Тема Системы уравнений и неравенств

Сведение системы к квадратному

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела системы уравнений и неравенств

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#82780

Решите систему уравнений

{ (xy+ 3x− y − 3)|y− x− 9|=(x− 4)|xy+3x − y− 3|; √y-−-x+9-=y − 4.

Источники: Ломоносов - 2024, 11.3 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Надо понять, какие есть возможности выполнения 1-го уравнения. Имеется одинаковая скобка справа и слева, на неё можно сократить (не забывая про модуль), когда она не равна нулю. Следовательно, можно отдельно рассмотреть случаи равенства и неравенства нулю этой скобки, также не забывая про ОДЗ.

Подсказка 2

Когда ни одна из скобок первого уравнения не равна нулю, учесть модули можно довольно просто — их наличие равносильно тому, что произведение всех скобок без модулей положительно (поскольку, если оставить все модули в одной стороне, а скобки без модулей перенести в другую, то дробь без модулей обязана быть положительной). Далее уже сложностей не остается — нужно лишь аккуратно поделить всё на случаи и довести их до конца, учитывая ОДЗ.

Показать ответ и решение

Из второго уравнения следует, что $y ≥ 4$ , так как корень неотрицателен.

Пусть первое уравнение выполняется из-за того, что $(xy+ 3x − y− 3)= 0$ . Условие равносильно $(x− 1)(y +3)= 0$ . Решение $y = −3$ не подходит, а при $x= 1$ получаем:

({ ∘y+-8= y− 4 ⇐⇒ y ≥ 4, ⇐⇒ y = 8 (y2− 9y+8 =0.

Пусть теперь $(xy +3x− y− 3)⁄=0$ , но $(x− 4)= 0$ , и $(y − x − 9)= 0$ . Тогда $x= 4,y = 13$ , но такой вариант не подходит под второе уравнение.

При остальных $x,y$ система равносильна системе:

( ( |||{ (x − 1)(y +3)(x − 4)> 0, |||{(x− 1)(y+ 3)(x− 4)>0, y− x− 9= ±(x − 4), ⇐⇒ y =13 или y = 2x+ 5, |||( √y−-x+-9= y− 4 |||(√y-−-x+-9= y− 4

При $y = 13$ решением будет $x= −59$ , при $y = 2x+ 5$ получим уравнение:

√----- ({ x≥ 0.5, x+ 14= 2x +1 ⇐ ⇒ ( 2 4x +3x− 13= 0

Откуда $−3+√217- x= 8$ , тогда $17+√217- y = 4$ . Последняя пара не удовлетворяет условию $(x − 1)(y +3)(x − 4)> 0$ .

Ответ:

$(1,8),(−59,13)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#68031

Действительные числа $x$ и $y$ таковы, что

5 3 x +y = y+ x = 23

Какое наибольшее значение может принимать произведение $xy?$

Источники: Турнир Ломоносова-2023, 11.1 (см. turlom.olimpiada.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте запишем наше условие как системку, что два левых выражения равны 23. Понятно, что x, y не нули. Поэтому что можно сделать в системе, чтобы получить где-то xy?

Подсказка 2

Домножить одно из уравнений на x, а другое на y! И выйдет что-то вида xy+3 = 23x, xy+5 = 23y. А что стоит сделать теперь, чтобы вообще все было только через xy?

Подсказка 3

Перемножить два этих уравнения) Дальше делаем замену и решаем задачу окончательно!

Показать ответ и решение

При условии того, что обе переменные не равны нулю, имеем:

{ xy+ 5= 23y xy+ 3= 23x.

Значит:

(xy+ 5)(xy+ 3) =232xy

Пусть $t=xy :$

t2+ 8t+15 =529t

t2− 521t+15= 0

Тогда получим:

√ ------ t= 521±--271-381. 2

Докажем, что наибольший корень реализуется. Действительно, из обоих уравнений получаем $x,y,$ подставляя $xy.$ Они подходят, так как наши преобразования были равносильны с учетом того, что $x⁄= 0,y ⁄=0.$

Ответ:

$521+√271381 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#31703

Решите систему уравнений:

{ x2− 3xy +2y2+ 5x − 9y+ 4= 0; x2− y2 − 5= 0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим, что у нас первое уравнение можно решить как квадратное относительно х! Что мы тогда получим?

