Тема АЛГЕБРА

Классические неравенства

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Классические неравенства

Раскрытие и закрытие скобок

Правильная замена и преобразование выражений

Неравенство о средних

Оценки в классических неравенствах

Неравенство КБШ для наборов, КБШ для дробей (неравенство Седракяна)

Идеи метода Штурма

Транснеравенство

pqr-метод

Неравенства Мюрхеда и Шура

Метод отделяющей касательной

Неравенство Гёльдера

Неравенство Йенсена

Использование производной и экстремумов в классических неравенствах

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 121#91087Максимум баллов за задание: 7

Для положительных чисел $a,b,c$ докажите неравенство

(a+-b− c)2 (b+c−-a)2- (c+-a−-b)2- ab + bc + ca ≥3

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перед нами симметричное относительно a, b и c неравенство. Они часто решаются с помощью неравенства Мюрхеда и неравенства Шура. Попробуйте применить какое-нибудь из них.

Подсказка 2

Домножьте на знаменатели, раскройте скобки и примените неравенство Шура.

Показать доказательство

Домножим на $abc,$ раскроем скобки, после этого имеем:

T3,0,0(a,b,c)+ T1,1,1(a,b,c)≥ 2T2,1,0(a,b,c)

что очевидно по неравенству Шура.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 122#91088Максимум баллов за задание: 7

Неотрицательные числа $x,y,z$ таковы, что $x2+y2+ z2 = 3.$ Докажите неравенство

x+y +z ≥xy+ yz+ zx

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Условие задачи не однородное, поэтому применять классические неравенства и прочие приемы тяжело. Попробуйте сделать условие задачи однородным.

Подсказка 2

Сделаем замену x=a/k, y=b/k, z=c/k. Тогда условие станет однородным и симметричным относительно a, b и c. Что же делать с k?

Подсказка 3

Выразите k из условия через a, b и c. А далее примените неравенство Мюрхеда.

Показать доказательство

Сделаем замену

a b c x= λ ,y = λ,z = λ

Получим следующую задачу: положительные числа $a,b,c,λ$ таковы, что $2 2 2 2 a + b +c = 3λ,$ докажите, что $λ(a+ b+ c)≥ ab+ ac +bc.$

Выразим $λ,$ тогда нужно доказать следующее

∘ ---------- a2+-b2+-c2(a +b+ c)≥ab+ ac+bc 3

После возведения в квадрат получим

2 2 2 2 2 (a + b +c )(a+ b+ c) ≥ 3(ab+ ac+bc)

Раскроем скобки, домножим на $2$ и получим, что необходимо доказать следующее

T4,0,0(a,b,c)+ 2T2,2,0(a,b,c)+4T3,1,0(a,b,c)+ 2T2,1,1(a,b,c)≥ 3T2,2,0(a,b,c)+ 6T2,1,1(a,b,c)

Последнее очевидно из неравенства Мюрхеда.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 123#91089Максимум баллов за задание: 7

Для положительных чисел $a,b,c$ и $d$ докажите неравенство

∘-2---2--2---2 ∘ ---------------- a-+-b-+-c+-d-≥ 3 abc+bcd+cda+-dab- 4 4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перед нами симметричное относительно a, b, c и d неравенство. Они часто решаются с помощью неравенства Мюрхеда и неравенства Шура. Попробуйте применить какое-нибудь из них.

Подсказка 2

Да больно, но нужно возвести в шестую степень и преобразовать выражение. После этого примените неравенство Мюрхеда.

Показать доказательство

Возведем в шестую степень. Теперь достаточно доказать, что

2 2 2 2 3 2 (a + b+ c +d ) ≥ 4(abc+bcd+cda+ dab)

После раскрытия скобок останется неравенство:

T6,0,0,0(a,b,c,d) 3T4,2,0,0(a,b,c,d) 2T2,2,2,0(a,b,c,d) 6 + 2 +T2,2,2,0(a,b,c,d) ≥ 3 + 2T2,2,1,1(a,b,c,d)

Оно верно, так как суммы коэффициентов перед $T$ одинаковые, а все наборы слева мажорируют наборы справа.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 124#91090Максимум баллов за задание: 7

Сумма положительных чисел $a,b,c$ равна $1.$ Докажите, что

--1-- -1--- --1-- --7--- a+ bc + b+ca + c+ ab ≥ 1+ abc

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Условие задачи неоднородное, поэтому применять классические неравенства и прочие приемы тяжело. Попробуйте сделать условие задачи однородным.

