Тема АЛГЕБРА

Геометрия помогает алгебре

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Геометрия помогает алгебре

Задачи на движение: графический подход

Увидеть расстояние между точками

Увидеть треугольник

Увидеть векторы

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#76628Максимум баллов за задание: 7

Петя пришел на остановку автобуса, едущего до школы с остановками равноотстоящими друг от друга, и, не увидев автобуса на дороге, решил пробежаться и сесть в автобус на следующих остановках по пути в школу. Бежал Петя так, что в любой момент времени мог заметить появление автобуса на дороге за своей спиной. Увидев автобус, Петя может повернуть назад или сохранить направление движения. Известно, что скорость движения автобуса в 4 раза превосходит скорость бега Пети, а увидеть автобус он может на расстоянии не более 1 км. Найти наибольшее значение расстояния между остановками, при котором независимо от того повернет Петя назад при обнаружении автобуса или нет, он сможет сесть в автобус на остановке. (время нахождения автобуса на остановке не учитывать)

Источники: Росатом-2022, региональный вариант, 11.1 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Это задача на движение и скорости. Значит, здесь можно ввести достаточное количество переменных и тождественными преобразованиями/оценками получить всё, что нам нужно. Если расстояние до остановки, которая сзади Пети - x, а расстояние между остановками равно а (в момент того, как Петя увидел автобус), то нам надо понять, для каких а как надо поступать Пете, чтобы точно сесть на автобус.

Подсказка 2

Это зависит от неравенства со скоростями. Пете удобно бежать к задней остановке, если x/v ≤ (1 - x) / (4v), где v - скорости Пети. То есть когда расстояние до остановки сзади не больше 1/5. Попробуйте написать такое же неравенство, когда ему надо бежать к передней остановке и понять, как оба этих неравенства ограничивают а.

Подсказка 3

(a - x)/v ≤ (1 - x - a)/(4v). Остаётся только написать пример, когда это достигается, но это очевидно делается, если понять, когда в каждом нашем неравенстве достигается равенство.

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $A$ — положение автобуса на дороге в момент, когда его увидел Петя, $P$ — положение Пети на дороге в момент, когда он увидел автобус, $B$ — положение последней остановки, которую миновал Петя к моменту, когда он увидел автобус, $C$ — положение следующей за $B$ остановки, $a$ — расстояние между остановками, $X$ — расстояние между точками $B$ и $P$ , $v$ — скорость бега Пети.

Рассмотрим несколько случаев

Случай 1. Увидев автобус, Петя повернул назад. Петя окажется на остановке $B$ не позднее автобуса и сможет на него пересесть, если

x≤ 1−-x⇒ x ≤ 1 v 4v 5

Случай 2. Увидев автобус, Петя не изменил направления движения. Петя окажется на остановке $C$ не позднее автобуса и сможет на него пересесть, если

a−-x 1− x-+a 1 v ≤ 4v ⇒ a− x≤ 3

Наибольшее допустимое значение $a$ соответствует пересечению прямых $1 x= 5$ и $1 a= x+ 3.$ В итоге находим $-8 amax = 15.$

Ответ:

$-8 15$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#76639Максимум баллов за задание: 7

Клиенты интернет магазина «Али-экспресс» проживают в семи домах, расположенных в вершинах выпуклого семиугольника. От жителей первого дома поступил один заказ, от второго дома – два заказа, и т.д. от жителей шестого – шесть заказов. А вот жители последнего седьмого дома сделали $21$ заказ. Менеджер магазина задумался о том в какое место следует доставить все заказы, чтобы суммарное расстояние, преодолеваемое всеми клиентами для получения товара, было минимально возможным. Помогите ему в решении этой задачи и обоснуйте результат.

Источники: Росатом-2022, московский вариант, 11.1 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть точка О - выбранная нами. Обозначим расстояние от О до i-того дома за d_i. Какую сумму мы хотим минимизировать? Что интересного можно заметить среди коэффициентов?

Подсказка 2

Заметим, что 21 = 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1. Как тогда можно преобразовать нужную нам сумму? Как можно оценить слагаемые, если смотреть на расположение домой как на выпуклый многоугольник?

Подсказка 3

Мы хотим минимизировать (d1 + d7) + 2(d2 + d7) + 4(d4 + d7) + 5(d5 + d7) + 6(d6 + d7). Каждое слагаемое можно оценить с помощью диагонали в выпуклом многоугольнике, который образуют дома.

Подсказка 4

Получается, что минимизировать нужную нам сумму получится только в случае, если слагаемые будут в точности равны диагоналям. Осталось лишь понять, в какой точке О это возможно!

Показать ответ и решение

Пусть $O$ – произвольная точка привоза товара, $d ,d,,...,d 1 2 7$ – расстояния от точки привоза до домов; Суммарное расстояние:

∑ =1 ⋅d1+ 2d2+3d3+ 4d4 +5d5+ 6d6+ 21d7 =

= (d1+ d7)+ 2(d2+ d7)+4(d4+d7)+ 5(d5+ d7)+ 6(d6+ d7)

$PIC$

Из неравенства треугольника:

d1+d7 ≥ A7A1, d2+ d7 ≥ A7A2, d3+d7 ≥A7A3, d4+ d7 ≥ A7A4,

d5+ d7 ≥ A7A5, d6+d7 ≥ A7A6 (1)

Равенство достигается только в случае, когда треугольники вырождаются в отрезки.

