Тема АЛГЕБРА

Геометрия помогает алгебре

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Геометрия помогает алгебре

Задачи на движение: графический подход

Увидеть расстояние между точками

Увидеть треугольник

Увидеть векторы

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#63951Максимум баллов за задание: 7

Найдите наименьшее значение функции

∘ --2------- ∘--2------- f(x)= 2x + 2x +13+ 2x + 8x+ 26.

Источники: Миссия выполнима - 2023, 11.7 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Конечно, эту задачу можно решить с помощью производной… Но давайте попробуем найти более красивое решение! Давайте подумаем, нам нужно найти минимальное значение суммы двух корней, а что мы знаем про корни и как тогда можно представить их?

Подсказка 2

Да, корни всегда положительны! Поэтому мы можем представить их как отрезок или же вектор на плоскости! То есть, корень – это длина нашего вектора! В таком случае, каких векторы можно взять(с какими координатами), чтобы длина первого равнялась первому корню, а длина второго равнялась второму корню?

Подсказка 3

Так, длина вектора – это корень из суммы квадратов его координат! Первое подкоренное выражение обращается в ноль при x=-3 и при x=2, а второе при x=1 и при x=-5. Поэтому первый вектор равен (x+3;2-x), а второй вектор: (1-x)(x+5). Что можно сказать про сумму этих векторов?

Подсказа 4

Да, сумма этих векторов равна другому вектору: (4; 7). А длина этого вектора равна √65. Но заметим, что сумма длин исходных векторов не меньше чем длина получившегося вектора! Осталось показать, что минимальное значение достигается и задача решена!

Показать ответ и решение

Рассмотрим векторы

⃗ ⃗ ⃗a= (x +3;2− x),b= (1− x;x+ 5) и⃗s= ⃗a+ b= (4;7)

Так как

∘ -2-------- ⃗ ∘ --2------- |⃗a|= 2x + 2x+ 13, |b|= 2x + 8x +26

то

f(x)= |⃗a|+|⃗b|≥|⃗a+⃗b|= |⃗s|= √65

Равенство $|⃗a|+|⃗b|= |⃗a +⃗b|$ выполняется, когда эти векторы сонаправлены; соответствующие значения $x$ является корнем уравнения $x1+−3x = 2−xx+5$ и равно $− 1311-$ .

Ответ:

$√65$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#69821Максимум баллов за задание: 7

Пешеход, велосипедист и мотоциклист едут по шоссе в одну сторону с постоянными скоростями. В тот момент, когда мотоциклист догнал велосипедиста, пешеход обгонял их на 4 км. В тот момент, когда велосипедист догнал пешехода, мотоциклист обгонял их на 6 км. На сколько километров велосипедист отставал от мотоциклиста в тот момент, когда мотоциклист обгонял пешехода?

Источники: САММАТ-2023, 11.2 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Итак, перед нами задачка на одновременное движение нескольких объектов. Можно было бы записать систему уравнений и пытаться как-то решать с её помощью, но есть еще один очень интересный способ. Давайте построим график S(t), да-да, именно так, как мы делаем это в физике.

Подсказка 2

Пускай график перемещения мотоциклиста пересекается с графиком велосипедиста в точке A, а график пешехода - в точке D. А графики перемещения велосипедиста и пешехода пересекаются в точке E. Пускай точка B - точка на графике пешехода в момент, когда мотоциклист встретился с велосипедистом, C - точка на графике велосипедиста в момент, когда мотоциклист встретился с пешеходом, а F - точка на графике мотоциклиста в момент, когда велосипедист встретился с пешеходом. Что мы можем сказать по данному рисунку про пары треугольников △ABE, △CDE и △ABD, △FDE?

Подсказка 3

Абсолютно верно, △ABE подобен △CDE, а △ABD подобен △FDE. Так же из условия нам известны расстояния AB и EF. Теперь воспользуйтесь подобиями и длинами расстояний, чтобы найти CD.

Показать ответ и решение

$PIC$

Построим схематично график движения.

По условию задачи $AB = 4$ км, $EF = 6$ км, а требуется найти $CD.$ Очевидно, что треугольники $ABD$ и $EDF$ подобны и их коэффициент подобия $k = 4= 2. 6 3$ С другой стороны, треугольники $ACD$ и $AEF$ также подобны и их коэффициент подобия равен

--2x--= 2 2x+ 3x 5

Значит, $CD =6 ⋅ 2= 2,4. 5$

Ответ: 2,4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#69930Максимум баллов за задание: 7

Найти решение уравнения в натуральных числах $x$ и $y :$

∘ 2---2------------ ∘-2---2------------ x +y − 2x− 6y +10+ x + y − 18x − 6y+ 90− 10 =0

Источники: САММАТ-2023, 11.7 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас в задаче присутствует равенство √a+√b=c. Хочется возвести в квадрат, но, если возводить прямо так, у нас получится произведение корней √ab. Поэтому разумно было бы перенести один корень направо и возвести в квадрат...

