Алгебраические текстовые задачи → .02 Составление уравнений

Пусть сторона квадрата равна .

При минимальной длине прямоугольника и максимальной площади поля мы находим максимальное :

При максимальной длине прямоугольника и минимальной площади поля мы находим минимальное :

Размеры должны составлять целое число метров, поэтому с учётом получаем

При стороне площадь равна , при стороне площадь равна

Обозначим количество квадратиков через а сторону исходных квадратиков — через см. Тогда периметр фигурки равен см, что по условию равно см. Тогда откуда искомое количество a может быть равно Легко видеть, что все примеры подходят, ведь тогда однозначно находится число и с соответствующими параметрами строится картинка.

Так как компьютеров получилось то операций второго типа было Так как планшетов получилось то всего операций было и, в частности, операций первого типа Если первоначально телефонов было то в конце их стало Следовательно

Пусть год рождения тогда Тогда Заметим, что нечетно. При будет и возраст При будет чего не может быть, так как При получим, что чего тоже не может быть.

Пусть в третий день он съел бананов. Тогда всего он съел

бананов. Отсюда а

Пусть в классе мальчиков и девочек. Тогда тогда Поскольку числа и — целые, число должно делиться на Наименьшее такое число и есть Тогда в классе мальчиков, а всего учеников Это и есть наименьшее возможное количество детей.

Пусть Незнайка сделал прыжков по шага, — по . Тогда , то есть , а значит, всего шагов .

Из условия следует, что число учеников должно быть кратно и В силу взаимной простоты этих чисел количество учеников должно быть кратно Но раз оно не больше то учеников ровно Отсюда медали завоевали Соответственно без медалей остались человек, столько и надо купить тортов.

Если учеников было , то они дали каждый по -му ответу и всего получилось ответ. Так как всего ответов было дано , то . Пусть среди учеников было честных и лжецов. Тогда каждый из честных ребят дал ответ «правдивец» и ответов «лжец». А каждый из лжецов дал ответов «лжец» и ответов «правдивец». Тогда ответов «правдивец» всего было дано , что по условию равно . Отсюда получаем уравнение . Приведя подобные слагаемые, получим: . Это равенство раскладывается на множители , то есть может быть равен или . Подставляя полученные значения в количество полученных ответов «лжец» равное , видим что получится при обоих значениях . Если честных было двое, то они дали правдивых ответов. Если же их было , то тогда они дали правдивых ответов.

Пусть однокомнатная квартира стоила рублей, а двухкомнатная — рублей. Тогда условие задачи можно записать как: . Приведя подобные слагаемые получаем, что или же: . Это означает, что однокомнатная квартира в раза дешевле.

Первый тип стоит тыс. руб. за кг, второй тип стоит тыс. руб. за кг, третий тип стоит тыс. руб. за кг. Значит, если мы хотим максимизировать сумму, то последних должно быть как можно больше. Пусть при этом деталей первого типа, — второго типа и — третьего. Тогда имеем . Отсюда . Значит,

Если то Отсюда , и значит, . Так как изделия третьего типа самые выгодные, то их должно быть как можно больше. Тогда сумма получится

Если , то есть хотя бы изделия второго типа, а стоимость каждого оставшегося килограмма не больше , поэтому общая сумма не больше, чем . Значит, максимальная сумма равна

Теперь найдем минимальную сумму. В ней должно быть как можно больше изделий второго типа.

, поэтому .

Если , то . Отсюда и . Значит, . Так как изделия второго типа самые невыгодные, значит их должно быть как можно больше. Отсюда минимальная сумма при равна .

Если , то каждый оставшийся килограмм стоит хотя бы , а минимальная сумма в этом случае равна .

Пусть учителей тогда они могут провести уроков в день. Школьникам же требуется уроков, где первое число означает число классов, которым нужно проводить уроки. Отсюда

Пусть — указанные числа, записанные в порядке их следования в кругах при обходе по часовой стрелке и числа a, c, e располагаются в вершинах треугольника. Если — рассматриваемая сумма, то имеем:

Складывая все уравнения системы, получаем: где то есть:

Следовательно, число не может быть больше числа

Приведем пример, когда достигается.

