Тема АЛГЕБРА

Классические неравенства → .03 Неравенство о средних

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Классические неравенства

Раскрытие и закрытие скобок

Правильная замена и преобразование выражений

Неравенство о средних

Оценки в классических неравенствах

Неравенство КБШ для наборов, КБШ для дробей (неравенство Седракяна)

Идеи метода Штурма

Транснеравенство

pqr-метод

Неравенства Мюрхеда и Шура

Метод отделяющей касательной

Неравенство Гёльдера

Неравенство Йенсена

Использование производной и экстремумов в классических неравенствах

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#107137

Для положительных чисел $a,b,c,d$ докажите неравенство

(ab+-cd)(ad+-bc) √---- (a+ c)(b+ d) ≥ abcd

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сначала для удобства можно сделать замену переменных. Какую?

Подсказка 2

Ага, давайте обозначим за x = ab, y = cd, z = ad, t = bc. Тогда какое условие у нас есть на x, y, z, t и как переписывается наше неравенство?

Подсказка 3

Правильно! Тогда верно xy = zt = k, и мы хотим доказать, что (x + y)(z + t)/(x + y + z + t) ≥ √k. Уже видно, что можно пробовать применить неравенство о средних, и, например, любой из множителей (x + y) и (z+t) хотя бы 2√k, но что делать со знаменателем x + y + z + t?

Подсказка 4

Попробуйте просто оценить меньшее из множителей (x+y) и (z + t)!

Показать доказательство

Сделаем замену $x= ab,y = cd,z =ad,t=bc.$ Тогда у нас есть условие $xy = zt= k,$ и мы хотим доказать, что

(x+-y)(z+-t) √ - x+ y+z +t ≥ k

Будем считать, что $x+y ≥z +t.$ Тогда по неравенству о средних верно:

√ -- (x+-y)(z+-t)≥ 2(x+-y)⋅--zt ≥√zt- x +y+ z+ t x+y +z +t

Что и требовалось.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#107139

Положительные числа $a,$ $b,$ $c$ и $d$ удовлетворяют условию $2(a +b+ c+ d) ≥abcd.$ Докажите, что $a2+ b2+ c2+ d2 ≥abcd.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте понять, когда неравенство, которое просят доказать, верно независимо от условия.

Подсказка 2

Заметим, что при abcd < 16 задача совсем простая. Достаточно применить неравенство о средних. Теперь вспомните условие и попробуйте разобрать случай abcd ≥ 16.

Показать доказательство

Первое решение.

Первый случай. Если $abcd≥ 16.$ Тогда по неравенству между средним квадратичным и арифметическим верно:

( a+ b+c+ d)2 ( abcd)2 a2+ b2+ c2+ d2 ≥4 ----4----- ≥ 4 -8-- ≥ abcd

Второй случай. Если $abcd <16.$ Тогда по неравенству о средних:

a2+ b2+c2+ d2 ≥4√abcd> √a2b2c2d2 = abcd

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Знаем, что

√ ---- a+ b+ c+d ≥4 4abcd

и, например, по КБШ

(a+ b+c+ d)2 a2 +b2+ c2 +d2 ≥-----4------

А тогда правую часть можно оценить с помощью условия и первого неравенства, как:

( ) 2 (a+-b+c+-d)2-= (a+ b+ c+d)23 ⋅(a+ b+c +d)43 ⋅ 1 ≥ 1⋅ 1abcd 3 ⋅(4√4abcd)43 = abcd 4 4 4 2

Что и требовалось.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#119335

Положительные числа $a$ и $b$ таковы, что $a+ b+ c= 1.$ Докажите неравенство

--1-- --1-- --1-- 27 1 − a2 + 1 − b2 + 1− c2 ≥ 8

Показать доказательство

По неравенству о среднем гармоническом и среднем арифметическом достаточно показать, что

2 2 2 8 (1− a )+ (1− b)+ (1− c )≤3

Это равносильно тому, что $2 2 2 1 a + b +c ≥ 3.$ Из неравенства КБШ легко получить $2 2 2 2 3(a + b +c )≥ (a+ b+ c) = 1.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#122421

Вещественные числа $a,b$ и $c$ удовлетворяют условию $a2+ b2+c2 = 6.$ Найдите наибольшее значение выражения $ab+ bc− ca.$

Источники: СПбГУ - 2025, 11.2(см. olympiada.spbu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сумма квадратов чисел и сумма их попарных произведений с какими-то знаками — выражения, которые друг с другом хорошо сочетаются. Быть может, стоит как-то оценить ab + bc - ca сверху с помощью суммы квадратов?

