Тема АЛГЕБРА

Классические неравенства → .03 Неравенство о средних

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Классические неравенства

Раскрытие и закрытие скобок

Правильная замена и преобразование выражений

Неравенство о средних

Оценки в классических неравенствах

Неравенство КБШ для наборов, КБШ для дробей (неравенство Седракяна)

Идеи метода Штурма

Транснеравенство

pqr-метод

Неравенства Мюрхеда и Шура

Метод отделяющей касательной

Неравенство Гёльдера

Неравенство Йенсена

Использование производной и экстремумов в классических неравенствах

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 61#74611Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что при любых положительных числах $a$ и $b$

1 1 -4-- a + b ≥ a+ b

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как то неудобно работать с разными переменными. Хочется побольше общего. Может, в левой части записать все под один числитель?

Подсказка 2

Числа положительные, значит на a, b, ab, a+b можно домножить. Попробуйте сделать неравенство без дробей!

Показать доказательство

Сделаем тождественные преобразования:

a+ b 4 -ab-≥ a+-b

(a+ b)2 ≥ 4ab

Осталось извлечь корень из последнего неравенство и заметить, что оно превратилось в неравенство о средних.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 62#74612Максимум баллов за задание: 7

Сумма неотрицательных чисел $x$ и $y$ равна $1.$ Докажите, что $x4 +y4 ≥ 1∕8.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Такс, нас просят оценить сумму квадратов двух чисел, сумма которых равна единице! Какое неравенство хочется применить?

Подсказка 2

Верно, вспомним про неравенство между средним арифметическим и средним квадратическим! Мы знаем, что ((x + y) / 2)² ≤ (x² + y²) / 2. А отсюда уже выводится требуемое неравенство!

Показать доказательство

Используем неравенство между средним арифметическим и средним квадратическим в следующем виде:

2 2 (x+-y)2 x +y ≥ 2

1 x2+ y2 ≥ 2

2 22 x4+ y4 ≥ (x-+-y-)-= 1 2 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 63#74617Максимум баллов за задание: 7

Пусть $a,b$ и $c$ — вещественные числа из отрезка $[0,1].$ Докажите, что

3 3 3 2 2 2 2(a + b +c )− (a b+b c+c a)≤3

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

В данном неравенстве самыми неудобными являются слагаемые a²b, b²c и c²a. Было бы очень здорово, если бы они превратились в суммы более простых чисел.

Подсказка 2:

Это можно сделать с помощью одного неравенства, используя то, что числа на отрезке [0, 1]. Подумайте, как сравнить xy и x + y.

Подсказка 3:

Давайте заметим, что если x и y лежат на отрезке [0; 1], то xy >= x + y - 1, потому что (x - 1)(y - 1) >= 0. Попробуйте многократно применить это неравенство.

Показать доказательство

Запишем неравенство $1+ xy ≥ x+y$ в виде $− xy ≤ 1− x− y.$ Используем его, чтобы оценить слагаемые $− a2b,−b2c,−c2a:$

3 3 3 2(a +b + c)+ a(1 − a− b)+b(1− b − c)+c(1− c− a)≤ 3

Запишем неравенство в виде:

3 3 3 2 2 2 2(a +b + c)− (a + b + c)+ (a +b+ c)− (ab+bc+ ac)≤ 3

Теперь снова применим неравенство $1+ xy ≥ x+ y$ для слагаемых $− ab,−bc,− ac:$

3 3 3 2 2 2 2(a + b+ c )− (a +b + c)+ (a+b +c)+3 − 2(a+ b+c)≤ 3

Приведём подобные:

2(a3 +b3+ c3)− (a2+ b2+c2)− (a+ b+ c)≤ 0

Теперь осталось вспомнить, что числа по условию из промежутка $[0,1],$ а значит $a3 ≤ a2 ≤a,b3 ≤b2 ≤ b,c3 ≤ c2 ≤ c.$ Отсюда следует, что $a3+b3+ c3 ≤ a2 +b2+ c2$ и $a3+ b3+c3 ≤ a+ b+c.$ Если сложить последние два неравенства, мы получим требуемое.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 64#74908Максимум баллов за задание: 7

Для положительных чисел $x ,x ,...,x 1 2 n$ докажите неравенство

∘ -----n+1 √-------- (1+ x1)(1+ x1 +x2)...(1+x1+ x2+ ...+ xn)≥ (n +1) ⋅ x1x2...xn

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте в первую очередь запишем неравенство в удобном для нас виде. Корни это не очень хорошо, поэтому возведём в квадрат неравенство, и оставим дробь с n+1 в правой части, а с иксами в левой(произведение иксов лучше сделать в числителе). То есть в итоге у вас знак неравенства поменяется, слева будут иксы, а справа дробь 1/(n+1) в степени n+1. Где-то тут спряталось неравенство о средних. Нельзя ли сделать какую-то хорошую замену переменных на y₁, y₂ и т.д., чтобы увидеть его в явном виде? Подумайте в этом направлении.