∑ ≥A7A1 +2 ⋅A7A2 +3 ⋅A7A3 +4 ⋅A7A4 +5 ⋅A7A5 +6⋅A7A6 (2)

Правая часть неравенства $(2)$ не зависит от положения точки $O,$ поэтому

min∑ ≥A7A1 +2⋅A7A2 +3⋅A7A3 +4⋅A7A4 +5⋅A7A5+ 6⋅A7A6

Минимум достигается, когда точка $O$ совпадает с точкой $A7,$ поскольку в ней все неравенства $(1)$ превращаются в равенство.

Ответ: товары следует доставить в седьмой дом

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#90129Максимум баллов за задание: 7

Из пункта А в пункт Б выехал велосипедист, а через четверть часа вслед за ним выехал автомобиль. На половине пути от А до Б автомобиль догнал велосипедиста. Когда автомобиль прибыл в пункт Б, велосипедисту оставалось проехать еще треть пути. За какое время велосипедист проехал путь из А в Б, если известно, что скорости автомобиля и велосипедиста постоянны на всем пути от пункта А в пункт Б?

Показать ответ и решение

Пусть скорость велосипедиста равна $v 1$ км / мин, скорость автомобиля равна $v 2$ км / мин, а расстояние между пунктами равно $S$ км, тогда

S∕2 S∕2 2S∕3 S v1-= v2-+ 15, -v1-= v2 + 15

15= 2Sv-− 2Sv-= 23Sv-− Sv- 1 2 1 2

S--= S-- 6v1 2v2

v2 = 3v1

Отсюда $2Sv-= S6v--+15, 1 1$ то есть велосипедист потратил на дорогу $vS= 45 1$ минут.

Замечание. Как эта задача выглядит при графическом подходе к решению:

$PIC$

Ответ: 45 минут

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 44#91962Максимум баллов за задание: 7

Решите систему уравнений

{ 3x +4y = 26; ∘ (x−-10)2+-(y−-5)2+∘ (x− 2)2+-(y+-1)2 = 10.

Показать ответ и решение

Рассмотрим второе уравнение. Если $A(0,0)$ , $B(x− 10,y− 5)$ и $C(− 8,− 6)$ , то второе уравнение превращается в $10= AB + BC ≥AC = 10$ . Значит, точки $A, B$ и $C$ лежат на одной прямой и $(x− 10) :(y− 5)=− 8:−6$ . Тогда $6(x − 10)= 8(y− 5)$ и $3x+ 4y = 26$ . Отсюда $3x= 4(y− 5)+30= 26− 4y$ , $y =2$ и $x =6$ . Проверяем, что эта точка подходит (это необходимо, так как пока мы знаем, что точка $B$ лежит на прямой $AC$ , а нам еще нужно, чтобы она лежала между точками $A$ и $C$ ).

Ответ: (6; 2)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 45#91963Максимум баллов за задание: 7

Пусть $x,y,z$ — положительные числа и

xyz(x+ y+ z)=1

Найдите наименьшее значение выражения

(x+ y)(x+ z)

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Давайте рассмотрим такую замену: a = x + y, b = y + z, c = z + x. Очевидно, что существует треугольник со сторонами a, b, c. Какой вид примет условие в новых переменных?

Подсказка 2:

Чтобы оценить произведение двух сторон, стоит вспомнить формулу площади, связанную с синусом.

Показать ответ и решение

Рассмотрим треугольник со сторонами $a= x+ y,$ $b =y +z,$ $c= z+ x.$ Так как для этих $3$ чисел выполняется неравенство треугольника, то он существует. Тогда

p= x+ y+z

x= p− b,y = p− c,z =p − a

Значит, площадь треугольника по формуле Герона

S = ∘p-(p−-a)(p−-b)(p−-c)= ∘xyz(x+-y+-z)-=1

С другой стороны, если угол между сторонами $a$ и $c$ равен $β,$ то

S = acsinβ-= (x-+y)(x-+z)sinβ-= 1 2 2

и значит,

(x+ y)(x+ z) =--2-≥ 2 sinβ

Пусть $a= 1,$ $c =2$ и $b= √3.$ Тогда $(x+ y)(x+ z)= -2-= 2. sin β$ То есть оценка достигается.

Ответ:

$2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 46#91965Максимум баллов за задание: 7

Имеет ли решение в положительных числах система уравнений

(| x2+ xy+ y2 = 4; { y2+ yz+ z2 =9; |( 2 2 z + zx+ x =36?

Показать ответ и решение

Пусть есть. Тогда возьмем точку, выпустим 3 луча, между которыми углы $120∘$ и отметим на эти лучах отрезки длины $x =a$ , $y =b$ и $z =c:$

$PIC$

Тогда

( |{ x2+ xy+ y2 = 4= AB; | y2+ yz+ z2 =9 =BC; ( z2+ zx+ x2 = 36 =AC

Но для треугольника $ABC$ не выполняется неравенство треугольника. Противоречие.

Ответ: нет

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 47#91966Максимум баллов за задание: 7

Решите систему уравнений

{ 21+x = 32y√2; ∘x2-+-y2+2−-2x−-2y+∘x2-+-y2− 6x+-9= √5.

Показать ответ и решение

∘ -2---2---------- ∘ -2---2------ x + y +2− 2x− 2y+ x + y − 6x+ 9=

∘ -----2------2- ∘ -----2--2- √ - = (x − 1) + (y− 1) + (x − 3) + y = 5

Пусть $A(0,0)$ , $B (x − 1,y− 1)$ , $C(2,−1)$ . Тогда

√ - ∘ -----2-------2 ∘ -----2---2 √- 5= AC ≥AB + BC = (x− 1) + (y − 1) + (x− 3) + y = 5

Раз достигается равенство, то $B$ лежит на прямой $AC$ и $(x− 1):(y− 1)=2 :−1$ . Значит, $2y− 2 +x − 1= 0$ . Тогда $y = 3−x= 21+√x 2 32 5$ и $21+x x−3 32√5-+ -2-= 0$ . Заметим, что если посмотреть на это как на функцию от $x$ , то она возрастает и поэтому будет не более 1 корня. Это корень $x= 2.5$ , так как $1+x 232√5 = 2x−4.5$ и $1+x 232√5-+ x−23= 2− 2− 14 = 0$ .