Подсказка 2

Домножьте ab + bc - ca на 2, чтобы произведения получились удвоенными. А что если сравнить это выражение с суммой квадратов?

Показать ответ и решение

При $a= c= 1$ и $b=2$ имеем

ab+ bc− ca= 1⋅2+ 2⋅1− 1⋅1= 3

Докажем, что $ab+ bc− ca≤ 3.$ Для этого, умножив обе части на $2$ и применив условие, покажем, что $2ab+2bc− 2ca≤ a2+ b2+ c2$ или, что то же самое, $2b(a+ c)≤b2+ (a+c)2.$ Но это следствие неравенства о средних для двух чисел: $x2+y2 ≥ 2xy.$ Ч.Т.Д.

Ответ:

$3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#125292

Вещественные числа $x,y,z$ таковы, что $2x> y2+ z2,$ $2y > z2+ x2,$ $2z >x2+ y2.$ Докажите, что каждое из чисел $x,y,z$ меньше 1.

Источники: Всеросс, РЭ, 2025, 11.2 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Создаётся впечатление, что взяли слагаемые из разложений (x - 1)², (y - 1)² и (z - 1)² и расставили их по неравенствам. Как насчёт того, чтобы сложить какие-нибудь 2 неравенства?

Подсказка 2:

Давайте сложим первые два неравенства и выделим (x - 1)² и (y - 1)². Посмотрите внимательно на оставшиеся слагаемые. Какие на них накладываются ограничения, чтобы неравенство выполнялось?

Показать доказательство

Первое решение. Сложим первые два неравенства. Преобразуя, получаем неравенство:

2 2 2 0> (x − 1) + (y− 1) +2(z − 1).

Следовательно, $z2 <1.$ Тогда $z < 1,$ аналогично для других двух переменных.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Не умаляя общности, предположим, что $x≥ y ≥ z.$ Тогда $2y ≥2z > x2+ y2.$ Добавив к обеим частям неравенства $1− 2y,$ имеем:

2 2 2 1> x + (y − 1) ≥ x,

откуда наибольшее из чисел $x <1.$ Значит, и все числа меньше 1.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Третье решение. Из условия следует, что $2x >y2+ z2 ≥ 0,$ аналогично $y,z > 0.$ Также $2x >y2+ z2 ≥ 2yz$ по неравенству о средних. Значит, $x >yz,$ аналогично $y > zx$ и $z > xy.$ Не умаляя общности можно считать, что $x$ —– минимальное из чисел $x,y,z,$ тогда $y ≥x >yz,$ откуда $z < 1,$ аналогично $y <1,$ а тогда и $x< 1.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#126064

Положительные числа $a,$ $b,$ $c$ удовлетворяют соотношению $abc =1.$ Докажите, что $a2+b2+ c2 ≥a +b+ c.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1.

Согласитесь же, что неприятно же решать неравенства, где такое условие на переменные. Как можно от него избавиться?

Показать доказательство

Домножим правую часть неравенства на $√3abc-=1,$ тогда требуется доказать:

2 2 2 3√--- a +b + c ≥(a+ b+c) abc

Исходя из неравенства о средних, имеем

2 2 2 2 2 2 6√-8-22 3√--- a + a + a +a + b +c ≥ 6 a bc = 6a abc

Аналогично

a2 +4b2+c2 ≥ 66√a2b8c2 = 6b3√abc

----- a2 +b2+ 4c2 ≥ 66√a2b8c2 = 6c3√abc

Сложив полученные неравенства и сократив на 6, получим требуемое.

