Тема ПЛАНИМЕТРИЯ

Счётная планиметрия → .07 Счёт площадей, рельсы Евклида, теорема о линолеуме

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела планиметрия

Разделы подтемы Счётная планиметрия

Отрезки касательных и секущих

Четырёхугольники в окружности, счёт отрезков и углов, теорема Птолемея, Кэзи

Подобные треугольники и теорема Фалеса

Теоремы Менелая и Чевы, Ван-Обеля и Жергонна

Теорема косинусов и теорема Пифагора

Счёт в синусах и просто теорема синусов

Счёт площадей, рельсы Евклида, теорема о линолеуме

Геометрия масс

Двойные отношения и гармонические четвёрки

Комплексные числа для планиметрии

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#106840Максимум баллов за задание: 7

На сторонах $BC$ и $DC$ параллелограмма $ABCD$ выбраны точки $D 1$ и $B 1$ так, что $BD =DB . 1 1$ Отрезки $BB 1$ и $DD 1$ пересекаются в точке $Q.$ Докажите, что $AQ$ — биссектриса угла $BAD.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Взглянем на задачу с точки зрения площадей. Точка лежит на биссектрисе, если она равноудалена от сторон угла.

Подсказка 2

Ещё мы знаем, что BD₁ = B₁D, а BD₁ — это основание в треугольниках BDD₁ и BQD₁, что позволяет провести подсчёт одной и той же площади двумя способами.

Показать доказательство

Первое решение. Пусть $P$ — точка пересечения прямых $AB$ и $DD . 1$ Тогда утверждение задачи равносильно следующему равенству:

PQ AP QD-= AD-

Пусть $AB =CD = a,$ $AD = BC =b,$ $BD1 = DB1 =c$ и $BP = x.$ Тогда из подобия треугольников $BP D1$ и $APD$ следует

-x--= c x+ a b

откуда

x= -a2- и PD = x+a = -a2-- b− c b− c

$PIC$

Далее, из подобия треугольников $BP Q$ и $B1DQ$ следует

P-Q PB-- x QD = DB1 = c

Утверждение задачи следует из равенства

PQ x a ( ab ) AP QD-= c = b−-c = b− c :b= AD-

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Ясно, что

SBQD = SBDD1 − SBQD1 = 1d1 ⋅D1B 2

где $d1$ — расстояние от точки $Q$ до прямой $AD.$ Аналогично

S = 1d ⋅DB BQD 2 2 1

где $d 2$ — расстояние от точки $Q$ до прямой $AB.$ Поэтому из равенства $BD =DB 1 1$ следует, что $d = d. 1 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#119904Максимум баллов за задание: 7

Сотовая связь — это целый мир возможностей. Но чтобы пользоваться ими, нужно быть в зоне действия базовой станции. Сети GSM (2G) имеют мощность, которая позволяет покрывать территорию радиусом до 35 километров на открытой местности. В городских условиях, где много зданий, зона приема сигнала значительно уменьшается. Сети 3G и 4G (LTE) работают на более высоких частотах, чем сети 2G, и их сигнал хуже проникает сквозь препятствия и больше подвержен помехам. В сетях GSM было достаточно нескольких вышек, чтобы покрывать большие территории, а для 3G и 4G сетей для обеспечения надежной связи требуется больше вышек.

В городе установлен ретранслятор GSM сети, который обеспечивает покрытие в пределах окружности радиусом $R = 24$ км. Центр окружности — основание вышки. Однако из-за особенностей рельефа зона покрытия этого ретранслятора ограничена хордой, проведенной внутри этой окружности. Хорда находится на расстоянии $d= 3$ км от центра окружности.

В меньшем сегменте, образованном хордой, необходимо установить два дополнительных ретранслятора (3G вышки) так, чтобы их зоны покрытия касались друг друга, хорды и основной окружности. Каждый из этих ретрансляторов имеет круговую зону покрытия одинакового радиуса $r.$

Найдите радиусы зон покрытия двух дополнительных ретрансляторов, которые нужно установить в меньшем сегменте. Определите площадь части меньшего сегмента, которая не попадает в зону действия дополнительных ретрансляторов.

Источники: ШВБ - 2025, 11.6 (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Изобразим условие на рисунке. Пусть O — центр окружности, в радиусе которой действует GSM вышка, AB —хорда, OP = d — расстояние от основания вышки до хорды, C и D — основания 3G вышек. Что можно сказать про их расположение, исходя из условия?

Подсказка 2

Верно! Они касаются прямой OP в одной точке (пусть K)! Проведём радиусы в точки касания. Какая теорема поможет найти нам радиус малых окружностей?

Подсказка 3

Конечно! Давайте применим теорему Пифагора для △OCK, предварительно выразив отрезки OC и OK через радиус малой окружности и данные в условии величины. А что делать с площадью части меньшего сегмента, которая не попадает в зону действия вышек?

Подсказка 4

Введите угол с вершиной O и выразите искомую площадь, равную разности площадей сегмента и площади, которую покрывают 3G вышки.

Подсказка 5

△OPA — прямоугольный. Пусть ∠POA = α. Тогда cos(α)=OP/OA = d/R — известное нам отношение! Значит через этот угол можно выразить нужные нам площади! Осталось только аккуратно посчитать и записать ответ!

