Счётная планиметрия → .01 Отрезки касательных и секущих

а) Так как по условию

то по обратной теореме о касательной и секущей из

получаем, что — касательная к окружности описанной около . Тогда (угол между касательной и хордой). При этом Значит, — касательная к окружности, описанной около .

б) Пусть сторона ромба равна Рассмотрим Теперь рассмотрим По теореме Пифагора в

По области значений косинуса подходит только

Пусть центр окружностей и это и соответственно. Пусть точка — точка касания на Тогда

(1)

Рассмотрим треугольники и Они подобны с коэффициентом Из этого следует, что как соответственные элементы в подобных треугольниках. Тогда

Используя , получаем

Пусть радиус это тогда радиус это Тогда нужно найти Рассмотрим

Из подобия и получаем , что из этого следует, что

Тогда

Заметим, что отрезки касательных к окружности из точки равны, то есть аналогично Тогда периметр равен

величина не зависящая от выбора точки

Углы и внешние в тогда — центр вневписанной окружности треугольника тогда и соответственно являются биссектрисами углов и

величина не зависит от выбора

Пусть окружности касаются одной из сторон угла в точках Заметим, что является трапецией. Обозначим середину за середину за тогда средняя линия трапеции, то есть значит лежит на окружности с диаметром то есть касательная к этой окружности. Аналогично, окружность с диаметром касается и второй стороны угла.

(a) Пусть окружность, вписанная в треугольник касается проведённой общей внешней касательной – в точке в точке стороны — в точке прямой – в точке а окружность, вписанная в треугольник касается проведённой общей внешней касательной — в точке отрезка в стороны — в точке прямой — в точке Тогда

то есть Итак, длина выражена через стороны треугольника, а потому действительно не зависит от выбора точки

(b) Пусть окружность, вписанная в треугольник касается проведённой общей внешней касательной — в точке прямой в точке прямой — в точке прямой — в точке а окружность, вписанная в треугольник касается проведённой общей внешней касательной — в точке прямой в прямой — в точке прямой — в точке Тогда

то есть Итак, длина выражена через стороны треугольника, а потому действительно не зависит от выбора точки

Заметим, что и симметричны относительно некоторой прямой, следовательно — равнобокая трапеция. Тогда перпендикуляр из на то есть на равен перпендикуляру из на который в свою очередь равен стороне квадрата. Рассмотрим окружность с центром и радиусом равным по длине стороне квадрата. Она касается прямых и в точках и а также по доказанному выше касается Таким образом, эта окружность является вневписанной для треугольника а значит, длина равна полуперимтру треугольника то есть периметр равен удвоенной стороне квадрата, что и требуется доказать.

Пусть окружность касается прямых и в точках соответственно и а окружность — в точках соответственно и — точка касания окружности с отрезком — точка касания окружности с отрезком Тогда

Отсюда

Поэтому Пусть — середина Тогда перпендикуляр опущенный из точки на — средняя линия прямоугольной трапеции Следовательно, — серединный перпендикуляр к стороне равнобедренной трапеции значит, — центр описанной окружности этой трапеции. Поэтому Равнобедренные треугольники и равны по трём сторонам, а т.к. то и — соответствующие отрезки этих равных треугольников. Следовательно, Что и требовалось доказать.

Из условия следует, что вписан. По теореме о секущих:

Из теоремы косинусов для

Пусть , тогда и . Так как и — диаметр окружности, то — касательная и аналогично, — касательная. По теореме об отрезках касательной и секущей , откуда . Аналогично, степень точки равна и поэтому . Опустим перпендикуляр . — параллелограмм и . Значит, треугольник прямоугольный со сторонами и и .

Из условия следует, что хорды и в точке пересечения делятся пополам, поэтому — параллелограмм, вписанный в окружность, следовательно, он является прямоугольником. Итак, и — центр окружности. Пусть тогда из условия следует, что По теореме о пересекающихся хордах окружности,

Но поэтому Из прямоугольного треугольника находим Итак, катеты треугольника равны и поэтому его углы равны

Пусть общая касательная к окружностям, проходящая через точку О, пересекает основание в точке . Тогда по свойству касательных имеем , а значит, треугольник прямоугольный, равно как и подобный ему (с коэффициентом ) треугольник .