Подсказка 2

У нас степень в неравенстве n+1, а иксов всего n. Значит, нужно сделать "удачную" замену на n+1 выражение. Наверное, почти в каждом числителе, кроме одного, будут иксы. К тому же в знаменателях у нас квадраты выражений, то есть, скорее всего, каждая из сумм присутствует в двух переменных. Как тогда можно проводить замену дробей на y_(n+1)?

Подсказка 3

Давайте проводить такую замену: в числителе будут x₁, x₂ и т.д. до x_n, 1(всего как раз n+1 переменных), а в знаменателях будет (1 + x₁), (1+x₁)(1+x₁ + x₂) и т.д. до суммы всех иксов(снова будет n+1). Видно, что слева получилось просто произведение игреков. А что же справа? Сложите поочерёдно игреки и поймите, почему их сумма на самом деле равна единице. Вот и получилось неравенство о средних. Победа!

Показать доказательство

Возведём неравенство в квадрат, поделим на $x x ...x 1 2 n$ и перевернём правую и левую части:

x1x2...xn ( 1 )n+1 (1+-x1)2...(1+-x1+x2+-...+-xn)2 ≤ n+-1

Обозначим:

y1 =--x1-- 1+ x1

-------x2-------- y2 = (1+ x1)(1+ x1+ x2)

x y3 = (1+x1+-x2)(13+-x1+-x2+x3)

и так дальше. Тогда:

yn =------------------xn------------------ (1+ x1+x2+ ...+ xn−1)(1+ x1+ x2 +...+xn)

y = --------1------- n+1 1 +x1+ x2+ ...+xn

Понятно, что левая часть неравенства из начала решения равна $y1y2...yn+1$ . Также заметим, что $y1+y2+ ...+ yn+1 =1$ , в этом можно убедиться, если сначала сложить $yn+1$ и $yn$ , затем прибавить к полученному $yn−1$ и так дальше. Тогда неравенство примет вид:

( )n+1 y1y2...yn+1 ≤ y1+-y2+n+...1+yn+1

а это верно по неравенству о средних.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 65#91243Максимум баллов за задание: 7

Положительные числа $a,b,c$ удовлетворяют соотношению

√ -- √-- √ -- a bc+ b ca+ c ab =1.

Найдите наименьшее возможное значение выражения $a +b+ c$ .

Источники: ДВИ - 2023, вариант 236, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем как-то связать a+b+c с выражением из условия. Так как нам хочется найти минимум a+b+c, то хочется оценить сверху выражение из условия. А в каком известном неравенстве присутствуют произведения в корнях?

Подсказка 2

В силу неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим мы можем оценить выражение из условия!

Подсказка 3

1 ≤ ab + bc + ac. Когда достигается равенство? А давайте теперь вспомним выражение, в котором присутствует a+b+c и ab+bc+ac!

Подсказка 4

Оценим (a+b+c)²!

Показать ответ и решение

В силу неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим

√ -- √-- √ -- b+c- c+-a a+-b 1 =a bc+ b ca+ c ab≤a ⋅ 2 +b⋅ 2 + c⋅ 2 = ab+ bc+ ac

При этом равенство достигается при $a =b =c.$ С другой стороны,

2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 (a+b+ c) =a + b +c + 2(ab+ bc+ac)= 2((a − 2ab+ b )+(b − 2bc+c )+ (a − 2ac +c ))+ 3(ab+ bc+ac)≥ 3(ab+bc+ ac)

При этом равенство, опять же, достигается при $a= b= c.$ Таким образом,

√- √ --------- √ - a+b +c≥ 3⋅ ab +bc+ ac ≥ 3

и равенство достигается при $-1 a =b= c= √3.$ Остается убедиться, что при таких значениях $a, b, c$ данное в условии соотношение имеет место. Стало быть наименьшее значение выражения $a+ b+ c$ равно $√- 3.$

Ответ:

$√3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 66#91244Максимум баллов за задание: 7

Действительные числа $a,b,c$ удовлетворяют неравенствам $0< a< 1$ , $0< b< 1$ , $0< c< 1$ . Найдите наибольшее возможное значение выражения

∘4------ 4∘------ 4∘ ------ a(1− b)+ b(1− c)+ c(1− a).

