Инвариант

Рассмотрим самую нижнюю карту нижней колоды и такую же карту верхней колоды, пусть, например, это короли треф. Предположим, что в верхней колоде король треф лежит на семёрке бубен. Заметим, что если мы в верхней колоде поменяем местами короля треф и семёрку бубен, то количество карт, лежащих между королями треф, на одну уменьшится, а количество карт, лежащих между семёрками бубен, на одну увеличится. Значит, искомая сумма от такой перестановки не изменится. Рассуждая аналогично, можно постепенно менять местами короля треф из верхней колоды с картами, на которых он лежит, до тех пор, пока король треф не станет самой нижней картой в верхней колоде. Далее рассмотрим вторую снизу карту нижней колоды и повторим описанную процедуру с такой же картой из верхней колоды, и так далее. Так, постепенно меняя местами соседние карты верхней колоды, можно, не изменяя искомой суммы, расположить карты верхней колоды в том же порядке, что и в нижней. Тогда между каждыми двумя одинаковыми картами будет лежать ровно карт, поэтому искомая сумма равна