Подсказка 2

Оказывается, что a+bc=(a+b)(a+c). Тогда левая часть неравенства равна 2/((a+b)(a+c)(b+c)). Неравенство до сих пор не однородное. Сделайте его таким.

Подсказка 3

Сделайте неравенство однородным, используя (a+b+c)^3=1. Далее домножьте на знаменатели и воспользуйтесь неравенством Мюрхеда(или транснеравенством для нужных наборов).

Показать доказательство

Заметим, что $a+bc= a(a+b+ c)+bc= (a+b)(a +c).$ Аналогично для двух других знаменателей. Тогда сумма дробей в левой части равна

1 1 1 2 (a+-b)(a+-c) +(b+-c)(b+a) + (c+-a)(c+b) = (a+-b)(b+c)(c+-a)

т.е. исходное неравенство равносильно неравенству $2(a+b+ c)3 +2abc≥7(a+ b)(b+c)(c+ a).$ Если в нём раскрыть скобки и привести подобные, то останется неравенство $2a3+ 2b3+2c3 ≥ a2b+ ab2+b2c+ bc2+ c2a+ ca2,$ которое верно по неравенству Мюрхеда для наборов $(3,0,0)$ и $(2,1,0).$ Или если словами попроще, то верно по транснеравенству для наборов $a,a,b,b,c,c$ и $a2,a2,b2,b2,c2,c2.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 125#91091Максимум баллов за задание: 7

Положительные числа $a,b,c$ таковы, что $ab+ bc +ca= a+ b+c.$ Докажите, что

a +b+ c+ 1≥4abc

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Условие задачи неоднородное, поэтому применять классические неравенства и прочие приемы тяжело. Попробуйте сделать условие задачи однородным.

Подсказка 2

Сделаем замену a=a'/k, b=b'/k, c=c'/k. Тогда условие станет однородным и симметричным относительно a', b', c'. Что же делать с k?

Подсказка 3

Выразите k из условия через a', b' и c'. Далее примените неравенство Мюрхеда.

Показать доказательство

Сделаем замену

a′ b′ c′- a= λ ,b = λ,c= λ

Штрихи далее опустим. Получим следующую задачу: положительные числа $a,b,c,λ$ таковы, что $λ(a+ b+c)= ab+bc+ ca,$ докажите, что $2 3 λ (a+ b+c)+λ ≥4abc.$ Подставив $λ$ поймем, что нужно доказать следующее

(ab+bc+ ca)2(a+ b+ c)2+ (ab+ bc+ca)3 ≥4abc(a+ b+ c)3

Раскроем скобки, приведем подобные и получим

3 1 T4,2,0(a,b,c)+ 2T3,3,0(a,b,c)≥ T4,1,1(a,b,c)+ T3,2,1(a,b,c)+ 2T2,2,2(a,b,c)

что очевидно из неравенства Мюрхеда.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 126#91092Максимум баллов за задание: 7

Сумма положительных чисел $x,y,z$ равна $1.$ Для произвольного натурального $k$ докажите неравенство

xk+2 yk+2 zk+2 1 xk+1+yk-+zk + yk+1+-zk+xk + zk+1-+xk+-yk ≥ 7

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подсказка 2

В условии сказано, что x+y+z=1, значит, вы умеете менять степень любого слагаемого на 1. Сделайте все слагаемые в знаменателях степени k+2. Что делать дальше?

Подсказка 3

Теперь условие задачи стало однородным. Домножьте на все знаменатели, сгруппируйте слагаемые на симметрические суммы. После чего напишите много Мюрхедов.

Показать доказательство

Покажем решение без особой технической реализации. Сделаем неравенство однородным. Для этого в знаменателе первой дроби $xk+2$ домножим на $x+ y+ z,$ а $k k y +z$ домножим на $2 (x+ y+ z).$ Аналогично проделаем с остальными слагаемыми. Теперь неравенство однородное. Домножим на все знаменатели, после чего нужно сгруппировать слагаемые на симметрические суммы. Это удастся сделать, так как изначальное неравенство симметричное относительно $x,y,z.$ После этого нужно применить неравенство Мюрхеда много раз.