Источники: ДВИ - 2023, вариант 238, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам хочется сверху оценить выражение, в котором присутствуют корни из произведений. А в каком известном неравенстве они тоже присутствуют?

Подсказка 2

Воспользуемся неравенством между средними арифметическим и геометрическим! Но как добиться корня не второй степени, а четвертой?

Подсказка 3

Применить его последовательно 2 раза!

Подсказка 4

Оцените при помощи неравенства между средними арифметическим и геометрическим ((x₁+ x₂)/2 + (x₃+ x₄)/2)/2

Показать ответ и решение

В силу неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим для любых положительных $x , x , x , x 1 2 3 4$ справедливо

x + x +x + x x1+x2+ x3+x4 √x-x-+ √x-x- √------- -1---24-3---4= --2---2--2--≥ --1-22---3-4≥ 4x1x2x3x4

Стало быть,

------ ------ ------ 4∘a(1− b)+ 4∘ b(1− c)+∘4c(1 − a)=

(∘ ----------- ∘ ----------- ∘ ----------) √2 4 a(1− b)⋅ 1⋅ 1+ 4b(1− c)⋅ 1⋅ 1 + 4c(1 − a⋅ 1 ⋅ 1 ≤ 2 2 2 2 2 2

√-( a+ (1− b)+ 1+ 1 b+ (1 − c)+ 1+ 1 c+ (1 − a)+ 1+ 1) √- 2 ------4---2--2+ ------4---2--2+ -------4--2--2 = 322

Равенство достагиается при $a= b= c= 1 2$

Ответ:

$3√2 2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 67#131380Максимум баллов за задание: 7

Найдите наибольшее число $m$ такое, что для любых положительных чисел $a,b$ и $c,$ сумма которых равна 1, выполнено неравенство

∘ ----- ∘ ----- ∘----- -ab--+ --bc--+ --ca-≥ m. c+ ab a+ bc b +ca

Источники: ВСОШ, РЭ, 2023, 9.9 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Попробуйте угадать максимальное m.

Подсказка 2:

Возьмите m = 1. Перед доказательством проделайте некоторые махинации со знаменателями, используя равенство a + b + c = 1.

Подсказка 3:

ab + c = ab + c(a + b + c) = (c + a)(c + b). Проделайте это со знаменателями. Далее сможете доказать вручную с помощью нескольких простых оценок.

Подсказка 4:

Осталось для m > 1 найти пример, при котором неравенство не выполнено. Пусть m = 1 + 2t, где t от 0 до 1 (если доказать это для 1 < m < 3, для других m это будет очевидно). Попробуйте как-нибудь грубо оценить каждое из слагаемых левой части сверху, чтобы из сумма получилась меньше 1 + 2t, то есть m.

Показать ответ и решение

Первое решение. Докажем сначала, что $m = 1$ удовлетворяет требованиям задачи. Заметим, что $ab+ c(a+ b+c)= (c+a)(c+ b).$ Следовательно,

∘----- ∘ ----- ∘ ----- ∘ ---------- ∘ ----------- ∘ ---------- -ab-+ -bc--+ --ca--= ----ab----+ ----bc----+ ----ca----= c+ab a+ bv b+ ca (c+ a)(c+ b) (a+ b)(a+c) (b+c)(b+ a)

√ab√a+-b+ √bc√b-+c+ √ca√c+-a = -----∘-(a+b)(b-+c)(c+-a)------

Значит, осталось доказать неравенство

√ab√a+-b+ √bc√b+-c+√ca√c-+a≥ ∘ (a-+b)(b+-c)(c+a)-

Возведем это неравенство в квадрат; оно примет вид

∘ ------------- ∘ ------------- ∘ ------------- ab(a+ b)+bc(b+ c)+ca(c+ a)+ 2 ab2c(a+ b)(b +c)+2 bc2a(b+c)(c+ a)+2 ca2b(c +a)(a+ b)≥

≥ a2b+ab2+ a2c+ ac2 +b2c+bc2+ 2abc

После сокращения слева останется сумма корней, а справа — $2abc.$ Но любой из корней не меньше, чем $abc;$ действительно, например,

∘------------- √------ ab2c(a+ b)(b+c)≥ ab2c ⋅ac= abc

Отсюда и следует требуемое.