Показать ответ и решение

Пусть $3G$ вышки имеют одинаковый радиус действия $r.$ Радиус основной окружности $R,$ расстояние от центра большой окружности до хорды $d.$ Введем точки, как показано на чертеже: $O$ — центр большой окружности, $C,$ $D$ — центры маленьких окружностей, $K$ — точка касания маленьких окружностей, $E$ — точка касания окружности с хордой. $OP =d$ — заданное расстояние от центра до хорды $AB.$

$PIC$

Тогда из рисунка понимаем следующие вещи:

CE ⊥ AB, OP ⊥AB, CE ∥OP, CD ∩ OG =K

OC = R− r, CK = r, OK = d+r

Запишем теорему Пифагора для $△OCK$ и выразим меньший радиус:

2 2 2 2 2 2 (R − r) = r +(d+ r) =⇒ r + 2r(d+ R)− (R − d )= 0

∘--2----- r= −(R +d)+ 2R + 2Rd

Подсчитаем площадь части сегмента, которая не попадает в зону действия ретрансляторов $3G.$
Пусть $∠AOP =α,$ $Sc = Sсегмента,S3 — площадь, покрытая действием выш ек 3G.$

Выразим нужные нам синусы и косинусы углов, а потом посчитаем нужную площадь как разность:

OP d ∘---(-d)2 d∘ ---(d-)2 cosα= OA- =R- =⇒ sin α= 1 − R- =⇒ sin2α= 2R- 1− R-

( ∘ -------) 1 2 2 1 2 d ( d)2 2 S =Sc− 2S3 = 2R (2α − sin 2α )− 2πr = 2R (2α − 2R 1− R- ) − 2πr

Подставим значения $R = 24,$ $d= 3:$

r= −(24+3)+ ∘2-⋅24⋅(24+3)= −27+ √362 = 36− 27= 9

1 3√7- 1 cosα = 8, sinα = -8-, α =arccos8

Итого, подставив все значения, получаем конечный ответ:

( √-) ( √-) S = 1 ⋅242 2arccos1 − 2 ⋅ 1⋅ 3-7 − 2π ⋅92 = 288 2arccos1− 3-7 − 162π 2 8 8 8 8 32

Ответ:

$r= 9км,S = 576arccos1− 162π− 27√7 8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#123696Максимум баллов за задание: 7

В трубопроводе цилиндрической формы установлено скребковое устройство вдоль трубы, предназначенное для очистки внутренней поверхности от парафинистых и смолистых отложений, имеющее форму треугольной призмы. В поперечном сечении трубопровода в виде круглого циферблата с часовой разметкой, вершины треугольника скребкового устройства находятся в точках окружности на часовых отметках «1:30», «4:00» и «5:00». Определить диаметр трубопровода, если площадь сечения скребкового устройства $900$ мм $2 .$

Источники: Газпром - 2025, вариант 2, 11.3 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Да, условие действительно мудрёное, но может можно как-то его представить проще? Да и с чего начать? Наверное для начала будет удобнее преобразовать часовые отметки во что-то более удобоваримое. Может, в градусную меру?

Подсказка 2

Вполне возможно, что до сих пор непонятно, а что вообще происходит в задаче. А что если представить её в двухмерном виде? Попробуйте изобразить поперечное сечение трубы и призмы.

Подсказка 3

Осталось дело за малым, вспомните площадь треугольника через радиус описанной окружности и теорему синусов, дальше лишь дело техники :)

Показать ответ и решение

Построим сечение трубопровода в виде окружности с часовой разметкой. Отметим вершины треугольника (сечения скребкового устройства, имеющего форму треугольной призмы) в точках $A,$ $B$ и $C,$ соответствующих отметкам $1:30,$ $4:00$ и $5 :00$ на циферблате. Заметим, что $△ABC$ — вписанный в окружность. Обозначим радиус этой окружности $R.$

Часовое деление на циферблате соответствует центральному углу $∘ ∘ 360 ∕12= 30 .$

Дуги, стягиваемые сторонами треугольника:

Дуга $AB$ (между $1:30$ и $4:00$ ): $(4− 1.5) часа= 2.5 часа, следовательно 2.5⋅30∘ = 75∘.$
Дуга $BC$ (между $4:00$ и $5:00$ ): $(5− 4) часа= 1 час, следовательно 1⋅30∘ =30∘.$
Дуга $CA$ (между $5:00$ и $1 :30$ через $12:00$ ): $(12− 5+ 1.5) часа =8.5 часа, следовательно 8.5⋅30∘ = 255∘.$

Углы $△ABC$ являются вписанными и опираются на эти дуги:

$∠C$ (вершина в $5:00$ ) опирается на дугу $AB :$ $∘ ∘ ∠C = 75∕2= 37.5 .$
$∠A$ (вершина в $1:30$ ) опирается на дугу $BC :$ $∘ ∘ ∠A = 30∕2= 15.$
$∠B$ (вершина в $4:00$ ) опирается на дугу $CA :$ $∘ ∘ ∠B = 255 ∕2= 127.5.$

Используя формулу для нахождения площади треугольника через радиус описанной окружности и теорему синусов, получим:

S△ = abc- 4R

Так как $a= 2RsinA,$ $b= 2RsinB,$ $c= 2R sinC,$ то

S = (2R-sinA)(2R-sinB)(2RsinC-)= 2R2 sinAsin BsinC △ 4R

Подставим значения углов: $A= 15∘,$ $B = 127.5∘,$ $C = 37.5∘.$

S△ = 2R2sin 15∘sin 127.5∘sin 37.5∘

Вычислим произведение синусов:

sin15∘sin127.5∘sin37.5∘ = sin15∘sin(180∘− 52.5∘)sin37.5∘ =

= sin15∘sin52.5∘sin 37.5∘ =sin15∘cos37.5∘sin37.5∘ =

∘ 1 ∘ 1 ∘ ∘ 1 ∘ ∘ = sin15 ⋅2sin(2⋅37.5 )= 2sin15 sin75 = 2sin 15 cos15 =

1 1 ∘ 1 ∘ = 2 ⋅2sin(2⋅15) =4 sin30 =

1 1 1 = 4 ⋅2 = 8

Тогда получаем:

S△ =2R2 ⋅ 18 = 14R2

По условию $S△ =900 мм2.$

1R2 = 900 4

R2 = 3600

R =√3600= 60 мм.