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 127#91161Максимум баллов за задание: 7

Сумма положительных чисел $a,b$ и $c$ равна $3.$ Докажите неравенство

-1-- -1-- -1-- 3 a+ 1 + b+ 1 + c+ 1 ≥ 2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам известно, что сумма чисел a, b, c равна 3. К сожалению, на данный момент каждое из данных чисел фигурирует в знаменателе соответствующего слагаемого, что мешает воспользоваться условием на сумму. Как это можно исправить?

Подсказка 2

Мы хотим воспользоваться известным неравенством, где сумма дробей оценивается снизу некоторым выражением, в котором фигурирует сумма знаменателей каждого из слагаемых. Какое неравенство подходит под это описание?

Подсказка 3

Неравенство между средним арифметическим и средним гармоническим! По нему известно, что число полученное в результате деления 3 на сумму данных в неравенстве дробей не превосходит (a + 1 + b + 1 + c + 1) / 3 = 6. Завершите доказательство, используя данное неравенство.

Показать доказательство

Запишем неравенство между средним арифметическим и средним гармоническим чисел $a+ 1,b+ 1,c+ 1.$ Получим

------3------ a+-1+b+-1+-c+-1 a1+1 + b+11-+ 1c+1-≤ 3

Используя условие $a+ b+ c= 3$ получаем, что в правой части неравенства дробь с числителем $6.$ Из этого следует необходимое.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 128#91162Максимум баллов за задание: 7

Для положительных чисел $a,b,c$ докажите неравенство:

2 2 2 2 2 2 22 2 (a b+ bc+ ca)(ab + bc + ca)≥ 9ab c

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас есть суммы в скобках, а в результате мы хотим получить произведение. Какое неравенство помогает решить такую задачу?

Подсказка 2

Конечно, неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим! Давайте попробуем его применить отдельно к скобкам. Что получится?

Показать доказательство

По неравенству между среднем арифметическим и геометрическим для троек чисел $a2b,b2c,c2a$ и $ab2,bc2,ca2$ каждая из скобок больше либо равна $3abc,$ из чего следует необходимое.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 129#91163Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что для любых положительных чисел $x,y$ и $z$ выполнено неравенство

x3+y3- y3-+z3- z3+-x3 x2+y2 + y2 +z2 + z2+ x2 ≥ x+ y+ z

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хочется сделать так, чтобы числитель и знаменатель сократились, но кубы и квадраты плохо сочетаются. А что можно сделать с кубами, чтобы в числителе появились квадраты?

Показать доказательство

Известно, что

3 3 2 2 x + y = (x+ y)(x − xy+ y)

По неравенству о средних $x2+ y2 ≥ 2xy,$ значит

3 3 ( x2+y2) x +y ≥ (x+ y)⋅ 2

Таким образом первая дробь из условия больше либо равна $x+ y -2--.$ Сложив эту и две аналогичные оценки двух других дробей, получим необходимое.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 130#91164Максимум баллов за задание: 7

Для положительных чисел $a,b,c$ докажите неравенство

a b c 1(∘ b- ∘ c- ∘ a) a+-b + b+-c + c+a-≥ 3− 2 a + b + c

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сначала получим эту "тройку", поскольку она кажется немного лишней. Для этого просто выделим целые части в дробях слева! Остается доказать, что разность дробей, получившихся в результате выделения целых частей, больше, чем отрицательное слагаемое справа. Как это можно сделать?

Показать доказательство

Левую часть перепишем в виде

--b- --c- -a-- 1 −a +b +1− b+ c + 1− c+a

Тогда осталось доказать, что

(∘ -- ∘ -- ∘--) 1 b+ c+ a ≥ --b-+ --c-+ -a-- 2 a b c a+ b b+ c c+ a

Оценив знаменатели дробей в правой части по неравенству о средних, получаем искомое (ведь знаменатели при оценке не увеличиваются, соответственно сами дроби не уменьшаются). Так для первой дроби:

b b 1∘-b a-+b ≤2√ab-= 2 a

Аналогично с остальными.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 131#91165Максимум баллов за задание: 7

Для положительных чисел $a,b,c$ и $d$ докажите неравенство

( a b) ( b c) (c d) (d a) (a+c)(b+-d) b + a + c + b + d + c + a + d ≥ 2 √abcd-

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем сложить дроби с одинаковыми знаменателями. Тогда у нас появятся дроби с одинаковыми числителями! Можно ли оценить выражение, если сложить и такие дроби?

