Тема Алгебраические текстовые задачи

Задачи на работу

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебраические текстовые задачи

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#32987

На тараканьих бегах $20$ тараканов выбегают друг за другом с интервалом в одну минуту и бегут с постоянными скоростями. Второй догнал первого через $2$ минуты после своего старта, третий догнал второго через $3$ минуты после своего старта, и так далее, двадцатый догнал девятнадцатого через $20$ минут после своего старта. Через сколько минут после своего старта двадцатый таракан догнал первого?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумаем, как соотносятся между собой скорости тараканов с номерами n и n+1: (n+1)-ый таракан пробежал расстояние, которое пробежал и n-ый, на одну минуту быстрее, то есть скорость n+1-ого больше в (n+2)/(n+1) раз, чем у n-ного. Попробуйте тогда найти отношение скоростей 20-го и 1-го тараканов.

Подсказка 2

Тут нам и поможет телескоп: отношение скоростей посчитается как 21/20 * 20/19 * ... * 3/2. Раз мы нашли это отношение, то введем неизвестные искомого времени t и скорости первого "бегуна" v, составим уравнение на равенство пройденных путей и зарешаем эту задачу!

Показать ответ и решение

Таракан с номером $k$ догоняет предыдущего за $k$ минут, а сам предыдущий бежит $k +1$ минуту, откуда скорость таракана с номером $k$ в $k+1 k$ раз больше. Тогда скорость двадцатого в $21- 20- 3 21 20 ⋅19 ⋅...⋅2 = 2$ больше скорости первого. Если двадцатый бежал $t$ минут до встречи с первым, то первый бежал $19+ t$ минут. Тогда расстояние, которое каждый из них пробежал, делённое на скорость первого таракана, равно $21- 19+ t= 2 t=⇒ t= 2.$

Ответ:

$2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#33222

Гарри Поттер и Рон Уизли поздно вечером отправились к хижине Хагрида. Обычно они ходили до него пешком. Но сегодня друзьям нужно было попасть к Хагриду как можно быстрее, поэтому они полетели до него на метле и добрались в $5$ раз быстрее обычного. Однако, когда пришла пора возвращаться, наступил отбой, поэтому друзья накинули на себя мантию-невидимку и шли вдвое медленнее, чем обычно. Больше или меньше времени потратили друзья на суммарный путь туда и обратно?

Показать ответ и решение

Так как обратно друзья шли вдвое медленнее обычного, то и на обратный путь они потратили в $2$ раза больше времени, чем обычно. Поэтому за такое же время обычно они бы уже успели сходить туда и обратно. Но в тот день они еще какое-то время летели на метле. Поэтому суммарно они потратили больше времени, чем обычно.

Ответ: Больше

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#33223

Хогвартс-экспресс (считая с момента, когда поезд начал въезжать на мост, до момента, когда он целиком съехал с него) проезжает мост длиной $600$ метров за минуту, а мимо не успевшего на поезд Гарри Поттера экспресс едет полминуты. Найдите длину Хогвартс-экспресса и его скорость.

Показать ответ и решение

За минуту движения по мосту голова поезда проходит, во-первых, весь мост, а во-вторых расстояние, равное длине состава. То же расстояние, равное длине поезда, при проезде мимо Гарри Поттера голова поезда проходит за полминуты. Значит, только мост длиной $600$ метров голова поезда проходит за полминуты. За оставшиеся полминуты голова поезда пройдет еще $600$ метров, или длину поезда, поэтому длина поезда равна $600$ метрам. Наконец, так как за полминуты поезд проходит $600$ метров, то за целую минуту поезд проходит $1200$ метро, а за час — $1200⋅60 =72000$ метров, или $72$ километра. Поэтому скорость Хогвартс-экспресса равна $72$ километра в час.

Ответ: Длина поезда - 600м, а скорость 72 км/час

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#33224

За долгие годы учебы Гарри Поттер выяснил, что путь из башни Гриффиндора до кабинета зельеварения в подземельях занимает ровно $15$ минут. Однажды, спускаясь в подземелья, Гарри понял, что забыл учебник зельеварения. Наколодовав заклинание времени Темпус, Гарри посчитал, что если продолжит путь в класс, то придет за $2$ минуты до звонка, а если вернется за учебником, то опоздает на $8$ минут. Сколько минут до кабинета зельеварения оставалось идти Гарри в тот момент, когда он обнаружил оплошность?

