Тема АЛГЕБРА

Классические неравенства

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Классические неравенства

Раскрытие и закрытие скобок

Правильная замена и преобразование выражений

Неравенство о средних

Оценки в классических неравенствах

Неравенство КБШ для наборов, КБШ для дробей (неравенство Седракяна)

Идеи метода Штурма

Транснеравенство

pqr-метод

Неравенства Мюрхеда и Шура

Метод отделяющей касательной

Неравенство Гёльдера

Неравенство Йенсена

Использование производной и экстремумов в классических неравенствах

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#130846Максимум баллов за задание: 7

Положительные действительные числа $a,b,c$ удовлетворяют равенству $a+ b+c =1.$ Найдите наименьшее возможное значение выражения

∘(1−-a)(1−-b)+ ∘ (1−-b)(1−-c)+ ∘ (1−-c)(1−-a) -----------1+-√ab+√bc-+√ca------------

Источники: ДВИ - 2025, вариант 254, задача 6

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обратите внимание на множители (1-a), (1-b), (1-c) в числителе. Можно ли их выразить через другие переменные?

Подсказка 2

Вспомните про условие a + b + c = 1.

Подсказка 3

Есть ли какое-то известное неравенство, которое могло бы помочь оценить выражения вида √((x+y)(x+z))? Как можно применить его к нашему случаю?

Подсказка 4

Воспользуйтесь неравенством Коши-Буняковского-Шварца.

Подсказка 5

Что происходит с выражением, когда все переменные равны?

Показать ответ и решение

Преобразуем данное выражение с учетом равенств $1− a= b+c,$ $1− b= a+c$ и $1− c= a+ b:$

∘(b+-c)(a+-c)+ ∘(a+-c)(a+-b)+ ∘ (a-+b)(b+-c)- -----------1+-√ab+√bc-+√ac------------

По неравенству Коши-Буняковского-Шварца:

( ∘---------- √-- ||| (b+ c)(a+c)≥ ab+ c |{ ∘---------- √-- ||| ∘(a+-c)(a+-b)≥ bc+ a |( (a+ b)(b+c)≥ √ac+ b

Получаем

∘---------- ∘---------- ∘ ---------- √-- √-- √ -- -(b+-c)(a+c)+--(√a+-c√)(a+-b)√+---(a+-b)(b+-c)-≥ a+b+-c√+--ab√+--bc√+--ac= 1 1+ ab+ bc+ ac 1+ ab+ bc+ ac

Наименьшее значение выражения равно 1, и это значение достигается при $a= b= c= 1. 3$

Ответ: 1

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#130951Максимум баллов за задание: 7

Для положительных $x ,x,...,x 1 2 n$ докажите неравенство

x1 x2 xn x2 + x3 + ...+ x1 ≥ n.

Показать доказательство

Применим неравенство о средних. Для $n$ чисел $x1, x2$ …, $xn x1$ верно:

(x1 x2 xn ) -x2-+x3-+...+-x1-- ∘nx1--x2----xn- n√- n ≥ x2 ⋅x3 ⋅...⋅x1 = 1= 1.

Домножим обе части полученного неравенства на $n$ и получим искомое.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#130953Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что для любых положительных чисел $a 1$ , $a 2$ , …, $a n$ справедливо неравенство

∘-a1+a2 ∘ a2+-a3 ∘ an−1+-an ∘ an+-a1- √- --a3---+ --a4--+ ⋅⋅⋅+ ---a1---+ --a2--≥ n 2.

Показать доказательство

По неравенству о средних для двух слагаемых верно:

a1+ a2 √ ---- a1-+a2-=-a3--a3≥ --a1a2 2a3 2 a3 .

Применим несколько раз полученное неравенство и неравенство о средних для $n$ слагаемых и получим:

∘ a1+-a2- ∘ an+-a1 ( 4√a1a2 4√a1an) ---------------- ---2a3--+⋅⋅⋅+----2a2-- ---√a3-+-...+--√a2--- n∘ 4√a1a2 -4√a1an n ≥ n ≥ √a3 ⋅...⋅ √a2- = 1.