Диаметр трубопровода $D = 2R= 2⋅60= 120 мм.$

Ответ:

$120$ мм

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#126188Максимум баллов за задание: 7

На координатной плоскости построена фигура $Φ,$ состоящая из всех точек, координаты которых удовлетворяют неравенству $|| 15 -y√-|| || 15 √y-|| |x− 2 + 6 3|+|x− 2 − 6 3|≤3.$ Фигуру $Φ$ непрерывно повернули вокруг начала координат на угол $π$ против часовой стрелки. Найдите площадь множества $M,$ которое замела фигура $Φ$ при этом повороте.

Источники: Физтех - 2025, 10.6 ( см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как можно упросить исходное уравнение?

Подсказка 2

Сделайте замену u = y - 20; v = x / (2√3).

Подсказка 3

Заметьте симметрию в получившемся неравенстве: если пара (u,v) ему удовлетворяет, тогда пары (-u,v), (u,-v), (-u,-v) - тоже подойдут.

Подсказка 4

Окажется, что неравенство определяет квадрат (u,v), в котором -4 ≤ u ≤ 4, -4 ≤ v ≤ 4.

Подсказка 5

После обратной замены окажется, что Ф — прямоугольник с центром в (15/2; 0). Найдите прямые, на котором лежат его стороны.

Подсказка 6

Изобразите множество М, которое заметет фигура Ф. У Вас должны получиться 2 дуги, по большей из которых "едут" точки фигуры Ф. Попробуйте что-нибудь посчитать на рисунке.

Показать ответ и решение

Сделаем замену:

-x- u =y− 20;v = 2√3-

Тогда первое неравенство имеет вид

|u+ v|+ |u − v|≤ 8

Если пара $(u,v)$ удовлетворяет данному неравенству, то и пары $(− u,v),$ $(u,−v),$ $(−u,−v)$ ему удовлетворяют, поэтому на координатной плоскости неравенство задаёт множество, симметричное как относительно обеих координатных осей, так и относительно начала координат.

Но при положительных $u,v$ неравенство эквивалентно

u+v +|u− v|≤ 8,

то есть $2u≤ 8$ при $u≥ v$ и $2v ≤ 8$ при $u ≤v.$

В итоге получаем, что неравенство $|u+ v|+ |u − v|≤ 8$ определяет квадрат $(u,v),$ в котором $− 4≤ u≤ 4;$ $− 4≤ u≤ 4.$

Значит, после обратной замены приходим к тому, что фигура $Φ$ — прямоугольник с центром в точке $15 (2 ;0),$ стороны которого лежат на прямых $x= 6,$ $x= 9,$ $√- y =±9 3.$

Множество $M,$ которое замела фигура $Φ,$ изображено на рисунке.

$PIC$

По теореме Пифагора

OE = 6;OB = 18

Тогда

OE + AB 1 cos∠BOE = --OB----= 2

∠BOE = 60∘

Искомая площадь М складывается из разности площадей двух полукругов (она будет равна $π 2 2 2 ⋅(OB − OE )),$ площади прямоугольника $ABCD$ и площади сегмента с меньшей дугой $BC$ (две половины равных прямоугольников и равных сегментов не попадают в разность полукругов).

Получаем

π (π 1 (2π) ) S = 2 ⋅(OB2 − OE2 )+AB ⋅BC + 3 ⋅OB2 − 2 ⋅OB2 ⋅sin-3 =

π √- ( π 1 √3) = 2 ⋅(182 − 62)+3 ⋅18 3 + 3 ⋅182− 2 ⋅182⋅2 =

= 252π − 27√3

Ответ:

$252π− 27√3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#128117Максимум баллов за задание: 7

Дан прямоугольный треугольник, у которого численные значения периметра и площади — числа рациональные. Обязательно ли а) длина гипотенузы — рациональное число? б) длина биссектрисы прямого угла — иррациональное число?

Источники: БИБН - 2025, 10.3 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Пункт а, подсказка 1

Обозначим за а и b катеты нашего треугольника, за с – его гипотенузу. Чему равны площади и периметр? Можно ли как-то через них выразить с?

Пункт а, подсказка 2

Давайте вспомним, что стороны прямоугольного треугольника связаны с радиусом вписанной окружности, которую легко можно записать через периметр и площадь. Является ли радиус вписанной окружности рациональным числом? А что в этом случае можно сказать про гипотенузу?

Пункт b, подсказка 1

Нужно как-то связать площадь с биссектрисой, для этого разумно представить площадь как сумму площадей треугольников, на которые биссектриса делит △АВС, каждую из этих площадей легко можно записать через длину биссектрисы (обозначим ее за l) и катета! Что у нас получится?

Пункт b, подсказка 2

S = √2l(a + b)/4! Если мы поймём, к какому множеству чисел принадлежит сумма а + b, то сможем сделать вывод и о биссектрисе)

Пункт b, подсказка 3

a + b = P - c, помним, что Р и с – рациональные числа, а значит, сумма катетов тоже рациональна! Остается понять, какой должна быть длина биссектрисы, чтобы площадь была рациональной)

Показать ответ и решение

a) Пусть дан треугольник $ABC$ с $∠ACB = 90∘,$ $P$ — его периметр, $S$ — его площадь, $AC =b,$ $CB = a.$

$PIC$

Тогда

1 S = 2ab

Пусть $r$ — радиус вписанной окружности, тогда

r= 2S P

С другой стороны, в прямоугольном треугольнике

r= a+-b−-c= P-− 2c 2 2

c= P-− r 2

Получаем, что $c$ — рациональное число.

б) Пусть $CD = l$ — биссектриса прямого угла.

$PIC$

Из предыдущего пункта $a+ b= P − c$ — рациональное число. Так как $∘ ∠ACD =∠BCD = 45$

1 1 S = SACD +SBCD = 2 ⋅a ⋅l⋅sin(45∘)+ 2 ⋅b⋅l⋅sin(45∘)

√ - S = 1l(a+ b) 2 4

Если предположить, что $l$ — рациональное, то $S$ будет иррациональным, что противоречит условию. Значит, длина биссектрисы прямого угла — иррациональное число.