Осталось доказать, что при любом $m > 1$ неравенство выполнено не всегда; достаточно это сделать при $1< m< 3.$ Пусть $m = 1+2t$ при $0 <t< 1.$ Положим $2 a= b= 1−2t-$ и $c= t2.$ Тогда $a +b+ c= 1,$ однако

∘----- ∘----- ∘ ----- ∘--- ∘ --- ∘--- --ab-+ -bc--+ -ca--< ab + ab+ ca-= 1+2t= m c+ ab a+ bc b+ ca ab ab b

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Приведём другое доказательство того, что $m= 1$ подходит. Для этого докажем, что если $a$ — наибольшее из чисел $a,b,c,$ то верно даже неравенство

∘----- ∘ ----- -ab-+ -ca--≥1 c+ab b+ ca

Обозначим $t= 1∕a,$ $μ= b∕c;$ заметим, что $1 1> a≥ 3,$ поэтому $1< t≤3.$ Левая часть неравенства выше переписывается как

∘ ----- ----- ∘ -------- ∘ -------- -ab--+∘ --ca--= ---1---+ ---1----= ∘--1---+ √-1--- c+ ab b+ ca 1+ c∕(ab) 1+ b∕(ac) 1+ t∕μ 1+ tμ

Значит, нам достаточно доказать, что

∘ ------ ∘----- ∘ ------∘----- 1+ t∕μ+ 1 +tμ≥ 1+t∕μ⋅ 1 +tμ

Возводя это неравенство в квадрат, получаем

∘------------- 1 +t∕μ+ 1+tμ+ 2 (1+ t∕μ)(1 +tμ)≥1 +t∕μ+ tμ +t2

после сокращения подобных слагаемых получаем, что нам достаточно доказать неравенство

∘ ------------- 2 2 (1 +t∕μ)(1+ tμ)≥ t − 1 =(t− 1)(t+ 1)

Наконец, это неравенство вытекает из неравенства $2≥ t− 1$ (поскольку $t≤3$ ) и

2 2 2 (1+t∕μ)(1+ tμ)= 1+ t +t(μ+ 1∕μ)≥ 1+ t+ 2t= (t+ 1)

где мы применили неравенство о средних.

Ответ:

$m = 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 68#31196Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

4 4 2 2 2 tg x+ tg y+2 ctg xctg y =3+ sin (x +y).

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Квадрат синуса в правой части точно не больше единицы, так что вся правая часть не больше четырёх. Наша цель будет доказать, что левая часть не меньше четырёх

Подсказка 2

Заметим, что тангенсы и котангенсы хорошо сокращаются в произведении, а сумму и произведение неотрицательных чисел хорошо связывает неравенство о средних.

Показать ответ и решение

Заметим, что $3+sin2(x+ y)≤4,$ а по неравенству о средних

4 4 2 2 tg x+ tgy +2ctg xctg y ≥

2 2 2 2 ≥ 2tg xtg y+ 2ctg xctgy ≥

≥ 4∘tg2-xtg2yctg2xctg2y = 4

Значит, равенство может выполняться только при $sin2(x +y)= 1$ и

tg4x= tg4y = ctg2xctg2y =tg2xtg2y = 1

tg2x= tg2y = 1

π πk π πn x= 4 + 2-, y = 4 + 2-,n,k ∈ℤ

При этих значениях

( ) sin2(x+ y) =sin2 π+ π(n+-k) = 1 2 2

тогда и только тогда, когда $n+ k$ является чётным.

Ответ:

( $π+ πk 4 2$ ; $π + πn 4 2$ ), где $n$ и $k$ это любые целые числа одинаковой чётности

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 69#70783Максимум баллов за задание: 7

Положительные числа $a,b,c,d$ больше $1.$ Найдите наименьшее возможное значение выражения

( 2) (2 3) ( 56) ( 35 36) loga ab + logb bc +logc c d + logd d a

Источники: Курчатов-2022, 11.4 (см. olimpiadakurchatov.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте для начала распишем нормально сумму с помощью свойств логарифма) Избавимся от степеней, выцепим просто числа и т.д. Что в конце остается?

Подсказка 2

В конце просто будет сумма из каких-то обычных чисел и логарифмов с коэффициентами, причем там логарифмы интересного вида: основание a и аргумент b, основание b и аргумент c, и т.д. Попробуйте придумать, как можно здесь сделать хорошую оценку)

Подсказка 3

Для начала докажите, что произведение таких 4ех логарифмов равно единице с помощью формулы перехода к новому основанию, а после просто примените неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом и получите нужную оценку! Только не забудьте привести пример, когда она достигается)

Показать ответ и решение

По формуле перехода к новому основанию $log b⋅log c⋅log d⋅log a= 1. a b c d$ Также все эти четыре множителя положительны, поскольку все числа $a,b,c,d$ больше $1.$