Умножая обе части на $√- 2⋅n,$ получаем искомое неравенство.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 44#130955Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что при положительных $x,y,z$ выполняется неравенство

( x)( y )( z) 2(x-+y-+z) 1+ y 1 +z 1+ x ≥ 2+ √3xyz- .

Показать доказательство

Раскроем скобки в левой части:

x x y y z z 2(x+-y+-z) 1+ y + z +z + x + x +y +1 ≥2 + 3√xyz

x+ x + y+ y+ z + z≥ 2(x√+3y+-z) y z z x x y xyz .

Заметим, что по неравенству о средних для 6 слагаемых верно:

x x y y z z S = y + z + z + x + x + y ≥6.

Следовательно,

3 2S ≥ S+ 3.

По неравенству о среднем гармоническом и геометрическом верно:

∘--- x--3x----≤ 3 yz2-⇐⇒ x+ x+ 1≥ √33x-- y + z +1 x y z xyz

Складывая ещё два аналогичных неравенства, получаем, что

S+ 3≥ 3(x√+3y+-z) xyz .

Поэтому верна цепочка неравенств:

3 3(x+y-+z) 2S ≥ S+ 3≥ 3√xyz .

Умножим обе части неравенства на $23$ и получим искомое.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 45#131022Максимум баллов за задание: 7

Положительные действительные числа $a,b,c$ удовлетворяют равенству $a2+$ $b2+$ $c2 =12.$ Найдите наибольшее возможное значение выражения

∘----- ∘----- ∘ ----- 1+ a3+ 1+ b3+ 1+ c3

Источники: ДВИ - 2025, вариант 255, задача 6

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нужно найти наибольшее значение выражения. Наверняка его можно как-то ограничить, ведь у нас фиксирована сумма квадратов!

Подсказка 2

Ограничивать сразу всю сумму сложно, легче ограничить каждое слагаемое отдельно и потом сложить, а еще нам известна сумма квадратов...

Подсказка 3

Как Вы думаете, можно ли применить некоторое известное неравенство для √(1 + x³)?

Подсказка 4

Разложим на множители: 1 + x³ = (1 + x)⋅(1 - x + x²).

Подсказка 5

Воспользуйтесь неравенством о средних.

Подсказка 6

Нам известна сумма квадратов, можем ее подставить! Остается только подобрать пример.

Показать ответ и решение

Докажем, что для любого положительного действительного числа $x$ выполняется неравенство:

∘ ----3 1 2 1+ x ≤ 2x + 1

Так как обе части неравенства положительны, мы можем возвести их в квадрат:

( )2 1+x3 ≤ 1x2+1 2

1 +x3 ≤ 1x4+ x2+ 1 4

2 2 0 ≤x (x− 2)

Это неравенство всегда верно. Равенство достигается при $x =2.$

Теперь применим доказанное неравенство к каждому слагаемому искомого выражения:

∘----- ∘----- ∘ ----- ( ) ( ) ( ) 1+ a3+ 1+ b3+ 1+ c3 ≤ 1a2+ 1 + 1b2+ 1 + 1c2+1 2 2 2

∘1+-a3+ ∘1+-b3+∘1-+-c3 ≤ 1(a2+ b2+ c2)+ 3 2

По условию $a2+ b2+ c2 = 12,$ подставим это значение:

∘----3 ∘----3 ∘ ----3 1 1+ a + 1+ b + 1+ c ≤ 2 ⋅12+ 3= 9

Мы показали, что значение выражения не превышает 9. Осталось показать, что это значение достигается. Равенство в нашем неравенстве достигается тогда и только тогда, когда оно достигается для каждого из трех слагаемых, то есть при $a= 2,$ $b=2,$ и $c= 2.$ Проверим, удовлетворяет ли этот набор чисел исходному условию:

a2 +b2+ c2 =22+ 22+22 =4+ 4+ 4= 12

Условие выполняется. Таким образом, наибольшее возможное значение выражения равно 9.

