Тема АЛГЕБРА

Классические неравенства → .03 Неравенство о средних

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Классические неравенства

Раскрытие и закрытие скобок

Правильная замена и преобразование выражений

Неравенство о средних

Оценки в классических неравенствах

Неравенство КБШ для наборов, КБШ для дробей (неравенство Седракяна)

Идеи метода Штурма

Транснеравенство

pqr-метод

Неравенства Мюрхеда и Шура

Метод отделяющей касательной

Неравенство Гёльдера

Неравенство Йенсена

Использование производной и экстремумов в классических неравенствах

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#98586Максимум баллов за задание: 7

Сумма неотрицательных чисел $x$ и $y$ равна $1.$ Докажите, что $x2 +y2 ≥ 1∕2.$

Показать доказательство

Из условия следует, что

2 (x+ y) = 1

2 2 2xy = 1− (x +y )

По неравенству о средних

2xy ≤x2+ y2

Поэтому

1− (x2 +y2)≤ x2 +y2

1 ≤2(x2+y2)

x2+ y2 ≥ 12

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#99088Максимум баллов за задание: 7

Для любых $a,b,c> 0$ докажите, что

(a+ b)(b+ c)(c+a)≥ 8abc.

Показать доказательство

По неравенству о средних

√ -- a+ b≥2 ab

b+ c≥2√bc-

c+a ≥2√ca-

Перемножая неравенства (числа положительны), получаем требуемое.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#134233Максимум баллов за задание: 7

Найдите минимальное значение выражения при $a> 0,b> 0,c> 0:$

2bc−-2a2+2a- 2ca−-2b2+-2b 2ab− 2c2+-2c- 2a + 2b + 2c

Источники: Ломоносов - 2024, 10.5 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

С одной стороны, хочется убрать везде 2 (что мы и сделаем), с другой — вдруг это поможет дальше?

Подсказка 2

Пока попробуем разделить почленно на знаменатель. Надо найти минимальное значение — намек на применение известных неравенств.

Подсказка 3

Попробуйте применить неравенство о средних для некоторых двух слагаемых.

Подсказка 4

bc/2a + ac/2b ≥ c. Аналогично сделаем еще дважды и получим оценку. Осталось понять, когда достигается равенство.

Показать ответ и решение

Преобразуем выражение

bc− a2+-a ca−-b2-+b ab−-c2+c bc- ca ab a + b + c =3 − a− b− c+ a + b + c

Теперь применим неравенство о средних

bc ac 2a +2b ≥c

Такое же неравенство напишем для других пар дробей, и получим

( ) ( ) ( ) 3− a− b− c + bc-+ ca- + ab+ bc + ab-+ ca- ≥ 3− a − b− c+ c+b+ a= 3 2a 2b 2c 2a 2c 2b

Получили оценку на $3,$ осталось привести значение при которых оценка достигается, подойдёт любая тройка $a= b= c.$

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 44#137211Максимум баллов за задание: 7

Найдите наименьшее возможное значение суммы $x+y +z$ трех положительных чисел $x,y,z,$ удовлетворяющих соотношению $xy+ yz+ xz = 27.$

Источники: БИБН - 2024, 10.1 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Надо как-то связать то, что нам дано, с тем, что надо найти. У нас есть сумма попарных произведений... А где она вообще встречается?

Подсказка 2

Например, при раскрытии квадрата суммы! Распишите квадрат искомой суммы и попробуйте его оценить.

Подсказка 3

Получается, квадрат нужной нам суммы равен сумме квадратов каждого из слагаемых и удвоенных попарных произведений. Но что это за сумма квадратов? Как мы можем её оценить?

Подсказка 4

Хорошей идеей для оценки всегда является неравенство о средних! Попробуйте применить его, чтобы понять, во сколько раз сумма квадратов больше суммы попарных произведений.

Подсказка 5

Заметим, что x²/2 + y²/2 ≥ xy. Распишите таким образом каждое попарное произведение! Тогда останется только подставить эти оценки в квадрат суммы, который мы расписали в самом начале, и не забыть привести пример!

Показать ответ и решение

Напишем формулу для суммы квадрата суммы

2 2 2 2 (x+ y+z) = x +y + z + 2(xy+ yz+ zx)

А теперь оценим сумму квадратов по неравенству о средних

(x2 y2) (y2 z2) ( z2- x2) 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 ≥ xy+ yz +xz

Это даёт нам оценку

(x +y +z)2 ≥3(xy+ yz +zx)= 3⋅27= 81

Откуда

x+ y+z ≥9

Осталось показать, что значение может быть равно $9,$ видно что при $x= y = z = 3$ условие на равенство выполняется, и сумма этих чисел $9.$

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 45#137267Максимум баллов за задание: 7

Положительные числа $x,y,z$ таковы, что $xy+yz+ xz = 5xyz.$ Найдите наименьшее значение выражения $x+ y+z.$

Источники: Бельчонок - 2024, вариант 1, 10.3 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам дана связь между суммой попарных произведений и произведением трех чисел. Как это можно переформулировать?