Подсказка 2

После возведения в квадрат и приведения подобных, можно оставить корень в одной стороне, а все остальное отправить в другую и опять возвести в квадрат. Можно ли как-то после этого удачно сгруппировать слагаемые?

Подсказка 3

Получается следующее: (x-5)²/5²+(y-3)²/3²=1. Но тогда |x-5|≤5 и |y-3|≤3 ⇔ 0≤x≤10 и 0≤y≤6. Осталось перебрать x и y и найти искомые решения!

Показать ответ и решение

Если выделить полные квадраты под корнями, то уравнение можно записать в виде

∘-------------- ∘-------------- (x− 1)2+ (y− 3)2+ (x− 9)2+ (y− 3)2 = 10

Этому уравнению удовлетворяют такие пары точек $(x,y)$ , сумма расстояний от которых до точек $(1,3)$ и $(9,3)$ равна $10.$

Множеством точек плоскости, обладающих таким свойством, является эллипс. По его фокусам легко восстановить канонический вид уравнения (центр эллипса находится в середине между фокусами, координаты считаются как полусумма, соответственно считаются и длины больших полуосей):

(x− 5)2 (y− 3)2 --52--+ --32-- =1

Перебором $5≤ x≤ 10$ и $3≤y ≤6$ можно найти решения $(5,6)$ и $(10,3)$ , а им из симметрии соответствуют пары $(5,0)$ и $(0,3)$ . В ответ же записываем только пары, у которых обе компоненты натуральные.

Ответ:

$(10,3),(5,6)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#71015Максимум баллов за задание: 7

Найдите максимальное значение величины $x2+ y2 +z2,$ если известно, что

2 2 2 x +y + z = 3x+8y+ z.

Источники: Надежда энергетики-2023, 11.2 (см. www.energy-hope.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

На что намекает сумма квадратов?)

Подсказка 2

На квадрат длины вектора! Введем декартову систему координат. С левой части мы разобрались - это квадрат длины вектора (x, y, z). А чем является правая часть?)

Подсказка 3

Правая часть - это скалярное произведение векторов a = (x, y, z) и c = (3, 8, 1). Теперь правую часть можно оценить сверху с помощью длин сомножителей, осталось лишь сделать вывод) Помним, что вектор c - фиксированный!

Показать ответ и решение

Введем декартову систему координат и рассмотрим произвольный вектор $a$ с координатами $(x,y,z)$ и фиксированный вектор $c$ с координатами $(3,8,1)$ . Тогда левая часть условия представляет собой квадрат длины вектора $a,$ а правая — скалярное произведение векторов $a$ и $c :$

2 |a|= (a,c)

Оценивая скалярное произведение через длины сомножителей, получаем

2 |a| ≤|a|⋅|c|⇔ |a|≤ |c|

Как известно, равенство возможно, а достигается при векторах, лежащих на одной прямой. Поэтому максимальное значение будет достигаться, например, при $a = c.$

Подставляя значения, получаем $32+ 82 +11 = 74.$

Ответ: 74

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#73449Максимум баллов за задание: 7

Положительные числа $a,b,c$ удовлетворяют соотношению

2 2 2 a +b + c =1

Найдите наибольшее возможное значение выражения $ab+ bc√3.$

Источники: ДВИ - 2023, вариант 233, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем, как можно получить оценку? Через производную не получится. Какие ещё варианты есть?

Подсказка 2

Давайте решим через векторы. Пусть |х| = √(а² + с²), |у| = b и 2·х·у = аb + bc√3. Какие векторы х и у выбрать?

Подсказка 3

х = (а, с), у = (b/2, √3b/2). Тогда нам нужно максимизировать 2· x⋅y. Как это можно сделать?

Подсказка 4

Вспомним, что x⋅y = |x|⋅|y|⋅cos(θ), где θ - угол между векторами. Косинус ≤ 1. Тогда x⋅y ≤ |x|⋅|y|. Как тогда можно оценить правую часть?

Подсказка 5

По неравенству о средних! Сумму длин векторов x и у мы знаем. Тогда ab + bc√3 ≤ 1. Когда достигается равенство в неравенстве о средних?

Подсказка 6

Когда векторы х и у равны! Далее не трудно подобрать, чему равны a, b и c. Проверим, что они подходят.

Показать ответ и решение

Первое решение.

По неравенству о средних

2 b2 √- 3b2 2 ab≤ a + 4 , 3bc ≤-4-+ c,

то есть

√ - ab+ 3bc≤ a2+ b2 +c2 = 1.

