Тема ПЛАНИМЕТРИЯ

Счётная планиметрия → .07 Счёт площадей, рельсы Евклида, теорема о линолеуме

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела планиметрия

Разделы подтемы Счётная планиметрия

Отрезки касательных и секущих

Четырёхугольники в окружности, счёт отрезков и углов, теорема Птолемея, Кэзи

Подобные треугольники и теорема Фалеса

Теоремы Менелая и Чевы, Ван-Обеля и Жергонна

Теорема косинусов и теорема Пифагора

Счёт в синусах и просто теорема синусов

Счёт площадей, рельсы Евклида, теорема о линолеуме

Геометрия масс

Двойные отношения и гармонические четвёрки

Комплексные числа для планиметрии

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 81#67200Максимум баллов за задание: 7

В выпуклом четырёхугольнике две противоположные стороны равны и перпендикулярны, а две другие равны $a$ и $b.$ Найдите его площадь.

Источники: Турнир Ломоносова-2016, отборочный тур (см. turlom.olimpiada.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Когда в задачах по геометрии даны перпендикулярные прямые, но явно не обозначена точка их пересечения, то часто бывает, что нужно продлить прямые до их пересечения. Попробуйте сделать это и в нашей задаче. Какие фигуры получатся?

Подсказка 2

Правильно, получатся два прямоугольных треугольника — с гипотенузой, равной а, и с гипотенузой, равной b. Обозначьте неизвестные стороны какими-нибудь буквами, не забывая, что перпендикулярные стороны равны друг другу. Как теперь выразить площадь четырехугольника?

Подсказка 3

Верно, как разницу площадей этих прямоугольных треугольников! Теперь у нас есть формула для площади, но в ней всё ещё присутствуют неизвестные стороны. Значит, нужно найти, как ещё данные a и b из условия связаны c длинами неизвестных сторон. Какую теорему о прямоугольных прямоугольниках мы знаем?

Подсказка 4

Теорему Пифагора! Распишите теорему Пифагора для прямоугольных треугольников, немного преобразуйте и подставьте в формулу для площади!

Показать ответ и решение

Если $a =b,$ то получаем прямоугольник, у которого противоположные стороны параллельны, а не перпендикулярны.

Пусть для определённости дальше $b> a.$ Если $a> b,$ то нужно будет в ответе поменять буквы местами, поэтому учтём это знаком модуля.

Первое решение.

$PIC$

Обозначим длину двух равных сторон через $x$ . Продолжим их до пересечения и обозначим длины двух получившихся коротких отрезков через $y$ и $z.$ Площадь $S$ исходного четырёхугольника есть разность площадей двух прямоугольных треугольников: с катетами $x +y$ и $x+ z$ и с катетами $y$ и $z$ . Поэтому

2S = (x+ y)(x+ z)− yz = x2+xy +xz

По теореме Пифагора

y2+ z2 =a2,(x +y)2+ (x+ z)2 =b2

Поэтому

2 2 2 b− a = 2x +2xy+ 2xz = 4

В итоге площадь многоугольника равна

b2− a2 4

Второе решение.

$PIC$

Из четырёх таких многоугольников можно сложить квадрат со стороной $b,$ из которого вырезан квадрат со стороной $a.$ Поэтому площадь одного многоугольника равна $14(b2 − a2).$

Ответ:

$1 ||b2− a2|| 4$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 82#97170Максимум баллов за задание: 7

На стороне $AC$ треугольника $ABC$ отметили точку $D.$ Точка $E$ — середина отрезка $BD,$ точки $P$ и $Q$ симметричны точке $E$ относительно вершин $A$ и $C$ соответственно. Найдите площадь треугольника $BP Q,$ если площадь треугольника $ABC$ равна $7.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте выражать искомую площадь через площадь треугольника ABC c помощью формулы площади. Через какие высоту и сторону тогда разумно записать площадь ABC?

Подсказка 2

Верно, через высоту из вершины B и сторону AC, ведь B общая вершина треугольников, а также можно вычислить отношение высот и сторон PQ и AC. Чему они равны?

Подсказка 3

Поскольку AC является средней линией PEQ, PQ=2AC, а вот высота PBQ из вершины B в полтора раза больше высоты ABC. Как тогда относятся площади PBQ и ABC?

Подсказка 4

Таким образом, площади PBQ и ABC относятся как 2×1,5=3. А значит, искомая площадь равна 7×3=21.