Подсказка 2

Можем сказать, что мы знаем, чему равна сумма чисел, обратных к данным нам. А как ее связать с суммой исходных?

Подсказка 3

Попробуйте посмотреть на (x + y + z)(1/x + 1/y + 1/z).

Подсказка 4

Осталось выразить (x + y + z) и понять, когда неравенство обращается в равенство.

Показать ответ и решение

Первое решение.

По условию

xy+ yz+ xz =5xyz

Положим $a= 3x, 5$ $b= 3y, 5$ $c= 3z. 5$ Тогда

9- 27- 25(ab+ bc+ ac)= 25abc

Отсюда

1 1 1 a + b + c = 3

Поэтому

3 3 ( 1 1 1 ) 3 9 x+y +z = 5(a+ b+ c)= 5 a+ a + b+ b + c+ c − 3 ≥ 5(6− 3)= 5

В предпоследнем переходе мы использовали неравенство Коши для среднего арифметического и среднего геометрического, которое обращается в равенство при $a= b= c=1.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Заметим, что для любых положительных чисел $x$ , $y$ и $z$ имеет место неравенство

( ) (x +y +z) 1 + 1+ 1 ≥9 x y z

которое при $x= y = z$ обращается в равенство. Действительно, раскрывая скобки, поскольку сумма в каждой скобке не меньше 2, мы получим

(x+ y+z)( 1+ 1+ 1) = 3+( x+ y) +( y+ z) +( z+ x)≥ 9 x y z y x z y x z

Тогда

9 9 9 x+y +z ≥-1+-1+-1 = xy+yz+xz= 5 x y z xyz

Осталось заметить, что числа $x =y =z = 3 5$ удовлетворяют условию задачи и обращают неравенство в равенство.

Ответ:

$9 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 46#137272Максимум баллов за задание: 7

Для положительных чисел $x,$ $y,$ $z$ и $t$ найдите минимальное значение выражения

( 1)3 ( 1)3 ( 1)3 ( 1)3 N = x+ y + y +z + z+ t + t+ x

Источники: Бельчонок - 2024, вариант 4, 10.3 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам нужно найти минимальное значение выражения. Это намек, что можно применить какие-то известные нам неравенства!

Подсказка 2

Применим неравенство о средних для каждой скобки по отдельности. Что можно сделать далее?

Подсказка 3

А что, если применить неравенство о средних еще раз?

Подсказка 4

В неравенстве о средних равенство достигается при равных числах. Помним, что мы дважды применили неравенство!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Воспользуемся неравенством о средних в каждой скобке:

( ∘ -)3 ( ∘ -)3 ( ∘ -)3 ( ∘ -)3 N ≥ 2 x + 2 y + 2 z + 2 t =M y z t x

Теперь применим неравенство о средних для полученной суммы $M :$

(x y z t)38 M ≥ 32⋅ y ⋅z ⋅t ⋅x =32

Равенство достигается при $x= y =z = t= 1.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Воспользуемся неравенством $a3+b3 ≥ 14 ⋅(a+ b)3,$ верным для $a,b> 0.$ Применяя его трижды, получим

a3+b3+ c3+d3 ≥((a +b)3+(c+ d)3)≥ 1-⋅(a+b +c+ d)3 16

Данное неравенство верно для $a,b,c,d> 0.$ Тогда

-1 ( 1 1 1 1)3 N ≥ 16 ⋅ x + y + y+ z + z+ t + t+ x = M

По неравенству о средних

( ∘ ----------------)3 M ≥ 1-⋅ 88⋅ x⋅ 1⋅y⋅ 1 ⋅z⋅ 1⋅t⋅ 1 16 x y z t

83 M ≥ 16 = 32

Равенство достигается при $x= y =z = t= 1.$

Ответ: 32

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 47#67680Максимум баллов за задание: 7

В выпуклом многограннике обозначим через В, Р и Т соответственно число вершин, рёбер и максимальное число треугольных граней, которые имеют общую вершину. Докажите, что

√ ----- В Р+ Т≥ 2Р

Например, для тетраэдра ( $В= 4,Р= 6,Т = 3)$ выполняется равенство, а для треугольной призмы ( $В =6,Р= 9,Т= 1)$ или куба ( $В= 8,Р= 12,Т = 0)$ имеет место строгое неравенство.