Преобразуем и оценим имеющееся выражение

( 2) (23) ( 56) (35 36) S =logaab +logbb c + logc cd + logd d a =

( 2) ( 2 3) ( 5 6) ( 35 36) = logaa +logab + logbb + logbc + logcc + logcd + logdd +logda =

= (1+ 2logab)+ (2+ 3logbc)+ (5+ 6logcd)+ (35+ 36logda)≥

≥ (1+2 +5+ 35)+4∘42-log-b⋅3log-c⋅6log-d⋅36log-a-=43+ 4⋅6= 67 a b c d

здесь в последнем переходе использовалось неравенство между арифметическим и средним геометрическим для четырёх положительных чисел $2logab,3logbc,6logcd,36logda.$

Также отметим, что значение $S = 67$ достигается, например, при $a= 2,b=$ $8,c= d= 64,$ поскольку все четыре числа $2loga b,3logbc,6logcd,36logda$ будут равны $6.$

Ответ: 67

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 70#72975Максимум баллов за задание: 7

Некоторые неотрицательные числа $a,b,c$ удовлетворяют равенству $a+ b+c =2√abc.$ Докажите, что $bc≥ b+c.$

Источники: ММО-2022, 11.1 (см. mmo.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Числа неотрицательны, присутствует и произведение, и сумма... Как их можно связать?

Подсказка 2

Неравенством о средних!

Подсказка 3

Также можно попробовать рассмотреть равенство из условия как квадратный трëхчлен относительно чего-нибудь.

Показать доказательство

Первое решение. По неравенству о средних:

√ --- a+ bc≥ 2 abc= a+ b+ c⇒ bc≥b+ c

Второе решение. Числа $a,b$ и $c$ неотрицательны, поэтому исходное равенство можно рассматривать как квадратное уравнение относительно $√a:$

(√a)2+ 2√bc√a +b+ c= 0

По условию это уравнение имеет хотя бы одно решение, а значит, $D ∕4=bc− b− c≥0.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 71#74579Максимум баллов за задание: 7

Положительные числа $x,$ $y$ и $z$ таковы, что

x +y +z = 5.

Какое наименьшее значение может принимать величина

2 2 2 22 x + y +2z − x yz?

Источники: ИТМО-2022, 11.5 (см. olymp.itmo.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам нужно доказать необычное неравенство, поэтому придётся немного поколдовать. Понятно, что надо будет как-то пользоваться неравенствами о средних. Но пока непонятно как. У нас есть информация по поводу суммы x, y и z. А как можно по-другому переписать это неравенство для получения нужных степеней и коэффициентов?

Подсказка 2

Давайте ещё немного вспомогательных намёков. Сумма чисел у нас равна пяти. Тогда удобно сделать и количество слагаемых пять штук. А учитывая, что x и y во второй степени, как хорошо бы преобразовать равенство?

Подсказка 3

Верно, можно записать его в виде x/2 + x/2 +y/2 +y/2 +z=5. Думаю, что у вас получилось! А теперь осталось только применить неравенство между средним арифметическим и средним квадратическим для такого набора и неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим. Аккуратно посчитайте, и победа!

Показать ответ и решение

Перепишем условие как

x x y y 2 + 2 + 2 + 2 +z = 5

Теперь запишем для этих пяти чисел неравенство о среднем арифметическом и среднем квадратичном:

∘ -2---2---2---2---- ∘ ----------- 1= -x2 +-x2 +-y2 +-y2-+z ≤ x4-+ x4-+ y4 +-y4 +-z2= x2+-y2-+2z2 5 5 10

Следовательно,

x2+y2+ 2z2 ≥ 10

Теперь запишем для этих же чисел неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом:

x2 + x2 + y2 + y2 + z ∘ x-x-y-y-- 1= ------5-------≥ 5 2 ⋅2 ⋅2 ⋅2 ⋅z

Значит,

x2y2z ≤ 16

Получаем, что

x2+y2+ 2z2− x2y2z ≥ 10− 16= −6

Минимум достигается, когда все числа, для которых применяются неравенства о средних, равны между собой, то есть $x= y = 2,$ $z =1.$

Ответ: -6

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 72#74901Максимум баллов за задание: 7

Для любых $a,b> 0$ докажите, что

3 3 2 2a +b ≥ 3ab

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если применить неравенство о средних в лоб к этим двум числам из левой части, то правая часть будет не очень( Что можно сделать с этим?

