Счётная планиметрия → .07 Счёт площадей, рельсы Евклида, теорема о линолеуме

Покажем, что Требуемое в условии равенство получается вычитанием из обеих частей этого равенства площади серого треугольника с вершиной в точке а также добавлением площадей двух серых треугольников, примыкающих к хордам и (см. рис.).

Заметим, что

поэтому синусы этих углов равны. Поэтому достаточно доказать, что Покажем, что оба произведения равны Для этого достаточно доказать следующее вспомогательное утверждение.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Лемма. Пусть и — две точки на полуокружности с диаметром точка лежит на отрезке и Тогда

Доказательство. Отметим точку симметричную относительно Тогда четырёхугольник вписан в окружность с диаметром Также в силу симметрии и

то есть точки лежат на одной прямой. Значит, — точка пересечения диагоналей вписанного четырёхугольника поэтому

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Таким образом, лемма доказана, что завершает решение задачи.

Обозначив и имеем

так как

и

Поэтому числа и образуют пару корней квадратного трёхчлена

откуда

В точке пересекаются три высоты треугольника. Так как — центр описанной окружности, то в точке пересекаются серединные перпендикуляры треугольника. Так как точка — середина стороны то — медиана. Точка — точка пересечения медианы и прямой

Треугольники и подобны — это следует из параллельности прямых и которые обе перпендикулярны прямой . По теореме о прямой Эйлера , тогда коэффициент подобия равен 2.

Значит, то есть медиана делится точкой в отношении Это означает, что — точка пересечения медиан треугольника

Поэтому площадь в 2 раза больше площади Так как — середина то

Рассмотрим несколько случаев, чтобы определить, какая из площадей является суммой двух других. Для этого нам важно понять, где прямая пересекает стороны треугольника.

Если треугольник правильный, то точки и совпадают и указанные в условии задачи три площади вырождаются. Это здесь невозможно, так как дано, что площади равны 3 и 5.

Если прямая проходит через любую вершину треугольника, то тогда одна из трех площадей равна 0, а две другие — ненулевые, но равны между собой — этот случай нам не подходит.

Если же прямая пересекает две стороны (рассмотренный выше случай), то мы доказали, что одна из этих трех площадей (в первом случае это во втором — в третьем — ) является суммой двух других.

Поэтому получаем либо либо либо что невозможно.

Суммарная площадь четырёх кругов радиуса равна так что равна площади содержащего их большого круга радиуса Поэтому по теореме о линолеуме внутри круга радиуса площадь области точек, покрытых два раза кругами радиуса равна площади области точек, не покрытых ни разу.

Пусть пересекает в точке

За счёт имеем с коэффициентом так что

Из теоремы об отношении площадей треугольников с общей высотой

Тогда по тому же факту И, наконец,

Обозначим точку пересечения диагоналей за Сумма площадей и равна половине площади прямоугольника (полупроизведение стороны на высоту прямоугольника к стороне так же как и площадь треугольника (полупроизведение основания на высоту прямоугольника к При этом в покрытии прямоугольника этими тремя "ковриками " никакая точка не покрыта трижды.

Тогда по теореме о линолеуме площадь области прямоугольника, покрытой дважды (чёрной части), равна площади области, не покрытой ни разу (серой части).

По теореме об отношении площадей с общей высотой

Отсюда получаем, обозначив

Так что

Рассмотрим картинку, соответствующую условию задачи с точностью до переобозначений:

Заметим, что треугольники с их внутренними точками образуют такое покрытие внутренности исходного треугольника, что каждая его точка принадлежит не более, чем двум из трёх кусков покрытия. Тогда по лемме о линолеуме площадь непокрытой части – – равна сумме площадей покрытых дважды областей – – тогда и только тогда, когда общая площадь покрытия – – равна площади всего треугольника которую мы обозначим неизвестной

Первое решение.

Рассмотрим треугольник двигая точку вдоль “оранжевой” прямой площадь треугольника остаётся постоянной по теореме о перетягивании площади по рельсам Евклида (пользуемся тем, что оранжевая” прямая параллельна основанию треугольника). Тогда передвинем точку в точку Аналогично поступим с точками и В итоге

Итак, сумма площадей “синих” треугольников, образованных на пересечениях треугольников и равна площади не замощённого участка треугольника (зелёного треугольника) по теореме о паркете.

Второе решение.

По теореме об отношении площадей треугольников с общей высотой Ясно, что эта сумма равна тогда и только тогда, когда

Здесь уже настало время пользоваться природой появления точек от точки Обозначим точки пересечения чевиан, пересекающихся в точке со сторонами треугольника за

Тогда по теореме Фалеса искомое соотношение эквивалентно

Это соотношение для конкурентных чевиан известно как теорема Жергонна. Доказать её можно так: площади треугольников и относятся как высоты из вершин и соответственно, потому что сторона общая, а высоты из этих вершин относятся так же, как и к по обобщённой теореме Фалеса. Проделав аналогичные рассуждения с точностью до переобозначений,

Первое решение.

