Счётная планиметрия → .05 Теорема косинусов и теорема Пифагора

а) Так как по условию

то по обратной теореме о касательной и секущей из

получаем, что — касательная к окружности описанной около . Тогда (угол между касательной и хордой). При этом Значит, — касательная к окружности, описанной около .

б) Пусть сторона ромба равна Рассмотрим Теперь рассмотрим По теореме Пифагора в

По области значений косинуса подходит только

Найдем стороны треугольника Треугольники и подобны, откуда:

Подставим и получаем квадратное уравнение относительно

Треугольники и подобны:

Аналогично подставим и решим уравнение:

Тогда из теоремы Пифагора для прямоугольных треугольников найдем катеты:

Найдем отношение Проведем через прямую параллельную обозначим точки пересечения продолжения сторон и данной прямой Пусть — центр окружности. Тогда:

Треугольник равнобедренный, Аналогично, треугольник равнобедренный, По свойству касательных поэтому Следовательно, — медиана треугольника Треугольники и подобны, — медиана треугольника Таким образом:

Найдем длину Медиана треугольника по формуле длины медианы:

Найдем длину

По теореме косинусов:

Тогда:

Пусть вышки имеют одинаковый радиус действия Радиус основной окружности расстояние от центра большой окружности до хорды Введем точки, как показано на чертеже: — центр большой окружности, — центры маленьких окружностей, — точка касания маленьких окружностей, — точка касания окружности с хордой. — заданное расстояние от центра до хорды

Тогда из рисунка понимаем следующие вещи:

Запишем теорему Пифагора для и выразим меньший радиус:

Подсчитаем площадь части сегмента, которая не попадает в зону действия ретрансляторов
Пусть

Выразим нужные нам синусы и косинусы углов, а потом посчитаем нужную площадь как разность:

Подставим значения

Итого, подставив все значения, получаем конечный ответ:

Пусть радиус полива равен В точках и расположены поливалки, нора находится в Поменяем направление — пусть мышь выбегает из норы и стремится на сухую землю. Путь мыши может быть какой угодно формы, но, так или иначе, ей придётся покинуть область двойного полива — пусть это произойдёт в точке Тогда оптимальный путь до точки — это отрезок а оптимальный путь от до сухой земли — это где лежит на радиусе Значит, кандидаты на оптимальный путь — ломаные вида и определяются они одним параметром — положением точки

Мышь мокнет от каждой поливалки, поэтому нужно минимизировать сумму расстояний, пройденных под каждой поливалкой. Путь под поливалкой равен путь под поливалкой равен поэтому нужно найти минимально возможное значение

Опишем положение через угол где

Тогда:

По теореме косинусов:

Далее, а найдём как основание равнобедренного треугольника с боковыми сторонами и известным углом между ними:

Значит:

Нужно найти минимум функции которая характеризует степень намокания — берём производную:

Нулю может равняться только скобка (угол меняется в таких пределах, что в ноль не обращается). Решаем уравнение:

Если то

Значит, экстремум равен:

На всякий случай проверим, точно ли это точка минимума. Если бы мышь взяла курс ровно наверх, то приняла бы значение что больше, чем Если бы побежала направо — равнялось бы Так что мы действительно нашли минимум.

Длина пути при этом равна:

Пусть — большая боковая сторона трапеции — меньшее основание, — большая диагональ. Опустим перпендикуляр на большее основание

Поскольку то а так как то Значит,

Следовательно,

В треугольник вписана окружность с центром пусть ее радиус равен пересекается с в точке Центрами вписанных окружностей треугольников и будут и их радиусы — и

С другой стороны, если и — катеты, а — гипотенуза треугольника то

Тогда

Теперь

Тогда и или и Напротив меньшего угла лежит меньшая сторона, поэтому Маленькие треугольники подобны большому треугольнику, т.к. стороны параллельны. Расстояние между проведенными параллельными прямыми и соответствующими им сторонами равно диаметру большого круга. Поэтому

Площади меньших кругов равны

Вычислим освещенность:

а)Пусть точка — центр вписанной окружности, а точка — точка, в которой эта окружность касается стороны

Заметим, что как радиусы окружности, и по условию. С другой стороны, как отрезки касательных. Получается, Отсюда, четырёхугольник — ромб.