Показать ответ и решение

$AC$ — средняя линия треугольника $PEQ,$ поэтому сторона $PQ$ треугольника $P BQ$ в $2$ раза больше стороны $AC$ треугольника $ABC.$ А высота треугольника $PBQ$ в $1,5$ раза больше высоты треугольника $ABC$ (обе высоты опущены из вершины $B$ ). Значит, $SPBQ = 3⋅SABC.$

$PIC$

Ответ:

$S = 21 PBQ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 83#97178Максимум баллов за задание: 7

Серединные перпендикуляры к сторонам $AB$ и $BC$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ пересекают стороны $CD$ и $DA$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Оказалось, что $∠AP B =∠BQC.$ Внутри четырёхугольника выбрана точка $X$ такая, что $QX ∥ AB$ и $PX ∥ BC.$ Докажите, что прямая $BX$ делит диагональ $AC$ пополам.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте переформулировать на язык площадей условие того, что BX делит пополам отрезок AC.

Подсказка 2

Достаточно доказать, что площади треугольников BCX и ABX равны. Попробуйте "переложить" эти площади, используя параллельность. Куда можно переложить площадь треугольника ABX?

Подсказка 3

Правильно! Площадь треугольника ABX равна площади треугольника ABQ. Аналогично площадь треугольника BCX равна площади треугольника BCP. Попробуйте доказать, что AB*BQ = CB*BP. Для этого надо найти подобные треугольники. Какие?

Подсказка 4

Верно! Треугольники BCQ и ABP подобны. Теперь для равенства площадей осталось доказать равенство углов ABQ и CBP. Попробуйте это сделать.

Показать доказательство

Достаточно доказать, что расстояния от точек $A$ и $C$ до прямой $BX$ равны. Это равносильно тому, что $S = S , ABX BCX$ поскольку у треугольников $ABX$ и $BCX$ общее основание $BX.$ Поскольку $QX ∥ AB,$ имеем $SABX = SABQ.$ Аналогично, $SCBX = SCBP.$ Заметим, что равнобедренные треугольники $ABP$ и $CBQ$ подобны по двум углам, поэтому $AB- BP- BC = BQ,$ откуда $AB ⋅BQ =CB ⋅BP.$ Так как $∠ABP =∠CBQ,$ то и $∠ABQ = ∠CBP.$ Следовательно, площади треугольников $ABQ$ и $CBP$ относятся как произведения заключающих равные углы сторон, т.е. эти площади равны. Но тогда $SABX = SABQ =SCBP = SCBX,$ что и требовалось доказать.

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 84#78850Максимум баллов за задание: 7

В трапеции, площадь которой равна 1, каждая сторона поделена на три равные части. Соответствующие точки соединены отрезками, как показано на рисунке:

$PIC$

Найдите площадь заштрихованной фигуры, если известно, что нижнее основание трапеции в два раза больше верхнего.

Источники: Межвед-2014, 11.8 (см. v-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обозначим нашу искомую площадь за S. Давайте сначала вспомним, что нам известно. Нам дали отношение оснований и площадь трапеции. О чём нам на самом деле говорит условие про отношение оснований? Как можно по другому его сформулировать?

Подсказка 2

Верно, раз мы знаем отношение оснований, то мы знаем коэффициент подобия треугольников, которые образуются пересечением оснований. И давайте, чтобы у нас хоть что-нибудь было, мы запишем площадь трапеции. Но как её будет удобнее всего записать? Вспомним, что наша искомая площадь находится в нижнем треугольнике.

Подсказка 3

Да, давайте выразим площадь трапеции через нижнее основание и высоту этого треугольника. Понятно, что через подобие основание и высота верхнего треугольника выражаются через нижний. Что же теперь? Мы получили, что произведение основания на высоту треугольника равно 8/9, то есть по сути мы знаем его площадь. Значит, какая у нас из-за этого появляется цель, чтобы найти исходную площадь?

Подсказка 4

Верно, нам нужно попытаться выразить S через треугольник. Попробуем это сделать. Какое есть свойство площадей у треугольников с общим углом? Ещё не стоит забывать про подобие.

Подсказка 5

Верно, это свойство о том, что отношение площадей равно отношению произведению прилежащих к общему углу сторон треугольников. Отсюда мы можем найти площадь "средних" треугольников внутри. Теперь можно через коэффициент подобия найти площадь маленького треугольника посередине. Осталось только выразить S через площадь большого, и победа!

Показать ответ и решение

Обозначим через $S = S ONRQ$ площадь заштрихованной фигуры.