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 46#132665Максимум баллов за задание: 7

Положительные действительные числа $a,$ $b,$ $c$ удовлетворяют равенству $a +b+ c= 3.$ Найдите наибольшее возможное значение выражения

(1+ a)2 (1 +b)2 (1 +c)2 ----1-+ ---1--+ ---1-- a + b b+ c c+a

Источники: ДВИ - 2025, вариант 256, задача 6

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим, что нам дана сумма 3 похожих дробей. Как этим можно воспользоваться?

Подсказка 2

Давайте попробуем отдельно оценить одну из дробей, тогда для оценки суммы нам останется лишь умножить ее на 3!

Подсказка 3

Оценка будет иметь следующий вид: (a + b)² / (a + 1/b) ∨ X. Это равносильно (a + b)² ∨ X⋅(a + 1/b). Раскройте скобки в левой части и попробуйте подобрать какое-то X.

Подсказка 4

Скорее всего, что-то получится, если X также будет скобкой, зависящей от a и b.

Подсказка 5

А если взять X = (a + b)?

Подсказка 6

Попробуйте увидеть квадрат разности.

Подсказка 7

Воспользуйтесь тем, что a + b + c ‎ = 3. Останется лишь подобрать пример.

Показать ответ и решение

Докажем, что

(1-+a)2 1 ≤ a+ b a+ b

Для этого преобразуем неравенство

2 ( 1) (1 +a) ≤ (a+ b) a+ b

1+ 2a +a2 ≤ a2+ a+ ab+1 b

2≤ 1 +b b

2b≤ 1+ b2

b2− 2b+ 1≥ 0

2 (b− 1) ≥ 0

Аналогичные утверждения справедливы и для остальных дробей. Тогда

S ≤ (a +b)+ (b+ c)+(a+ c)= 2(a+b+ c)

По условию, $a +b+ c= 3,$ следовательно,

S ≤ 6

Равенство выполняется при

a= b= c=1

Ответ: 6

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 47#132901Максимум баллов за задание: 7

Положительные действительные числа $a ,a ,a,b ,b ,b 1 2 3 1 2 3$ удовлетворяют равенству

a1+ a2+ a3 =b1+ b2 +b3 = 3

Найдите наименьшее возможное значение выражения

--a21-- --a22-- --a23-- a1+ b1 + a2+ b2 +a3+ b3

Источники: ДВИ - 2025, вариант 251, задача 6

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вряд ли это сложная задача, что можно сделать с дробями?

Подсказка 2

Можно ли воспользоваться каким-то известным фактом? Нам бы хотелось оценить сумму дробей снизу.

Подсказка 3

Примените неравенство Коши-Буняковского-Шварца для дробей.

Подсказка 4

Нам надо как-то воспользоваться тем, что a₁ + a₂ + a₃ = b₁ + b₂ + b₃ = 3. Попробуйте сгруппировать слагаемые в получившейся дроби. Останется только подобрать пример.

Подсказка 5

А что, если числа a₁, a₂, a₃, b₁, b₂, b₃ будут равны?

Показать ответ и решение

Применим неравенство КБШ для дробей

a21 a22 a23 (a1+ a2+a3)2 a1-+b1 + a2+-b2-+ a3-+b3 ≥ (a1+-b1)+-(a2+-b2)+-(a3+b3)

Так как $a1+ a2+a3 = b1+ b2+ b3 = 3,$ получаем:

2 2 ----(a1+-a2+a3)-----= -3--= 9 = 3 a1+ a2+ a3 +b1+ b2+ b3 3+ 3 6 2

Неравенство достигается при:

a = a = a =b = b = b =1 1 2 3 1 2 3

Действительно:

-12-+ -12-+ -12-= 1 + 1 + 1= 3 1+ 1 1+ 1 1+ 1 2 2 2 2

Ответ:

$3 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 48#135470Максимум баллов за задание: 7

Произведение положительных $x ,x ,...,x 1 2 10$ равно 1. Докажите, что

2 2 (1+ x1)...(1+ x10)> 1000.