Показать ответ и решение

Так как в одном случае Гарри придет за $2$ минуты до звонка, а в другом опоздает на $8$ минут, то разница во времени между двумя случаями составляет $2 +8= 10$ минут. На что тратятся эти $10$ минут? Во-первых, на путь от того места, где сейчас Гарри, до его комнаты, а также на обратный путь. Таким образом, путь от текущего места Гарри до его комнаты составляет $10:2= 5$ минут. Поэтому до кабинета зельеварения Гарри оставалось идти $15 − 5 =10$ минут.

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#33225

Дамблдор и Лорд Волдеморт выпустили одновременно друг в друга по заклинанию, находясь на расстоянии $1526$ метров. Заклинание Дамблдора, Экспеллиармус, летит со скорость $16$ метров в секунду, а заклинание Волдеморта, Авада Кедавра, летит со скоростью $11$ метров в секунду. В итоге заклинания попали друг в друга. На каком расстоянии заклинания были за секунду до встречи?

Показать ответ и решение

За последнюю секунду Экспеллиармус пролетит $16$ метров, а Авада Кедавра — $11$ метров. В сумме получается $16+ 11= 27$ метров, и именно таким было расстояние за секунду до встречи.

Замечание. Разумеется, ответ в данной задаче не зависит от расстояния, на котором находились друг от друга два волшебника.

Ответ: 27

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#33226

По случаю очередной победы в квиддиче Гарри и его друзья договорились устроить празднование в Выручай-комнате. Сам Гарри пришел точно к началу, его подруга Гермиона пришла заранее на $5$ минут раньше, а вот Рон опоздал на $2$ минуты. Первой с праздника ушла ответственная Гермиона. Гарри ушел на $3$ минуты позже, а Рон ушел последним на $10$ минут позже Гарри. Кто провел в этот день в Выручай-комнате больше времени и на сколько: Рон или Гермиона?

Показать ответ и решение

Из первого условия следует, что Гермиона пришла в Выручай-комнату на $2+ 5= 7$ минут раньше Рона. Из второго условия следует, что Гермиона ушла на $3+10= 13$ минут раньше Рона. Так как $13 >7$ , то Рон провел в Выручай-комнате больше времени. Чтобы посчитать, на сколько, достаточно из $13$ минут вычесть $7$ : на $13− 7= 6$ минут Рон провел в Выручай-комнате больше Гермионы.

Ответ: Рон на 6 минут

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#33227

Гарри Поттер летит из Литл-Уингинга в Лондон с постоянной скоростью и по пути считает дорожные столбы, расположенные на равном расстоянии друг от друга. От первого столба до четвертого Гарри летел $40$ секунд. За какое время Гарри пролетит от $21$ -го столба до $36$ -го?

Показать ответ и решение

Докажем, что количество промежутков между столбами равно разнице их номеров. В самом деле, рассмотрим произвольный столбец. Между ним и первым столбом промежутков столько, каков номер этого столба. Поэтому если мы рассматриваем столбы с номерами $n$ и $k$ , где $n >k$ , то между столбами $1$ и $n$ промежутков $n − 1$ , а между столбами $1$ и $k$ промежутков $k− 1$ . Когда мы считаем промежутки между столбами $n$ и $k$ , мы из $n − 1$ промежутка от $1$ столба до столба номер $n$ должны вычесть лишние промежутки от $1$ столба до $k$ , то есть $k− 1$ промежуток. Итого получаем $n− 1− (k − 1)= n− k$ промежутков.

Поэтому по условию $4 − 1 =3$ промежутка Гарри пролетает за $40$ секунд. Между $21$ и $36$ столбами $36− 21=15$ промежутков, и Гарри будет лететь между ними в $15:3= 5$ раз дольше, то есть $40⋅5 =200$ секунд, или $3$ минуты и $20$ секунд.

Ответ: За 200сек. или 3мин. 20 сек.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#33228

Хагрид гонится за дракончиком Норбертом. Расстояние между Хагридом и дракончиком равно $30$ прыжкам дракончика, а расстояние от дракончика до Запретного леса равно $42$ таким же прыжкам. Пока дракончик совершает $3$ прыжка, Хагрид успевает сделать один шаг, но шаг Хагрида в пять раз длиннее прыжка дракончика. Успеет ли Хагрид догнать своего питомца до того, как тот скроется в Запретном лесу?