Ответ:

$(2,5;0,25)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 48#91967Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система уравнений

{ x2 +(2a− 2)x+ a2− 2a− 3= 0 ∘x2-+-(y-− a)2+∘ (x+-4)2+-(y-− a)2 = 4

имеет ровно одно решение.

Показать ответ и решение

Перепишем первое уравнение.

2 (x− (a− 1)) = 4

Значит, $x= a− 1±2$ . Пусть $A(0,0)$ , $B(x,y− a)$ , $C(−4,0)$ . Тогда по условия $AB +BC = 4≥ AC =4$ . Значит, они лежат на одной прямой и поэтому $y− a= 0$ и $x∈ [− 4;0]$ .

Значит, $y = a$ и $x= a− 1− 2$ или $x= a− 1+ 2,$ если эти числа лежат в $[−4;0]$ . Первое значение $x$ попадает в интервал при $a ∈[−1;3]$ , а второе при $a∈[−5;−1]$ . Значит, ответ $[− 5;−1)∪ (− 1;3]$ .

Ответ:

$[−5;− 1)∪(−1;3]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 49#92432Максимум баллов за задание: 7

Даны положительные действительные числа $a,b,c$ . Известно, что

(a − b)lnc+ (b− c)ln a+(c− a)lnb= 0.

Докажите, что

(a − b)(b− c)(c− a)= 0.

Источники: Курчатов - 2021, 11.6 (см. olimpiadakurchatov.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если а = с, то задача решена. Поэтому рассмотрим случай, когда а ≠ с. Поделим каждую часть уравнения на a - c и перенесём ln(b) в другую сторону.

Подсказка 2

Обозначим k = (b-c)/(a-c), 1-k = (a-b)/(a-c) и перепишем условие, которое мы получили в прошлой подсказке. Введём систему координат и точки А, B, C, координаты которых будут удовлетворять функции y = ln(x).

Подсказка 3

Вспомните, как выглядит график y = ln(x). Может ли прямая пересекать этот график в трёх точках A, B, C, если ни одна из точек не совпадает с другой?

Показать доказательство

Если $a =c$ , то всё очевидно. Если $a⁄= c$ , поделим равенство на $a− c$ и перенесём $lnb$ в другую часть, получим

b−-c a−-b lnb= a− clna+ a− clnc.

Рассмотрим на координатной плоскости две точки: $A (a;lna)$ и $C(c;lnc)$ , а также обозначим $b−c α =a−c,$ тогда $a−b 1− α= a−c$ .

Точка $B$ с координатами $xB = αa+ (1− α )c= b$ и $yB = αlna+ (1− α)ln c= lnb$ лежит на прямой $AC$ .

Но также ясно, что эти три точки лежат на графике функции $y = lnx$ . Так как эта функция является вогнутой (например, потому, что её вторая производная отрицательна), то с прямой может пересекаться максимум по двум точкам, а это значит, что какие-то два из трёх чисел $a,b,c$ совпадают:

(a− b)(b− c)(c− a) =0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 50#95205Максимум баллов за задание: 7

Дана система уравнений, описывающая положение и ориентацию исполнительного механизма робота на плоскости вида

(| x= a⋅cos(ϕ )+b⋅cos(ϕ + ϕ )+c ⋅cos(ϕ +ϕ + ϕ ) { y = a⋅sin(ϕ1)+b⋅sin(ϕ1+ ϕ2)+ c⋅sin(ϕ1+ ϕ2+ϕ 3) |( 1 1 2 1 2 3 γ = ϕ1+ ϕ2+ϕ3

Найдите конфигурацию ( $ϕ1,ϕ2,ϕ3$ ) для заданного положения и ориентации $(x,y,γ)$ , а также известных $a,b,c$ . При каких $a,b,c$ задача имеет решение?

Источники: Иннополис - 2021, 11.4 (см. dovuz.innopolis.university)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обратите внимание на то, как похожи уравнения для x и y. Руководствуясь этим фактом, попробуйте представить, что можно изобразить на плоскости, чтобы лучше понять, как связано положение механизма с условием.

Подсказка 2

Да! Можно представить путь от начала координат до положения механизма с помощью ломаной с соответствующими длинами звеньев и углами между ними. Теперь подумайте, каким образом можно наложить ограничения на параметры в исходной системе? Полезно будет подумать о том, как в зависимости от параметров a и b меняется количество решений задачи.

Подсказка 3

Для нахождения конфигурации при заданном положении подумайте, какой треугольник из заданной конструкции будет иметь все нужные нам углы. А дальше лишь дело техники, воспользуйтесь вашими знаниями тригонометрии :)

Показать ответ и решение

$PIC$

Изобразим на координатной плоскости трехзвенный манипулятор (звенья длин $|a|,|b|,|c|)$ , первое звено $AB$ которого — отрезок с началом в $A(0,0)$ , а третье — отрезок с концом $D(x,y)$ . Тогда $ϕ1$ — угол, образованный первым звеном и осью $x,ϕ2$ и $ϕ3$ — углы соответственно между первым и вторым, и вторым и третьим звеньями манипулятора, а $γ$ — угол между направленным третьим звеном и положительным направлением оси $x.$

Изобразим окружности $ωA$ и $ωD$ с центрами в точках $A$ и $D$ и радиусами $|a|$ и $|c|$ соответственно. Вектор $−C−→D$ (третье звено манигулятора) образует известный угол $γ$ — таким образом, точка $C$ имеет координаты $(x− c⋅cosγ;y− c⋅sinγ)$ . Изобразим окружность $ωC$ с центром в точке $C$ и радиусом $|b|.$

$PIC$

Количество общих точек окружностей $ωA$ и $ωC$ равно количеству решений задачи. Задача не имеет решений, если треугольника (пусть и вырожденного) со сторонами $|AC |,|a|,|b|$ не существует.