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Вам дано значение произведения. Вероятно, автор ожидает, что вы оцените левую часть неравенства выражением, которое включает переменные только в виде их произведения.

Подсказка 2:

Но выражение слева — произведение скобок вида 1 + xᵢ². Как можно оценить такую скобку выражением, в которое xᵢ входит в первой степени?

Подсказка 3:

Примените неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим.

Показать доказательство

Для каждой скобки применим неравенство Коши:

2 1+ xi ≥ 2xi

Перемножая полученные неравенства, получаем

2 2 (1 +x1)...(1+x10)≥2x1⋅...⋅2x10 = 1024> 1000

что и требовалось доказать.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 49#135471Максимум баллов за задание: 7

Положительные числа $a,$ $b$ и $c$ таковы, что $abc=1.$ Докажите, что

----1---- ----1---- ----1---- a2− ab+ b2 + b2− bc+ c2 + c2 − ac+ a2 ≤ a+ b+c.

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Сделаем несколько наблюдений. Во-первых, неравенство инвариантно относительно перестановки переменных. Во-вторых, каждую из переменных можно представить в виде выражения от двух других переменных, например, c = 1 / ab.

Подсказка 2:

Как насчёт того, чтобы сравнить c и 1 / (a² – ab + b²)?

Подсказка 3:

Достаточно показать, что 1 / (a² – ab + b²) меньше, чем 1 / ab. А для этого a² – ab + b² должно быть больше, чем ab.

Показать доказательство

Оценим знаменатель дроби следующим образом:

2 2 2 a − ab+ b = (a− b)+ ab≥ ab

Таким образом, для одной дроби неравенство, учитывая $abc= 1,$ выглядит так:

----1---- 1- a2− ab+ b2 ≤ ab = c

Сделав аналогичную оценку для оставшихся дробей, получаем требуемое.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 50#135472Максимум баллов за задание: 7

Для любых положительных чисел $x$ и $y$ докажите неравенство

2 2 2 2 (x +4)(y + 4)≥ 2x(y + 4)+ 2y(x + 4).

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Поищите связь между слагаемыми из правой части и выражением из левой, с помощью которой можно оценить правую часть сверху.

Подсказка 2:

Обратите внимание, что в правой части появились выражения 2x и 2y. Не считаете ли вы, что они некоторым образом связаны с выражениями x² + 4 и y² + 4?

Подсказка 3:

А если поискать связь между 4x и 4y с x² + 4 и y² + 4? Их связывает неравенство между средним арифметическим и геометрическим.

Показать доказательство

По неравенству о средних получаем такие две оценки:

(x2+4)(y2+-4) 2 2 ≥ 2x(y + 4)

(x2+4)(y2+ 4) -----2------≥ 2y(x2+ 4)

Складывая эти два неравенства, получаем требуемое.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 51#135473Максимум баллов за задание: 7

Для положительных $x,y,z$ докажите неравенство

xy yz zx z + x + y ≥x +y+ z.

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Обратите внимание на произведение каких-либо двух слагаемых из левой части, чему оно равно? Это не наталкивает на какие-либо оценки?

Подсказка 2:

Можно заметить, что если применить неравенство о средних к первым двум слагаемым левой части, получится оценка суммы через 2x. Но нам нужно не 2x, а x. Как это исправить?

Подсказка 3:

Разделите эти слагаемые на два. Попробуйте развить эту идею.

Показать доказательство

По неравенству Коши получаем

xy yz 2z + 2x ≥y

xy xz 2z + 2y ≥x

xz+ yz ≥z 2y 2x

Складывая три этих неравенства, получаем требуемое.