Ответ:

(a) обязательно; (b) обязательно

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#128580Максимум баллов за задание: 7

О треугольнике $ABC$ известно, что длины сторон $AB,BC,AC$ и диаметр вписанной окружности являются последовательными членами арифметической прогрессии. Найдите периметр треугольника, если диаметр вписанной окружности равен 6.

Источники: Звезда - 2025, 10.2 (см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Не забываем, что диаметр всегда меньше сторон треугольника, так что члены прогрессии можно обозначить за 6, 6 + d, 6 + 2d и 6 + 3d. Нам известен радиус вписанной окружности, мы хотим узнать периметр треугольника, есть ли какие-то формулы, которые связывают эти величины?

Подсказка 2

Есть формула площади S = pr! Но ведь одной формулы недостаточно, надо тогда как-то иначе выразить площадь через d, чтобы мы смогли найти его из полученного уравнения. Какую еще формулу площади можно использовать?

Подсказка 3

Формулу Герона! Теперь у нас есть уравнение, из которого мы сможем найти d, а значит, сможем определить и периметр)

Показать ответ и решение

$PIC$

В любом треугольнике диаметр вписанной окружности меньше каждой из сторон треугольника. Пусть $6,$ $AB,$ $BC,$ $AC$ образуют возрастающую арифметическую прогрессию с разностью $d>0,$ тогда стороны треугольника равны

AB = 6+d, BC =6+ 2d, AC = 6+3d

Тогда полупериметр треугольника $p$ равен

18+ 6d p= --2---= 9+3d

Приравняем две формулы для площади треугольника: через радиус вписанной окружности и формулу Герона.

∘---------------- S = pr и S = p(p− a)(p− b)(p − c)

∘ ---------------- pr= p(p− a)(p− b)(p− c)

Подставив значения и возведя в квадрат получим,

2 (27+9d) = 3(9+ 3d)(3+ d)(3+2d)

Так как $27+ 9d=3(9+ 3d),$ перепишем левую часть:

2 9(9+3d) = 3(9+ 3d)(3+ d)(3+2d)

Поскольку $d> 0$ , то $9+ 3d⁄= 0,$ и мы можем разделить обе части на $3(9+3d):$

3(9+ 3d)= (3+ d)(3+ 2d)

Преобразуем:

27 +9d= 9+ 6d+3d+ 2d2

2 9= d

d= 3

В итоге периметр треугольника равен

P =18+ 6d= 18+6 ⋅3 =36

Ответ:

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#128977Максимум баллов за задание: 7

Квадрат $ABCD$ со стороной $9$ и квадрат $DEF G$ со стороной $π$ имеют общую вершину $D,$ при этом точка $E$ лежит на отрезке $CD.$ Найдите наибольшее и наименьшее возможные значения площади параллелограмма $AMNF,$ если точка $C$ лежит на отрезке $MN$ и делит его в отношении $1:π.$

Источники: ПВГ - 2025, 10.5 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Каждый раз, когда мы делаем картинку к задаче, следует задаться вопросом: а единственная ли эта картинка? Не допускает ли условие того, что точки могут располагаться по-разному? Подумайте, сколько случаев есть в данной задаче.

Подсказка 2

Верно, есть два варианта: когда точка F лежит вне большого квадрата и когда она лежит внутри него. Рассмотрим для начала первый случай. Какие интересные вещи мы можем вспомнить про площадь параллелограмма?

Подсказка 3

В голову может прийти конструкция рельсов Евклида, позволяющая сравнивать площади треугольников, ограниченных параллельными прямыми. Например, чему равна площадь треугольника ACF?

Подсказка 4

Во-первых, его площадь равна половине площади искомого параллелограмма. А во-вторых, она равна площади треугольника ACD! Какой тогда можно сделать вывод о площади параллелограмма?

Подсказка 5

Да, эта площадь постоянна и равна половине площади большого квадрата! Супер, с одним из случаев разобрались, теперь рассмотрим второй! Тут так же площадь треугольника ACF равна половине площади параллелограмма. А что насчёт отношения площадей треугольников ACF и ACD?

Подсказка 6

Эти треугольники имеют общее основание, поэтому их площади относятся так же, как и их высоты! Осталось найти отношение высот и задача решена!

Показать ответ и решение

Возможны две разные конфигурации, в зависимости от того, где лежит точка $F :$ вне большого квадрата или внутри него.

$PIC$

В случае внешнего касания квадратов площадь $△ACF1$ равна площади $△ACD$ (эти треугольники имеют одинаковое основание $AC$ и равные высоты, так как $DF1∥AC$ ) и, следовательно, равна половине площади большого квадрата. Это значит, что площадь параллелограмма равна площади квадрата $ABCD,$ то есть $2 9 = 81.$

$PIC$

Рассмотрим случай, когда точка $F$ лежит внутри большого квадрата. Найдем отношение высот треугольников $ACF2$ и $ACD$ (основания у них одинаковы) — оно равно

√- 9-2− π√2 -2-√-----= 1− 2π9- 92-2

Тогда искомая площадь равна

( ) 81 1− 2π = 81− 18π 9

Ответ:

$81;81 − 18π$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#129302Максимум баллов за задание: 7

В треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ провели высоту $CH.$ Окружность, проходящая через точки $C$ и $H,$ повторно пересекает отрезки $AC,$ $CB$ и $BH$ в точках $Q,$ $P$ и $R$ соответственно. Отрезки $HP$ и $CR$ пересекаются в точке $T.$ Что больше: площадь треугольника $CPT$ или сумма площадей треугольников $CQH$ и $HTR$ ?

$PIC$

Источники: ММО - 2025, 10.2 (см. mmo.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какие мы знаем стандартные методы для сравнения площадей?