Пусть луч пересекает отрезок в точке Воспользуемся теоремой об отношении площадей треугольников с общей высотой:

Тогда так как и то мы получим следующее соотношение:

Значит, тогда точка пересечения медиан треугольника Отсюда следует, что середина отрезка Получим, что как половины равных по условию площадей (так как медианы).

Второе решение.

Так как медиана делит площадь треугольника пополам, то для треугольника , в котором проведена медиана получим, что Теперь применим теорему об отношении площадей треугольников с общей высотой:

Теперь применим теорему Менелая для треугольника и секущей :

Получим, что середина Тогда как половины равных по условию площадей (так как медианы).

Соединим точку с точками и Так как то а по теореме об угле между касательной и хордой. Поэтому Следовательно, и — соответствующие элементы в подобных прямоугольных треугольниках и (По двум углам: — общий и Значит,

По обобщённой теореме Фалеса

Из полученных равенств следует, что

Значит, — середина а так как то — средняя линия Отсюда

А значит,

Для начала требуется отобразить точки на координатной плоскости. Так как по условию задачи требуется найти площадь зоны действия вышки , то соединим отрезками точку с точками . Далее проведём через полученные отрезки серединные перпендикуляры и выделим область, полученную пересечением таких перпендикуляров (отмечены на рис. оранжевым цветом). Таким образом, получаем трапецию (см. рисунок ниже), которая демонстрирует область зоны действия вышки :

Осталось посчитать площадь полученной трапеции. Пересечение срединных перпендикуляров дало нам 4 точки с координатами . Площадь данной трапеции

Рассмотрим треугольник . Заметим, что . При этом , откуда получаем . Аналогично , откуда . Аналогично , откуда .

Достаточно показать, что сумма площадей двух противолежащих треугольников равна половине площади параллелорамма, сделаем это. Обозначим точку внутри через Проведём из высоты и на стороны и Прямые и перпендикулярны параллельным сторонам параллелограмма и имеют общую точку, значит они являются одной и той же прямой. Площади треугольников и равны соответственно и Таким образом, сумма их площадей равна поскольку — высота параллелограмма.

Заметим, что площади треугольников и равны, поскольку у них общее основание и прямые и параллельны, а значит у них равные высоты. А теперь заметим, что площади треугольников и равны, поскольку у них общее основание и равные высоты, потому что прямые и параллельны.

Нетрудно видеть, что а

Следовательно, достаточно доказать равенство площадей треугольников и Обозначим точку пересечения и через Прямая является медианой треугольников и а значит Если сложить эти равенства, получим требуемое.

Обозначим площадь треугольника через тогда площадь треугольника равна С одной стороны, а с другой стороны Отсюда получаем уравнение которое имеет решение Теперь видно, что делит треугольник на два равновеликих, а значит, является его медианой. Получили требуемое.

Чтобы обеспечить покрытие радарами кольца вокруг платформы необходимо расположить их в вершинах правильного многоугольника, центр которого совпадает с центром платформы.

Точка — центр нефтяной платформы, а точки и — точки расположения радаров. Круги — это покрытие радаров. Рассмотрим фрагмент — треугольник .

В прямоугольном треугольнике по теореме Пифагора найдем :

Тогда , следовательно, расстояние от центра платформы до радаров равно радиусу описанной около правильного пятиугольника окружности:

Чтобы найти площадь кольца покрытия, нужно из площади круга с радиусом вычесть площадь круга с радиусом , то есть . Отрезок равен: . Найдём радиусы:

откуда:

Первое решение.

Проведём биссектрису и высоту в равнобедренном до пересечения с в точке . Тогда — ромб со стороной и углами , где .

Тогда и из по теореме синусов

Отсюда площадь ромба можно найти по формуле

А площадь трапеции легко выразить через площадь ромба через отношение полусуммы оснований трапеции к стороне ромба, ведь у них общая высота

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Точки и лежат на окружности радиуса с центром в вершине . Пусть прямая вторично пересекает эту окружность в точке .

Тогда вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла т. е.

значит, точка совпадает с точкой , а .

Пусть — высота равнобедренного треугольника . Тогда — середина основания . По теореме Пифагора

Следовательно,

Будем пользоваться отношением площадей треугольников с основаниями, лежащими на одной прямой - оно равно отношению самих оснований, откуда . Затем

Проведем — среднюю линию треугольника , соответствующую стороне . Тогда , так как высоты этих треугольников, проведенные из вершины совпадают.

Из того, что , получаем, что длины перпендикуляров, опущенных из точки на прямые и , относятся как . Поэтому

Перемножив почленно полученые равенства, получим