Равенство достигается при

2 b2 3b2 2 a = 4 ,-4-=c .

Подставляя это в равенство из условия, получим конкретные

√ - √- √- a =--2,b= -2,c= -6. 4 2 4

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Из условия имеем

( |||{a2+ b2+ c2 = 1 a,b,c> 0 |||( √- ab+bc 3→ max

Рассмотрим вспомогательные векторы на плоскости

1 √3 ⃗x= (a,c);⃗y = (2b,2-b)

Для них выполнено

b2 3b2 1 √- |⃗x|2 = a2+ c2, |⃗y|2 =-4 +-4-= b2, ⃗x⋅⃗y = 2(ab+bc 3)

Тогда условие задачи перепишется как

( |||{|⃗x|2+ |⃗y|2 = 1 2 ⃗x⋅⃗y → max |||( a,b,c> 0

Как известно,

⃗x ⋅⃗y = |⃗x|⋅|⃗y|⋅cos(⃗x;⃗y)≤ |⃗x|⋅|⃗y|

По неравенству о средних $2|⃗x||⃗y|≤ |⃗x|2+|⃗y|2 = 1$

В итоге получается, что

√- ab +bc 3= 2⃗x⋅⃗y ≤ 2|⃗x|⋅|⃗y|≤21 = 1 2

При этом равенство достигается, когда векторы $⃗x,⃗y$ равны. Тогда $√- a= b2,c= -32b$ и $b2 =|⃗y|2 = 12$ . То есть подойдут, например,

√- √- √- a = -2,b= -2,c= -6- 4 2 4

Ответ:

$1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#74137Максимум баллов за задание: 7

Положительные $a,b,c$ удовлетворяют условию $abc(a+b+ c)= 3.$ Докажите, что $(a+b)(a +c)(b+ c)≥8.$

Показать доказательство

Давайте сделаем следующую замену: $a +b= x,b+c =y,a+ c= z.$ А также обозначим полупериметр треугольника со сторонами $x,y,z$ (а такой существует, так как очевидно, что выполняется неравенство треугольника) за $p.$ Тогда условия перепишутся следующим образом:

p(p− a)(p− b)(p − c)= 3

xyz ≥8

Первое условие говорит нам о том, что площадь треугольника $S = √3$ по формуле Герона. Значит имеет место быть равенство: $xyz= √3. 4R$ Тогда можно переписать вопрос как: $R ≥ √2. 3$ Предположим противное, $R< √2, 3$ тогда по известному факту о том, что при фиксированном радиусе треугольник наибольшей площади — равносторонний можем понять (чтобы его доказать, можно заметить, что для фиксированной стороны треугольник наибольшей площади равнобокий, значит он равнобокий для всех $3$ сторон-оснований), что наибольшая площадь будет равна $3√3R2< √3 =S. 4$ Противоречие.

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#74139Максимум баллов за задание: 7

Существует ли треугольник со сторонами $x$ , $y$ и $z$ такой, что

3 3 3 x + y +z = (x+ y)(y+ z)(z+ x)?

Показать ответ и решение

Сделаем стандартную для сторон треугольника замену: $x = a+b,y = b+c,z = a+ c.$ Раскроем скобки и сократим подобные слагаемые. Получим, что должно выполнятся равенство $0 =6abc.$ Что невозможно, значит такого треугольника не существует.

Ответ:

Не существует

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#74141Максимум баллов за задание: 7

Пусть $a,b,c$ — стороны треугольника. Докажите неравенство:

2 2 2 a b(a− b)+b c(b− c)+c a(c− a)≥0.

Показать доказательство

Сделаем стандартную для сторон треугольника замену: $x = a+b,y = b+c,z = a+ c.$ Раскроем скобки и сократим подобные слагаемые. Получим, что нужно доказать следующее:

3 3 3 x y+ y z+z x≥ xyz(x +y+ z)

Но заметим, что по неравенству о средних:

3 3 3 2 4xz+ 2y x+z y ≥ 7x yz

Аналогично, для $2$ других слагаемых правой части, после сложения $3$ неравенств получим требуемое.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#75238Максимум баллов за задание: 7

Даны $8$ ненулевых вещественных чисел $a,a ,...,a . 1 2 8$ Докажите, что по крайней мере одна из шести сумм $a1a3+ a2a4,a1a5+ a2a6,a1a7 +a2a8,a3a5+a4a6,a3a7+ a4a8,a5a7+ a6a8$ неотрицательна.