$PIC$

По свойствам площадей треугольников с общим углом имеем:

SAOD-= 3⋅3= 9, SEQD 2⋅2 4

отсюда

4 5 SEQD = 9SAOD =⇒ SAOQE = SPNOD = 9SAOD

В то же время треугольник $ERP$ подобен треугольнику $AOD$ с коэффициентом подобия $1 3,$ значит

1 SERP = 9SAOD =⇒ SAOQE + SPNOD +SERP − S = SAOD

5 5 1 2 9SAOD+ 9SAOD − 9SAOD − S = SAOD =⇒ S = 9SAOD

При этом, $BC-+-AD- SABCD = 2 (h1+ h2),$ где $h1$ — высота треугольника $BOC$ и $h2$ — высота треугольника $AOD.$ Ясно, что $h1 = 1 2$ в силу подобия треугольников $BOC$ и $AOD$ с коэффициентом $1. 2$ Следовательно:

SABCD = BC-+-AD-(h1+ h2)= 3⋅AD-⋅ 3h2 = 1 =⇒ AD⋅h2 = 8 2 4 2 9

И в итоге:

S = 2S = 2⋅ 1 ⋅AD ⋅h =-8 9 AOD 9 2 2 81

Ответ:

$-8 81$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 85#91250Максимум баллов за задание: 7

В трапеции $ABCD$ , где $BC ∥AD,$ а диагонали пересекаются в точке $O,$ на отрезке $BC$ выбрана такая точка $K,$ что $BK :CK = 2:3,$ а на отрезке $AD$ выбрана такая точка $M,$ что $AM :MD =3 :2.$ Найдите площадь треугольника $COD,$ если $AD = 7,BC =3,KM =6,$ a $1 cos∠CAD = 5.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам дана трапеция, а также некоторые отношения. Это явный намёк на подобные треугольники!

Подсказка 2

Проведите прямую KO и поймите, где она пересечет сторону AD.

Подсказка 3

Постройте CH перпендикулярно AD.

Подсказка 4

Выразите S(COD) через площади других фигур.

Показать ответ и решение

$PIC$

Вначале докажем, что отрезок $KM$ проходит через точку $O$ . Треугольники $AOD$ и $COB$ подобны, а значит,

DO AO AD 7 BO- = CO-= BC-= 3

Проведём прямую $KO$ и обозначим точку её пересечения с отрезком $AD$ через $N$ . Треугольники $DON$ и $BOK$ подобны, а значит,

DN- = DO = NO-= 7 BK BO OK 3

Аналогично,

AN-= AO-= 7 CK CO 3

Поделим первое из этих равенств на второе и получим

DN- = BK- AN CK

т.е. точка $N$ совпадает с точкой $M$ , а значит, отрезок $KM$ совпадает с отрезком $KN$ и проходит через точку $O$ .

По условию

6 9 21 14 BK = 5;CK = 5;AM = 5 ;DM = 5

В силу подобия треугольников, $KO :OM = 3:7$ , откуда

9 21 KO = 5;OM = 5-

Найдем $AO$ из теоремы косинусов в треугольнике $AOM :$

OM2 =AM2 + AO2 − 2⋅AO ⋅AM ⋅cos∠CAM

42 AO = 25

Тогда $CO = 37AO = 1285$ , а $AC = 152$ . Высоту трапеции $CH$ можно найти из прямоугольного треугольника:

√- CH = ACsin∠CAD = 24-6 25

В силу подобия, высоты в треугольниках $AOD$ и $BOC$ равны, поэтому

-7 84√6 10CH = 125

3 36√6 10CH = -125-

Тогда можно найти площадь трапеции и площади треугольников $AOD$ и $BOC$ :

√- √ - SABCD = 1(3+ 7)24-6 = 24--6 2 25 5

7 84√6 294√6- SAOD = 2 ⋅-125 =-125-

√- √- SBOC = 3 ⋅ 36-6= 54-6 2 125 125

Поскольку в любой трапеции площади треугольников $AOB$ и $COD$ равны, окончательно получаем

√- SCOD = 1(SABCD − SAOD − SBOC)= 126-6 2 125

Ответ:

$126√6 125$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 86#97177Максимум баллов за задание: 7

На сторонах $AB$ и $AD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ расположены точки $P$ и $Q$ соответственно такие, что площадь каждого из треугольников $ABQ$ и $ADP$ равна трети площади четырёхугольника $ABCD.$ Отрезок $P Q$ пересекает диагональ $AC$ в точке $R.$ Найдите отношение $AR ∕RC.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обозначим площадь треугольника ABD через S. Пусть AQ/AD = k, AP/AB = l. Попробуйте вычислить площади треугольников ABQ и ADP через S,k,l. Какое соотношение на k и l можно получить?