Подсказка 2

Удобно сравнивать площади треугольников с общим основанием, давайте добавим к нашим треугольникам какую-то одинаковую часть.

Подсказка 3

Обратите внимание на треугольник TPR.

Подсказка 4

У нас есть окружность и много прямых углов. На что это намекает?

Подсказка 5

Нетрудно найти на картинке диаметр проведённой окружности. Отметьте прямые углы.

Подсказка 6

Для того, чтобы задача стала совсем простой, нужно провести ещё несколько перпендикуляров. Опустим высоты из точки H на прямые CQ и PR.

Показать ответ и решение

Первое решение.

$PIC$

Добавим к рассматриваемым площадям площадь треугольника $P TR.$ Получим, что нужно сравнить

SCQH + SHPR и SCPR

Поскольку $∘ ∠CHR = 90 ,$ то $CR$ — диаметр проведённой окружности, откуда $∘ ∠CQR =∠CP R =90 .$ В четырёхугольнике $CP RQ$ три угла прямые, поэтому он является прямоугольником. Опустим из точки $H$ перпендикуляры $HX$ и $HY$ на прямые $CQ$ и $PR$ соответственно. Сумма их длин равна длине стороны $CP$ прямоугольника. Следовательно,

HX ⋅CQ HY ⋅PR (HX +HY )⋅PR XY ⋅PR CP ⋅P R SCQH + SHPR = --2----+ --2----= ------2------= ---2---= --2----=SCPR

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

$PIC$

Добавим к рассматриваемым площадям площадь четырёхугольника $BP TR.$ Получим, что нужно сравнить

SCQH + SBPH и SBRC

Из вписанности $CPRH$ следует, что $∠PHR =∠P CR.$ Поскольку $PQ$ — диаметр окружности, то $∠PHQ =90∘ = ∠CHB,$ поэтому

∠CHQ = ∠PHR =∠P CR

Каждый из углов $HCQ$ и $CBH$ дополняет угол $BCH$ до $90∘,$ поэтому

∠HCQ = ∠PBH =∠RBC

Следовательно, треугольники $CQH,$ $BP H$ и $BRC$ подобны по двум углам. Тогда площади этих треугольников относятся как квадраты коэффициентов подобия, поэтому

( CH )2 ( BH )2 CH2 + BH2 SCQH + SBPH = BC- ⋅SBRC + BC- ⋅SBRC =---BC2----⋅SBRC =SBRC

Ответ:

Они равны

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#130003Максимум баллов за задание: 7

В остроугольном треугольнике $ABC$ точка пересечения высот обозначена $H.$ Точка $N$ — середина $AC.$ Через точки $A,$ $H,$ $N$ проведена окружность $ω1,$ а через точки $C,$ $H,$ $N$ проведена окружность $ω2.$ Прямая $AB$ пересекает окружность $ω1$ в точке $P,$ прямая $BC$ пересекает окружность $ω2$ в точке $Q.$ Прямые $PH$ и $QH$ пересекают окружности $ω2$ и $ω1$ в точках $R$ и $S$ соответственно. Докажите, что

1) точки $R,$ $S,$ $N$ лежат на одной прямой;

2) треугольники $ARS$ и $CRS$ имеют одинаковую площадь.

Источники: Бельчонок - 2025, Вариант 4, 10.4 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Пункт 1, подсказка 1

Залог успеха любой геометрической задачи — рисунок. Построив рисунок, подумайте, что приблизило бы нас к решению задачи? Может, получится найти какие-то прямые углы?

Пункт 1, подсказка 2

Да, из рисунка похоже, что угол HNS — прямой. Попробуйте подумать, как это можно доказать. Можно ли его выразить через другие углы?

Пункт 1, подсказка 3

Угол HNS можно выразить через углы HSN и SHN. Осталось продолжить цепочку выражений, чтобы упростить задачу. Обратите внимание, какие из углов опираются на одну дугу окружности или являются острыми углами прямоугольного треугольника. Что вы можете сказать об HNR?

Пункт 2, подсказка 1

Обратите внимание на треугольники, которые вместе составляют треугольники ARS и CRS. Может, площади каких-то из них равны?

Показать доказательство

Проведём высоты треугольника $ABC$ из точек $A$ и $C.$

$PIC$

$1)$ Найдём $∠HNS :$

∠HNS =180∘− ∠HSN − ∠SHN

Заметим, что $∠HSN = ∠HAN$ как опирающиеся на одну дугу $HN$ окружности $ω . 1$ Отметим, что так как углы смежные, то

∘ ∠SHN = 180 − ∠QHN

Итак,

∠HNS = 180∘ − ∠HAN − (180∘ − ∠QHN )

Т.к. по условию $H,$ $Q,$ $C,$ $N$ лежат на окружности $w2,$ то $∠HAN$ можно записать как $∠CAH,$ а

180∘− ∠QHN =∠QCN

Получаем

∘ ∠HNS =180 − ∠CAH − ∠QCN

Т.к. $∠CAH$ — острый угол прямоугольного треугольника, то

∠CAH =90∘− ∠BCA

Но $∠QCN =∠BCA.$ Следовательно,

∠HNS =180∘− (90∘− ∠BCA )− ∠BCA =90∘

Аналогично найдём $∠HNR :$

∠HNR =180∘− ∠HRN − ∠RHN =

∘ ∘ ∘ ∘ =180 − ∠HCN − (180 − ∠PHN )= 180 − ∠HCA − (180 − ∠BAC )=

= 180∘− (90∘− ∠BAC )− ∠BCA = 90∘

Итак,

∠SNR = ∠HNS + ∠HNR = 90∘+90∘ = 180∘

Таким образом, точка $N$ принадлежит $RS.$

2) Заметим, что

△ARS = △ARN + △ANS

△CRS = △CRN +△CNS

Заметим, что $SARN = SCRN,$ $SANS = SCNS,$ так как в обоих случаях пары треугольников имеют равные высоты и основания.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#130035Максимум баллов за задание: 7

Площадь правильного шестиугольника $ABCDEF$ с центром $O$ равна 30. Чему равна площадь треугольника $ABC$ ?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы знаем площадь шестиугольника, но работать с ним неудобно. Попробуйте дополнить △ABC до какой-то "приятной" фигуры.