Показать доказательство

Пусть векторы $v,v ,v ,v 1 2 3 4$ в прямоугольной системе координат имеют координаты $(a,a ),(a,a ),(a,a ),(a,a ) 1 2 3 4 5 6 7 8$ соответственно. Тогда среди указанных сумм встречаются значения всевозможных скалярных произведений двух векторов из набора $(v1,v2,v3,v4).$

Скалярное произведение двух векторов отрицательно тогда и только тогда, когда угол $α$ между этими векторами является тупым. Таким образом, достаточно показать, что среди любых четырех векторов в двумерном пространстве найдутся два, угол между которыми не превосходит $∘ 90.$

Предположим противное, тогда каждый из направленных углов $∠(v1,v2),∠(v2,v3),∠(v3,v4),∠(v4,v1)$ больше $∘ 90$ (без ограничений общности считаем, что каждый из углов принимает положительное значение). Следовательно, их сумма больше $∘ 360.$ C другой стороны,

∠(v1,v2)+ ∠(v2,v3)+ ∠(v3,v4)+ ∠(v4,v1)=360∘

тем самым получено противоречие.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#106534Максимум баллов за задание: 7

Найти наименьшее значение выражения

∘ -------------- ∘ -------------- (x − 2)2+ (y+ 2)2 + (x +1)2+ (y− 2)2,

где $x,y$ — произвольные вещественные числа.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте посмотрим на это выражение и поймём, на что оно похоже. У нас сумма двух корней из суммы квадратов разности некоторых чисел. Что если попытаться мыслить геометрически?

Подсказка 2

Это похоже на расстояние между точками. То есть, если у нас есть три точки A(x,y), B(2,-2), C(-1,2), то полученное выражение — сумма длин отрезков AB и AC. Если нам надо найти минимум этого выражения, то как мы можем оценить снизу сумму двух отрезков, у которых общая точка?

Подсказка 3

Конечно, мы можем оценить наше выражение по неравенству треугольника через расстояние между точками B и C. Это значит, что расстояние будет хотя бы 5. Осталось привести пример, когда достигается равенство, но для этого надо вспомнить, когда достигается равенство в неравенстве треугольника и найти требуемую точку.

Показать ответ и решение

Пусть $M (x;y),A (2;−2),B(−1;2)$ — точки двумерной координатной плоскости, тогда выражение $f$ равно сумме расстояния между точками $M,A$ и расстояния между точками $M,B$ то есть

∘ -------------- ∘ -------------- f = (x − 2)2+(y+ 2)2+ (x +1)2+(y− 2)2 =|MA |+ |MB |

Если точки $M,A,B$ не лежат на одной прямой, то по неравенству треугольника имеем

∘ ------------------ ∘ -------- f = |MA |+ |MB |> |AB |= (2 − (−1))2+ (−2− 2)2 = 32 +(−4)2 = 5

Если точки $M, A,B$ лежат на одной прямой и точка $M$ не лежит на отрезке $AB$ , то один из отрезков $MA$ и $MB$ содержит отрезок $AB$ , поэтому также справедливо неравенство

f = |MA |+ |MB |> |AB |=5

Наконец, если точки $M, A,B$ лежат на одной прямой и точка $M$ лежит на отрезке $AB$ , тогда справедливо равенство

f = |MA |+ |MB |= |AB |=5

Следовательно, наименьшее значение выражения $f$ равно $minx,y∈ℝf = |AB |= 5$ .

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#131035Максимум баллов за задание: 7

Велодорожка состоит из двух участков: сначала идёт асфальтовый, а затем песчаный. Петя и Вася стартовали порознь (сначала Петя, а затем Вася), и каждый проехал всю дорожку. Скорость каждого мальчика на каждом из двух участков была постоянной. Оказалось, что они поравнялись в середине асфальтового участка, а также в середине песчаного. Кто из мальчиков затратил на всю дорожку меньше времени?

Источники: ВСОШ, РЭ, 2023, 9.1 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Какую часть каждого из участков проехал каждый мальчик между моментами встречи?

Подсказка 2:

Они проехали по половине каждого из участков. Сколько времени затратил каждый из мальчиков на эти участки?

Показать ответ и решение

Первое решение. Между двумя моментами встречи каждый мальчик проехал половину асфальтового и половину песчаного участков, и они затратили на это поровну времени. Значит, на всю дорожку каждый из них затратил вдвое больше времени, то есть тоже поровну.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Нарисуем графики движения мальчиков по дорожке: на горизонтальной оси отмечаем время $t,$ на вертикальной — положение $y$ мальчика, считая от начала дорожки.

Пусть $P0,$ $P1,$ $P2$ — точки, соответствующие старту Пети, моменту, когда он перешёл с асфальтового участка на песчаный, и его финишу; пусть $V0,$ $V1,$ $V2$ — аналогичные точки для Васи. Тогда графики движения мальчиков — это ломанные $P0P1P2$ и $V0V1V2,$ при этом отрезки $P0V0,$ $P1V1$ и $P2V2$ горизонтальны (см. рисунок). По условию, середины отрезков $P0P1$ и $V0V1$ совпадают, откуда $P0V0P1V1$ — параллелограмм. Аналогично, $P1V1P2V2$ — параллелограмм. Значит, отрезки $P0V0,$ $V1P1$ и $P2V2$ параллельны и равны. Поэтому между моментами финиша Пети и Васи прошло столько же времени, сколько и между моментами их старта; отсюда и следует ответ.