Показать ответ и решение

Будем за единицу времени рассматривать время, за которое дракончик совершает $3$ прыжка. Так как за это время Хагрид делает шаг, который в $5$ раз длиннее прыжка Норберта, скорость Хагрида за эту единицу времени равна $5$ прыжкам дракончика. Поэтому скорость сближения Хагрида и Норберта равна $2$ прыжкам дракончика. Так как все расстояние между Хагридом и дракончиком равно $30$ прыжкам дракончика, Хагрид догонит Норберта через $30:2= 15$ таких единиц времени.

С другой стороны, для того, чтобы скрыться в Запретном лесу, Норберту надо всего лишь $42:3= 14$ единиц времени. Значит, дракончик окажется в Запретном лесу раньше, чем Хагрид успеет его догнать.

Ответ: Нет, не успеет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#33229

Поезд с вокзала Кингс-Кросс до Хогсмида идет $9$ часов с постоянной скоростью и нигде не останавливается. Когда Невилл проехал треть пути, он лег спать и проснулся только тогда, когда осталось ехать половину того пути, который он проспал. Сколько всего часов спал в поезде Невилл?

Показать ответ и решение

Поезд проехал треть пути за $9:3 =3$ часа. Значит, ему оставалось ехать еще $9− 3 =6$ часов. В этот момент Невилл лег спать. По условию, спал Невилл до тех пор, когда ему осталось проехать половину пути, который он проспал. Значит, весь оставшийся путь можно поделить на три равные части: две из них он проспал, а еще одну ехал уже проснувшимся. Длительность одной части составляет $6:3= 2$ часа, а спал Невилл две такие части, значит, он спал $2 ⋅2 =4$ часа.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#33230

Гарри и Рон шли навстречу друг другу, находясь вначале на расстоянии $20$ километров. Гарри идет со скоростью $4$ км/ч, а Рон — со скоростью $6$ км/ч. Гарри шел с собакой по имени Бродяга. Бродяга сразу же побежал навстречу Рону, встретил его, развернулся и побежал обратно навстречу Гарри, встретил его, снова развернулся и побежал навстречу Рону, и так далее. Так Бродяга бегал с постоянной скоростью $9$ км/ч, пока друзья не встретились. Сколько километров пробежал Бродяга?

Показать ответ и решение

Так как Гарри и Рон идут навстречу друг другу, их скорость сближения мы посчитаем как сумму скоростей: $6+4 =10$ км/ч. Учитывая, что изначально между друзьями $20$ километров, встретятся они через $20:10= 2$ часа. Все это время Бродяга бегает со скоростью $9$ км/ч, значит, за это время Бродяга пробежит $9⋅2= 18$ километров.

Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#33231

Фред и Джордж Уизли гуляют по Косой Аллее от Дырявого Котла до банка Гринготтс. Длина всего пути составляет $3$ километра. Фред идет со скоростью 100 м/мин, а Джордж со скоростью 120 м/мин. Каждый раз, когда Фред видит скамейку, он садится на нее и отдыхает одно и то же время. Джордж, видя скамейку, садится на нее и отдыхает вдвое дольше Фреда. В итоге братья-близнецы пришли в Гринготтс одновременно. Какое время в сумме сидел на скамейках Джордж?

Показать ответ и решение

Во-первых, переведем длину пути в метры: $3км= 3000м$ . Поэтому без остановок Фред прошел бы этот путь за $3000 :100= 30$ минут, а Джордж — за $3000:120= 25$ минут. Разница между ними составляет $30− 25= 5$ минут. Значит, на столько минут дольше отдыхал Джордж, чем Фред. По условию, Джордж отдыхал в $2$ раза дольше Фреда. Поэтому эти $5$ минут составляют половину времени, которое отдыхал Джордж. Значит, всего Джордж отдыхал $5⋅2= 10$ минут.

Ответ: 10

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#33232

Гарри Поттер и Драко Малфой соревновались в полетах на метле. Для этого они полетели из Лондона в Хогвартс, стартовав в одно и то же время в одном и том же месте. Гарри Поттер половину пути летел со скоростью $80$ км/ч, а вторую половину пути — со скоростью $70$ км/ч. Драко Малфой половину времени летел со скоростью $80$ км/ч, а вторую половину времени — со скоростью $70$ км/ч. Кто из них победил?