Источники: ММО-2023, 11.5 (см. mmo.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Будем воспринимать этот многогранник как граф. Нам нужно получить какую-то оценку с количеством его рёбер, поэтому логично пытаться оценивать суммы степеней вершин. Давайте рассмотрим произвольную вершину. Какую оценку сверху можно написать на сумму степеней всех смежных с ней вершин?

Подсказка 2

Эта сумма m_1+...+m_k не больше Р+Т, потому что мы могли максимум Т рёбер посчитать дважды.

Подсказка 3

Но нам нужен корень из Р+Т, его можно получить с помощью неравенства о средних. Как его применить?

Подсказка 4

Применим неравенство между средним квадратическим и средним арифметическим для набора sqrt(m_1), ..., sqrt(m_k).

Подсказка 5

Итак, мы получили неравенство, которое удобно переписать в виде sqrt(m_1/k)+...+sqrt(m_k/k)<=sqrt(Р+Т). Теперь давайте рассмотрим все пары вершин. Пусть степени некоторых двух равны x и y. Тогда sqrt(x/y)+sqrt(y/x)>=2. Теперь осталось...

Подсказка 6

Сложить данные неравенства по всем парам вершин, использовать неравенство, которое мы получили выше, и мы получим требуемую оценку.

Показать доказательство

Степенью вершины многогранника называется количество исходящих из неё рёбер этого многогранника. Вершины называются смежными, если они соединены ребром. Пусть $A$ - произвольная вершина многогранника, $k$ - её степень, $mj$ - степени всех смежных с ней вершин ( $j = 1,2,...,k),$ занумерованных в произвольном порядке. Тогда $m1 +m2 +...+mk$ - это количество всех рёбер, исходящих из смежных с $A$ вершин, учтенных один или два раза, причём дважды учтены те и только те рёбра, которые лежат против вершины $A$ в некоторой треугольной грани многогранника. Значит, $m1 +m2 +...+mk ≤ P + T.$ Отсюда, используя известное неравенство между средним арифметическим и средним квадратическим, получаем

√m--+√m--+ ...+ √m-- √m--+-m-+-...+-m- √P +-T --1-----2k-------k-≤ ---1---2k-------k ≤ -√k---

Следовательно,

∘ --- ∘ --- ∘--- m1-+ m2-+ ...+ mk-≤ √P-+-T k k k

Обозначим сумму в левой части последнего неравенства за $S(A).$ Пусть $A i$ - все вершины многогранника, занумерованные в произвольном порядке, а $n i$ - их соответственные степени $(i= 1,2,...,B).$ Для любой пары смежных вершин $A i$ и $A j$ по неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим выполнено неравенство

∘ ni- ∘ nj- nj + ni ≥ 2

Складывая эти неравенства по всем неупорядоченным парам ${Ai,Aj}$ смежных вершин многогранника, получаем

∑B S(Ai)≥ 2P i=1

По доказанному выше неравенству $S(A)≤ √P-+T-$ отсюда следует требуемая оценка.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 48#67959Максимум баллов за задание: 7

Сумма положительных чисел $a,b,c$ и $d$ не превосходит $4.$ Найдите наибольшее значение выражения

∘4------- ∘4------- 4∘------- 4∘------- a(b +2c)+ b(c+ 2d)+ c(d +2a)+ d(a+ 2b)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам дано условие на сумму чисел, а тут стоят какие-то корни с произведениями...Тогда может стоит использовать неравенство о средних? Но просто используя нер-во о средних для двух сомножителей, ничего не выходит хорошего. На что стоит обратить внимание: у нас корень 4 степени, а множителей всего два...

Подсказка 2

Тогда нужно найти еще два множителя) И второе: хочется, чтобы максимум достигался при всех единичках. С помощью этого можно подобрать числа, которые надо вставить внутри корня, чтобы получилось хорошее нер-во)

Показать ответ и решение

Первое решение. По неравенству о средних для четырех чисел имеем

∘ ------- ∘43a-(b+-2c)⋅3⋅3- 1 3a+ b+ 2c+6 4 a(b+ 2c)= -----√433----- ≤ 4√33 ⋅----4-----