Подсказка 2

Например, зная площадь шестиугольника, нетрудно найти площадь его половины.

Подсказка 3

А чему будет равно отношение площадей △ABC и △ACD?

Показать ответ и решение

$PIC$

Поскольку $ABCDEF$ — правильный шестиугольник, четырехугольники $ABCD$ и $ADEF$ будут равны. Рассмотрим $△ABD$ и $△ACD.$ Пусть прямые $BD$ и $CF$ пересекаются в точке $Y.$ Поскольку $AB ∥F C ∥ ED$ и $AO = OD,$ $BY =Y D.$ Заметим, что $BD ⊥AB,$ тогда отрезок $Y B$ равен высоте $△ABC,$ так как точки $Y$ и $C$ лежат на прямой, параллельной $AB.$ Кроме того, $AC$ — высота треугольника $ACD,$ при этом $AC = BD$ $(△ABC =△BCD ),$ следовательно, $AC = 2⋅YB.$

SABC = 1⋅AB ⋅Y B 2

S = 1⋅CD ⋅AC ACD 2

Так как $AB = CD,$

SABC- 1 SACD = 2

Два этих треугольника образуют четырехугольник $ABCD.$

1 SABCD = 2 ⋅SABCDEF = 15

Тогда

1 SABC =3 ⋅15 =5

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#130041Максимум баллов за задание: 7

Внутри прямоугольника $ABCD$ выбрана произвольная точка $P$ и проведены отрезки $PA,PB,P C$ и $PD$ . Площади трёх из образовавшихся треугольников равны $1$ , $2$ и $3$ (не обязательно в этом порядке). Какие значения может принимать площадь четвёртого треугольника?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы знаем площади трёх из четырёх образованных треугольников, можно ли рассматривать какую-то "удобную" пару?

Подсказка 2

Если площади трёх из четырёх треугольников известны, то 2 противолежащие стороны прямоугольника будут принадлежать двум треугольникам с известными площадями!

Подсказка 3

Проведите высоты в треугольниках и выразите с их помощью площадь прямоугольника.

Подсказка 4

Поскольку противоположные стороны прямоугольника равны, можно свести полученное выражение к сумме площадей треугольников. Останется лишь рассмотреть несколько случаев.

Показать ответ и решение

Заметим, что нам известны площади треугольников одной из следующих пар: $△P BC$ и $△P DA,$ $△PAB$ и $△PCD.$ Рассмотрим первый случай, второй будет аналогичен.

Опустим перпендикуляры $PH1$ и $PH2$ на $BC$ и $AD.$ Заметим, что

(PH1 +P H2)⋅BC ( PH1 ⋅BC P H2⋅AD ) SABCD = H1H2 ⋅BC = 2⋅-------2------ =2 ⋅ ---2---+ ---2---- = 2⋅SPBC +2 ⋅SPDA

Рассмотрим возможные величины площади прямоугольника:

1) $SABCD =6$ при $SPBC = 1,$ $SPDA = 2$ или $SPBC =2,$ $SPDA = 1,$ тогда площадь четвертого треугольника равна $6− 1− 2− 3= 0.$ Это возможно, если точка $P$ лежит на стороне прямоугольника.

$PIC$

2) $SABCD =8$ при $SPBC = 1,$ $SPDA = 3$ или $SPBC =3,$ $SPDA = 1,$ тогда площадь четвертого треугольника равна $8− 1− 2− 3= 2.$

$PIC$

3) $SABCD =10$ при $SPBC =2,$ $SPDA = 3$ или $SPBC = 3,$ $SPDA = 2,$ тогда площадь четвертого треугольника равна $10− 1− 2− 3 =4.$

$PIC$

Замечание. В каждой случае приведен рисунок одной конфигурации из двух возможных.

Ответ:

0, 2, 4

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#130042Максимум баллов за задание: 7

В трапеции $ABCD$ точка $E$ — середина основания $AD,$ точка $M$ — середина боковой стороны $AB.$ Отрезки $CE$ и $DM$ пересекаются в точке $O.$ Докажите, что площади четырехугольника $AMOE$ и треугольника $COD$ равны.

Источники: ЕГЭ 2016

Подсказки к задаче

Подсказка 1.

Так-с, не очень удобно сравнивать площадь треугольника с площадью четырёхугольника... А если добавить к обеим фигурам одинаковую часть?

Подсказка 2

Давайте попробуем доказать, что площади △AMD и △CED равны.

Подсказка 3

Проведите высоты к прямой AD. Как они будут относиться друг к другу? А какое будет отношение между отрезками AD и ED?

Показать доказательство

$ABCDEMO$

Рассмотрим $△AMD$ и $△CED.$ Поскольку $AD ∥ BC,$ $AM = MC,$ то перпендикуляр, опущенный из точки $C$ на прямую $AB,$ будет в 2 раза больше перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на прямую $AD,$ следовательно, высота $△CED$ в 2 раза больше высоты $△AMD.$ Обозначим длину высоты $△AMD$ за $h.$

S = 1⋅AD ⋅h AMD 2

1 SCED = 2 ⋅ED ⋅2h

Так как $AD = 2⋅ED,$

SAMD = SCED

Заметим, что $△EOD$ входит и в $△AMD,$ и в $△CED.$ Кроме того,

SAMD − SEOD =SCED − SEOD =SAMOE =SCOD

Что и требовалось доказать.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#130043Максимум баллов за задание: 7

Четыре квадрата расположены как на рисунке справа. Площадь закрашенного квадрата равна 7. Чему равна площадь закрашенного треугольника?