Подсказка 2

Правильно! k = l! Что из этого сразу следует?

Подсказка 3

Верно! Из k = l сразу следует, что PQ || BD. Обозначим площадь треугольника BCD через S1. Пусть O — точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD. Чему равно тогда AO/CO через S и S1?

Подсказка 4

Точно! AO/CO = S/S1! Теперь мы готовы посчитать AR/RC. Только надо не забыть, что S + S1 = 3kS и AR = k*AO.

Показать ответ и решение

Обозначим площадь треугольника $ABD$ через $S.$ Пусть $AQ-=k, AP-= t, AD AB$ тогда $S =k ⋅S,S = t⋅S, ABQ APD$ а так как эти площади равны, то $k= t,$ при этом $PQ$ параллельно $BD.$ Тогда $AR- AO =k.$ Обозначим площадь треугольника $BCD$ через $S1.$ Тогда $1 k⋅S = 3(S +S1).$ Так как треугольники $ABD$ и $BCD$ имеют общую сторону $BD,$ то их площади относятся как высоты, опущенные на эту сторону, а высоты, в свою очередь, относятся как $AO- OC,$ где $O$ — точка пересечения диагоналей четырехугольника $ABCD.$ Значит, $AO- -S OC = S1.$ Найдем

RC OC +CR OC+ (1− k)⋅AO S1+ S− k⋅S S1+ S AR-= --AR----= ----k⋅AO-----= ----k⋅S--- = -k⋅S-− 1= 3− 1= 2

$PIC$

Ответ:

$1 2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 87#43620Максимум баллов за задание: 7

В треугольник со сторонами $3,5$ и $6$ вписана окружность, касающаяся сторон треугольника в точках $A,B$ и $C.$ Найдите площадь треугольника $ABC.$

Показать ответ и решение

Обозначим через $K, L$ и $M$ вершины треугольника. Пусть точки $A,B$ и $C$ лежат на сторонах $KL = 3,LM = 5$ и $KM =6$ соответственно.

$PIC$

Из системы

( |{ KA +AL = 3 |( LB +BM =5 KC +CM = 6

с учётом свойства касательных получаем $AK = KC = 2,AL = LB = 1$ , $BM =MC =4.$

Тогда

SAKC AK KC 2 2 2 2 SKLM-= KL-⋅KM--= 3 ⋅6 = 9 ⇒ SAKC =9 SKLM SBCM- BM-- MC-- 4 4 -8 8- SKLM = LM ⋅KM = 5 ⋅6 = 15 ⇒ SBCM = 15SKLM SLAB-= LA-⋅ LB = 1⋅ 1 = 1-⇒ S = 1S SKLM LK LM 3 5 15 LAB 15 KLM

а значит,

SABC =S(KLM − SAKC − S)BCM − SLAB = = 1− 2− 8-− 1- SKLM = -8SKLM 9 15 15 45

Площадь треугольника KLM можно найти, например, по формуле Герона:

p = KL-+LM-+-KM--=7, SKLM = √7⋅4⋅2⋅1= 2√14 2

поэтому $√-- SABC = 164154.$

Ответ:

$16√14 45$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 88#91928Максимум баллов за задание: 7

Длина медианы $AD$ треугольника $ABC$ равна 3, длины сторон $AB$ и $AC$ — 5 и 7 соответственно. Найдите площадь треугольника $ABC.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какие крутые дополнительные построения, связанные с медианой, мы с Вами знаем?

Подсказка 2

Например, можно удвоить медиану и получить параллелограмм.

Подсказка 3

Что можно сказать о площадях получившихся треугольников?

Подсказка 4

Некоторые из них будут равновеликими. Значит, можно вычислить площадь более "удобного".

Подсказка 5

Как найти площадь треугольника, все стороны которого известны?

Подсказка 6

Воспользуйтесь формулой Герона.

Показать ответ и решение

Продлим медиану $AD$ за точку $D$ до точки $A ′$ такой, что $AD = DA′.$

$PIC$

Получим треугольник $ABA′$ , равновеликий исходному, со сторонами 5,6 и 7. Его площадь легко найти по формуле Герона:

SABC =SBDA ′ =∘9-⋅(9− 5)⋅(9−-6)⋅(9−-7)= 6√6

Ответ:

$6√6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 89#97173Максимум баллов за задание: 7

В равнобокой трапеции $ABCD$ из точки $B$ опущена высота на большее основание $AD$ и на ее продолжении взята точка $E.$ Отрезки $EC$ и $BD$ пересекаются в точке $P.$ Докажите, что $SPED = SEBA +SBPC.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Добавим к обеим частям площадь треугольника EBP. Равенство каких объектов теперь требуется доказать и как их выразить?