Просуммируем это неравенство с тремя аналогичными и получим, что

4∘a(b+2c)+ 4∘b(c+2d)+ 4∘c(d+2a)+ 4∘d(a+-2b)≤

( ) ≤ √14-3 3a+-b+-2c-+6 + 3b+-c+-2d-+6 + 3c+-d+-2a+6 + 3d-+a+-2b+-6 = 3 4 4 4 4

= √1--⋅ 6(a-+b+-c+d)+-24≤ √12-= 44√3 433 4 433

Равенство достигается, когда $a= b= c= d= 1.$

Второе решение. По неравенству Коши–Буняковского для наборов чисел $√- √- 4√a, 4b, 4√c, 4d$ и $----- ----- ----- ----- 4√ b+2c, 4√c+ 2d, 4√ d+2a, 4√a +2b$ имеем

( ------- ------- ------- ------) - 4∘a(b+ 2c)+ 4∘ b(c+ 2d)+ 4∘ c(d+ 2a)+ 4∘ d(a +2b)2 ≤(√a+ √b+ √c+

+√d)(√b-+2c+ √c+-2d+√d-+-2a-+√a-+2b)

А по неравенству Коши–Буняковского для наборов $√a,√b,√c,√d$ и $1,1,1,1$ имеем

(√a-+ √b+ √c+ √d)2 ≤ (a +b+ c+ d)(1+ 1+ 1+1)≤ 42

Значит, $√a+ √b+ √c+ √d ≤4.$ Аналогично по неравенству Коши–Буняковского для наборов $√b+-2c,√c+-2d,√d-+2a,√a+-2b$ и $1,1,1,1$ имеем

(√ ----- √----- √----- √ ----)2 b+2c+ c+ 2d+ d+ 2a+ a+ 2b ≤ ((b+ 2c)+ (c+2d)+ (d+ 2a)+

+ (a +2b))(1+ 1+1 +1)= 12(a+ b+ c+d)≤ 48

Значит, $√b+-2c+√c-+2d+ √d+-2a+ √a+-2b≤4√3.$ Следовательно,

∘ ----- ∘4a-(b-+2c)+∘4b-(c+-2d)+ 4∘c(d-+2a)+ 4∘d(a+-2b)≤ 4⋅4√3 = 44√3

Равенство достигается, когда $a= b= c= d= 1.$

Третье решение. По неравенству Коши–Буняковского для наборов чисел $4√- 4√- a, b$ , $4√- 4√- c, d$ и $√4-----4√-----√4-----4√ ----- b+2c, c+ 2d, d+ 2a, a+2b$ имеем

(∘------- ∘ ------- ∘ ------- ∘ ------)2 √- √- √- 4a(b+ 2c)+ 4 b(c+ 2d)+ 4 c(d+ 2a)+ 4 d(a +2b) ≤( a+ b+ c+

√ -(√ ----- √----- √ ----- √ ----) + d) b+2c+ c+ 2d+ d+ 2a + a+2b

Оценим по-отдельности сомножители в правой части. По неравенству о средних для двух чисел $- √x ≤ 12(x+ 1),$ поэтому

√a+ √b+ √c+ √d≤ a-+1 + b+-1+ c+-1+ d+-1 = a-+b+-c+-d+4 ≤ 4 2 2 2 2 2

Аналогично по неравенству о средних для двух чисел

√-∘----- ∘ -------- 1 3 x +2y = (x +2y)⋅3≤ 2(x +2y+ 3)

Значит,

√----- √----- √ ----- √----- b+ 2c+3 c+2d+ 3 d+ 2a+ 3 b +2c+ c+ 2d + d+2a+ a +2b≤ --2√3-- + --2√3---+ --2√3---+

+a-+2√b+-3= 3(a+b+-c√+-d)+12= 4√3 2 3 2 3

Следовательно,

∘4------- ∘4------- 4∘------- 4∘------- ∘ --√-- 4√- a(b +2c)+ b(c+ 2d)+ c(d +2a)+ d(a+ 2b)≤ 4⋅4 3= 4 3

Равенство достигается, когда $a= b= c= d= 1.$

Ответ:

$4√43$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 49#68520Максимум баллов за задание: 7

Для $a,b ⁄=0$ оказалось, что $a + b= 3 b a$ . Докажите, что

(2 2) 1- 1- 5 a +b + a2 + b2 > 9+8ab.

Показать доказательство

Заметим, что $a2 +b2 = 3ab$ . Следовательно, нам нужно сравнить $7ab+ 3- ab$ и $9$ . Заметим, что первое число по неравенству о средних не меньше $√-- 2 21$ , что больше $9$ .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 50#68707Максимум баллов за задание: 7

Для произвольных вещественных чисел $x,y,z,t,$ больших $7$ , докажите неравенство:

∘-------------------- 2 2 2 2 4⋅ (x− 3)(y− 4)(z− 5)(t− 6)< (x − 2) + (y− 5) +(z− 7) + (t− 4)

Источники: ИТМО-2023, 11.5 (см. olymp.itmo.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Справа сумма степеней каких-то чисел, а слева корень из произведения других, но прям очень похожих. На какие классические неравенства нам намекает данная конструкция?