Показать доказательство

Перегруппируем слагаемые в левой части и сложим те, что с одинаковыми знаменателями, теперь доказать требуется:

a-+c a-+c b+-d b+-d (a+-c)(b-+d) b + d + a + c ≥ 2 √abcd-

Итак, левая часть переписывается как

(a +c)(1 + 1)+(b+ d)(1+ 1)= (a+-c)(b+d) + (a+-c)(b+d) b d a c bd ac

Применив неравенство о средних для двух получившихся дробей получаем необходимое.

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 132#91166Максимум баллов за задание: 7

Положительные числа $a,b,c$ таковы, что $a+ b+ c= 3.$ Докажите неравенство

--a3--- --b3--- --c3--- b(2c+ a) + c(2a+ b) + a(2b+ c) ≥1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Прибавим к обеим частям неравенства 2. Тогда достаточно доказать, что левая часть не меньше a + b + c = 3. Чтобы доказать это, надо как-то переписать новое слагаемое 2. Для этого зададимся целью сократить знаменатели наших дробей неравенством о средних. Как можно тогда переписать нашу двоечку?

Подсказка 2

Теперь мы хотим, чтобы в числителях появились выражения из знаменателей. И еще у нас есть условие a + b + c = 3. Тогда 2 = (a/3 + (2b + c)/9) + (b/3 + (2c + a)/9) + (c/3 + (2a + b)/9). Как теперь можно доказать, что левая часть не меньше, чем a + b + c?

Подсказка 3

Конечно! Мы преобразовывали 2 для того, чтобы сократить знаменатели. Тогда перегруппируем наши дроби и применим неравенство о средних для троек!

Показать доказательство

Первое решение.

Добавим к первой дроби $b 2c+a- 3 + 9 ,$ ко второй — $c 2a+b- 3 + 9 ,$ к третей — $a 2b+c- 3 + 9 .$ Таким образом мы к левой части добавили $2,$ то есть доказать теперь требуется

a3 b 2c+ a b3 c 2a+ b c3 a 2b+c b(2c+-a) + 3 +-9--+ c(2a+-b) + 3 +-9--+ a(2b+-c)-+3 + -9---≥3

Тогда для сумм троек слагаемых по неравенству между средним арифметическим и геометрическим каждая больше соответсвенной переменной:

3 --a----+ b+ 2c+a-≥a b(2c+ a) 3 9

Тогда вся сумма больше либо равна

a+ b+c =3

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

В силу неравенства Гельдера имеем

( ) a3-+ b3-+ c3- (x +y+ z)(1 +1+ 1)≥ (a+ b+ c)3 x y z

Тогда имеем

a3 b3 c3 (a+-b+-c)3 x + y + z ≥ 3(x+ y+z)

В силу полученного неравентсва

3 3 3 3 --a----+ --b----+ --c----≥--(a+-b+-c)-- b(2c+ a) c(2a+ b) a(2b+c) 9(ab+ac+ bc)

Тогда достаточно показать, что

(a+ b+c)3 ≥ 9(ab+ ac+ bc) ⇔ (a+ b+ c)3 ≥ 3(a +b+ c)(ab+ac+ bc)⇔ a3 +b3+ c3 ≥3abc,

что верно по неравенству о средних.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 133#91240Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что для любых вещественных $x$ , $y$ , $z$ и положительных чисел $a$ , $b$ и $c$ имеют место неравенства

(a) $x2+ y2+ z2 ≥xy+ yz+ zx$ ;

(b) $(ab+ bc+ ca)2 ≥ 3abc(a+ b+c)$ ;

Показать доказательство

(a)

Используя неравенство о средних, знаем:

1 1 2x2+ 2y2 ≥ xy

1 2 1 2 2x + 2z ≥ xz

1y2+ 1z2 ≥ yz 2 2

Сложим все три неравенства и получим искомое: $2 2 2 x +y + z ≥xy +xz+ yx$ .