Найдем одно из решений задачи. Рассмотрим $△ABC (BC$ — второе звено манипулятора). В нём

∘----------------------- |AB |=|a|,|BC |=|b|,|AC|= (x− c⋅cosγ)2+ (y− c⋅sinγ)2.

Зная стороны треугольника, найдем его углы (используя теоремы синусов и косинусов). Так,

2 2 2 ∠BAC = arccosa-+-|AC|-− b-, 2|a|⋅|AC|

причём

x−-ccosγ- ϕ1 = ∠BAC + arctg y− c ⋅sin γ.

Аналогично,

a2 +b2− |AC |2 ϕ2 = π− ∠ABC = π− arccos---2|a|⋅|b|----

Наконец, $ϕ3 = γ− ϕ1− ϕ2.$

Ответ:

Задача имеет решение, когда существует треугольник с длинами сторон $a$ , $b$ и $c$ .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 51#99090Максимум баллов за задание: 7

Докажите неравенство

---x---- ---y--- ---z--- −x+ y+ z + x− y+ z + x+ y− z ≥ 3,

где $x,y,z$ — стороны произвольного треугольника.

Показать доказательство

Заметим, что в знаменателях стоят длины отрезков касательных к вписанной в треугольник со сторонами $x,y,z$ окружности. Обозначим знаменатели $a,b,c.$ Тогда неравенство эквивалентно

b+ c c+ a a+ b -2a-+ -2b-+ -2c-≥ 3

b c c a a b a +-a +-b +-b-+-c +-c≥ 1 6

Последнее верно в силу неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим для 6 чисел (положительных, так как это длины отрезков касательных).

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 52#70797Максимум баллов за задание: 7

На доске написаны числа $2,3,5,...,2003,2011,2017,$ т. е. все простые числа, не превосходящие $2020.$ За одну операцию можно заменить два числа $a,b$ на максимальное простое число, не превосходящее $√-2------2 a − ab+ b.$ После нескольких операций на доске осталось одно число. Какое максимальное значение оно может принимать?

Источники: Курчатов - 2020, 11.3 (см. olimpiadakurchatov.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если бы ответ был бы огромным, его было бы очень сложно искать(и проверять большие числа на простоту). Поэтому попробуем найти ответ среди тех, что уже записаны. Допустим, мы сделали одну операцию. Что можно сказать про новое число. Как можно его ограничить?

Подсказка 2

Оно лежит между числами, которые заменили на него. Тогда становится ясно, что 2017 не получить. А что получить можно и как?

Подсказка 3

Попробуем получить 2011. Работать с неизвестными нам простыми числами во второй тысяче сложно, поэтому попробуем найти алгоритм, которому не нужно точно описывать работу с ними. Как числа хотим оставить в конце для получения 2011?

Показать ответ и решение

$√a2-− ab+-b2$ по теореме косинусов это длина стороны напротив угла в $60∘$ в треугольнике, поэтому она является средней из трёх сторон. В связи с этим число $2017$ получиться не может, потому что каждое полученное в результате данной операции простое будет меньше $2017.$ Поэтому наибольшее число, которое мы теоретически можем получить, это $2011.$

Теперь приведём алгоритм, как получить 2011: будем последовательно выбирать два наибольших простых числа из всех, игнорируя $2017.$ Так всегда будет оставаться меньшее из этих чисел, поскольку большее остаться не может, при этом на каждом шаге мы рассматриваем два последовательных простых (это доказывается по индукции, поскольку на первом шаге мы оставим $2003$ из пары $2003$ и $2011,$ и так далее). То есть на каждом шаге $√-2------2 a< a − ab+b < b,$ при этом $a,b$ — последовательные простые, поэтому между ними других простых нет и мы будем выбирать $a.$

Наконец, останутся числа $2,2017,$ для них покажем, что $2011$ подходит:

∘--------------- 20172− 2⋅2017+22 >2011 ⇐⇒ 20172− 2⋅2017+ 22 > 20112 ⇐⇒ 6⋅4028> 4030

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание.

Можно чисто алгебраически доказать неравенство $√-2------2 a< a − ab+b < b$ при условии $a< b, a,b∈ ℕ.$ Для этого достаточно возвести его в квадрат и использовать $2 2 2 2 a< b =⇒ a < ab< b ⇐ ⇒ a − ab< 0, −ab+b > 0,$ откуда сразу же получаем требуемое $2 2 2 2 a < a − ab+b < b.$

Ответ:

$2011$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 53#100192Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых неравенство

-----------1---------- √- √x2-+2x-+5+ √x2+-6x+-18-≤ a

выполняется при всех значениях $x.$

Источники: ПВГ - 2020, 11.5 (pvg.mk.ru))

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так как нам нужно, чтобы неравенство выполнялось при всех x, то какое крайнее значение левой части стоит рассмотреть? При каком знаменателе оно достигается?