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#74902

Докажите, что для положительных $a$ и $b$ имеет место неравенство

√ - √3- 5√-- 2 a+3 b≥ 5 ab

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас стоят коэффициенты 2 и 3, а справа стоит 5..Наверное, нужно как-то применить нер-во о средних к пяти числам, а не к двум..

Подсказка 2

Разбейте 2 и 3 как 1+1 и 1+1+1)

Показать доказательство

Применим неравенство о средних для пяти чисел (они положительные):

√- 3√- √- √ - 3√- 3√- 3√- 5√ -- 2 a+ 3 b= a + a+ b+ b+ b ≥5 ab

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#79855

Произведение положительных чисел $a ,a ,...,a 1 2 n$ равно единице. Докажите, что $(1 +2a )⋅(1+ 2a)⋅...⋅(1+ 2a )≥ 3n. 1 2 n$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем сначала оценить одну из скобок. В результате мы хотим получить произведение данных чисел. Какое неравенство можно применить, чтобы избавиться от суммы в скобках?

Подсказка 2

Верно! Неравенство о средних. Если применить его в каждой скобке к числам 1 и 2a, то получим не совсем то, что требуется: появится множитель 2√2. Нам хотелось бы множитель 3. Как его получить?

Подсказка 3

Точно! Вместо 1 и 2a применим неравенство о средних к трем числам 1, a и a. Что тогда получится?

Показать доказательство

Оценим каждую скобку по неравенству о средних: $1 +2a = 1+a + a ≥3∘3a2-. i i i i$ Перемножим все такие неравенства для каждой скобки и получим:

n 3∘------------ n (1+ 2a1)⋅(1+2a2)⋅...⋅(1 +2an)≥ 3 (a1a2⋅...⋅an)2 = 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#85924

Положительные числа $x,y,z$ таковы, что $x2+y2+ z2 = 3.$ Докажите, что

-1--- -1--- -1--- 3 xy +z + yz +x + zx +y ≥ 2

Показать доказательство

Заметим, что по неравенству о средних

--1-- -----1----- -----2------ 1 xy+ z ≥ x2+y2+ z2+1-= x2+ y2 +z2+ 1 = 2 2 2

Оценив по такому принципу каждую из трех дробей, получаем требуемое неравенство.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#85991

Положительные числа $a,b,c,d$ таковы, что $abcd= 1$ и $a+ b+c +d> a + b+ c+ d. b c d a$ Докажите, что

b c d a a +b+ c+ d< a + b + c + d

Показать доказательство

Докажем, что

( a b c d) (b c d a) 4(a +b+ c+ d)≤ 3 b + c + d + a + a + b + c + d

откуда будет следовать неравенство из условия. Заметим, что

∘ ---- ∘ --- ∘---- a + a + b+ a≥ 44 a3b-=4 4a3-= 44 a4-= 44√a4-=4a b b c d b2cd bcd abcd

Сложив 4 аналогичных неравенства со сдвинутыми по циклу переменными, получим требумое.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#85992

Для положительных $a,b,c$ докажите неравенство

√a2+-2− 1 √b2+2-− 1 √c2-+2− 1 3√2- ----b----+ ---c-----+----a---- ≥-2-

Показать доказательство

По неравенству между средним арифметическим и средним квадратическим имеем $√-2--- a+-√2 a-- a + 2≥ √2 = √2 +1.$ Аналогчино оценив все дроби, получим

√-2--- √-2--- √-2--- -a-+-2−-1+ -b-+-2−-1+ -c-+-2− 1-≥ √a-+ √b-+ √c-≥ √3- b c a 2b 2c 2a 2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#90781

Докажите, что для положительных чисел $a ,a ,...,a 1 2 n$ выполняется

------n------- √n-------- 1a-+ 1a-+ ⋅⋅⋅+ 1a-≤ a1a2...an 1 2 n

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Чтобы понять, какой набор нужно взять, попробуйте преобразовать неравенство, записать в каком-нибудь другом виде. Возможно, тогда вы увидите неравенство между средним арифметическим и геометрическим.

