал первого?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумаем, как соотносятся между собой скорости тараканов с номерами n и n+1: (n+1)-ый таракан пробежал расстояние, которое пробежал и n-ый, на одну минуту быстрее, то есть скорость n+1-ого больше в (n+2)/(n+1) раз, чем у n-ного. Попробуйте тогда найти отношение скоростей 20-го и 1-го тараканов.

Подсказка 2

Тут нам и поможет телескоп: отношение скоростей посчитается как 21/20 * 20/19 * ... * 3/2. Раз мы нашли это отношение, то введем неизвестные искомого времени t и скорости первого "бегуна" v, составим уравнение на равенство пройденных путей и зарешаем эту задачу!

Показать ответ и решение

Таракан с номером $k$ догоняет предыдущего за $k$ минут, а сам предыдущий бежит $k +1$ минуту, откуда скорость таракана с номером $k$ в $k+1 k$ раз больше. Тогда скорость двадцатого в $21- 20- 3 21 20 ⋅19 ⋅...⋅2 = 2$ больше скорости первого. Если двадцатый бежал $t$ минут до встречи с первым, то первый бежал $19+ t$ минут. Тогда расстояние, которое каждый из них пробежал, делённое на скорость первого таракана, равно $21- 19+ t= 2 t=⇒ t= 2.$

Ответ:

$2$

Следующая подтема