Подсказка 2

Рассмотрите наибольшее значение левой части. Для этого нужно минимизировать знаменатель;) Можно пробовать его преобразовать так, чтобы найти геометрическую интерпретацию знаменателю.

Подсказка 3

Представьте подкоренные выражения в виде суммы квадратов. Каков геометрический смысл суммы корней?

Подсказка 4

Это сумма расстояний от двух точек до некоторой одной! А когда она достигает наименьшего значения?

Подсказка 5

Когда точки лежат на одной прямой ;)

Показать ответ и решение

Так как знаменатель функции

-----------1---------- f(x)= √x2-+2x+-5+ √x2+-6x+18-

равен

∘ ---------- ∘ ---------- g(x)= (x +1)2+22+ (x +3)2+32

и всегда положителен, то наибольшему значению функции соответствует наименьшее значение знаменателя. При этом функцию $∘ ---------- ∘ ---------- g(x)= (x+ 1)2+ 22+ (x+3)2+ 32$ можно трактовать как сумму двух расстояний: от точки $(x;0)$ до точки $A(−1;2)$ и от точки $(x;0)$ до точки $B(−3;− 3)$ . Мы специально выбрали точки так, что они лежат по разные стороны от оси абсцисс, тогда наименьшее значение суммы достигается в точке пересечения прямой $AB$ и оси абсцисс. Это будет точка $x= − 95$ , но вычислять ее нет необходимости, так как наименьшее значение функции просто равно длине отрезка

∘-------------- AB = (3− 1)2+ (3 +2)2 = √29.

Поэтому наибольшим значением функции $f(x)= g1(x)$ является $√129$ . Значит,

√a≥ √1- 29

a≥ -1 29

Ответ:

$( 1-;+∞) 29$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 54#105229Максимум баллов за задание: 7

Четыре лифта небоскреба, отличающиеся цветовой гаммой (красный, синий, зеленый и желтый) движутся в разных направлениях и с разной, но постоянной скоростью. Наблюдая за лифтами, некто включил секундомер, и, глядя на его показания, стал записывать: 36-я секунда — красный лифт догнал синий (двигаясь с ним в одном направлении). 42-я секунда — красный лифт разминулся с зеленым (двигаясь в разных направлениях), 48-я секунда — красный лифт разминулся с желтым, 51-я секунда — желтый лифт разминулся с синим, 54-я секунда — желтый лифт догнал зеленый лифт. На какой секунде от начала отсчета зеленый лифт разминется с синим, если за период наблюдения лифты не останавливались и не меняли направления движения?

Источники: ШВБ - 2020, 11 (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В задаче описано много величин, поэтому записывать все уравнения и решать их не хочется. Скорость движения лифтов постоянна, поэтому графиком координаты от времени будет являться прямая.

Подсказка 2

Без ограничения общности можно считать, что красный лифт едет наверх. Тогда направления остальных лифтов определяются однозначно. Теперь нужно использовать геометрические соображения.

Подсказка 3

Времена из условия имеют чёткую связь между собой: 42 = (48+36)/2 и 51 = (48 + 54)/2. Мы много знаем про чевианы, которые делят сторону треугольника в отношении 1:1. Теперь нужно понять, координата по времени какой точки в треугольнике нас интересует.

Показать ответ и решение

Занумеруем лифты: красный — первый, синий — второй, зеленый — третий, желтый — четвертый. Лифты движутся с постоянными скоростями, следовательно, для каждого лифта пройденное расстояние $Si, i=1,2,3,4,$ в некоторой системе координат зависит от времени по закону.

Si = kit+ bi

По условию задачи красный и синий лифт движутся в одном направлении, причем красный догоняет синий, следовательно:

k1⋅k2 > 0, k1 > k2

Пусть $k1 >0,$ тогда и $k2 > 0.$

Зеленый и желтый лифты движутся в противоположном направлении с двумя первыми, и желтый догоняет зеленый, следовательно:

k < 0, k <0,k < k. 3 4 3 4

Построим графики функций согласно условию задачи.

$PIC$

Нужно определить абсциссу точки $M.$ Точка $M$ — точка пересечения медиан треугольника $ABC.$ Воспользуемся теоремой Фалеса:

AM-- x−-36- 2 MD = 51 − x = 1 =⇒ x= 46

Ответ:

на 46 секунде

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 55#78976Максимум баллов за задание: 7

Положительные числа $a,b$ и $c$ таковы, что выполнены равенства

2 2 2 2 2 2 a +ab+ b =1, b+ bc+c = 3, c + ca +a = 4.

Найдите $a +b+ c$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте немного остановим свой взгляд на равенства из условия. Можно сказать, что нам дали идентичные выражения. Где ещё с таким видом равенств вы могли встречаться?

Подсказка 2

Точно, это же теорема косинусов для угла в 120 градусов. Так давайте же попробуем это изобразить на рисунке. Какая фигура там получается?

Подсказка 3

Верно, получается прямоугольный треугольник, а внутри него точка, из которой все стороны видны под углом 120 градусов. Причём расстояние от точки до вершин треугольника и есть наши a, b, c. А у нас просят найти их сумму. Хм, чтобы тогда хорошо сделать... Что будет с нашими отрезками, если повернуть наш треугольник на 60 градусов вокруг вершины с углом 90 градусов?