Показать ответ и решение

Из условия следует, что Гарри и Драко летели только со скоростями $80$ км/ч и $70$ км/ч. Поэтому победил тот, кто летел со скоростью $80$ км/ч дольше. Гарри, по условию, пролетел со скоростью $80$ км/ч половину пути. Драко же пролетел с такой скоростью половину времени: значит, за это время он пролетел больше половины пути, иначе бы он не успел за такое же время пролететь оставшуюся часть пути. Таким образом, со скоростью $80$ км/ч Драко пролетел больше половины пути, значит, с такой скоростью он летел дольше, чем Гарри. Поэтому в этих соревнованиях победил Драко.

Ответ: Драко

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#33840

У Лосяша есть личный бассейн. Он наполняется с помощью одной трубы. За $2$ часа бассейн наполняется на $400$ м $3$ . Полностью бассейн заполняется за $5$ часов. Каков объем бассейна?

Показать ответ и решение

Для начала найдем производительность трубы, то есть сколько кубических метров воды проходит через трубу за $1$ час.

Нам известно, что за $2$ часа бассейн наполняется на $400$ м $3$ . Тогда за час получается вдвое меньше, то есть $400:2= 200$ м $3$ . Таким образом, производительность трубы $200$ м $3$ за один час.

За $5$ часов труба наполнит в $5$ раз больше, чем за один час, то есть $200⋅5= 1000$ м $3$ . По условию, за это время наполняется весь бассейн, значит, его объем равен $1000$ м $3$ .

Ответ: 1000м3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#33841

Лосяш немного расширил бассейн, а также подвел к нему еще одну трубу. Теперь первая труба заполняет бассейн за $6$ часов, а вторая — за $10$ часов. Сколько времени нужно для заполнения бассейна теперь, если одновременно открыть две трубы?

Показать ответ и решение

Обозначим через $1$ всю работу. Тогда производительность первой трубы равна $1∕6$ , а второй трубы — $1∕10$ в час. Их суммарная производительность равна

1 1 4 6 + 10 = 15.

Тогда всю работу, то есть $1$ , две трубы выполнят за $4 15 1:15 =-4$ часа, или $3$ часа $45$ минут.

Ответ: 3 часа 45 минут

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#33842

Лосяш немного расширил бассейн, а также подвел к нему еще одну трубу. Теперь первая труба заполняет бассейн за $6$ часов, а вторая — за $10$ часов. Лосяш открыл первую трубу, а про вторую вспомнил только через час, поэтому открыл ее спустя час после первой трубы. Сколько времени займет заполнение бассейна?

Показать ответ и решение

1 1 4 6 + 10 = 15.

Заметим, что при этом первая труба по условию час уже проработала. Значит, нам осталась не вся работа, а лишь ее часть. За час была заполнена $1 6$ часть бассейна, значит, осталось $5 6$ . Они будут заполнены за

5 4 5⋅15 75 6 :15-= 6⋅4-= 24 часа,

или, так как $7524-= 3 324-= 318$ , то $3$ часа и $7,5$ минут. Вспомним, что $1$ час уже проработала первая труба, значит, в сумме бассейн заполнялся $4$ часа и $7,5$ минут.

Ответ: 4 часа 7,5минуты

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#33843

Бассейн Лосяша заполняется первой трубой за $6$ часов, а второй трубой — за $10$ часов. К сожалению, вторая труба через некоторое время засорилась, поэтому стала работать не в полную силу. В итоге, включив две трубы одновременно, Лосяш заполнил бассейн только через $5$ часов. За сколько часов теперь заполняет бассейн только вторая труба?

Показать ответ и решение

Обозначим через 1 всю работу. Тогда за один час первая труба заполняет $1:6 = 1 6$ часть бассейна.

По условию, первая труба проработала 5 часов. Значит, за это время она заполнила

1 5 5⋅6 = 6 бассейна

Оставшуюся $5 1 1 −6 = 6$ бассейна за 5 часов заполнила вторая труба. Тогда за 1 час вторая труба заполняет

1 1 6 :5= 30 часть бассейна

Весь бассейна только вторая труба заполнит за $1: 130 = 30$ часов.

Ответ: 30

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#33844

Как мы уже знаем, бассейн Лосяша заполняется первой трубой за $6$ часов, а второй трубой — за $10$ часов. В прошлой задаче вторая труба засорилась, но теперь Лосяш ее почистил, и она заработала в полную силу. Сначала Лосяш открыл вторую трубу. Через сколько часов нужно открыть первую трубу, чтобы в итоге вклад двух труб в заполнение бассейна был одинаковым?

Показать ответ и решение

В итоге вклад обеих труб в заполнение бассейна должен быть одинаковым, поэтому каждая из труб должна заполнить половину бассейна. Так как целиком второй трубой бассейн заполняется за 10 часов, то наполовину он ей заполняется за 5 часов. Значит, наполнение бассейна должно закончиться через 5 часов после начала.