$PIC$

Ответ:

они затратили поровну времени

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#34676Максимум баллов за задание: 7

Положительные числа $a,b,c$ таковы, что

2 2 2 a + b − ab= c

Докажите, что

(a− c)(b− c)≤ 0

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем, где нам в математике встречалось выражение с квадратами, произведением, так ещё чтобы это всё являлось чьим-то квадратом ;)

Подсказка 2

Смотрите, равенство из треугольников — это же буквально теорема косинусов для некоторого треугольника! Но какого?...

Подсказка 3

Нужно подобрать такой угол, с косинусом которого коэффициент при ab станет равным 1!

Подсказка 4

Что можно сказать о треугольнике с углом 60? Что потребуем от длин его сторон?

Показать доказательство

Первое решение.

Рассмотрим треугольник с длинами сторон $a$ , $b$ и углом в $∘ 60$ между ними.

$PIC$

Тогда по теореме косинусов длина стороны напротив угла в $60$ градусов равна $c$ . При этом в треугольнике с углом в $∘ 60$ сторона напротив такого угла является средней из трёх сторон (напротив большего угла лежит большая сторона, напротив меньшего угла – меньшая). В искомом неравенстве стоят разности сторон, так что одна скобка неотрицательна, а другая неположительна.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

В силу положительности чисел искомое неравенство равносильно

(a− c)(b− c)(a+c)(b +c)≤ 0

Ведь множители $a+c$ и $b+ c$ положительны.

Тогда нам нужно доказать (с учётом формулы разности квадратов)

(a2− c2)(b2 − c2)≤0

Подставляем условие $2 2 2 c = a +b − ab:$

(ab− b2)(ab− a2)≤0

На положительное $ab$ можно сократить и получим

(a− b)(b− a)≤ 0

Что верно в силу неотрицательности квадрата.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#34720Максимум баллов за задание: 7

Положительные вещественные числа $x$ , $y$ , $z$ удовлетворяют условию $x +y+ z = 8$ . Докажите, что

∘ -2--- ∘ -2--- ∘ -2--- x + 1+ y + 4+ z + 9≥ 10.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сумма корней с суммой двух квадратов внутри —> явный намёк на расстояние между точками и использование координатной плоскости! Интерпретируйте эту сумму как сумму длин звеньев ломаной! Где тогда находится отрезок, равный x+y+z?

Подсказка 2

Нужно доказать неравенство –> вспоминаем, какое самое распространённое геометрическое неравенство мы знаем, и используем его, чтобы добить задачку!

Показать доказательство

$PIC$

Построим отрезки перпендикулярно оси $Ox$ из точек с координатами $1,3$ и $6$ длинами $x,x+ y$ и $x+ y+ z$ (все числа по условию положительные) соответственно с концами в $X,Y$ и $T$ . Тогда сумма в левой части неравенства по формуле расстояния между точками равна $√------ OX + XY +Y T ≥ OT = 82+ 62 =10$ по неравенству ломаной, что и требовалось.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#34722Максимум баллов за задание: 7

Найдите наименьшее значение выражения

∘-2-------2 ∘-----2-------2 ∘-----2---2 x + (y− 6) + (x− 4)+ (y− 3) + (x− 8)+ y .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сумма корней с суммой двух квадратов внутри —> явный намёк на расстояние между точками и использование координатной плоскости! Постройте расстояния, зафиксировав где-то произвольно точку (x, y). А после начинайте её двигать – где достигается минимум? Попробуйте для этого что-то понять про неподвижные концы отрезков

Подсказка 2

Эти концы лежат на одной прямой! Чтобы минимизировать расстояние до двух концов, что лежат на осях Ox и Oy, двигающая вершина (x,y) должна лежать на…? А тогда мы в точности можем сделать расстояние до оставшейся вершины самым минимальным, что только возможно (какое минимальное расстояние между точками?) – вот мы строго оценили и тут же построили конструкцию-пример!

Показать ответ и решение

$PIC$

Отметим точки с координатами $A(0,6),C(4,3),B(8,0)$ . Заметим, что эти три точки лежат на одной прямой, а выражение из условия является суммой длин отрезков $AX + CX + BX$ , где $X$ имеет координаты $(x,y)$ . По неравенству треугольника $AX + BX ≥AB = 10$ . С учётом очевидного неравенства $CX ≥ 0$ , тогда получаем $AX + BX +CX ≥ 10$ , причём оценка является точной, потому что равенство достигается при $X =C$ .