Подсказка 2

В данном случае нам следует воспользоваться неравенством о средних, причем левую часть явно стоит оценить сверху, а правую - снизу, значит, и неравенства для них следует использовать различные.

Подсказка 3

Теперь внимательно посмотрите на то, чему равна сумма элементов правой и левой части. Может быть, это как-то поможет свести два неравенства о средних в одно.

Подсказка 4

Не забудьте доказать строгость полученного неравенства, ведь в неравенствах о средних у нас используются знаки ≤ и ≥, а в условие стоит <. Для этого вспомните при каких условиях неравенства о средних обращаются в равенства.

Показать доказательство

По неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом

4∘ -------------------- (x−-3)+(y−-4)+(z−-5)+(t− 6) (x − 3)(y − 4)(z− 5)(t− 6)≤ 4

Отсюда

∘ -------------------- (x +y+ z+ t− 18)2 4 ⋅ (x− 3)(y− 4)(z − 5)(t− 6)≤-----4-------

При этом, чтобы это равенство обращалось в равенство, должно выполняться $x − 3 =y − 4= z− 5= t− 6.$

По неравенству о среднем арифметическом и среднем квадратичном

∘ ----------------------------- (x−-2)+(y−-5)+(z−-7)+(t− 4)≤ (x− 2)2+-(y-− 5)2+(z−-7)2+-(t− 4)2 4 4

Отсюда

(x +y +z+ t− 18)2 -------4-------≤ (x− 2)2+ (y− 5)2+(z− 7)2+ (t− 4)2

При этом, чтобы это равенство обращалось в равенство, должно выполняться $x − 2 =y − 5= z− 7= t− 4.$

Таким образом,

-------------------- 2 4⋅∘ (x − 3)(y− 4)(z− 5)(t− 6)≤ (x+-y+-z+t−-18) ≤(x− 2)2 +(y− 5)2+ (z − 7)2+(t− 4)2 4

При этом оба неравенства не могут обращаться в равенство одновременно, следовательно

4⋅∘(x−-3)(y−-4)(z−-5)(t− 6)< (x − 2)2+ (y− 5)2 +(z− 7)2+ (t− 4)2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 51#69401Максимум баллов за задание: 7

Для положительных чисел $x,y,z$ докажите неравенство

---z2--- ---x2--- ---y2--- ---xy---- --yz---- ---zx--- x +y+ 2z + 2x+ y+ z + x+ 2y+z ≥ x+ y+2z + 2x +y+ z + x +2y+ z

Источники: Бельчонок-2023, 11.3 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте перенесем всё из правой части неравенства в левую и сложим всё, что имеет одинаковые знаменатели. Получаем в левой части неравенства сумму трех очень похожих дробей, а в правой - ноль. Когда имеется такая конструкция, то часто бывает полезным подумать, как можно оценить каждую дробь по отдельности. К тому же, зачастую, если понять, как оценить одну дробь, то мы сразу будем знать, как оценить и остальные.

Подсказка 2

Рассмотрим дробь (z² - xy) / (x + y + 2z). Когда мы говорим про оценки в неравенствах, то в первую очередь в голову приходят неравенства о средних. В этой дроби мы можем много что оценить, знаменатель или числитель целиком, но давайте воспользуемся неравенством средних для xy, чтобы в числителе получить разность квадратов.

Подсказка 3

Раскрыв в числителе разность квадратов, мы можем сократить равные скобки в числителе и в знаменателе и получить оценку на дробь. Аналогично поступим для каждой дроби. Что теперь мы можем сказать про сумму трех дробей?

Показать доказательство

Неравенство из условия равносильно

-z2-− xy- -x2−-yz- -y2−-xz- x+y +2z +2x+ y+ z + x+ 2y+ z ≥ 0

По неравенству о средних $xy ≤(x+2y)2,$ отсюда после применения формулы разности квадратов имеем

2 -z-−-xy--≥ (2z−-x−-y)(2z+-x+-y)-= 2z-− x-− y x+ y+ 2z 4(2z+ x+ y) 4

Аналогично оцениваем два других слагаемых и получаем, что

-z2−-xy-+ -x2−-yz-+ -y2− xz-≥ x+ y+ 2z 2x+ y+ z x+ 2y +z

2z− x− y 2y− z− x 2x− y− z ≥ ----4---+ ---4----+ ---4----= 0

мы доказали треубемое.