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 52#135475Максимум баллов за задание: 7

Сумма неотрицательных чисел $a,b,c,d$ равна 4. Докажите неравенство

2 2 2 2 (a +b )cd+ (c + d )ab≤ 4.

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Нужно понять, как связать выражение из левой части с суммой всех переменных.

Подсказка 2:

Сумму переменных, делённую пополам, можно оценить снизу выражением √(a + b)(c + d). А вот это выражение уже можно связать с левой частью изначального неравенства.

Подсказка 3:

Если быть точнее, то связать можно с выражением (a + b)²(c + d)², которое также нетрудно оценить числом 16.

Подсказка 4:

(a + b)²(c + d)² = 2(a² + b²)cd + 2(c² + d²)ab + (a² + b²)(c² + d²) + 4abcd.
Если показать, что 2(a² + b²)cd + 2(c² + d²)ab ≥ (a² + b²)(c² + d²) + 4abcd, задача будет решена.

Подсказка 5:

Доказать последнее неравенство можно вручную, а можно вспомнить, что такое транснеравенство.

Показать доказательство

По неравенству Коши получаем

∘---------- a+-b+-c+d- (a+ b)(c+d)≤ 2 = 2

Тогда

(a+ b)2(c+ d)2 ≤16

Раскроем скобки в предыдущем выражении:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (a+b) (c+ d) =2(a +b )cd+ 2(c + d )ab+ (a + b)(c +d )+4abcd ≤16

Таким образом, достаточно доказать, что последние два слагаемых не меньше, чем первые два. Тогда сумма первых двух не более восьми, то есть требуемая в условии не более четырёх. Обозначим $x =a2+ b2,$ $y = 2ab,$ $z = c2+ d2,$ $t= 2cd.$ Тогда необходимо доказать

xz+ yt≥ xt+ yz

или же

(x− y)(z− t)≥ 0

Последнее неравенство верно, поскольку $x − y =(a− b)2,$ а $z − t= (c − d)2.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 53#135476Максимум баллов за задание: 7

Даны числа $a,$ $b,$ $c$ , не меньшие $1.$ Докажите, что

a+ b+c √ab−-1 √bc−-1 √ca−-1 ---4---≥ -b+-c-+ -c+-a-+ -a+-b-.

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Слагаемые в выражении справа выглядят неестественно. Попробуйте как-нибудь оценить их сверху выражениями, с которыми проще работать.

Подсказка 2:

Например, было бы здорово, если знаменатели в слагаемых тоже оказались под корнем. Корень из произведения двух выражений можно оценить сверху через неравенство о средних.

Подсказка 3:

Как насчёт того, чтобы оценить знаменатель в каждом из слагаемых справа с помощью неравенства о средних? Как дальше оценивать?

Подсказка 4:

4√(ab – 1) / (b + c) ≤ 2√((ab – 1) / bc) = 2√((a – 1/b) • 1/c). Это реализация предыдущих подсказок. Осталось немного довести оценку с помощью неравенства о средних.

Показать доказательство

По неравенству о средних имеем

√-- b+c ≥2 bc,

откуда

√ab-− 1 ∘ ab−-1 ∘(----1)-1 ( 1) 1 4--b+c- ≤2 --bc--= 2 a − b ⋅c ≤ a− b + c,

где в последнем переходе опять применено неравенство о средних. Аналогично выводятся неравенства

√----- ( ) √ ----- ( ) 4 -bc− 1-≤ b− 1 + 1, 4--ca-− 1 ≤ c−-1 + 1. c+a c a a +b a b

Складывая три полученных неравенства, получаем требуемое.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 54#135671Максимум баллов за задание: 7

Дано положительное число $x$ и натуральное число $n.$ Докажите, что

n+1 --(2x)n-- 1+ x ≥ (1+ x)n− 1.