Подсказка 4

Верно, если посчитать углы и воспользоваться простым свойствами поворота, то получится, что наши отрезки "выпрямляются". То есть мы получили треугольник с известным углом и смежными сторонами, а напротив как раз то, что надо найти. Осталось только воспользоваться известной теоремой, и победа!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Отложим из одной точки $T$ отрезки $TA, T B и TC$ с длинами $a, b и c$ соответственно так, чтобы $∘ ∠AT B = ∠BT C = ∠CT A= 120.$

Тогда по теореме косинусов при учете соотношения $∘ 1 cos120 = −2,$ получаем, что $√ - AB = 1,BC = 3,CA = 2.$ Видим, что по теореме Пифагора треугольник $ABC$ прямоугольный $∘ (∠B = 90 ),$ причем его катет $AB$ в два раза короче гипотенузы $AC,$ откуда следует равенства $∘ ∘ ∠BAC = 60 ,∠BCA =30 .$

Отметим точку $B1$ — середину гипотенузы $AC$ и точку $C1,$ что $△ABC = △AB1C1$ и точки $C1$ и $B$ по разные стороны от $AC :$

$PIC$

По построению треугольники $ABC$ и $AB1C1$ отличаются поворотом на $60∘$ с центром в точке $A.$ Отметим точку $T1$ в треугольнике $AB1C1,$ соответсвующую точке $T$ в треугольнике $ABC.$ Тогда $BT = B1T1, CT = C1T1, и AT = AT1 = TT1.$ Последнее равенство обусловлено тем, что треугольник $AT T1$ получается равносторонним, поскольку точки $T$ и $T1$ отличаются поворотом на $60∘$ с центром в точке $A.$

Осталось отметить, что точки $B, T, T1, C1$ лежат на одной прямой, поскольку $∠ATB = ∠AT1C1 = 120∘ и ∠ATT1 =∠AT1T = 60∘.$ В итоге получаем, что

a+ b+ c= AT + BT +CT = BT +T T1 +T1C1 = BC1,

а $BC1$ может быть вычислено из теоремы косинусов для треугольника $BAC1 :$

BC2 = AB2 +AC2 +AB ⋅AC = 1+ 4+1 ⋅2 =7. 1 1

Второе решение.

Вычтем из первого равенства второе. Получим $(a− c)(a+c)+ b(a− c)=− 2,$ т.е.

-−2- a +b+ c= a− c

Аналогично, вычитая из второго равенства третье и из третьего первое, получим

−2 −1 3 a+ b+ c= a−-c = b−-a = c−-b

Если обозначить $s=a +b+ c,$ то можно переписать предыдущее соотношения как

a− c=− 2s−1, b− a= −s−1, c− b= 3s−1

Теперь сложим все исходные равенства:

2a2+ 2b2+ 2c2 +ab+ bc +ca= 8

(1)

Нетрудно заметить, что левую часть можно выразить следующим образом:

2 1 2 2 2 (a+ b+c) + 2((a− c)+ (b− a) + (c− b))= 8

что означает

2 1 −2 −2 −2 s + 2(4s + s + 9s )= 8

Домножением на $s2$ получаем биквадратное уравнение

s4 − 8s2+ 7=0

корнями которого являются $2 2 s = 1 и s =7.$ Однако первое из значений явно вступает в противоречие с равенством $(1):$

2 2 2 2 2 1 1 1 s = (a+b +c) >a + b + c+ 2ab+ 2bc+ 2ca =4.

Значит, остается $s2 = 7,$ т.е. $√ - a+ b+c = 7.$

Ответ:

$√7$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 56#127821Максимум баллов за задание: 7

Из пункта А в пункт В вышел пешеход. Вслед за ним через два часа из А выехал велосипедист, а еще через полчаса — мотоциклист. Все трое двигались с постоянными скоростями. Мотоциклист обогнал в пути пешехода и мотоциклиста и через некоторое время сделал остановку в пункте С. Пешеход и велосипедист одновременно достигли пункта С на $3$ минуты позже мотоциклиста и сразу после этого все трое продолжили движение. На сколько времени (в часах) раньше пешехода в пункт В прибыл велосипедист, если пешеход прибыл туда на $1$ час позже мотоциклиста?

Показать ответ и решение

Изобразим условие задачи в координатах по времени и положению в пространстве. Пусть точка $K$ соответствует моменту выхода пешехода из пункта А, точка $L$ соответствует моменту выезда велосипедиста из пункта А, точка $M$ соответствует моменту выезда мотоциклиста из пункта А. Точка $N$ будет соответствовать остановке мотоциклиста в пункте С, точка $O$ — началу движения мотоциклиста, велосипедиста и пешехода из пункта С. Точки $P,$ $R$ и $S$ — моменты прибытия мотоциклиста, велосипедиста и пешехода соответственно в пункт В.

$PIC$

Так как велосипедист выехал на 2 часа позже, чем вышел пешеход, отрезок $KM$ соответствует двум часам. Аналогично, отрезок $NO$ соответствует 3 минутам, отрезок $PS$ соответствует 1 часу, отрезок $LM$ соответствует 30 минутам. Нас спрашивают, какому времени соответствует отрезок $RS.$ Построим параллельно $NM$ отрезок $OT.$ Так как $NO$ параллелен оси $t,$ $MNOT$ — параллелограмм, следовательно, отрезок $MT$ соответствует 3 минутам. Заметим, что треугольники $KT O$ и $POS$ подобны, так как $KT ∥ PS.$ Аналогично, треугольники $KOL$ и $ORS$ подобны. При этом отрезки $LO$ и $OR$ лежат на прямой $LR$ внутри подобных $KTO$ и $POS,$ следовательно, отношение $LO$ к $OR$ равно коэффициенту подобия $KT O$ и $POS,$ поэтому коэффициенты подобия данных пар подобных треугольников равны. Запишем отношение отрезков для времени в минутах:

KT-= 120+-30+-3 = KL- PS 60 RS

RS =-60⋅KL = 60-⋅120 153 153

Так как ответ просят выразить в часах,

RS = 40 51

Ответ:

