Тема ПЛАНИМЕТРИЯ

Счётная планиметрия → .05 Теорема косинусов и теорема Пифагора

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела планиметрия

Разделы подтемы Счётная планиметрия

Отрезки касательных и секущих

Четырёхугольники в окружности, счёт отрезков и углов, теорема Птолемея, Кэзи

Подобные треугольники и теорема Фалеса

Теоремы Менелая и Чевы, Ван-Обеля и Жергонна

Теорема косинусов и теорема Пифагора

Счёт в синусах и просто теорема синусов

Счёт площадей, рельсы Евклида, теорема о линолеуме

Геометрия масс

Двойные отношения и гармонические четвёрки

Комплексные числа для планиметрии

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#51011Максимум баллов за задание: 7

В треугольнике $ABC$ медиана $BM = 2,$ угол $ABM$ равен $arctg 2, 3$ угол $CBM$ равен $arctg 1. 5$ Найти стороны $AB, BC$ и биссектрису $BE$ треугольника $ABC.$

Источники: Физтех-2008, 11.4 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам даны арктангенсы, но ведь с ними крайне неудобно работать. Давайте сразу найдем синусы и косинусы заданных углов. При этом, если смотреть на треугольники, на которые разбивается ABC медианой, то можно понять, что у нас много равных элементов в них. Синусы смежных углов, общая сторона и равные стороны. На что это может намекать?

Подсказка 2

На теорему синусов, для двух этих треугольников, ведь из теоремы синусов, правильно поперенося сомножитель, можно получить AB/BC = sin(ABM)/sin(CBM). А что это дает, если знать, что сумма площадей двух наших треугольников равна площади ABC?

Подсказка 3

Верно, если мы распишем площади как произведение сторон на синус угла между ними и поделим на 2 (не зря же мы эти соотношения с синусами находили), то выразим AB через BM и углы. А значит, нашли AB и BC. Осталось найти длину биссектрисы. Как это сделать зная весь треугольник? Как угодно. Однако, изысканный читатель скажет что…

Подсказка 4

Что есть формула биссектрисы! Мы же знаем все стороны треугольника, а значит, и отношения, в котором делит сторону биссектриса. Значит, и отрезки на которые биссектриса эту сторону разбивает. Однако, если вы не знаете эту формулу, то можно просто найти через теорему синусов угол A, а также найти через теорему синусов, но уже для треугольника ABE. А отрезок AE нетрудно найти из основного свойства биссектрисы. Остаётся посчитать :)

Показать ответ и решение

$PIC$

Обозначим $∠ABM =α,$ $∠CBM = β.$ По теореме синусов из треугольников $ABM$ и $CBM$ находим $--AB--- -AM sin∠AMB =sinα$ и $---BC-- MC- sin∠CMB = sinβ.$

Так как $∠AMB +∠CMB = π$ и $AM = MC,$ то

AB sinβ sin∠AMB =sin∠CMB и BC-= sinα-

В силу $S△ABC = S△ABM + S△CBM$ , имеем

AB ⋅BC ⋅sin(α+ β)= AB ⋅BM ⋅sinα+ BC ⋅BM ⋅sinβ

По доказанному $BC sinβ =AB sinα$ , откуда

( sinα) AB2 sinβ- sin(α +β)= 2AB ⋅BM ⋅sinα,

т. e. $AB = 2sBinM(αs+inββ) .$ Тогда $BC = 2BsiMn(αsi+nβα) .$

В нашем случае $α= arctg 23,β = arctg 15.$ Тогда $sin α= √213,cosα= √313,sinβ = 1√26,cosβ = √526$ , $sin(α+ β)= 1130√2 + 133√2 = √12.$ Следовательно, $AB = √4-,BC = 8√√2. 13 13$

Длину биссектрисы можно найти из применения теорем косинусов для $△ABE$ и $△BCE$ , а затем написав отношение полученных выражений

( ) √ - ∘ 1+-√1- 8∘2√2(1+-√2) BE = 2⋅AB-⋅BC-cos α-+β- = √-2⋅4⋅8√2- ----2-= -√------√---. AB + BC 2 13(4+ 8 2) 2 13(1+ 2 2)

Ответ:

$AB = √4-,BC = 8√√2,BE = 8√√2√2(1+√√2) 13 13 13(1+2 2)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#78849Максимум баллов за задание: 7

Биссектриса $AD$ и высота $BE$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$ . Окружность радиуса $R$ с центром в точке $O$ проходит через вершину $A$ , середину стороны $AC$ и пересекает сторону $AB$ в точке $K$ такой, что $AK :KB =1 :3$ . Найти длину стороны $BC$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Исходя из условия, сразу хочется отметить пересечение луча AD с окружностью за точку F. Для удобства обозначим отрезки на AC с помощью переменной. Как посчитать отрезки на AB?