Ответ:

$10$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#34723Максимум баллов за задание: 7

Докажите равенство:

1 1 π arctg1+ arctg 2 + arctg3 = 2 .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Конечно, равенство можно доказать без помощи геометрии (одно из слагаемых мы можем непосредственно посчитать – остаётся лишь найти сумму двух углов, чьи тангенсы мы знаем), но ведь явно тут есть и красивая геометрическая интерпретация! Попробуйте придумать конструкцию, в которой бы нам встретились прямоугольные треугольники с углами arctg(1/2) и arctg(1/3)

Подсказка 2

Раз мы хотим, чтобы сумма трёх углов была равна 90 градусов, то хорошей мыслью будет от прямого угла отложить какие-то два угла + доказать, что третий будет тот самый из нашей суммы. Попробуйте провернуть такое в рамках прямоугольника! Выберите удобные стороны и отсеките прямоугольные треугольники с углами arctg(1/2) и arctg(1/3), как раз отложив такие углы от одного из прямых углов прямоугольника

Подсказка 3

Остаётся лишь доказать, что третий угол равен 45 градусам! У нас есть углы 90, а мы хотим 45 – где-то рядом мог притаиться равнобедренный прямоугольный треугольник. Найдите его, и задача убита!

Показать доказательство

Первое решение.

$PIC$

Отложим на оси координат от точки $D$ с координатами $(2;0)$ отрезок длины $2$ влево, длины $1$ вверх и длины $3$ вправо. Тогда $1 1 ∠BAD =arctg 2,∠BCD =arctg3.$ В треугольнике $ABC$ по теореме косинусов $2 √- √-- 5 =5 +10− 2⋅ 5⋅ 10⋅cosABC.$ Тогда $√2- π cosABC = −-2 =⇒ ∠ABC =π −4$ . По теореме о сумме углов в треугольнике получаем, что $1 1 π arctg2 +arctg3 = 4$ , откуда следует $1 1 π arctg1 +arctg2 +arctg3 = 2.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Сначала заметим, что $arctg 1= π4$ . Кроме того, $arctg 12 + arctg 13 ∈ (0,π)$ из-за области определения каждого арктангенса из суммы. По формуле тангенса суммы

( ) 1 1 tg arctg 1+ arctg 1 =-2 +131-=1 =⇒ arctg 1 +arctg 1 = π 2 3 1− 2 ⋅3 2 3 4

Поскольку угол лежит на промежутке $(0,π)$ , то это единственное возможное значение. Отсюда сумма из условия равна $π π π 4 + 4 = 2$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Третье решение. Рассмотрим прямоугольник $ABDC$ со сторонами $2$ и $3$ и построим из точки $A$ лучи с нужными тангенсами:

$PIC$

Заметим, что $1 ∠EAB = arctg3$ и $1 ∠CAF = arctg2$ , то есть осталось доказать, что $∠F AE =45∘ = arctg1$ (поскольку сумма всех трёх равна $90∘$ ). Но $AF2+ FE2 =10 =AE2$ , так что по обратной теореме Пифагора $∠AFE =90∘$ , причём $△AF E$ равнобедренный прямоугольный, откуда и следует нужное равенство.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#34724Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение $∘x2-−-5x√2-+-25-+∘x2-− 12x√2-+144= 13.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Квадратные трёхчлены под корнями –> может быть кто-то вычислял сторону треугольника по теореме косинусов? Да ещё и 25 и 144 полные квадраты как нельзя кстати! Попробуйте переписать выражения под корнями так, чтобы узнать множители в слагаемом 2cos(α) * (сторона №1) * (сторона №2)

Подсказка 2

Теперь можно начинать геометрически интерпретировать! У нас есть три стороны, на которые мы записали две теоремы косинусов + у нас тут два угла по 45 градусов + у нас тут тройка 5, 12, 13 —> на что же это всё намекает?

Подсказка 3

Помним, что нас просили уравнение решить! То есть найти x – а это, оказывается, длина биссектрисы в прямоугольном треугольнике. И тут уже простор для Ваших способов: хотите - используйте формулу биссектрисы, хотите - составьте более простое уравнение, чем то, что нам было дано из теорем косинусов. Например, может помочь работа с площадями – распишите сумму площадей треугольников, образованных при проведении биссектрисы, и приравняйте к площади всего треугольника

Показать ответ и решение

Если $x ≤0,$ то $∘x2-−-5x√2-+-25-≥√25-=5$ и $∘x2-−-12x√2-+144≥ √144= 12$ , так что в уравнении получаем

∘-2----√----- ∘ -2----√------ 13= x − 5x 2+ 25+ x − 12x 2+144≥ 5+ 12 =17

противоречие.