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 52#73183Максимум баллов за задание: 7

Про положительные числа $x$ , $y$ , $z$ известно, что $xyz ≥xy+ xz+ yz$ . Докажите неравенство

√--- √- √ - √ - xyz ≥ x + y+ z.

Показать доказательство

Пусть $x =a2$ , $y = b2$ , $z = c2$ . Тогда

2 2 2 2 2 2 xy+xz +yz = (ab) + (bc)+ (ca) ≥ abc+ bc a+ abc.

То есть $a2b2c2 ≥ab2c+bc2a+a2bc$ . Поделив на $abc$ , получаем $abc≥ a+ b+c$ , что и требовалось.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 53#73449Максимум баллов за задание: 7

Положительные числа $a,b,c$ удовлетворяют соотношению

2 2 2 a +b + c =1

Найдите наибольшее возможное значение выражения $ab+ bc√3.$

Источники: ДВИ - 2023, вариант 233, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем, как можно получить оценку? Через производную не получится. Какие ещё варианты есть?

Подсказка 2

Давайте решим через векторы. Пусть |х| = √(а² + с²), |у| = b и 2·х·у = аb + bc√3. Какие векторы х и у выбрать?

Подсказка 3

х = (а, с), у = (b/2, √3b/2). Тогда нам нужно максимизировать 2· x⋅y. Как это можно сделать?

Подсказка 4

Вспомним, что x⋅y = |x|⋅|y|⋅cos(θ), где θ - угол между векторами. Косинус ≤ 1. Тогда x⋅y ≤ |x|⋅|y|. Как тогда можно оценить правую часть?

Подсказка 5

По неравенству о средних! Сумму длин векторов x и у мы знаем. Тогда ab + bc√3 ≤ 1. Когда достигается равенство в неравенстве о средних?

Подсказка 6

Когда векторы х и у равны! Далее не трудно подобрать, чему равны a, b и c. Проверим, что они подходят.

Показать ответ и решение

Первое решение.

По неравенству о средних

2 b2 √- 3b2 2 ab≤ a + 4 , 3bc ≤-4-+ c,

то есть

√ - ab+ 3bc≤ a2+ b2 +c2 = 1.

Равенство достигается при

2 b2 3b2 2 a = 4 ,-4-=c .

Подставляя это в равенство из условия, получим конкретные

√ - √- √- a =--2,b= -2,c= -6. 4 2 4

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Из условия имеем

( |||{a2+ b2+ c2 = 1 a,b,c> 0 |||( √- ab+bc 3→ max

Рассмотрим вспомогательные векторы на плоскости

1 √3 ⃗x= (a,c);⃗y = (2b,2-b)

Для них выполнено

b2 3b2 1 √- |⃗x|2 = a2+ c2, |⃗y|2 =-4 +-4-= b2, ⃗x⋅⃗y = 2(ab+bc 3)

Тогда условие задачи перепишется как

( |||{|⃗x|2+ |⃗y|2 = 1 2 ⃗x⋅⃗y → max |||( a,b,c> 0

Как известно,

⃗x ⋅⃗y = |⃗x|⋅|⃗y|⋅cos(⃗x;⃗y)≤ |⃗x|⋅|⃗y|

По неравенству о средних $2|⃗x||⃗y|≤ |⃗x|2+|⃗y|2 = 1$

В итоге получается, что

√- ab +bc 3= 2⃗x⋅⃗y ≤ 2|⃗x|⋅|⃗y|≤21 = 1 2

При этом равенство достигается, когда векторы $⃗x,⃗y$ равны. Тогда $√- a= b2,c= -32b$ и $b2 =|⃗y|2 = 12$ . То есть подойдут, например,

√- √- √- a = -2,b= -2,c= -6- 4 2 4

Ответ:

$1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 54#74140Максимум баллов за задание: 7

Даны положительные $x,y$ такие, что $x +y ≤3.$ Докажите, что

y+2x- 4y-− 3x xy + 4 ≥2.

Показать доказательство

Давайте сначала преобразуем неравенство к удобному нам виду

1 2 3 x + y + y− 4x≥ 2

1+ 2+ 2y+ x≥ 2+ x+ y x y 4

А теперь воспользуемся условием для правой части и неравенством о средних для левой

1+ 4+ x≥ 5 x 4

1 x x + 4 ≥1

4+ x2 ≥ 4x

(x− 2)2 ≥ 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 55#74144Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что для любых положительных чисел $x$ и $y$ справедливо неравенство

--x--- --y--- -1 x4+y2 + y4 +x2 ≤xy

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте вспомнить базовые свойства дробей, за счёт чего дробь можно сделать больше, за счëт чего - меньше. Как это применить к задаче?