Подсказка 2

Пусть M — середина стороны AC. AK=AM, значит, BK = 6a, AK = 2a, AE = EM = a, MC = 2a. На что нам намекает равенство углов BAO и OAE, как использовать удвоенный угол и перпендикулярность?

Подсказка 3

Посчитаем косинус BAE! Тогда мы можем посчитать и косинус угла, в два раза меньшего BAE. Выходит, теперь у нас есть косинус угла, противоположного нужной стороне. А как можно найти саму сторону?

Подсказка 4

Найдем a благодаря косинусу и прямоугольному треугольнику! Теперь мы знаем 2 стороны и угол между ними - осталось лишь найти BC

Показать ответ и решение

Пусть $M$ — середина стороны $AC,$ $F$ –– пересечение продолжения радиуса $AO$ с окружностью. Тогда $AF$ –– диаметр окружности. Поскольку $E$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на хорду $AM,$ точка $E$ –– середина $AM.$ Обозначим $AE =a.$ Тогда $EM =AE = a, AM = 2a, AC = 2AM = 4a.$

Точки $K$ и $M$ лежат на окружности с диаметром $AF,$ поэтому $∘ ∠AKF = ∠AMF =90 .$ Из равенства прямоугольных треугольников $AKF$ и $AMF$ (по гипотенузе и острому углу) следует, что $AK =AM = 2a.$ Тогда $BK = 3AK = 6a, AB =8a.$ Обозначим $∠BAD =∠CAD =α.$

$PIC$

Из прямоугольного треугольника $ABE$ находим, что

cos2α = cos∠BAE = AE- =-a = 1 AB 8a 8

Тогда

∘ -------- ∘ 1+-1- cosα= 1+-cos2α-= ---8 = 3 2 2 4

Из прямоугольного треугольника $AEO$ находим, что

a =AE = AO cosα = 3R 4

По теореме косинусов

∘----------------------- BC = AB2 + AC2− 2AB ⋅AC ⋅cos2α =

∘ -------------------- √- √- = 64a2+ 16a2 − 2⋅8a⋅4a⋅ 1 =6a 2 =6 2 ⋅ 3R-= 9√R 8 4 2

Ответ:

$√9R- 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#104774Максимум баллов за задание: 7

Внутри параллелограмма $KLMN$ взята точка $P$ так, что треугольник $KPN$ равносторонний. Известно, что расстояния от точки $P$ до прямых $KL,$ $LM$ и $MN$ равны соответственно $10,$ $3$ и $6.$ Найти периметр параллелограмма.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте обозначим за a угол MNP, а сторону равностороннего треугольника за x. Какие углы и отрезки можно посчитать через них?

Подсказка 2

Мы можем посчитать расстояния от точки P до KL и MN через x и угол a! Тогда у нас получится тригонометрическое уравнение, которое нужно решить.

Подсказка 3

6sin(60-a) = 10sin(a)! Чему равен a? Как выразить через него x?

Подсказка 4

Отлично, теперь мы знаем, чему равен x! Нам известны обе высоты параллелограмма. Какую характеристику у ABCD можно через них выразить?

Подсказка 5

Попробуем найти площадь ABCD двумя способами! Тогда мы сможем отыскать его стороны, а затем найти и периметр ;)

Показать ответ и решение

Пусть $PH ,P H ,P H ,PH 1 2 3 4$ — расстояния от точки $P$ до прямых $KL, LM,MN$ и $NK$ соответственно, $∠MNP = α$ и сторона $KP N = x.$

$PIC$

Тогда, так как $△KP N$ — равносторонний, а $KLMN$ — параллелограмм, то $∘ ∘ ∘ ∠LKP =180 − α − 60 ⋅2= 60 − α.$

Из прямоугольных $△KH1P$ и $△PH3N$ имеем:

( H P ||{ sin(60∘− α)= -1x-- || H3P ( sinα= --x-

То есть:

6sin(60∘− α)= 10 sinα.