Так как касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то Итак, четырёхугольник — ромб, у которого один из углов равен то есть — квадрат, откуда и прямоугольный.

б) Пусть Так как отрезки касательных равны, то и Тогда Распишем теорему Пифагора для

Итак, Рассмотрим угол, лежащий между сторонами и в треугольнике Заметим, что его синус равен :

По формуле площади:

Обозначим Выразим через теорему косинусов для треугольников и и приравняем результаты:

Если тогда треугольник равнобедренный с углами при основании. По теореме синусов для треугольника

Отсюда получаем:

Запишем теорему косинусов для треугольника

Если то

Выразим через теорему косинусов для треугольников и приравняем результаты:

Так как

этот корень убираем из рассмотрения.

Если

то

Сравним полученный косинус с единицей:

Так как

Это невозможно, следовательно, единственным ответом к задаче является

Пусть — точка пересечения диагоналей.

Пары треугольников и и подобны, поскольку каждая пара имеет общую вершину и еще один равный по условию угол. Подобия влекут соответственно равенства

то есть

Складывая, имеем что в силу теоремы Пифагора влечет требуемое.

Пусть расстояние от точки до прямой равно Проведем через точку прямую, параллельную на этой прямой отметим точку находящуюся на расстоянии от прямой так, чтобы точки и были по разные стороны от прямой

Очевидно, что и Заметим, что диагонали четырехугольника перпендикулярны, обозначим точку пересечения диагоналей за введем обозначения:

По теореме Пифагора

Отсюда можно вычислить

a)

Заметим, равенство углов поэтому Посчитаем сумму двух углов где — это точка пересечения и

б) Четырёхугольник состоит из двух прямоугольных треугольников поэтому его площадь равна сумме площадей. Найдём катеты этих двух треугольников.

Из теоремы Пифагора для

Из формулы для высоты в прямоугольном треугольнике

Затем находим стороны и из прямоугольных треугольников и

Теперь нужно найти отрезки касательных:

Откуда

Осталось найти и рассмотрим — он прямоугольный и таким образом он равнобедренный. Стало быть так же получается, что Осталось только посчитать площадь

Заметим сразу, что , то есть треугольник — остроугольный. А значит, и . Поэтому точка лежит снаружи треугольника

Обозначим углы треугольника за По теореме косинусов найдем угол

Проведем . Тогда Поэтому, так как по условию,

Пусть — точка пересечения и . — биссектриса, медиана и высота в равнобедренном треугольнике , поэтому

Тогда из прямоугольного треугольника получаем

По теореме косинусов найдем угол

По формуле половинного угла

По основному тригонометрическому тождеству

И тогда

А из треугольника находим

В итоге

Пусть . Если обозначить через , а через , то с помощью свойства биссектрисы нетрудно вычислить .

Вычислим .

Теперь напишем теоремы косинусов для треугольников и :

Вычтем одно равенство из другого и получим:

Если , то имеем

Тогда либо , либо

Первый вариант неверен, потому что тогда не будет выполняться неравенство треугольника . При втором варианте не выполняется теорема косинусов для треугольника

Значит,

Решая это уравнение как квадратное относительно получаем . Подставляя это в первое уравнение, получаем

Этим значениям соответствуют

Пусть — заданный параллелограмм. Тогда

По теореме косинусов в

Пусть биссектрисы внешних углов при вершинах и параллелограмма пересекаются в точке биссектрисы внешних углов при вершинах и — в точке углов при вершинах и — в точке а углов при вершинах и — в точке Четырехугольник, образованный биссектрисами внешних углов параллелограмма, есть