Посчитаем, какое время нужно первой трубе, чтобы заполнить половину бассейна. Так как полный бассейн эта труба заполняет за 6 часов, то на половину бассейна ей требуется 3 часа. Поэтому первая труба должна работать 3 часа. Общее время работы, как было посчитано выше, равно 5 часам, значит, первую трубу надо открыть через $5− 3 =2$ часа после второй.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#33845

Как мы уже знаем, бассейн Лосяша заполняется первой трубой за $6$ часов, а второй трубой — за $10$ часов. Лосяш сначала открыл только вторую трубу. Через какое время надо открыть еще и первую, чтобы заполнить бассейн за $6$ часов?

Показать ответ и решение

Так как вторая труба все время работает, а ее производительность равна $1- 10$ части в час, то за 6 часов она наполнит

-1 6- 3 6⋅10 = 10 = 5 бассейна

Значит, остальная часть, то есть $3 2 1− 5 = 5$ бассейна, должна заполниться первой трубой. Посчитаем, какое время ей на это потребуется. Для этого нужно ее работу, то есть $2 5,$ поделить на производительность первой трубы, то есть на $1 6 :$

2 1 2 12 2 5 :6 = 5 ⋅6=-5 = 25 часа

Чтобы найти время, через которое ее надо открыть, надо вычесть это время из 6 часов:

6− 22= 30−-12= 18= 33 5 5 5 5

Итого, первую трубу надо открыть через 3 часа и $35 ⋅60=36$ минут после второй.

Ответ: 3 часа 36 минут

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#33846

Лосяш подвел к бассейну третью трубу. Теперь только первая труба заполняет бассейн за $6$ часов, вторая — за $10$ часов, а третья — за $15$ часов. За сколько часов заполнится бассейн, если открыть все три трубы одновременно?

Показать ответ и решение

Обозначим всю работу через 1. Тогда производительность первой трубы равна $1 6$ в час, второй трубы — $1- 10$ в час, третьей — $1- 15$ в час. Их суммарная производительность равна

1 1 1 10+6 +4 20 1 6 + 10-+ 15-= ---60----= 60-= 3

Тогда всю работу, то есть 1, с такой производительностью трубы выполнят за $1 1:3 = 3$ часа.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#33847

У Лосяша есть бассейн, и его заполняют три трубы. Первая труба заполняет бассейн за $6$ часов. Вторая и третья труба засорились, и теперь Лосяш не знает, как они работают. Чтобы быстрее это проверить и не ждать слишком долго, он сначала заполнил за $5$ часов $30$ минут бассейн с помощью первой и второй трубы, а потом заполнил весь бассейн за $4$ часа и $40$ минут с помощью всех трех труб одновременно. За какое время теперь заполнила бы каждая труба целый бассейн, работая отдельно от остальных?

Показать ответ и решение

Рассмотрим для начала первую и вторую трубу. По условию, они заполняют бассейн за 5 часов 30 минут. Так как производительность первой трубы равна $1 6$ бассейна в час, то за это время она заполнит $11- 12$ бассейна.

Тогда оставшуюся часть, то есть $11- 1- 1− 12 = 12,$ за 5 часов 30 минут заполнила вторая труба.

То есть для заполнения всего бассейна второй трубе понадобится в 12 раз больше времени:

1 11 52 ⋅12 = 2-⋅12 =66 часов

Осталось посчитать производительность третьей трубы.

Когда к первым двум трубам добавилась третья, время уменьшилось на 50 минут. Рассчитаем, какую часть составляют эти 50 минут от всего времени, которое работали первая и вторая труба:

---50 минут--= 50: 11-= 5⋅-2 =-5 5 часов 30 минут 60 2 6 11 33

Значит, именно $533-$ всей работы приходится на третью трубу. Таким образом, третья труба заполняет $353$ бассейна за 4 часа 40 минут. Найдем время, за которое труба заполнит весь бассейн:

4 часа 40 минут: 5-= 280 минут:-5= 280⋅33минут= 1848 минут 33 33 5

Итак, вторая труба заполняет бассейн за 66 часов, а третья — за 1848 минут, или 30 часов и 48 минут.

Ответ: Вторая труба заполняет бассейн за 66 часов, а третья- за 1848 минут, или 30 часов и 48 минут.

Предыдущий раздел

Следующий раздел