При $x> 0$ рассмотрим треугольник с длинами сторон $x,5$ и углом в $45∘$ между ними. Тогда третья сторона по теореме косинусов равна $√-2------------∘--- x + 25− 2⋅cos45 ⋅5x$ . Второе слагаемое из условия получается аналогично для длины стороны $12$ вместо $5$ . Рассмотрим конструкцию

$PIC$

Тогда исходное уравнение примет вид $√------ BD +CD = 13= 122+ 52 =BC$ , поскольку треугольник прямоугольный. По неравенству треугольника получаем, что такое равенство может быть выполнено только при $D∈ BC$ , то есть только когда $x$ равен длине биссектрисы из вершины прямого угла треугольника с катетами $5$ и $12$ . По формуле длины биссектрисы

√- x= 2⋅5⋅12⋅cos45∘= 60-2 5+12 17

Ответ:

$60√2 17$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#36670Максимум баллов за задание: 7

Решите систему уравнений

{ ∘x2-+y2+-12x-+36+ ∘x2-+y2−-16y-+64= 10, 5y2− 8x2 = 8.

Показать ответ и решение

Первое уравнение системы можно переписать в виде:

∘ -----2---2 ∘ -2-------2 (x+ 6) + y + x + (y− 8) = 10.

Отметим на координатной плоскости точки $A(−6,0),B(0,8),X (x,y)$ . Тогда уравнение задаёт соотношение на длины отрезков $AX + BX = AB$ . Вспомним, что в неравенстве треугольника ( $AX + BX ≥AB$ ) равенство может достигаться только в случае вырожденности треугольника. Итак, первое уравнение эквивалентно условию, что точка $X$ лежит на отрезке $AB$ , то есть лежит на прямой $4 y = 3x+ 8$ при дополнительных условиях $− 6 ≤x ≤0 ≤y ≤ 8$ . Подставим во второе уравнение системы:

( 16 64 ) 5⋅ 9-x2 +-3 x +64 − 8x2 = 8 ⇐⇒ x2 +120x+ 351= 0 ⇐⇒ x= −60± 57

Корень $x = −117$ не подходит под условие $− 6≤ x$ , так что не входит в решения системы.

Корень $x = −3$ подходит под условие $− 6≤ x≤ 0$ .

Соответствующее значение $y = 43x +8 =4$ подходит под ограничения $0≤ y ≤ 8.$

Ответ:

$(−3;4)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#36671Максимум баллов за задание: 7

Докажите равенство:

∘ ∘ ctg30 + ctg75 = 2.

Показать доказательство

Первое решение.

∘ ∘ cos30∘ cos(45∘+30∘) ctg30 +ctg75 = sin30∘ + sin(45∘-+30∘) =

√ - √ - √- √- = √3+ √-6−√-2= 3+--3√-+-3-− 1 =2. 6+ 2 3+ 1

Второе решение.

$PIC$

Рассмотрим треугольник $ABC$ , в котором $∘ ∠A= ∠C = 75$ и $∘ ∠B = 30$ . Проведём высоту $CH$ , получим прямоугольный $△BAH$ с углом $∘ 30$ , откуда $1 1 AH = 2AB = 2BC$ . С другой стороны, из прямоугольных $△ACH$ и $△BAH$ имеем $∘ ∘ ∘ ∘ BC = BH + HC = AHctg75 +AH ctg30 =AH (ctg75 + ctg30)= 2AH$ , откуда и следует требуемое.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#71647Максимум баллов за задание: 7

Известно, что положительные числа $x,y,z$ удовлетворяют системе:

(| x2+ y2+ xy =529 { x2+ z2+√3xz = 441 |( 2 2 z + y = 144

Найдите значение выражения $√3xy +2yz+ xz.$

Источники: Межвед-2022, 11.5 (см. www.academy.fsb.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрите внимательно, у нас в каждом выражении есть квадраты двух чисел и их произведение. Подумайте, на какую геометрическую теорему похожи наши выражения.

Подсказка 2

Каждое из выражений очень похоже на теорему косинусов. Как мы в таком случае можем геометрически изобразить наши уравнения?

Подсказка 3

Давайте рассмотрим треугольник ABC и точку O, расположенную внутри него. Пусть AO = y, BO = z, CO = x. В таком случае, чему равны величины углов ∠AOB, ∠AOC, ∠BOC и чему равны длины сторон треугольника ABC.

Подсказка 4

Теперь давайте рассмотрим выражение, значение которого нужно найти. Давайте перепишем его на языке сторон треугольника. Тогда сразу станет видно, что √3xy это 4 площади треугольника AOC, 2yz это 4 площади треугольника AOB, xz это 4 площади треугольника BOC. Как теперь мы можем найти значение выражения?