Подсказка 2

Что можно сказать про набор 1/a_1, 1/a_2, ...., 1/a_n?

Показать доказательство

Давайте напишем неравенство между средним геометрическим и арифметическим для чисел $1,-1,..., 1-: a1 a2 an$

1 1-+ 1-+...+-1 n√a-a-...a--≤-a1---a2-n----an 1 2 n

Нетрудно видеть, что это неравенство сводится требуемому.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#90782

Докажите, что для положительных чисел $a ,a ,...,a 1 2 n$ выполняется

∘-2---2-------2 a1+-a2+-⋅⋅⋅+-an ≤ a1-+a2+-⋅⋅⋅+-an n n

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В этой задаче стоит применить стандартные тождественные преобразования. Подумайте, какие.

Подсказка 2

Квадратный корень мешает преобразовывать неравенство. Возведите в квадрат и попробуйте привести подобные.

Подсказка 3

Не забывайте, задача на неравенства о средних. Подумайте, как можно применить неравенство AM-GM к неравенству, которое вы получили.

Показать доказательство

Если возвести неравенство в квадрат, поделить на $n$ и привести подобные, то мы получим неравенство

2 2 2(a1a2+ ...+ an−1an)≤ (n− 1)(a1+...+an)

где в левой части в скобке находятся все попарные произведения чисел $ai.$

Теперь заметим, что если сложить все неравенства вида $2a a ≤a2+ a2 i j i j$ при $1≤ i<j ≤ n,$ то мы получим последнее неравенство.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#90783

Для положительных чисел $a ,a ,...,a 1 2 n$ докажите неравенство

( 1- 1- 1-) 2 (a1 +a2+ ...+ an) a1 + a2 + ...+ an ≥n

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте преобразовать неравенство, переписать в другом виде. Возможно вы наткнëтесь на что-то знакомое.

Подсказка 2

Посмотрите на неравенство между средним арифметическим и гармоническим для a_1, a_2, ...., a_n. Оно похоже на исходное, не так ли?

Показать доказательство

Если поделить неравенство на $n ( 1-+ 1-+...+ 1-), a1 a2 an$ то оно сведётся к неравенству между средним арифметическим и средним гармоническим.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#90784

Сумма положительных чисел $a,b,c,d$ равна $1.$ Докажите, что

√----- √ ----- √----- √----- √ - 1+ 4a + 1+4b+ 1+ 4c+ 1+ 4d≤4 2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам дана сумма чисел, а, значит, нужно оценить левую часть выражением, которое включает в себя только сумму переменных. Тогда мы сможем подставить вместо суммы еë значение.

Подсказка 2

Понятно, что в оценке от корней надо избавляться, только тогда вы получите сумму. То есть надо как-то их возвести в квадраты. Какое неравенство может помочь?

Показать доказательство

Применим неравенство между средним арифметическим и средним квадратическим:

√ ----- √----- √----- √ ----- 1+4a+ 1 +4b+ 1+ 4c+ 1+4d ≤

∘ (√1+-4a)2+-(√1+-4b)2+-(√1-+4c)2+(√1+-4d)2- ≤4 ------------------4-------------------=

∘ --------------- =4 4+-4(a+-b+-c+d) =4√2 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#90785

Для неотрицательных чисел $a$ и $b$ докажите неравенство $a6-+b9≥ 3a2b3− 16. 4$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте преобразовать неравенство, тогда, возможно, заметите какое-то из неравенств о средних.

Подсказка 2

Обратите внимание, степени переменных в произведении в 3 раза меньше соответствующих степеней в отдельных переменных. Значит, неравенство AM-GM для трëх переменных будет очень кстати.

Показать доказательство

Домножим неравенство на $4$ и перепишем в виде

6 9 23 a +b + 64≥12a b

Осталось заметить, что это неравенство между средним арифметическим и геометрическим чисел $a6,b9,64.$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#90786

Найдите минимум выражения $a6-+b3+-c2- abc$ при положительных $a,b$ и $c.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Было бы очень здорово, если бы вы смогли как-то искусственно придумать оценку снизу для числителя выражением вида kabc, где k - некоторое число. Тогда минимум будет равен k.