$40 51$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 57#64357Максимум баллов за задание: 7

Василий с друзьями решили устроить пикник. Для этого им от пункта А нужно добраться вниз по реке до пункта В, причем в их распоряжении есть два катера. Считая себя самым ответственным, Василий вызвался самостоятельно доехать до пункта В на более быстроходном катере и начать готовить место для пикника. Оба катера вышли одновременно из пункта A. Однако, промчавшись восемь километров, Василий заметил на берегу машущего ему рукой Григория, который просил по старой дружбе довезти его до пункта С. И хоть пункт С Василий уже проехал, он согласился. По пути в пункт С Василий с Григорием встретили идущий навстречу второй катер с друзьями Василия, откуда те крикнули, что им до пункта В осталась треть пути и чтобы Василий нигде не задерживался. Доставив Григория в пункт С, Василий немедленно помчался догонять друзей. Найдите расстояние между пунктами В и С, если известно, что оба катера пришли в пункт В одновременно, скорости катеров постоянны, а Василий, действительно, нигде не задерживался.

Источники: ДВИ - 2017, вариант 1, задача 6 (cpk.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нарисуйте графики движения в осях “время – расстояние”. Длину какого отрезка мы тогда хотим найти?

Подсказка 2

Конечно проекции отрезка Василия “после отправления из С” на ось расстояния! При этом мы знаем длину проекции отрезка Василия “до встречи с Григорием”. Что можем сказать про связь этих отрезков (не проекций) в геометрическом плане?

Подсказка 3

Они параллельны! А что мы знаем про проекции отрезков с некоторых параллельных прямых на третью прямую?

Подсказка 4

Проекции соотносятся так же, как и длины самих отрезков! Этот факт нетрудно доказывается с применением обобщенной теоремы Фалеса. Остается только найти соотношение из планиметрических соображений и вычислить искомую длину.

Показать ответ и решение

Рассмотрим график движения, где по $ADCB$ двигался первый катер, а по $AB$ — второй

$PIC$

Здесь $AE = 8$ из условия, $AD$ и $BC$ параллельны (тангенсы их углов наклона к оси равны скорости катера вниз по реке), откуда $△ADF ∼△BCF$ с коэффициентом $2:1$ ( $∠ADF = ∠FCB$ ), откуда на отрезке $CB$ первый катер прошёл 4 км.

Ответ:

4 километра

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 58#90856Максимум баллов за задание: 7

Числа $x ,...,x ,y ,...,y 1 n 1 n$ удовлетворяют условию

2 2 2 2 x1 +...+ xn+ y1 + ...+yn ≤2.

Найдите максимальное значение выражения

A= (2(x1+ ...+ xn)− y1− ...− yn)⋅(x1+ ...+ xn +2 (y1+ ...+ yn)).

Подсказки к задаче

Подсказка 1

x₁² + ... + xₙ² + y₁² + ... + yₙ² — намёк на многомерную теорему Пифагора, а, значит, на многомерные векторы. Какое же пространство нам нужно рассмотреть и какие векторы?

Подсказка 2

Пространство — R^{2n} и вектор x = (x₁, ..., xₙ, y₁, ..., yₙ). Посмотрите на выражение А в условии и поймите, какие вспомогательные векторы нам понадобятся.

Подсказка 3

Именно! Это вектор a = (2,...2, -1, ..., -1) (двоек и -единиц поровну), а также вектор b = (1, ..., 1, 2, ..., 2) (тоже поровну). Какие-то похожие векторы а и b. Что же про них можно сказать?...

Подсказка 4

Точно! Они ортогональны (докажите это сами). Рассмотрим ещё один произвольный вектор c, который ортогонален a и b. Чем тогда является набор (a, b, c)?

Подсказка 5

Базисом нашего пространства! Тогда как можно представить наш вектор x?

Подсказка 6

Верно! Как линейную комбинацию векторов базиса. То есть x = na + mb + tc, где n,m,t — действительные. Вернёмся к нашему А. Запишем его с учётом наших продвижений...

Подсказка 7

А = <x,a> * <x,b> = (n<a, a> + m<b,a> + t<c, a>)*(n<a, b> + m<b,b> + t<c, b>) = nm|a|²|b|², где <> — скалярное произведение.

Подсказка 8

Самостоятельно докажите, что |x|² ≤ 2, потом сделайте оценку на nm. Тем самым вы сможете получит оценку на А. А что дальше?

Подсказка 9

Построить пример вектора x, когда достигается нужное значение. Небольшая подсказка: вектор не должен быть разнообразным...

Показать ответ и решение

Рассмотрим такие векторы в $ℝn$

x= (x1,x2,...,xn,y1,y2,...,yn)

a =(2,2,...,2,− 1,− 1,...,−1)

b =(1,1,...,1,2,2,...,2)

Заметим, что $a⊥b$ . Значит, $x= αa+ βb+ c$ , где $c⊥a,b$ . Тогда

A =< x,a> ⋅<x,b>= α|a|2β|b|2 = 25αβ

Из ортогональности

|x|2 = α2|a|2+ β2|b|2 +|c|2 = 5α2+5β2+ |c|2 =x21 +...+ x2n+ y21 + ...+y2n ≤2

2 2 αβ ≤ a-+2-b-≤ 15

A ≤ 5

Такое значение достигается при $xi = √35n$ и $y = √15n.$

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 59#105329Максимум баллов за задание: 7

Действительные числа $a,$ $b$ и $c$ таковы, что $||a2+b2−c2||<2. | ab |$ Докажите, что для этих чисел верны также неравенства $||b2+c2−a2||< 2 | bc |$ и $||2 2 2|| |c-+aca−b-|< 2.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Если поделить неравенства на два, то их левые части будут чем-то напоминать теорему косинусов, не так ли?