Биссектрисы односторонних углов при параллельных прямых и секущей пересекаются под прямым углом, а значит, — прямоугольник

Пусть биссектриса внешнего угла пересекает продолжение стороны в точке Рассмотрим — равнобедренный (так как — биссектриса и накрест лежащие углы при параллельных прямых и и секущей равны), то и биссектриса является и медианой, то есть — середина

Аналогично, в равнобедренном и — середина Рассмотрим трапецию в которой MP является средней линией, а значит, она параллельна основаниям и равна:

По заданным числовым значениям задачи получаем: Итак, — прямоугольник, где диагонали и радиус описанной около прямоугольника окружности равен

Обозначим наш четырёхугольник Пусть — точка пересечения диагоналей. Докажем, что По теореме Пифагора

Запишем таким образом:

Аналогично Осталось заметить, что по теореме Пифагора Это даёт равенство и

Обозначим Тогда за счёт параллельности и получаем

Пусть — средняя линия треугольника параллельная стороне

Тогда В треугольниках и есть по два угла, равных Значит, они оба равнобедренные и подобны друг другу. Из треугольника находим, что

Заметим также, что как внешний угол треугольника

Кроме того,

По теореме косинусов для треугольника получаем:

а) Пусть середина точка диаметрально противоположная Докажем,что точки и симметричны относительно прямой для этого достаточно чтобы и лежали на одной прямой.

Так как, диаметр, то достаточно доказать, что Но так, как то хотим доказать, что лежат на одной окружности, для этого проверим, что

Заметим, что вписанный, лежит на прямой и вписанный, поэтому верны следующие равенства

б) Можно считать, что Заметим,что

Значит,из теоремы косинусов Так же видно, что Наконец, заметим, что и подобен поэтому

Это отношение и посчитаем. Посчитаем с помощью теоремы Пифагора, для где — середина

Воспользуемся степенью точки

Откуда получаем

Посчитаем нужное отношение

Обозначим медиану из вершины через

Первое решение.

Опустим перпендикуляр на прямую Тогда в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы так как лежит напротив угла в градусов. А ещё по условию Тогда Получили, что в четырёхугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, а значит, это параллелограмм, так что В итоге

Второе решение.

Отметим ещё середину  — как а середину  — как Тогда а ещё по условию Так что треугольник — равносторонний () с углом при вершине в значит, он равносторонний.

Тогда как смежный с углом в Далее, поэтому треугольник  — прямоугольный, и Смежный с ним С другой стороны, этот же угол равен так как  — средняя линия треугольника — параллельна

Третье решение.

Не будем думать и просто посчитаем:

1) по теореме косинусов для треугольника

2) по формуле медианы (при удвоение медианы получается параллелограмм, у которого сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон)

3) по теореме косинусов для треугольника

Первое решение.

Пусть — центр вписанной в окружности. Тогда по лемме о трезубце Значит,

Пусть — точка касания вписанной окружности стороны

Из прямоугольного треугольника

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

как хорды, опирающиеся на равные углы. Из равнобедренного прямоугольного треугольника находим

По теореме косинусов для треугольников и стороны и являются корнями уравнения

Отсюда, используя формулу разности квадратов, получаем

В итоге

Обозначим

Треугольники и имеют общую высоту из общей вершины следовательно, можем записать следующие соотношения для их площадей

(1)

Пусть — перпендикуляр из к прямой — перпендикуляр из к прямой Так как — биссектриса значит, точка равноудалена от прямых и Следовательно, Благодаря этому получаем

(2)

Из соотношений (1) и (2) следует, что

Аналогично получаем

Тогда

Значит, по теореме Менелая точки лежат на одной прямой. Т.е. и

По теореме косинусов найдём

Теперь найдём

Аналогично получаем и Обозначим Получим значения и из двух теорем косинусов

Запишем теорему косинусов в

Углы и равны как вертикальные. Запишем теорему косинусов в

Следовательно,