Показать доказательство

По неравенству о средних $1+ xn+1 ≥ 2x n+12$ и $1 +x ≥2x12.$ Тогда

n+1 n−1 n+1( 1)n−1 n (1+ x )(1+x) ≥ 2x 2 2x2 = (2x)

что и требовалось доказать.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 55#135672Максимум баллов за задание: 7

Сумма положительных чисел $a,$ $b,$ $c$ и $d$ равна $4.$ Докажите неравенство

ab+bc+ cd +da≤ 4.

Показать доказательство

По неравенству о средних

(a+ b+ c+d)2 ab+bc+ cd +da= (a+c)(b+ d)≤ ----2----- =4

что и требовалось доказать.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 56#135673Максимум баллов за задание: 7

Для положительных чисел $a$ и $b$ докажите неравенство

a2+-7 b2+-7 b+3 + a +3 ≥ 4.

Показать доказательство

По неравенству о средних $a2+ 1≥ 2a$ и $b2+ 1≥ 2b.$ Тогда

a2-+7- b2+-7 2a+-6 2b+-6 b+ 3 + a+ 3 ≥ b+3 + a +3 ≥ 4

где второй переход также получен по неравенству о средних.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 57#141069Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что для положительных чисел $a , 1$ $...,$ $a n$ справедливо неравенство

( a21) ( a22) ( a2n ) 1+ a2 1+ a3 ...1 +-a1 ≥ (1 +a1)(1+ a2)...(1+ an).

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В каждом сомножителе встречается дробь aᵢ²/aᵢ₊₁. С каким классическим неравенством это может быть связано?

Подсказка 2

Что произойдёт, если рассмотреть выражение aᵢ₊₁ + aᵢ²/aᵢ₊₁?

Подсказка 3

По неравенству о средних aᵢ₊₁ + aᵢ²/aᵢ₊₁ ≥ 2aᵢ.

Подсказка 4

Можно ли добавить к нему 1 и переписать так, чтобы появилось что-то вроде квадрата? 2aᵢ + 1 = (1 + aᵢ)² - aᵢ²

Подсказка 5

Получаем, что (1 + aᵢ₊₁)(1 + aᵢ²/aᵢ₊₁) ≥ (1 + aᵢ)².

Подсказка 6

Получили неравенство для каждого i, что будет, если перемножить все их вместе?

Показать доказательство

Считаем, что индексы берутся по модулю $n:$ $a = a. n+1 1$ Применим неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим:

a2 ai+1+ ai+i1-≥ 2ai.

Следовательно,

1+ ai+1+ -a2i-+ a2i ≥1 +2ai+a2i =(1+ ai)2. ai+1

Таким образом,

( a2i ) 2 (1 +ai+1) 1+ ai+1- ≥(1+ ai) ,

что эквивалентно

1+ a2i--≥ (1+-ai)2. ai+1 1+ai+1

Перемножим полученные неравенства для $i=1,2,...,n:$

n( ) n n ∏ 1+ a2i-- ≥∏ (1+-ai)2= ∏ (1+ ai). i=1 ai+1 i=11+ ai+1 i=1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 58#141075Максимум баллов за задание: 7

Сумма положительных чисел $x,$ $y,$ $z$ равна $2.$ докажите неравенство

2 2 22 2 2 3∘-4-44 x y + yz + z x + x y z ≤1.

Подсказки к задаче

Подсказка 1.

Удивительно, что точкой равенства в нашей задаче является вовсе не случай равенства всех переменных. На что это нас наталкивает?

Подсказка 2.

Попробуйте упорядочить переменные.

Подсказка 3.

Левую часть исходного равенства сведите к хорошему виду, заменив некоторые из переменных максимальной.

Подсказка 4.

Пусть x была максимальной переменной. Тогда остаётся доказать, что x²(y+z)² ≤ 1. Как тут свести к использованию условию на сумму переменных?

Подсказка 5.

Воспользуйтесь неравенством о средних.

Показать доказательство

Не умаляя общности, примём $x$ наибольшей среди переменных. Пользуясь этим,

2 2 22 2 2 ∘3-4-44 2 2 2 22 2 2 2 x y + yz + x z + x yz ≤x y +x yz+ x z +x yz = x(y+ z).