(b)

Раскроем скобки, приведём подобные. Тогда исходное неравенство выглядит, как $22 22 22 2 2 2 ab + bc + a c≥ a bc +b ac+c ab$ .

Сделаем замену $x= ab,y = bc,z =ac$ . Тогда мы получили нерввенство $x2+ y2+z2 ≥xz+ xy+ yz$ , которе уже доказали в пункте $(a).$

(c)

Так как переменные $a,b и c$ положительные, то домножим обе части неравенство на $abc$ , отметим, что этот переход равносильный. Тогда мы получили неравенство $a2b2+ a2c2+ b2c2 ≥ a2bc+ b2ac+ c2ab$ из пункта $(b)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 134#91241Максимум баллов за задание: 7

Пусть $a$ , $b$ и $c$ — вещественные числа из отрезка $[0,1]$ . Докажите, что

3 3 3 2 2 2 2(a + b+ c)− (ab+ b c+c a)≤3.

Показать доказательство

Перенесём слагаемые из левой части в правую:

3 3 3 2 2 2 2(a +b + c)≤ a b+b c+ ca+ 3

Сгруппируем слагаемые так, чтобы доказать 3 отдельных неравенства:

3 3 3 3 3 3 2 2 2 (a + b)+ (b + c)+ (c +a )≤(a b+1)+ (b c+ 1)+ (ca+ 1)

Докажем, что:

3 3 2 a +b ≤ (ab+ 1)

Для доказательства воспользуемся неравенством $x+ y ≤ 1+xy$ при $0≤ x,y ≤1.$ Тогда, подставив значения $x= a3,y =b3,$ получим:

a3+ b3 ≤ a3b3 +1

Заметим, что $a3b3 ≤a2b,$ так как $a3 ≤ a2,b3 ≤b$ при $0≤ a,b≤1.$ Тогда:

a3+ b3 ≤ a3b3+ 1≤ a2b+ 1

Значит:

a3+ b3 ≤ a2b+ 1

Тогда полученное неравенство справедливо и для $b$ и $c,$ и для $c$ и $a:$

3 3 2 b + c ≤ bc+ 1

3 3 2 c + a ≤ ca+ 1

Сложим полученные неравенства:

3 3 3 3 3 3 2 2 2 (a + b)+ (b + c)+ (c +a )≤(a b+1)+ (b c+ 1)+ (ca+ 1)

Что и требовалось доказать.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 135#91246Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что при любых положительных $a$ и $b$ имеет место неравенство

a3 b3 2 2 b + a ≥ a +b .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Числа а и b положительные, поэтому можно смело домножить обе части неравенства на общий знаменатель a*b

Подсказка 2

Полученное выражение можно довольно удобно разложить на множители.

Подсказка 3

Как разложить разность кубов в одной из скобок? Оценить каждую из получившихся в результате разложения скобок и сделайте вывод!

Показать доказательство

Так как числа положительные, домножим обе части неравенства на $ab:$

4 4 3 3 a + b ≥ ab+ ab;

( 4 3) (4 3) a − ab + b− ab ≥0;

a3(a− b)− b3(a− b)≥ 0;

(a− b)(a3− b3)≥ 0;

Если $a≥ b,$ то обе скобки больше либо равны 0, то есть их произведение неотрицательно и неравенство выполняется. Аналогично, если $b> a,$ обе скобки меньше 0, их произведение положительно и неравенство так же выполняется. Равенство достигается при $a =b.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 136#91440Максимум баллов за задание: 7

Для положительных чисел $a,b,c$ и $d$ докажите неравенство

--a---- ---b--- ---c--- ---d--- a+ b+c +b+ c+ d + c+ d+ a + d+ a+b > 1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим, что если сложить все числители, то получится a + b + c + d. Как можно огрубить знаменатели, чтобы дроби сложились и все сократилось?