Подсказка 2

Итак, скорее всего вы догадались, что знаменатели надо уменьшить. Очень желательно, чтобы они стали одинаковыми. Подумайте, с помощью чего это можно сделать?

Подсказка 3

Попробуйте применить неравенство о средних.

Показать доказательство

По неравенству о средних:

--x--- --y--- --x- -y-- -1- -1- -1 x4+y2 + y4 +x2 ≤2x2y + 2y2x = 2xy + 2xy = xy

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 56#74611Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что при любых положительных числах $a$ и $b$

1 1 -4-- a + b ≥ a+ b

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как то неудобно работать с разными переменными. Хочется побольше общего. Может, в левой части записать все под один числитель?

Подсказка 2

Числа положительные, значит на a, b, ab, a+b можно домножить. Попробуйте сделать неравенство без дробей!

Показать доказательство

Сделаем тождественные преобразования:

a+ b 4 -ab-≥ a+-b

(a+ b)2 ≥ 4ab

Осталось извлечь корень из последнего неравенство и заметить, что оно превратилось в неравенство о средних.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 57#74612Максимум баллов за задание: 7

Сумма неотрицательных чисел $x$ и $y$ равна $1.$ Докажите, что $x4 +y4 ≥ 1∕8.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Такс, нас просят оценить сумму квадратов двух чисел, сумма которых равна единице! Какое неравенство хочется применить?

Подсказка 2

Верно, вспомним про неравенство между средним арифметическим и средним квадратическим! Мы знаем, что ((x + y) / 2)² ≤ (x² + y²) / 2. А отсюда уже выводится требуемое неравенство!

Показать доказательство

Используем неравенство между средним арифметическим и средним квадратическим в следующем виде:

2 2 (x+-y)2 x +y ≥ 2

1 x2+ y2 ≥ 2

2 22 x4+ y4 ≥ (x-+-y-)-= 1 2 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 58#74617Максимум баллов за задание: 7

Пусть $a,b$ и $c$ — вещественные числа из отрезка $[0,1].$ Докажите, что

3 3 3 2 2 2 2(a + b +c )− (a b+b c+c a)≤3

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

В данном неравенстве самыми неудобными являются слагаемые a²b, b²c и c²a. Было бы очень здорово, если бы они превратились в суммы более простых чисел.

Подсказка 2:

Это можно сделать с помощью одного неравенства, используя то, что числа на отрезке [0, 1]. Подумайте, как сравнить xy и x + y.

Подсказка 3:

Давайте заметим, что если x и y лежат на отрезке [0; 1], то xy >= x + y - 1, потому что (x - 1)(y - 1) >= 0. Попробуйте многократно применить это неравенство.

Показать доказательство

Запишем неравенство $1+ xy ≥ x+y$ в виде $− xy ≤ 1− x− y.$ Используем его, чтобы оценить слагаемые $− a2b,−b2c,−c2a:$

3 3 3 2(a +b + c)+ a(1 − a− b)+b(1− b − c)+c(1− c− a)≤ 3

Запишем неравенство в виде:

3 3 3 2 2 2 2(a +b + c)− (a + b + c)+ (a +b+ c)− (ab+bc+ ac)≤ 3

Теперь снова применим неравенство $1+ xy ≥ x+ y$ для слагаемых $− ab,−bc,− ac:$

3 3 3 2 2 2 2(a + b+ c )− (a +b + c)+ (a+b +c)+3 − 2(a+ b+c)≤ 3

Приведём подобные:

2(a3 +b3+ c3)− (a2+ b2+c2)− (a+ b+ c)≤ 0

Теперь осталось вспомнить, что числа по условию из промежутка $[0,1],$ а значит $a3 ≤ a2 ≤a,b3 ≤b2 ≤ b,c3 ≤ c2 ≤ c.$ Отсюда следует, что $a3+b3+ c3 ≤ a2 +b2+ c2$ и $a3+ b3+c3 ≤ a+ b+c.$ Если сложить последние два неравенства, мы получим требуемое.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 59#74908Максимум баллов за задание: 7

Для положительных чисел $x ,x ,...,x 1 2 n$ докажите неравенство

∘ -----n+1 √-------- (1+ x1)(1+ x1 +x2)...(1+x1+ x2+ ...+ xn)≥ (n +1) ⋅ x1x2...xn

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте в первую очередь запишем неравенство в удобном для нас виде. Корни это не очень хорошо, поэтому возведём в квадрат неравенство, и оставим дробь с n+1 в правой части, а с иксами в левой(произведение иксов лучше сделать в числителе). То есть в итоге у вас знак неравенства поменяется, слева будут иксы, а справа дробь 1/(n+1) в степени n+1. Где-то тут спряталось неравенство о средних. Нельзя ли сделать какую-то хорошую замену переменных на y₁, y₂ и т.д., чтобы увидеть его в явном виде? Подумайте в этом направлении.