Треугольники и подобны по двум углам, так как угол общий и

(по теоремам о вписанном угле и об угле между касательной и хордой). Следовательно, имеем

и аналогично , откуда получаем

Окружность из условия должна касаться стороны в основании перпендикуляра из на , откуда делит высоту из вершины пополам. Пусть — основание высоты из вершины , — основание высоты из вершины , точка —– проекция на прямую .

Пусть . Тогда из условия получаем . Записав теорему Пифагора для треугольника , получаем , откуда . Теперь из теоремы Пифагора для треугольника получаем

Из того, что — вписанный, имеем

Записав теорему Пифагора для треугольника , получаем

Заметим, что достаточно проверить, что В самом деле, тогда точки и будут лежать на одной окружности, и поэтому как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу.

Так как , то Ясно также, что , поскольку . Приравняв левые части полученных равенств, получаем требуемое.

Обозначим точки касания окружности со сторонами и трапеции через и соответственно.

По теореме о касательной и секущей откуда Так как и — точки касания окружности с параллельными прямыми и отрезок есть диаметр окружности, перпендикулярный этим прямым. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника находим, что Следовательно, радиус окружности равен

Так как касательные, проведённые к окружности из одной точки, равны, то а в силу того, что трапеция равнобедренная, Отсюда получаем, что сумма оснований есть и площадь трапеции равна

Первое решение.

Пусть точки касания с и будут и соответственно. Из равенства отрезков касательных и , а также

Как известно, , как биссектрисы углов трапеции, но тогда — высота прямоугольного треугольника и равна . Аналогично из прямоугольного имеем . Откуда легко посчитать, что .

Второе решение.

Пусть — точка касания окружности и стороны Так как и — отрезки касательных, то они равны. Значит,

Пусть — точка касания окружности и стороны Аналогично

Пусть — точка касания окружности и стороны Проведем диаметр и опустим высоту на сторону

(как отрезки касательных), следовательно, и Тогда по теореме Пифагора

Опустим из точки перпендикуляр на сторону он будет равен Обозначим за отрезок тогда По теореме Пифагора

Тогда

Заметим, что

Отрезок является отрезком касательной к окружности. Из подобия треугольников и

— медиана по теореме косинусов для треугольников и имеем

Так как , то при сложении двух уравнений получаем

Пусть — точка пересечения прямой с окружностью, .

Четырехугольник вписан в окружность . По свойствам касательных и секущих к окружности имеем

Решаем систему уравнений

Заметим, что — вписанный, следовательно, произведения отрезков секущих, проведённых из одной точки равны:

Заметим, что треугольники и подобны — общий, Отсюда получаем, что

Обозначим тогда Получаем, что

Так как длина отрезка положительна, значит,

Заметим, что по свойству касательной а по свойству вписанных углов

Таким образом, в трапеции углы и равны. Значит, эта трапеция равнобедренная, откуда следует, что Тогда по свойству касательной и секущей

Последний переход сделан с помощью неравенства о средних, откуда получаем неравенство из задачи.

Продлим отрезки и до пересечения в точке и обозначим длину .

Так как произведения отрезков секущих, проведенных из одной точки, равны: А также квадрат отрезка касательной равен произведению отрезков секущей, проведенной из той же точки, поэтому Следовательно . Выразив эти отрезки через получим и .

Отметим — середину стороны . Основания высот и точка лежат на одной окружности(Окружность девяти точек). Тогда по свойству отрезков секущих, проведенных из одной точки .

А также имеем . И так как , получаем

Пусть (пользуемся равенством касательных), а

По теореме о касательной и секущей и . Из полученной системы легко найти и . Далее по теореме косинусов для :