Показать доказательство

Увеличим каждый из знаменателей до $a+b +c+ d,$ это именно увеличения, ведь все числа положительны. Получаем, что левая часть больше суммы дробей с одинаковым числителем, равной $1.$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 137#91441Максимум баллов за задание: 7

Даны положительные числа $a≤ b≤ c≤d$ . Докажите неравенство

ab+-b- bc+-c cd-+d- a+ b+c ≤ b+ 1 + c +1 + d+ 1 ≤b+ c+ d.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Рассмотрим первую дробь. Если в числителе за скобки вынести b, то останется a + 1. А хотелось бы, чтобы осталось b + 1, и все сократилось. Можно ли как-то этого добиться?

Подсказка 2

Можно! С условием a ≤ b можно огрубить с учетом ab + a ≤ ab + b. Тогда дробь сократится! А можно ли в остальных дробях действовать аналогично?

Показать доказательство

Заметим, что

ab+-b bc+c- cd+-d ab+-a bc+-b cd-+c- b+1 + c+ 1 + d+ 1 ≥ b+1 + c +1 + d+ 1 ≥a+ b+ c.

Первый знак неравенства выполняется в силу неравенств $a≤ b≤ c≤ d$ и положительности чисел.

C другой стороны,

abb++1b+ bcc++c1-+ cdd++-d1 ≤ aba++-b1 + bbc++c1-+ cdc++-d1-≤b+ c+ d.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 138#91442Максимум баллов за задание: 7

Положительные числа $x,y,z$ не превосходят $1.$ Докажите неравенство

4 4 4 5 5 5 1+ xy +y z+ zx ≥x + y + z

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем применить метод огрубления. Для этого придется в начале упорядочить числа. Однако, если перебирать все случаи, то их будет целых 6. Можно ли как-нибудь упростить перебор?

Показать доказательство

Заметим, что неравенство достаточно доказать для двух случаев: $x≥ y ≥ z$ и $x≥ z ≥y,$ остальные симметричны этим относительно циклического сдвига переменных.

Итак в первом случае, хотим доказать, что

4 4 4 1≥ x (x − y)+ y(y− z)+z (z − x)

Заметим, что в правой части последнее слагаемое неположительно, а второе увеличивается при замене $y4$ на $x4,$ таким образом она не более

4 4 4 4 4 x(x− y)+y (y− z)≤ x (x − y)+ x(y− z)= x(x− z)

полученное выражение меньше $x5 <1.$

Во втором случае в правой части неравенства

4 4 4 1≥ x (x − y)+ y(y− z)+z (z − x)

положительно лишь первое слагаемое, а оно меньше $x5 < 1.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 139#91443Максимум баллов за задание: 7

Произведение положительных чисел $x,y$ и $z$ равно $1.$ Докажите неравенство

-x2y- -y2z-- -z2x-- y3+ 2 + z3+2 + x3+2 ≥1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как и во всех подобных неравенствах, можно попробовать сократить хоть немного числители и знаменатели. Но в знаменателях нам сокращению мешает число 2. А можно ли применить условие, чтобы вместо одного только число 2 появились еще и переменные?

Показать доказательство

Перепишем левую часть как

--x2y---- --y2z-- ---z2x--- --x2--- --y2--- ---z2--- y3 +2xyz + z3+ 2xyz +x3+ 2xyz = y2+ 2xz + z2 +2xy + x2+ 2yz

По неравенству о средних удвоенные произведения переменных в знаменателях меньше суммы их квадратов, а значит, при замене знаменателей на $x2+ y2+z2$ сумма дробей не увеличится (знаменатели не уменьшатся, числа положительны). Получили необходимое.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 140#91444Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что для любых чисел $x,y,z$ из отрезка $[0,1]$ выполнено неравенство

----x---- ---y----- ----z---- 1 7+ y3+ z3 + 7+ z3+ x3 + 7+ x3+ y3 ≤ 3

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем для начала сделать одинаковыми знаменатели. Какое условие можно для этого использовать?

Показать доказательство

Поскольку $1$ не меньше любой из переменных, заменив в каждом из знаменателей единицу на куб недостающей переменной, знаменатели не увеличатся, а, значит, дроби не уменьшатся, тогда достаточно доказать следкющее:

x+y +z 1 6+-x3+y3+-z3 ≤ 3

По неравенству между средним арифметическим и геометрическим выходит

x3+2 =x3+ 1+ 1≥ 3x

аналогично для каждой переменной, получаем необходимое.

Следующая подтема