Раскрытие и закрытие скобок

Рассмотрим отношение чисел

Применим известное неравенство:

Тогда

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание.

Известное неравенство принималось на олимпиаде без док-ва, но любые корректные попытки его обоснования поощрялись. Покажем, как его можно доказать с помощью формулы бинома Ньютона:

Видно, что все скобки вида меньше 1, но при этом больше 0. Значит, если заменим их на 1, то выражение от этого увеличиться.

Последнее неравенство верно, ведь мы просто заменили в числителях все числа, которые больше 2, на 2, тем самым уменьшили знаменатели, следовательно, увеличили значение выражения.

В конце мы воспользовались формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.