Подсказка 2

Разбейте 2a³ как a³ + a³)

Показать доказательство

По неравенству о средних имеем:

3 3 3 3 3 3√-3--3-3- 2 2a + b = a +a + b ≥ 3 a ⋅a ⋅b= 3a b

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 73#74903Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что для вещественных чисел $a$ , $b$ и $c$ имеет место неравенство

3 4 4 4 2 2 2 4(a + b+ c + 1)≥ ab +bc + ca

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала нужно понять, для каких чисел хотя бы примерно нужно применять нер-во о средних: если домножить на 4 обе части, то слева будет по три четвертых степеней каждой переменной и еще 3 единицы. Справа же стоят 3 слагаемых вида 4ab². Что можно понять по этому?

Подсказка 2

Хочется применить три неравенства о средних и сложить их, чтобы все получилось! Давайте попробуем получить например 4ab² в правой части для какой-то левой) Какие слагаемые можно взять для этого?

Подсказка 3

Т.к. справа стоит 4, то хочется чтобы слагаемых было четыре. При этом сумма степеней у переменных справа = 3. Думаю, теперь ясно что точно стоит взять)

Подсказка 4

Например, a⁴+b⁴+b⁴+1 подходит) Попробуйте провернуть так с остальными слагаемыми и сложить!

Показать доказательство

Заметим, что если какая-то из переменных неположительна, то неравенство можно будет усилить, заменив это слагаемое в правой части с положительной переменной. Тогда заметим, что для положительных $a,b,c$ справедливы следующие $3$ неравенства:

4 4 4 2 a + b+ b + 1≥4ab ,

4 4 4 2 b + c+ c + 1≥4bc,

c4+a4+ a4+ 1≥4ca2.

Если сложить эти неравенства и поделить на 4, то получим требуемое.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 74#74906Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что для положительных $a,b,c$ выполнено:

9 9 9 53 2 5 32 5 32 a b+b c+ ca≥ a bc + bc a +c ab

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала заметим, что наше неравенство не изменится, если a->b->c->a (а заменить на b, b заменить на c, c заменить на a). А, значит, можно попробовать оценить какое-то слагаемое из правой части с помощью левой каким-то способом, а затем сделать один шаг в цикле a->b->c->a в нашем выражении для оценки и получить новую - уже на другое слагаемое.

Подсказка 2

Если не получается подобрать такие коэффициенты, с которыми надо брать слагаемые из левой части для оценки 1-ого слагаемого из второй, то попробуйте составить и решить систему в натуральных числах, где неизвестными будут коэффициенты перед 1-ым, 2-ым, 3-ем слагаемыми левой части соответственно.

Подсказка 3

У вас должна была получиться система: 9x+z = 5(x+y+z); 9y+x = 5(x+y+z); 9z+y = 5(x+y+z) (Мы стремились, чтобы корень степени x+y+z дал нужные степени после применения к числам в степенях 9x+z, 9y+x, 9z+y).

Подсказка 4

Попробуйте умножить 2-ое уравнение на 2 и вычесть его из 1-ого, а затем подобрать (y, z) так, чтобы x получился натуральным и тройка (x, y, z) удовлетворяла системе. После останется применить факт из 1-ой подсказки.

Показать доказательство

Попробуем оценить сверху отдельно каждое слагаемое из правой части c помощью неравенства о средних, используя слагаемые из левой. Пусть мы $x$ раз используем слагаемое $9 a b$ , $y$ раз слагаемое $9 bc$ , $z$ раз - $9 c a$ , хотим получить для каждого слагаемого из правой части что-то вроде:

x⋅a9b+ y⋅b9c+z⋅c9a 53 2 -----x+-y+-z-----≥ a bc

Для этого подберём такие натуральные $x,y,z$ , что среднее геометрическое суммы, состоящей из $x$ слагаемых $a9b$ , $y$ слагаемых $b9c$ , $z$ слагаемых $c9a$ будет равно $a5b3c2$ . Оно имеет вид $√------------- x+y+za9x+zb9y+xc9z+y$ . Таким образом, мы хотим, чтобы после извлечения корня получилось $a5b3c2$ . Для этого достаточно, чтобы выполнялась система:

( |{ 9x +z = 5(x+y +z) | 9y+ x= 3(x+y +z) ( 9z+ y = 2(x +y +z)

Попробуем подобрать какое-нибудь решение этой системы в натуральных числах. Приведём подобные в первом и втором уравнениях, после чего умножим второе на 2 и вычтем его из первого, тогда получим $7y = 10z$ , теперь понятно, что можно попробовать взять $y = 20$ , $z =14$ , тогда из первого уравнения $x= 39$ . К нашему счастью, эта тройка подходит ко всем уравнениям, а значит оценку на $a5b3c2$ мы получили:

9 9 9 39⋅a-b+20⋅b-c+14⋅c-a≥ a5b3c2. 39+ 20+ 14

Заметим, что также справедливы следующие неравенства:

