Тема ПЛАНИМЕТРИЯ

Счётная планиметрия → .06 Счёт в синусах и просто теорема синусов

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела планиметрия

Разделы подтемы Счётная планиметрия

Отрезки касательных и секущих

Четырёхугольники в окружности, счёт отрезков и углов, теорема Птолемея, Кэзи

Подобные треугольники и теорема Фалеса

Теоремы Менелая и Чевы, Ван-Обеля и Жергонна

Теорема косинусов и теорема Пифагора

Счёт в синусах и просто теорема синусов

Счёт площадей, рельсы Евклида, теорема о линолеуме

Геометрия масс

Двойные отношения и гармонические четвёрки

Комплексные числа для планиметрии

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 61#70313Максимум баллов за задание: 7

В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты пересекаются в точке $H$ , а медианы в точке $M$ . Биссектриса угла $A$ проходит через середину отрезка $MH$ . Найти площадь треугольника $ABC$ , если $BC = 2$ , а разность углов $B$ и $C$ равна $∘ 30$ .

Источники: Вступительные на МехМат МГУ, 2004

Подсказки к задаче

Подсказка 1

На рисунке есть отрезок, соединяющий ортоцентр с точкой пересечения медиан, а также деление такого отрезка на 2. На какой сюжет это намекает?

Подсказка 2

Отметим точку O — центр описанной окружности ABC. Что можно провести, чтобы использовать деление отрезка MH пополам? Чем является HM?

Подсказка 3

HM — прямая Эйлера, значит O лежит на ней! А что если опустить перпендикуляр из O на BC?

Подсказка 4

Треугольники AHT и LOT подобны, аналогично подобны и треугольники AHM и KOM. Теперь мы можем записать равенства, следующие из подобия. Но как использовать условие на разницу величин углов? К тому же, нам нужно найти площадь, то есть стороны или углы.

Подсказка 5

В этом нам может помочь теорема синусов! С помощью нее мы можем выразить AB и AC через некоторый угол ;)

Показать ответ и решение

Пусть $O$ — центр описанной около $△ABC$ окружности. Проведём серединный перпендикуляр $OK$ к стороне $BC$ . Как известно, биссектриса угла $A$ и продолжение $OK$ пересекаются на описанной окружности треугольника $ABC,$ пусть в точке $L$ . А также знаем, что точки $H, M, O$ лежат на одной прямой и $HM :MO = 2:1$ (Прямая Эйлера). В силу того, что $HT = TM$ , получаем $HT = TM = MO$ , где $T$ — точка пересечение биссектрисы угла $A$ и $HM.$

$PIC$

$△AHT ∼ △LOT$ по двум углам $=⇒ 2AH =OL;$

$△AHM ∼ △KOM$ по двум углам $=⇒ AH = 2OK;$

Следовательно, если $AH = 2x$ , то

OK =x, KL = 3x =⇒ OB =OL = 4x =⇒ ∠BOK = ∠BAC = arccos 1 4

Если $∠ACB = γ,$ то

π π 1 5π arccos14 ∠ABC = γ+ 6 =⇒ 2γ+ 6 =π − arccos4, γ = 12 −-2--

По теореме синусов в треугольнике $ABC :$

AB AC BC 2 8 sin-γ = sin(γ+-π) = sin(arccos-1) =-(-----√15) = √15; 6 4 sin arcsin 4

Откуда

AB = √8-sinγ 15

AC = √8-sin (γ+ π) 15 6

Тогда

1 1 8 8 ( π) √15- S△ABC = 2 ⋅AB ⋅AC ⋅sin∠BAC = 2 ⋅√15sinγ⋅√15 sin γ+ 6 ⋅-4 =

= √4--⋅2sinγsin(γ + π)= √4- (cosπ +cos(2γ+ π))= 15 6 15 6 6

4 ( √3 1) 4 ( √3 1) 2√3 +1 = √15 2-− cos(π− arccos 4) = √15 -2-+ 4 = --√15-

Ответ:

$2√3-+1 √15$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 62#80048Максимум баллов за задание: 7

Через точку $A$ проведены две прямые: одна из них касается окружности в точке $B,$ а другая пересекает эту окружность в точках $C$ и $D$ так, что $D$ лежит на отрезке $AC.$ Найти $AB,CD$ и радиус окружности, если $1 BC = 4,BD =3,∠BAC = arccos3.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обозначим AB за x, AD за y. Проведена касательная к окружности — какие равенства это за собой влечёт?

Подсказка 2

Угол между касательной и хордой равен углу, опирающемуся на эту хорду! Тогда можно обратить внимание на то, в каких треугольниках присутствуют равные углы. Ищем отрезки, значит, стоит записать какие-то отношения!

Подсказка 3

Треугольники ABC и ABD подобны! Тогда можно выразить какие-то отрезки через введённые переменные. Как думаете, зачем нам дали арккосинус?) Как он может помочь в счёте отрезков?

Подсказка 4

Воспользуемся теоремой косинусов для треугольника ABC. Тогда мы сможем выразить x ;)

Подсказка 5

А как связаны y и x на картинке? Как они были построены?

Подсказка 6

Воспользуемся свойством о квадрате касательной! Тогда можно будет найти y ;)

Подсказка 7

А как мы ищем радиус описанной окружности, если известны какие-то и углы и стороны треугольника?

Подсказка 8

Воспользуемся теоремой синусов!