Подсказка 2

Верно, мы получим 2 случая того, как у выражается через х. А это уже можно довольно успешно подставить во второе выражение системы!

Показать ответ и решение

Решим первое уравнение как квадратное относительно $x$ :

2 2 2 D =(5− 3y) − 4(2y − 9y+4)= y + 6y +9

2x= 3y− 5 ±(y+ 3)

Подставим во второе уравнение $x= 2y− 1$ :

3y2− 4y− 4= 0

3y = 2±√4-+3-⋅4

y = 2±-4 3

x= 1±-8 3

Подставим во второе уравнение $x= y− 4$ :

−8y+ 11 =0

y = 11 8

11−-32 x= 8

Значит, у системы есть три решения: $y = 2$ и $x= 3$ , $2 y = −3$ и $7 x= − 3$ , $11 y = 8$ и $21 x= −8$ .

Ответ:

$(3;2),(− 7;− 2),(− 21;11) 3 3 8 8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#51846

Решить систему уравнений

{ (x− 2)(x +3)= y(y − 5); log (2 − y)=-x. x y2

Показать ответ и решение

Первое уравнение можно записать так:

2 2 x − y +x +5y− 6= 0 или (x+ y− 2)(x− y+ 3) =0, откуда

x= y− 3

(1)

или

x= 2− y

(2)

Из второго уравнения системы следует, что

2− y >0,x> 0,x⁄= 1

(3)

a) Если справедливо равенство (2), то из второго уравнения системы находим $x =y2,$ откуда, используя равенство (2), получаем $2− y = y2$ или $(y− 1)(y+ 2)=0.$ Пусть $y =1,$ тогда $x= 1,$ и не выполняются условия (3). Пусть $y = −2,$ тогда $x= 4$ и $(4;−2)−$ peшение данной системы.

б) Если справедливо равенство (1) и условия (3), то $y > 3$ и $y < 2,$ что невозможно.

Ответ:

$(4;− 2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#70774

Решите систему уравнений

({ 3y− 2x= √3xy−-2x− 3y+-2 ( 3x2+ 3y2 − 6x− 4y = 4

Источники: Физтех-2022, 11.2 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала запишем ОДЗ для первого уравнения, а после этого можем возвести в квадрат. Давайте теперь попробуем перебрать известные нам способы решения. Вот некоторые из них: сложение и вычитание уравнений, решение однородного уравнения, замены различные, решение квадратного уравнения относительно x или y. Какие из них целесообразно здесь применить? Попробуйте сделать это!

Подсказка 2

Попробовали? Скорее всего, заменой ничего не вышло, потому что общих частей особо нет, да и к однородному вряд ли получилось свести. А что если решить первое уравнение, как квадратное относительно одной из переменных? Кажется, что страшное выражение и ничего не выйдет, но не попробуете — не узнаете!

Подсказка 3

Верно, например, после решения квадратного уравнения относительно y в дискриминанте получается полный квадрат, а значит, мы можем выразить y через x. Осталось только подставить каждое из выражений во второе уравнение, найти x и y, и победа! Но не забудьте учесть ОДЗ!

Показать ответ и решение

Первое уравнение при условии $3y− 2x ≥0$ равносильно уравнению

2 (3y− 2x) = 3xy− 2x − 3y+ 2

2 2 4x +(2− 15y)x+ (9y + 3y− 2)= 0

Решая это уравнение как квадратное относительно переменной $x,$ имеем

⌊ x= 3y − 1 D =(2− 15y)2− 16(9y2+3y− 2)= (9y− 6)2 ⇒ ⌈ 3 1 x= 4y+ 2

Подставляем во второе уравнение исходной системы.