39⋅b9c+20⋅c9a+-14-⋅a9b- 53 2 39+20+ 14 ≥ b ca

39⋅c9a+ 20 ⋅a9b+ 14⋅b9c -----39+20+-14-----≥ c5a3b2

Сумма трёх последних неравенств даёт требуемое.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 75#74945Максимум баллов за задание: 7

Найдите наименьшее значение функции

( a+4b)2 ( 2b+ 2c)2 (c+ 2a)2 f(a,b,c) = -c--- + --a-- + --2b--

при $a> 0,b> 0,c> 0.$

Источники: САММАТ-2022, 11.1 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Когда хотим оценить снизу положительную сумму, что первым приходит в голову?)

Подсказка 2

Неравенство о средних! Теперь мы понимаем, когда функция принимает свой минимум. Получается, нам нужно решить систему уравнений. Будем преобразовывать и выразим остальные буквы через a.

Подсказка 3

Получится, что a = 2b = c. Теперь мы знаем, что подставлять в функцию для поиска минимума. Осталось лишь привычным в решении этой задачи методом показать, что оно действительно наименьшее!

Показать ответ и решение

По неравенству о средних (неравенству Коши)

( )2 ( )2 ( )2 ∘ (-----)2(-----)2-(-----)2- f(a,b,c)= a+-4b- + 2b-+2c + c+-2a ≥ 33 a+-4b 2b+-2c c+-2a c a 2b c a 2b

Равенство достигается при

(a-+4b)2 ( 2b+-2c)2 (c+-2a)2 c = a = 2b

Т.к. $a> 0,b >0,c> 0,$ это равносильно

a+ 4b 2b+2c c+2a --c--= --a-- = -2b--

( ( |{ a2+4ab= 2bc+ 2c2 |{ 4ab− 2bc= 2c2 − a2 | 2ab+ 8b2 = c2+ 2ac ⇔ | 2ab− 2ac= c2− 8b2 ( 4b2+ 4bc=ac+ 2a2 ( 4bc− ac= +2a2− 4b2

Решим систему уравнений относительно произведений $ab,ac,bc.$ Умножим первое уравнение на $4,$ второе уравнение — на $(−1),$ третье уравнение на $2$ и сложим, получим

16ab− 8bc− 2ab+ 2ac+8bc− 2ac= 8c2− 4a2− c2 +8b2+4a2− 8b2,

14ab= 7c2, 2ab= c2

Умножим первое уравнение на $2,$ второе уравнение — на $(−4),$ третье уравнение на $1$ и сложим, получим

8ab− 4bc− 8ab +8ac+4bc− ac=4c2− 2a2 − 4c2+32b2+2a2− 4b2,

2 2 7ac= 28b, ac= 4b

Умножим первое уравнение на $1,$ второе уравнение — на $(−2),$ третье уравнение на $4$ и сложим, получим

2 2 2 2 2 2 4ab− 2bc− 4ab+4ac+ 16bc− 4ac= 2c − a − 2c +16b +8a − 16b,

14bc= 7a2, 2bc= a2

Поэтому получим эквивалентную систему уравнений, преобразуем её, учитывая условие, что $a> 0,b> 0,c>0$

( ( ( ( |||{ 2ab= c2 |||{ 2b =-c2 |||{ a = c2- |||{ a-= 4b2- ac= 4b2 ⇔ c3 4b32 ⇔ c3 a23 ⇔ 2b3 a23 |||( 2bc= a2 |||( 8b = c |||( a = c |||( a = 8b 2b= c a= c a =2b

Таким образом, получаем условие $a= 2b=c =t> 0.$ При таких условиях функция $f(a,b,c)$ принимает значение, равное

( t ) (t+ 2t)2 (t+ 2t)2 ( t+2t)2 f t,2,t = --t- + --t- + -t-- =

∘ (t+-2t)2(-t+2t)2(-t+2t)2- ( t+2t)2 = 33 --t- --t- -t-- = 3 -t-- = 3⋅32 = 27

Покажем, что это значение является наименьшим значением функции $f(a,b,c)$ при всех $a >0,b> 0,c> 0.$ Для этого докажем неравенство $f(a,b,c)≥ 27$ при всех $a> 0,b> 0,c> 0.$ Применим указанное выше неравенство Коши дважды:

∘ -------------------------- ( a+ 4b)2 ( 2b+2c)2 (c +2a)2 3 (a+ 4b)2(2b+ 2c)2(c+ 2a)2 f(a,b,c)= --c-- + --a-- + --2b- ≥ 3 --c-- --a-- --2b- =