$PIC$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам дана только площадь синего квадрата. Можно ли получить еще какие-то данные с картинки?

Подсказка 2

Нет ли на картинке равных фигур?

Подсказка 3

Да, 2 малых квадрата будут равными, следовательно, их площади равны. А что можно сказать про средний квадрат?

Подсказка 4

Заметьте, что стороны малых квадратов вместе дают сторону среднего квадрата.

Подсказка 5

Тогда сторона среднего квадрата в 2 раза больше стороны малого квадрата. Выразите площадь среднего квадрата.

Подсказка 6

Пусть сторона меньшего квадрата равна x, тогда сторона среднего — 2x. Заметим, что площадь малого квадрата равна x², а площадь среднего — 4x². Более того, мы знаем, чему равно x².

Подсказка 7

Кажется, все, что можно найти на исходной картинке, мы нашли, но до сих пор не приблизились к площади зеленого треугольника, уж слишком странной он формы. Надо ли вообще искать именно его площадь?

Подсказка 8

А что, если попробовать найти фигуру, площадь которой будет равна площади зеленого треугольника?

Подсказка 9

Из какой конструкции можно получить 2 равновеликих треугольника?

Подсказка 10

Нам могут помочь рельсы Евклида, надо лишь их увидеть. А как именно образуются рельсы Евклида?

Подсказка 11

Основание для треугольников берется на некоторой прямой A, а вершины треугольников — на прямой B, параллельной A! Какой прямой может быть параллельна сторона зеленого треугольника, являющаяся диагональю малого квадрата?

Подсказка 12

Может, вторая прямая — тоже диагональ?

Подсказка 13

Рассмотрите диагональ наибольшего квадрата.

Подсказка 14

Осталось только посчитать площадь нового треугольника. В какой фигуре он находится?

Подсказка 15

На самом деле, это прямоугольник. Можно поступить следующим образом: сначала найдем площадь прямоугольника, а потом вычтем из нее площади треугольников, которые дополняют искомый треугольник до прямоугольника! Давайте назовем в прямоугольнике все отмеченные на рисунке точки, идя слева-направо сверху-вниз, следующими буквами: A, B, C, D, E, F, G, H. Чему будет равна площадь треугольника ADB?

Подсказка 16

Он же составляет половину малого квадрата! Значит, и площадь его в 2 раза меньше.

Подсказка 17

С треугольником BCH все аналогично, осталось лишь разобраться с DFH. Можно ли тоже представить его как часть другой фигуры?

Подсказка 18

А попробуйте провести через точку D прямую, параллельную FG, пусть она пересечет отрезок CH в точке E'. Что можно сказать о четырехугольнике FDE'H?

Подсказка 19

Да это же прямоугольник! Какую часть от него будет составлять DFH? А какую часть от FACH составит FDE'H?

Показать ответ и решение

Введём обозначения как показано на рисунке ниже.

Так как $BE ∥CH,$ $CH ∥JK,$ то $BE ∥JK.$ Аналогично, $AB ∥FK ∥IJ.$ Получим, что в квадратах $ABED$ и $HIJK$ параллельны следующие стороны:

AD ∥BE ∥IH ∥JK и AB ∥DE ∥ IJ ∥HK

$PIC$

Тогда диагонали $BD$ и $HJ$ будут параллельны. Рассмотрим треугольник $HDB.$ Так как точки $H$ и $J$ лежат на прямой, параллельной $DB,$ треугольники $HDB$ и $JDB$ будут равновеликими. Далее будем искать площадь треугольника $HDB.$

Так как $ABED$ и $FDEG$ равны, $BE+ EG = BG,$ получаем, что квадраты $FDEG$ и $GBCH$ подобны с коэффициентом $1:2,$ тогда

SGBCH = 4⋅SFDEG =28

Кроме того,

SFACH =SFDEG + SDABE +SGBCH = 7+ 7+ 28= 42

Чтобы найти площадь треугольника $HDB,$ надо отнять от площади прямоугольника $FACB$ площади треугольников $DAB,$ $DFH$ и $HBC.$

SADB = 1 ⋅SDABE = 7 2 2

SBCH = 1 ⋅SGBCH = 14 2

$PIC$

Проведем $DE ′$ параллельно $FH,$ тогда $CE ′ =E ′H.$ Прямоугольники $DACE ′$ и $FDE ′H$ равны, так как $AD = DF.$ Они образуют прямоугольник $FACH,$ следовательно,

SFDE ′H = 1⋅SFACH = 21 2

Заметим, что треугольники $FDH$ и $DE′H$ равны, так как являются прямоугольными, $FD = HE ′$ и $DH$ — общая сторона. Следовательно,

SFDH = SDE′H = 1 ⋅SFDE ′H = 21 2 2

Тогда площадь искомого треугольника равна

42− 7 − 14− 21= 14 2 2

Ответ:

$14$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#130044Максимум баллов за задание: 7

В треугольнике $ABC$ из острого угла $C$ опустили высоту $CH$ и отметили $M$ — середину $AB$ . Серединный перпендикуляр к $AB$ пересекает сторону $AC$ в точке $D.$ Докажите, что четырехугольник $DCBH$ и треугольник $ADH$ равновелики.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам надо доказать, что площадь четырехугольника BCDH равна площади треугольника ADH. А удобно ли это? Может, стоит переформулировать задачу?

Подсказка 2

А что объединяет эти 2 фигуры?

Подсказка 3

Они образуют треугольник ABC! Может, стоит сравнивать площадь треугольника ADH с площадью треугольника ABC?

Подсказка 4

Тогда нам достаточно доказать, что площадь треугольника ABC в 2 раза больше площади треугольника ADH.

Подсказка 5

Заметим, что нам сразу даны высоты этих треугольников — CD и CH. Можно ли понять, как они относятся друг к другу?