По формуле синуса разности:

sin(60∘− α)=sin60∘cosα− sinαcos60∘

Подставим в изначальное и получим:

√- 13sin α= 3 3cosα

√ - tgα = 3-3 13

Тогда выразим $cosα$ и $sinα:$

2 ---1--- 169 cos α= 1+ tg α2 = 196

∘ -------- √- sinα= 1− cosα2 = 3-3 14

Можем теперь выразить $x :$

√- x= -6--= 28-3 sinα 3

Тогда расстояние до $KN$ из равностороннего $△KP N :$

√- PH4 = x-3-=14 2

Тогда $H2H4 = 17,$ $H1H3 = 16.$

Из того, что $KLMN$ — параллелограмм, то по формуле площади:

H H ⋅KN =H H ⋅MN 2 4 1 3

Так как $√- KN = x = 28-3 : 3$

- 119√-3 MN = 12

Тогда можем посчитать периметр:

77√3 P =2 ⋅(MN + KN )= --2-

Ответ:

$77√3 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 44#104749Максимум баллов за задание: 7

В прямоугольном треугольнике $ABC$ из точки $E,$ расположенной в середине катета $BC,$ опущен перпендикуляр $EL$ на гипотенузу $AB.$ Найти углы треугольника $ABC,$ если $√-- AE = 10 EL$ и $BC > AC.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу обозначим EL за x, EB за y. Можно ли посчитать другие отрезки? Обратите внимание на то, что на рисунке немало прямоугольных треугольников ;)

Подсказка 2

Воспользуемся теоремой Пифагора для треугольников ELB, ACE, ALE. В каком треугольнике мы знаем все стороны?)

Подсказка 3

Мы можем выразить через x и y все стороны треугольника ABC! Теперь мы можем выразить y через x ;)

Подсказка 4

Обратите внимание на то, что у нас два способа выразить y через x, не противоречит ли кто условию? А как будем считать углы?

Подсказка 5

Углы будем считать при помощи тригонометрических функций!

Показать ответ и решение

Пусть $EL = x,CE = EB = y.$ Тогда $AE =√10x.$

$PIC$

По теореме Пифагора для треугольника $ELB :$

LB2 = BE2 − EL2 = y2− x2

∘ -2--2- LB = y − x

По теореме Пифагора для треугольника $ALE :$

2 2 2 2 2 2 AL = AE − EL = 10x − x = 9x

AL = 3x

По теореме Пифагора для треугольника $ACE :$

AC2 =AE2 − CE2 = 10x2− y2

Наконец, по теореме Пифагора для треугольника $ABC :$

AC2 + BC2 = AB2 = (AL + BL)2 = AL2+ BL2+ 2AL⋅BL

∘------ 10x2− y2+4y2 = 9x2+ y2 − x2+ 6x y2− x2

2 2 ∘-2---2 x + y = 3x y − x

4 2 2 4 2(2 2) 22 4 x +2x y +y = 9x y − x = 9xy − 9x

10x4− 7x2y2+ y4 = 0

Рассмотрим последнее выражение как квадратное уравнение относительно $y2$ и найдём его корни. Получается, что:

(y2− 2x2)(y2− 5x2)= 0

Если $(y2− 2x2)= 0,$ то $y = √2x,$ откуда $sinLBE = √12,$ то есть треугольники $BLE$ и $ABC$ — равнобедренные, что противоречит условию о том, что $BC > AC.$ Остаётся верным, что $(y2− 5x2)= 0,$ то есть $y = √5x.$ Заметим, что при этом $BL = ∘y2−-x2 = √5x2−-x2 = 2x,$ откуда $tgLBE = 12.$ Итак, $∠ABC = arctg 12,∠CAB = arctg 2.$

Ответ:

$arctg2;arcctg 2;90∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 45#78848Максимум баллов за задание: 7

Точки $M$ и $N$ являются серединами боковых сторон $AC$ и $CB$ равнобедренного треугольника $ABC$ . Точка $L$ расположена на медиане $BM$ так, что $BL :BM = 4:9$ . Окружность с центром в точке $L$ касается прямой $MN$ и пересекает прямую $AB$ в точках $Q$ и $T$ . Найти периметр треугольника $MNC$ , если $QT = 2$ , $AB = 8.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подобие каких треугольников несложно заметить на рисунке? Как использовать отношение, данное в условии?

Подсказка 2

Пусть точка P - точка касания окружности с прямой MN, а F - проекция центра L окружности на прямую AB. Рассмотрите подобие треугольников MLP и BLF. Как теперь найти радиус окружности?

Подсказка 3

Обратите внимание, что теперь мы знаем всё о треугольнике QFL.

Подсказка 4

Для нахождения требуемого хочется найти сторону CM. Что можно найти вместо нее? Что для этого нужно?

Подсказка 5

Найдем AM! Но нужен удобный треугольник, в котором мы может найти все остальные стороны.

Подсказка 6

Опустите перпендикуляр из M на АВ. Чему на картинке он равен? А как найти AH, используя данные из условия?

Показать ответ и решение

Пусть точка $P$ — точка касания окружности с прямой $MN,$ а $F$ — проекция центра $L$ окружности на прямую $AB.$ Тогда точки $P, L, F$ лежат на одной прямой, а $F$ — середина $QT.$ Тогда $FQ =F T = 1.$