∘ ----------------------- ∘ ------------------------------- 3(a+-4b)2⋅(2b+-2c)2⋅(c+2a)2 3 (a-+2b+-2b)2⋅(2b+-c+-c)2⋅(c+a+-a)2 =3 c2⋅a2⋅4b2 = 3 c2 ⋅a2⋅4b2 ≥

∘ --√----------√----------√-------- ∘ ------------ ≥33 (33a⋅2b⋅2b)2⋅(3-32b⋅c⋅c)2⋅(3-3c⋅a⋅a)2 =33 36⋅a2⋅4b2⋅c2= 3⋅32 = 27 c2⋅a2⋅4b2 c2⋅a2⋅4b2

Ответ: 27

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 76#74950Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что для $a< 1,b<1,c< 1,a +b+ c≥ 1 2$ выполняется неравенство

125- (1 − a)(1− b)(1− c)≤ 216

Источники: САММАТ-2022, 11.6 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам дали неравенство на сумму чисел, а попросили доказать неравенство про произведение. Какое известное неравенство можно попробовать применить?

Подсказка 2

Верно, неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом! Но в нём извлекают корень из произведения, поэтому давайте тоже его извлечём, а потом обратно в куб возведём

Показать доказательство

Так как $a< 1,b <1,c< 1,$ то $1− a >0,1− b >0,1− c >0.$ Используя известное неравенство о средних, получим

3∘--------------- (1− a)+-(1-− b)+-(1−-c) a+-b+c- 5 (1− a)(1− b)(1− c)≤ 3 = 1− 3 ≤6

при условии, что $1 a+ b+c≥ 2.$

Следовательно, получили

∘ --------------- 5 3 (1− a)(1− b)(1− c)≤ 6

Возведём в куб последнее неравенство и получим требуемое неравенство.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 77#92030Максимум баллов за задание: 7

Для положительных чисел $a$ , $b$ , $c$ докажите, что $a3+ b3 +c3 ≥ a2b+ b2c+c2a.$

Показать доказательство

Напишем неравенство о средних для $a3$ , $a3$ и $b3$ :

2a3+-b3 2 3 ≥ ab

Аналогично:

2b3+ c3 ---3-- ≥ b2c

3 3 2c-+-a ≥ c2a 3

Сложив эти 3 неравенства, получаем

a3+b3+ c3 ≥a2b+ b2c+ c2a

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 78#92031Максимум баллов за задание: 7

Для положительных чисел $a,b$ и $c$ докажите, что

6√- 3√- √ - a+2b+ 3c≥ 6 a⋅ b⋅ c

Показать доказательство

Напишем неравенство о средних для $a$ , $b$ , $b$ , $c$ , $c$ , $c$ :

a+-2b-+3c 6√ -2-3 6 ≥ ab c

√- √- √ - a+2b+ 3c≥ 66a⋅ 3b⋅ c

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 79#92032Максимум баллов за задание: 7

Для положительных чисел $a$ и $b$ докажите, что

a6+-b9- 23 4 ≥3a b − 16.

Показать доказательство

Напишем неравенство о средних для $a6$ , $b9$ и 64

a6+ b9+ 64 3√----- 2 3 ----3----≥ 64a6b9 =4a b

a6+ b9 +64 ----4----≥ 3a2b3

6 9 a-+-b-≥ 3a2b3− 16 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 80#106533Максимум баллов за задание: 7

Четыре положительных числа $a,b,c,d$ таковы, что $ab+ cd= ac+bd= 4$ и $ad+bc= 5.$ Найдите наименьшее возможное значение суммы $a+ b+ c+d.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В этой задаче нам надо как-то оценить сумму. Какое известное неравенство для оценки суммы чисел сразу приходит в голову?

Подсказка 2

Правильно, неравенство о средних! Среднее арифметическое чисел не меньше их среднего геометрического! Однако, если мы запишем неравенство о средних для чисел a, b, c, d, то в одной части получится искомая сумма, а в другой что-то непонятное. Давайте попробуем по-другому: у каких ещё чисел сумма будет равна a+b+c+d?

Подсказка 3

Например, у чисел (a+b) и (c+d). Запишите для них неравенство о средних и не забудьте применить равенства из условия!

Показать ответ и решение

Используя неравенство о средних, получим

∘ ---------- √------------- √---- a+ b+ c+d ≥2 (a+ b)(c+ d)=2 ac+ ad+ bc+ bd= 2 4+ 5= 6.

Равенство достигается при $a= d= 1,b= c=2$ . Все условия задачи выполняются.

Ответ: 6

Предыдущая подтема

Следующая подтема