Подсказка 2

У нас степень в неравенстве n+1, а иксов всего n. Значит, нужно сделать "удачную" замену на n+1 выражение. Наверное, почти в каждом числителе, кроме одного, будут иксы. К тому же в знаменателях у нас квадраты выражений, то есть, скорее всего, каждая из сумм присутствует в двух переменных. Как тогда можно проводить замену дробей на y_(n+1)?

Подсказка 3

Давайте проводить такую замену: в числителе будут x₁, x₂ и т.д. до x_n, 1(всего как раз n+1 переменных), а в знаменателях будет (1 + x₁), (1+x₁)(1+x₁ + x₂) и т.д. до суммы всех иксов(снова будет n+1). Видно, что слева получилось просто произведение игреков. А что же справа? Сложите поочерёдно игреки и поймите, почему их сумма на самом деле равна единице. Вот и получилось неравенство о средних. Победа!

Показать доказательство

Возведём неравенство в квадрат, поделим на $x x ...x 1 2 n$ и перевернём правую и левую части:

x1x2...xn ( 1 )n+1 (1+-x1)2...(1+-x1+x2+-...+-xn)2 ≤ n+-1

Обозначим:

y1 =--x1-- 1+ x1

-------x2-------- y2 = (1+ x1)(1+ x1+ x2)

x y3 = (1+x1+-x2)(13+-x1+-x2+x3)

и так дальше. Тогда:

yn =------------------xn------------------ (1+ x1+x2+ ...+ xn−1)(1+ x1+ x2 +...+xn)

y = --------1------- n+1 1 +x1+ x2+ ...+xn

Понятно, что левая часть неравенства из начала решения равна $y1y2...yn+1$ . Также заметим, что $y1+y2+ ...+ yn+1 =1$ , в этом можно убедиться, если сначала сложить $yn+1$ и $yn$ , затем прибавить к полученному $yn−1$ и так дальше. Тогда неравенство примет вид:

( )n+1 y1y2...yn+1 ≤ y1+-y2+n+...1+yn+1

а это верно по неравенству о средних.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 60#91243Максимум баллов за задание: 7

Положительные числа $a,b,c$ удовлетворяют соотношению

√ -- √-- √ -- a bc+ b ca+ c ab =1.

Найдите наименьшее возможное значение выражения $a +b+ c$ .

Источники: ДВИ - 2023, вариант 236, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем как-то связать a+b+c с выражением из условия. Так как нам хочется найти минимум a+b+c, то хочется оценить сверху выражение из условия. А в каком известном неравенстве присутствуют произведения в корнях?

Подсказка 2

В силу неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим мы можем оценить выражение из условия!

Подсказка 3

1 ≤ ab + bc + ac. Когда достигается равенство? А давайте теперь вспомним выражение, в котором присутствует a+b+c и ab+bc+ac!

Подсказка 4

Оценим (a+b+c)²!

Показать ответ и решение

В силу неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим

√ -- √-- √ -- b+c- c+-a a+-b 1 =a bc+ b ca+ c ab≤a ⋅ 2 +b⋅ 2 + c⋅ 2 = ab+ bc+ ac

При этом равенство достигается при $a =b =c.$ С другой стороны,

2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 (a+b+ c) =a + b +c + 2(ab+ bc+ac)= 2((a − 2ab+ b )+(b − 2bc+c )+ (a − 2ac +c ))+ 3(ab+ bc+ac)≥ 3(ab+bc+ ac)

При этом равенство, опять же, достигается при $a= b= c.$ Таким образом,

√- √ --------- √ - a+b +c≥ 3⋅ ab +bc+ ac ≥ 3

и равенство достигается при $-1 a =b= c= √3.$ Остается убедиться, что при таких значениях $a, b, c$ данное в условии соотношение имеет место. Стало быть наименьшее значение выражения $a+ b+ c$ равно $√- 3.$

Ответ:

$√3$

Предыдущая подтема

Следующая подтема