Подсказка 2:

Если быть точнее, то левые части являются косинусами углов некоторого треугольника. Какого и почему?

Показать доказательство

Первое решение. Умножение любого из чисел $a,b,c$ на $− 1$ не изменяет факт истинности (или неистинности) каждого из рассматриваемых неравенств. Кроме того, $a$ и $b$ из условия не равны $0.$ Значит, без ограничения общности можно считать, что $a >0,b> 0,c≥ 0.$

По условию, $||a2+b2−c2|| | 2ab |< 1,$ значит, существует угол $γ ∈(0,π),$ косинус которого равен $a2+b2−c2 2ab ,$ т.е. выполнено равенство $2 2 2 a + b − c = 2abcosγ$ или $2 2 2 c = a +b − 2abcosγ.$

Построим треугольник, у которого две стороны равны $a$ и $b,$ а угол между этими сторонами равен $γ.$ Пусть третья сторона этого треугольника равна $c1.$ По теореме косинусов $2 2 2 c1 = a +b − 2abcosγ.$ С учетом $c≥ 0$ получаем $c1 = c.$ Пусть $α$ — угол нашего треугольника напротив стороны $a.$ Снова из теоремы косинусов имеем $b2+c2−a2 --bc---= 2cosα.$ Требуемое неравенство $||b2+c2−a2|| |---bc---|<2$ вытекает теперь из того, что $|cosα|< 1.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Заметим, что при выполнении первого неравенства $c⁄=0$ (так как при $c= 0$ имеем неравенство $a2 +b2 < 2|ab|,$ что неверно). Сделаем равносильные преобразования неравенства при условии $a⁄= 0,b⁄= 0,c⁄= 0:$

|| 2 2 2|| | | ( ) ||a-+-b−-c-||<2 ⇔ |a2+ b2− c2|< 2|ab|⇔ a2+ b2 − c22 <(2ab)2 ⇔ ab

(a2+b2− c2)2− (2ab)2 <0 ⇔ (a2 +b2− c2− 2ab)(a2+ b2− c2+ 2ab)< 0⇔

((a− b)2− c2)((a+ b)2− c2)< 0⇔ (a− b− c)(a− b+ c)(a+ b− c)(a+b+ c)< 0

⇔ (b+c− a)(c+ a− b)(a+b − c)(a+ b+ c)> 0

Неравенство приведено к симметричному виду относительно $a,b,c.$ Аналогично, каждое из двух других неравенств из условия задачи эквивалентно этому симметричному неравенству вместе с условиями $a ⁄=0,b⁄= 0,c⁄= 0.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 60#92005Максимум баллов за задание: 7

Найдите минимальное значение выражения

∘ -----2---2 ∘ -2-------2 (x+ 6) + y + x + (y − 4)

при условии $2|x|+ 3|y|= 6$ .

Источники: ПВГ 2016

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем, а в каких формулах нам встречались похожие выражение? Сумма квадратов по корнем...

Подсказка 2

Что-то похожее на условия нам встречалось в формуле нахождения расстояния от точки до точки! Осталось лишь понять, от какой и до какой ;)

Подсказка 3

Выражение из условия есть сумма расстояний от точки (x,y) до (-6, 0) и (0, 4). Теперь нам надо подумать, а где же лежит точка (x, y)? Что "рисует" второе выражение из условия? ;)

Подсказка 4

Второе выражение из условия есть ромб с центром в начале координат! Получается, нам нужно минимизировать сумму расстояний от точки на стороне ромб до двух фиксированных!

Подсказка 5

Попробуем воспользоваться идеей симметрии, чтобы найти подходящую точку ;)

Подсказка 6

Докажите, что нам подходит точка, равноудаленая от двух фиксированных!

Показать ответ и решение

Заметим, что выражение из условия есть сумма расстояний от точки с координатами $(x,y)$ до точек $(−6,0)$ и $(0,4)$ . А уравнение $2|x|+ 3|y|= 6$ задаёт ромб. Наша задача свелась к нахождению точки на границе ромба с минимальной суммой расстояний до двух выбранных. Докажем, что этот минимум достигается в точке, равноудаленной от точек $(−6,0)$ и $(0,4)$ .

Пусть точка $G$ лежит на прямой $l$ , параллельной $EF$ , и удаленной от прямой $EF$ на расстояние $h$ . Пусть также точка $H$ на прямой $l$ такова, что $EH =FH$ , а точка $P$ симметрична $F$ относительно прямой $l$ . Тогда получаем

EG + FG ≥EH + HP = EH + HF.

Причем равенство получается только, если точки $G$ и $H$ совпадают.

В нашем случае сторона ромба $AB$ параллельна $EF$ , а точка $H$ на прямой $AB$ , для которой $EH = FH$ , лежит на стороне ромба. Сумма расстояний от любой другой точки ромба до точек $E$ и $F$ больше $EH + FH$ . Остается найти $EF$ и расстояние между прямыми $EF$ и $AB$ . Применяя теорему Пифагора, получаем $√ ------ √-- EF = 16+36= 2 13$ . Расстояние между прямыми равно расстоянию от прямой $AB$ до начала координат, поэтому

h⋅AB = AO⋅BO,

откуда $h =√6-- 13$ .

Таким образом,

∘ 36---- ∘205 EH + FH =2 13 + 13= 2-13

Ответ:

$2∘ 205 13$

Следующая подтема