По неравенству о средних:

∘ ------ x+-(y-+z) x(y+ z)≤ 2 = 1

Возводя это неравенство в 4 степень, получаем требуемое.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 59#141079Максимум баллов за задание: 7

Сумма квадратов вещественных чисел $x,$ $y$ и $z$ равна $1.$ Докажите, что для любых положительных $a,$ $b$ и $c$ выполнено неравенство

∘-------------- ∘ -------------- ∘ -------------- ∘ ----------- (a) a2x2+ b2y2+ c2z2+ a2y2+ b2z2+ c2x2+ a2z2+ b2x2+ c2y2 ≤ 3(a2+ b2+ c2);

∘-------------- ∘ -------------- ∘ -------------- (b) a2x2+ b2y2+ c2z2+ a2y2+ b2z2+ c2x2 + a2z2+ b2x2 +c2y2 ≥a +b+ c.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Чему равна сумма подкоренных выражений? Используем, что x²+y²+z² = 1.

Подсказка 2

Какие неравенства связывают сумму квадратов и сумму чисел?

Подсказка 4

Что получится, если применить КБШ к паре векторов: (ax; by; cz) и (x; y; z).

Подсказка 5

√(a²x²+b²y²+c²z²) ≥ ax²+by²+cz². Что получится, если сложить аналогичные неравенства для остальных корней?

Показать доказательство

(a) Пусть

$pict$

Тогда по неравенству о среднем арифметическом и среднем квадратичном

(U1+ U2+U3)2 ≤ 3(U21 + U22 + U23).

Но

$pict$

Следовательно,

∘ ----------- U1+ U2+ U3 ≤ 3(a2+ b2 +c2),

что и требовалось доказать.

(b) Из неравенства КБШ имеем:

$pict$

Сложим неравенства

U1+ U2+ U3 ≥ ax2+by2+ cz2+ ay2+bz2+ cx2+ az2+bx2+ cy2 =

= (a+ b+c)(x2+ z2+y2)= a+ b+c.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 60#141081Максимум баллов за задание: 7

Вещественные числа $a,$ $b,$ $c$ и $d$ удовлетворяют неравенству

2 2 2 2 abcd> a +b + c +d .

Докажите, что

abcd> a+ b+c +d+ 8.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Каким классическим неравенством можно связать a²+b²+c²+d² и abcd?

Подсказка 2

(a²+b²+c²+d²)/4 ≥ √(a²b²c²d²) = √(abcd). Что следует из этой связи про нижнюю границу abcd?

Подсказка 3

abcd > 4√(abcd), значит abcd > 16. Что будет, если a+b+c+d меньше 8? А что, если сумма больше?

Подсказка 4

Какое стандартное неравенство поможет сравнить abcd и квадрат суммы?

Показать доказательство

Применим неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим к числам $a2,b2,c2,d2:$

a2+-b2+-c2+d2- 4√-22-22- √ ---- 4 ≥ a bc d = abcd.

Умножая обе части на 4, получаем:

√---- a2 +b2+ c2+ d2 ≥ 4 abcd.

Из условия:

√ ---- abcd> 4 abcd =⇒ abcd> 16.

Тогда в случае если $a+ b+ c+d ≤8$ требуемое неравенство очевидно.

Осталось разобрать случай $a+b+ c+ d> 8.$ В этом случае применим, неравенство между средним квадратическим и арифметическим:

abcd> a2+ b2+c2+ d2 ≥ (a-+b+-c+-d)2 4

Из $a+ b+ c+d >8,$ домножением на $a+ b+ c+d$ обеих частей получаем, что

(a+ b+c+ d)2 >8(a+ b+c+ d)> 4(a+ b+ c+d+ 8),

тогда

2 abcd> a2+ b2+ c2+ d2 ≥ (a+-b+4c+d)-> a+ b+c +d+ 8.

Следующая подтема