Подсказка 6

Они параллельны, следовательно, образуют несколько подобных треугольников. Какие нам лучше рассмотреть? Не забывайте, что M — середина AB.

Подсказка 7

Рассмотрите подобные треугольники AMD и AHC, найдите отношение DM к CH и запишите, чему равны площади искомых треугольников.

Показать доказательство

$PIC$

Хотим доказать, что $SADH = SBCDH,$ причём знаем, что

SADH + SBCDH =SABC

Тогда задача равносильна тому, что

1 SADH = 2SABC

Пусть $AB = x,$ $HA = y,$ $CH = h1,$ $DM = h2.$ Тогда

SABC = x⋅h1, SADH = y⋅h2- 2 2

Хотим доказать, что

SABC-= 2 SADH

То есть

x⋅ h1 = 2 y h2

Так как $CH ⊥ AB$ и $AB ⊥ DM,$ то $CH ∥DM.$ Тогда по теореме Фалеса

h1 = -y--- h2 0,5⋅x

Тогда

h1 x y x h2 ⋅y = 0,5-⋅x-⋅y = 2

Что и требовалось доказать.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#130047Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что $S = S A1BC AiBC$ тогда и только тогда, когда $a∥BC.$

$PIC$

Показать доказательство

$PIC$

Заметим, что треугольники $A1BC$ и $AiBC$ имеют общее основание. Значит их площади относятся так же, как и их высоты. Опустим высоту $A1H1$ треугольника $A1BC.$ Пусть $AiH2$ — высота треугольника $AiBC.$ Тогда, так как площади этих треугольников должны быть равны, то $A1H1 =AiH2,$ при этом $A1H1 ⊥ BC$ и $AiH2 ⊥ BC.$ Отсюда следует, что четырехугольник $A1H1H2Ai$ — параллелограмм. Значит $a ∥BC.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#130050Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что диагонали трапеции разбивают её на четыре треугольника, два из которых, прилежащие к боковым сторонам, равновелики.

Показать доказательство

$PIC$

Рассмотрим треуголники $ABD$ и $ACD.$ Заметим, что они имеют общее основание и равные высоты. Значит $SABD = SACD.$ Рассмотрим теперь треугольники $ABE$ и $DCE.$

SABE = SABD− SAED = SACD− SAED =SCED

Получили требуемое.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#130051Максимум баллов за задание: 7

В параллелограмме $ABCD$ стороны $AB$ и $BC$ делятся пополам точками $M$ и $N;$ отрезки $CM$ и $DN$ пересекаются в точке $P.$ Докажите, что треугольник $DPC$ и четырёхугольник $MP NB$ равны по площади.

Показать доказательство

$PIC$

Введем обозначения как показано на рисунке. Сперва докажем, что

SNDC = 1SABCD 4

Действительно, проведем $BD.$ Этот отрезок разбивает параллелограмм на равновеликие треугольники $ABD$ и $BDC.$ Рассмотрим треугольник $BDC.$ Заметим, что $BC ∥ AD$ и $BN = NC,$ значит, воспользовавшись идеей о рельсах Евклида можно сказать, что $SBDN = SNDC,$ так как мы можем передвинуть отрезок $BN$ в $NC.$ Отсюда следует, что

SNDC = 1SBDC = 1⋅ 1SABCD = 1SABCD 2 2 2 4

Аналогично

1 SMBC = 4SABCD

Тогда можно сказать, что

SMBNP = SMBC − SNPC =SNDC − SNPC = SDPC

Требуемое доказано.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#130053Максимум баллов за задание: 7

Два параллелограмма расположены так, как показано на рисунке. Докажите, что их площади равны.

$PIC$

Показать доказательство

$PIC$

Введем обозначения как показано на рисунке. Рассмотрим треугольник $P CD$ и параллелограмм $ABCD.$ Известно, что $AB ∥CD,$ значит, воспользовавшись идеей о рельсах Евклида скажем, что если передвинуть точку $P$ в точку $B,$ можно получить отношение

SPCD = 1SABCD 2

Аналогично, так как $PD ∥QR,$ то передвинув точку $C$ в точку $R$ получим, что

SPCD = 1SPQRD 2

Отсюда получаем, что половины площадей параллелограммов равны, а, значит, $S = S . ABCD PQRD$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#130055Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что равновелики треугольник $ADH$ и четырехугольник $DCBH,$ где $M$ — середина $AB.$

$PIC$

Показать доказательство

$PIC$

Заметим, что задача будет решена, если доказать отношение

SADH = 1SABC 2

Рассмотрим треугольник $ADH.$ Разобьем его на два треугольника — $ADM$ и $HDM$ соответственно. $MD ∥CH,$ значит, воспользовавшись идеей о рельсах Евклида, то есть передвинув точку $H$ в точку $C,$ получим, что

SADH = SADM +SMDH = SADM +SDMC =SACM

Так как точка $M$ — середина $AB,$ то $CM$ — медиана, а потому

SACM = 1SACB 2

Что и доказывает требуемое.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#130056Максимум баллов за задание: 7

Сторона $AB$ параллелограмма $ABCD$ продолжена за точку $B$ на отрезок $BE,$ а сторона $AD$ продолжена за точку $D$ на отрезок $DK.$ Прямые $ED$ и $KB$ пересекаются в точке $O.$ Докажите, что площади четырехугольников $ABOD$ и $CEOK$ равны.

Показать доказательство

$PIC$

Добавим к двум фигурам площадь треугольника $ODK.$ Докажем, что

SABK = SEDKC

Проведем отрезок $BD.$ Заметим, что

1 SBAD = 2SABCD

Рассмотрим треугольник $BDK.$ Так как $BC ∥ AD,$ то, воспользовавшись идеей о рельсах Евклида, то есть передвинув точку $B$ в точку $C,$ заключаем, что