Показать ответ и решение

Обозначим $AB = x,AD = y,∠BAD = α,∠ACB = φ$ . Тогда $∠ABD = φ.$

$PIC$

Из подобия треугольников $ABC$ и $ABD$ следует, что $AB- AD- 3 AC = BC = 4,$ откуда $4 AC = 3x$ .

Из треугольника $ABC$ по теореме косинусов получаем

BC2 = AB2 +AC2 − 2AB⋅AC ⋅cosα

2 16 2 4 1 17 2 16= x + 9 x − 2x⋅3 x⋅3 = 9 x

, oткyда $-12- AB = x= √17.$

По свойству касательной и секущей

AB2 = AD ⋅AC,

2 4 x = y⋅3x,

откуда

9 16 9 7 AD = √17,DC = AC− AD = √17 − √17-= √17

Пусть $R$ — радиус окружности, тогда

R= -BD--= --3--. 2sin φ 2sin φ

Из треугольника $ABD$ по теореме синусов имеем

AD--= BD-, sinφ sinα

где

2√2 AD sin α ∘-2- 3√17 sinα = -3-,sinφ= ---3---= 2 17,R = 4√2-

Ответ:

$AB = √12-,CD = √7,R = 3√1√7 17 17 4 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 63#49305Максимум баллов за задание: 7

В четырехугольнике $ABCD$ длины сторон $AB$ и $BC$ равны $1,$ $∠B = 100∘,∠D = 130∘$ . Найдите $BD.$

Источники: Турнир городов - 1985, весенний тур, базовый вариант, 11.1

Подсказки к задаче

Идея идейного решения

Половина угла В даёт в сумме с углом D 180 градусов. Это нам напоминает признак вписанного четырёхугольника. Да ещё и есть равные отрезки, которые могут быть связаны с окружностью... Попробуйте раскрутить задачу от обратного!

Идея счётного решения

даны две стороны и угол между ними - сразу считаем АС по теореме косинусов!

получается 2 sin(50°)

а дальше можно по теореме синусов для ACD посчитать радиус описанной окружности и понять, что её центр совпадает с........

Показать ответ и решение

$PIC$

Первое решение.

Построим окружность с центром в точке $B$ и радиусом $R = 1$ — на ней лежат $A$ и $C$ . Покажем, что точка $D$ также лежит на окружности. Для этого заметим, что градусная мера меньшей дуги $AC$ равна $100∘$ , а большей — $260∘ = 2⋅130∘ = 2⋅∠ADC$ . Точка $D$ лежит между $A$ и $C$ , потому из написанного выше следует, что она лежит на меньшей дуге и $∠ADC$ вписанный. Отсюда $BD = R =1$ .

Второе решение.

Из равнобедренности $△ABC$ $AC =2 sin50∘$ . Для $△ADC$ с радиусом описанной окружности $r$ применим теорему синусов и получим $r= 2sAinC∠D-= 2siAnC130∘ = 22ssinin51030∘∘ =1$ . Заметим, что $B$ лежит на серединном перпендикуляре к $AC$ и удалён от $A$ и $C$ на расстояние $r= 1$ . Но тогда в силу единственности центра описанной окружности он и будет центром (заметим, что он лежит по противоположную от $AC$ сторону от вершины $D$ , ведь $∠ADC$ тупой). Отсюда $BD = r= 1$ .

Ответ:

$1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 64#84476Максимум баллов за задание: 7

В треугольнике $ABC$ отмечены точки $A′$ , $B′$ , $C′$ на сторонах $BC$ , $AC$ и $AB$ соответственно. Докажите, что прямые $AA ′$ , $BB ′$ и $′ CC$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполнено равенство

sin∠BAA ′ sin∠ACC ′ sin ∠CBB ′ sin∠A′AC-⋅sin∠C-′CB-⋅sin∠B′BA = 1

Показать доказательство

$PIC$

Предположим, что чевианы пересекаются в одной точки, тогда по теореме Чевы

AC′ BA ′ CB ′ C′B ⋅A-′C-⋅B′A-= 1

Рассмотрим, треугольники $ACC ′$ и $BCC ′,$ запишем в них теоремы синусов

′ --AC---′ =--AC--′- sin∠ACC sin∠AC C

---C′B-- = --BC---- sin∠C′CB sin∠CC ′B

Заметим, т.к. $∠AC′C$ и $∠CC ′B$ смежные, значит их синусы равны. Теперь из этих выражений получим

AC′= AC- ⋅ sin∠ACC-′ C′B BC sin∠C′CB

Аналогично, выразим остальные отношения

′ ′ ′ ′ BA′--= AB-⋅ sin∠BAA′- и CB′-= BC-⋅ sin∠CBB′- A C AC sin∠A AC B A AB sin∠B BA

Подставим эти равенства в тождество, полученное по теореме Чевы

AC-⋅ sin∠ACC-′⋅ AB-⋅ sin-∠BAA′⋅ BC ⋅ sin∠CBB-′= 1 BC sin∠C′CB AC sin ∠A′AC AB sin∠B′BA

sin∠BAA-′ sin∠ACC-′ sin-∠CBB-′ sin∠A′AC ⋅sin∠C ′CB ⋅sin∠B′BA = 1

Заметим, что преобразования и рассуждения, которые мы использовали равносильны, поэтому тождество с синусами, то ты мы его можем привести к тождеству для теоремы Чевы, и в силу её чевианы будут пересекаться в одной точки.

Предыдущая подтема

Следующая подтема