Если $x= 3y− 1,$ то

⌊ √-- | y = 4+6-10 6y2− 8y +1= 0⇔ |⌈ 4− √10 y = --6---

Получаем две пары $√-- √-- y = 4+610,x = 2+210$ и $√-- √-- y = 4−610,x= 2−210.$

Если $x= 34y+ 12,$ то

⌊ 2 y =2 3y − 4y− 4= 0⇔ ⌈ y =− 2 3

Также имеем две пары $y =2,x= 2$ и $y = − 2,x= 0. 3$

Из четырёх найденных пар чисел неравенству $3y ≥2x$ удовлетворяют только две из них: $(2;2),(2−√10;4−-√10) . 2 6$

Ответ:

$(2;2),(2−-√10;4−√10) 2 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#71525

Решите в действительных числах систему уравнений:

(| a+ c= 4 |||{ ac+ b+d =6 | |||( ad+ bc =5 bd= 2

Источники: ОММО-2022, номер 5 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перед нами система с 4 неизвестными, в которой, если начать выражать всё последовательно, ничего хорошего не выйдет. Давайте немного повспоминаем, где такая конструкция встречается? Возможно, вы этим занимались в алгебре.

Подсказка 2

Ага, если вспомнили, то отлично. Если нет, то ничего страшного. Попробуйте перемножить два приведённых трёхчлена с коэффициентами a, b, c и d и привести подобные слагаемые. Не видите сходств? Какой вывод отсюда можно сделать?

Подсказка 3

Да, нам по сути сказали коэффициенты многочлена 4 степени! Видеть такое вы могли в методе неопределённых коэффициентов как раз для уравнения 4 степени. Теперь вы можете попробовать найти очевидные корни этого многочлена и разложить его на скобки. Теперь осталось понять главное. Для чего вы всё это делали?

Подсказка 4

Точно, для того, чтобы понять, что корни будут единственными. Вы могли и просто так угадать a, b, c и d, но о единственности ничего утверждать не могли. Осталось только сопоставить наши изначальные квадратные трёхчлены с тем, что получилось в итоге, и победа!

Показать ответ и решение

Пусть $x2+ ax+ b$ и $x2 +cx+ d$ — два квадратичных многочлена, коэффициенты которых — искомые корни данной системы. Тогда

( 2 )( 2 ) 4 3 2 x + ax+ b x + cx +d = x + (a +c)x +(ac+b+ d)x +(ad+bc)x +bd=

4 3 2 = x +4x + 6x +5x+ 2

Из делителей свободного коэффициента $2$ находим корни $− 1$ и $− 2$ , тогда можно поделить многочлен на $(x+ 1)(x+ 2)=(x2+ 3x +2):$

x4+ 4x3 +6x2+ 5x+2 =(x2+ 3x+ 2)(x2+ x+ 1),

что возможно только в двух случаях:

{ { x2+ax +b= x2+ 3x+2 x2 +ax+ b= x2+ x+1 x2+cx+ d= x2+ x+ 1 или x2 +cx+ d= x2+3x +2

тогда в первом случае получаем $a= 3,b= 2,c= 1,d =1,$ а во втором — $a= 1,b=1,$ $c= 3,d= 2.$

Ответ:

$(3,2,1,1),(1,1,3,2)$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#95399

Решите систему уравнений

{ x4+ 7x2y+ 2y3 = 0 4x2+ 27xy+ 2y3 =0

Источники: Межвед - 2021, 11.5 (см. v-olymp.ru)

Показать ответ и решение

Рассмотрим функцию $f(t)= t2+ 7ty+ 2y3 2$ . При условии выполнения равенств исходной системы её корнями будут $t = x2 1$ и $t =2x 2$ . Если $t1 = t2$ , то $x1 =0,x2 = 2$ . Отсюда найдём $y1 = 0,y2 = −1$ . Если $t1 ⁄= t2$ , то по теореме Виета