Пусть — количество бизнесменов и — прибыль -го директора, . По условию . Тогда

Таким образом,

Перемножая эти равенства, получим

По условию , то есть , откуда .

Пусть изначальная сумма была равна . Значит число и целое. Отсюда делится на 5. Если последняя цифра числа равна 0, то число не более чем трехзначное?! Значит, последняя цифра равно 5. Тогда и и поэтому первая цифра равна 4.

Если , то и . Раз , то оно делится на 9. Сумма первой и последней цифры делится на 9. Значит, нам нужно перебрать все целые четырехзначные числа с первой цифрой 4, последней 5 и делящиеся на 9. Значит, они должны давать остаток 45 при делении на 90. Значит, нам нужно постепенно увеличивать на 90 число 4095.

• . Тогда ?!
• . Тогда ?!
• . Тогда ?!

Заметим, что когда увеличивается на 90, то увеличивается на 108. При этом мы хотим, чтобы у числа последняя цифра была 4. Значит, нам на самом деле нужно число 4095 увеличивать на 450 (чтобы последняя цифра у оставалась 4).

• . Тогда ?!
• . Тогда и этот вариант подходит.
• . Тогда и этот вариант подходит.

Пусть пирожное, кекс и бублик стоят и соответственно. Тогда , а Лена потратила . Заметим, что

Откуда следует, что Лена могла бы купить кексов за те же деньги.

Набор по одному изделию каждого вида общим весом кг можно составить из этих предметов только двумя способами:

• 10 кг и 5 кг. Пусть — количество изделий массой 5 кг, по условию самых тяжелых изделий (массой 10 кг) — на 5 штук больше, т.е. . Получим:

  

  — не имеет целочисленных решений. Значит этот случай невозможен.

• 10 кг, 2 кг и 3 кг. Пусть — количество изделий массой 2 кг, — количество изделий массой 3 кг. Тогда по условию — количество изделий массой 10 кг. Получим:

  

  

  справа разность двух четных чисел, следовательно может быть только четным и натуральным.

  При имеем:

  (изделий по 2 кг)

  (изделий по 10 кг).

  При и т.д. получается , т.е. решение — единственное.

Пусть в зоопарк было пар особей и детёнышей. Тогда каждый детёныш состоял в тройках: самку можно было выбрать из одной из пар особей, а после её выбора самца можно было выбрать из одной оставшихся пар. Значит, общее количество троек равно

Поскольку получаем то есть Значит,

Число имеет два делителя и отличающиеся на Если один из этих делителей делится на то другой даёт остаток или при делении на Тогда он взаимно прост с а значит, делит и при этом не меньше Нетрудно видеть, что этим делителем может быть только тогда

Если же оба числа не делится на , то число делится на их произведение, а это противоречит тому, что

Например, подходят числа и .

Эти числа получаются, если мы решим систему уравнений, которую можно записать из условия:

Квадраты двух чисел равны тогда и только тогда, когда их модули равны. Это означает, что модуль равен модулю , то есть модуль равен модулю . Это может быть только в том случае, если знаки чисел и противоположны. Это означает, что , откуда  — единственное решение.

Первое решение.

Если какой-то из братьев родился в году, то по условию получаем уравнение . Поскольку и цифры, то решение этого уравнения единственное: .

Если же кто-то из братьев родился в году, то аналогично получаем уравнение , откуда .

Второе решение.

Начнём с годов. Сопоставим год и сумму цифр вручную

И подходит только год рождения. Рассмотрим оставшиеся

• Пусть брат родился в или ранее в -м веке (рассматривать не имеет смысла, поскольку сумма цифр точно не больше ). Тогда сумма цифр не больше , хотя возраст к будет больше .
• Брат родился в . Тогда сумма цифр возрастает от до , а возраст к убывает от до . Равенство будет в единственном .
• Брат родился в год. Аналогично сумма цифр растёт от до , а возраст к убывает от до , в силу разной чётности общих точек не будет.

У нас получилось только два подходящих под описание года, значит, в них братья и родились.