Подсказка 5

Значение выражения - не что иное, как 4 площади треугольника ABC. Осталось только найти его площадь, не забудьте, что мы уже нашли три его стороны.

Показать ответ и решение

Рассмотрим треугольник $ABC$ с выбранной внутри него точкой $O$ так, что

∘ ∘ ∘ AO = y,OB =z,OC =x,∠AOB = 90 ,∠AOC =120 ,∠BOC =150

$PIC$

Условия системы представляют собой теорему косинусов (в т.ч. теорему Пифагора) для треугольников $AOB, AOC,BOC.$

Отсюда нетрудно понять, что $AB = 12,BC = 21,$ $AC =23.$ Теперь заметим, что

√ - 3xy+ 2yz+ xz =4SAOC + 4SAOB + 4SBOC = 4(SAOC + SAOB +SBOC )= 4SABC

Площадь треугольника $ABC$ найдем по формуле Герона:

12+ 21+ 23 √- p= ----2---- = 28, SABC = 56 5

Следовательно, $√ - 4SABC = 224 5.$

Ответ:

$224√5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 40#74915Максимум баллов за задание: 7

Олег и Оливер гоняют на велосипедах с одинаковыми угловыми скоростями: Оливер — по круговой траектории $𝒜,$ а Олег — по круговой траектории $𝒯$ в два раза меньшего радиуса, причем они стартуют с двух ближайших точек окружностей и круг Олега лежит внутри круга Оливера. По окружности $𝒯$ также движутся два помощника, поддерживающих экран (т.е. хорду с концами в точках, в которых расположены помощники) так, что расстояние от каждого из них до Олега всегда такое же, как и расстояние от Олега до Оливера. Докажите, что на протяжении всей гонки экран касается некоторой фиксированной окружности.

Источники: Иннополис-2022 (см. dovuz.innopolis.university)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обозначим за O,V,X и Y Олега, Оливера и двух помощников соответственно. Если нарисовать рисунок, то от нас явно спрятали какую-то известную и хорошую "картинку", посмотрите на равные отрезки, которые нам даны и на окружность 𝒯.

Подсказка 2

Верно, как будто нам показывают лишь часть картинки леммы о трезубце! Попробуйте восстановить точку, которую от нас спрятали и подумать, как эта точка поможет нам в задаче.

Подсказка 3

Давайте ещё заметим, что у нас получилась как бы "картинка в картинке", возможно, тут поможет гомотетия, попробуйте посмотреть на центр положительной гомотетии окружностей 𝒯 и 𝒜.

Подсказка 4

Да это же центр нашей искомой окружности, ещё не совсем, но можно попробовать это доказать! Мы уже знаем, что она точно касается экрана и её центр не меняется, остаётся показать, что её радиус тоже фиксирован, а какой факт связывает точку, окружность и радиус?

Подсказка 5

Можно использовать степень точки S относительно 𝒯, останется только "перекинуть" равные отрезки так, чтобы остались только фиксированные величины (из исходной "картинки") и радиус окружности с центром в S.

Показать доказательство

Обозначим за $O,V,X$ и $Y$ Олега, Оливера и двух помощников соответственно, за $S$ — центр положительной гомотетии окружностей $𝒯$ и $𝒜.$ Из условия следует, что прямая $V O$ всегда проходит через $S,$ причем, так как радиусы окружностей отличаются в два раза, отрезок $SV$ делится точкой $O$ пополам. Отметим точку $R ⁄= O$ — пересечение луча $OS$ с $𝒯.$ Поскольку равные хорды стягивают равные меньшие дуги, точка $O$ — середина дуги $XOY,$ то есть прямая $RO$ содержит внутреннюю биссектрису треугольника $XRY,$ а еще $OS = OV =OX =OY.$ По лемме о трезубце это означает, что точка $S$ является центром вписанной окружности треугольника $XRY$ $($ обозначим эту окружность за $ω).$

$PIC$

Покажем, что $ω$ является искомой окружностью. Она касается отрезка $XY$ в силу построения, поэтому достаточно проверить, что она не зависит от времени. Как показано выше, центр $ω$ — это $S,$ обозначим ее радиус за $r$ . Также обозначим за $d$ расстояние между центрами $ω$ и $𝒯,$ а за $R$ — постоянный радиус $𝒯.$

Посчитаем степень точки $S$ относительно $𝒯$ двумя способами:

d2− r2 = −RO ⋅SO = −RO ⋅OX =− RO⋅2R sin∠XRO = −2Rr

Величины $d$ и $R$ не зависят от времени, поэтому $r$ также от него не зависит, следовательно, окружность $ω$ имеет постоянный центр и радиус, что и требовалось доказать.

Следующая подтема