Подсказка 2

Мы хотим из суммы получить произведение, значит это точно неравенство AM-GM. Но показатели степеней разные, поэтому надо подумать, как подогнать числитель под это неравенство.

Подсказка 3

Смотрите, НОК степеней равен 6. Поэтому если мы представим числитель в виде 6 слагаемых так, что суммарная степень всех ашек будет 6, бэшек 6 и цэшек 6, то мы сможем реализовать идею. Как это сделать? Например, так: b³= 2 • (b³/2).

Показать ответ и решение

Попробуем с помощью неравенства о средних превратить числитель в $kabc,$ где $k$ — некоторое число. Проведём следующие преобразования:

6 b3 c2 6∘ 6-b32-c23- a6+-b3+-c2= a-+-2⋅2-+-3⋅3-≥ 6--a(2-)(3-)-= 6√432- abc abc abc

Эта оценка реализуется при $a6 = b3= c2. 2 3$ Отсюда нетрудно придумать пример, надо лишь взять любое положительное $a$ и из равенств вычислить $b$ и $c.$

Ответ:

$√6432-$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#91161

Сумма положительных чисел $a,b$ и $c$ равна $3.$ Докажите неравенство

-1-- -1-- -1-- 3 a+ 1 + b+ 1 + c+ 1 ≥ 2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам известно, что сумма чисел a, b, c равна 3. К сожалению, на данный момент каждое из данных чисел фигурирует в знаменателе соответствующего слагаемого, что мешает воспользоваться условием на сумму. Как это можно исправить?

Подсказка 2

Мы хотим воспользоваться известным неравенством, где сумма дробей оценивается снизу некоторым выражением, в котором фигурирует сумма знаменателей каждого из слагаемых. Какое неравенство подходит под это описание?

Подсказка 3

Неравенство между средним арифметическим и средним гармоническим! По нему известно, что число полученное в результате деления 3 на сумму данных в неравенстве дробей не превосходит (a + 1 + b + 1 + c + 1) / 3 = 6. Завершите доказательство, используя данное неравенство.

Показать доказательство

Запишем неравенство между средним арифметическим и средним гармоническим чисел $a+ 1,b+ 1,c+ 1.$ Получим

------3------ a+-1+b+-1+-c+-1 a1+1 + b+11-+ 1c+1-≤ 3

Используя условие $a+ b+ c= 3$ получаем, что в правой части неравенства дробь с числителем $6.$ Из этого следует необходимое.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#91162

Для положительных чисел $a,b,c$ докажите неравенство:

2 2 2 2 2 2 22 2 (a b+ bc+ ca)(ab + bc + ca)≥ 9ab c

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас есть суммы в скобках, а в результате мы хотим получить произведение. Какое неравенство помогает решить такую задачу?

Подсказка 2

Конечно, неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим! Давайте попробуем его применить отдельно к скобкам. Что получится?

Показать доказательство

По неравенству между среднем арифметическим и геометрическим для троек чисел $a2b,b2c,c2a$ и $ab2,bc2,ca2$ каждая из скобок больше либо равна $3abc,$ из чего следует необходимое.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#91163

Докажите, что для любых положительных чисел $x,y$ и $z$ выполнено неравенство

x3+y3- y3-+z3- z3+-x3 x2+y2 + y2 +z2 + z2+ x2 ≥ x+ y+ z

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хочется сделать так, чтобы числитель и знаменатель сократились, но кубы и квадраты плохо сочетаются. А что можно сделать с кубами, чтобы в числителе появились квадраты?

Показать доказательство

Известно, что

3 3 2 2 x + y = (x+ y)(x − xy+ y)

По неравенству о средних $x2+ y2 ≥ 2xy,$ значит

3 3 ( x2+y2) x +y ≥ (x+ y)⋅ 2

Таким образом первая дробь из условия больше либо равна $x+ y -2--.$ Сложив эту и две аналогичные оценки двух других дробей, получим необходимое.

Предыдущая подтема

Следующая подтема