Подсказка 2

Ага, теперь требуется доказать равенство площадей четырёхугольника ABCE и треугольника BED. Обозначим пересечение BE и AD за H. Тогда искомые площади соответственно равны BE(AH+BC)/2 и BE×HD/2. Осталось понять, почему эти величины равны.

Подсказка 3

Равенство AH+BC=HD следует из условия о том, что ABCD является равнобокой.

Показать доказательство

Добавим к обеим частям $S . EBP$ Получим, что требуется доказать равенство площадей четырехугольника $ABCE$ и треугольника $BED.$ Площадь последнего равна $BE⋅HD- 2 ,$ где $H$ — точка пересечения $BE$ и $AD.$ Площадь $ABCE$ равна $BE⋅(AH+BC-) 2 .$ Осталось заметить, что $AH + BC = HD,$ поскольку трапеция является равнобокой.

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 90#79931Максимум баллов за задание: 7

На основании $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ взята точка $E$ , а на боковых сторонах $AB$ и $BC$ точки $D$ и $F$ так, что $DE ∥BC$ и $EF ∥AB$ . Какую часть площади треугольника $ABC$ занимает площадь треугольника $DEF,$ если $BF :EF = 2:3?$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметьте подобные треугольники.

Подсказка 2

А есть ли на данной картинке параллелограмм?

Подсказка 3

Как его площадь будет относиться к площади треугольника DEF? А как относятся площади подобных треугольников?

Показать ответ и решение

$PIC$

Четырёхугольник $BDEF$ — параллелограмм, а треугольники $ADE$ и $EFC$ подобны треугольнику $ABC,$ так как $DE ∥BC$ и $EF ∥AB,$ с коэффициентами подобия, равными

DE-= --2x---= 2 и F-C = -2x---= 3 BC 2x+ 3x 5 BC 2x +3x 5

соответственно. Следовательно, отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия, т.е. соответственно

SADE-= 4- и SEFC-= -9 SABC 25 SABC 25

Раз $BDEF$ — параллелограмм, то его площадь в два раза бальше площади $DEF$ , при чём площадь $BDEF$ можно посчитать, как разность площади исходного треугольника $ABC$ и суммы площадей треугольников $ADE$ и $EF C,$ в итоге

1 1 1 ( 4 9 ) 6 SDEF = 2SBDEF =2 (SABC − SADE − SEFC) =2 1− 25 − 25 SABC = 25SABC

Ответ:

$-6 25$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 91#42965Максимум баллов за задание: 7

Дана трапеция с основаниями $1$ и $4$ и площадью $S$ . Найдите площадь треугольника, образованного диагоналями и меньшим основанием трапеции.

Источники: ОММО-2009, номер 4, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так как нам дали площадь всей трапеции, то понятно, что площадь маленького треугольника составляет какую-то часть площади трапеции. Если попробовать посчитать просто площадь треугольника, то нам неизвестна его высота. А может получиться её выразить через S? Что можно сказать про пару треугольников, образованных диагоналями и основаниями трапеции?

Подсказка 2

Верно, ведь они подобны, и к тому же мы знаем их коэффициент подобия. Но тогда подобны и все их элементы, например, высоты. Как тогда можно выразить высоту трапеции через высоту треугольника?

Подсказка 3

Ага, выходит, что высота трапеции – это пять высот треугольника. Тогда осталось только выразить её через S и подставить в площадь треугольника.

Показать ответ и решение

Пусть это трапеция $ABCD, AD = 4,BC =1,AC ∩BD = E.$ Проведём через точку $E$ высоту трапеции $F G:$

$PIC$

Из подобия $△BEC ∼ △AED$ получаем

EF :EG = BC :AD =1 :4,

так что

EF = x =⇒ EG =4x =⇒ SCEB = EF-⋅BC = x 2 2

S = SABCD = BC-+AD-⋅F G= 1+-4 ⋅5x= 25SCEB 2 2

Ответ:

$-S 25$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 92#64606Максимум баллов за задание: 7

В трапеции $ABCD$ расстояния от вершин $A$ и $B$ до боковой стороны $CD$ равны 3 и 2 соответственно. Длина $CD$ равна $2,4$ . Найдите площадь трапеции $ABCD.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какие площади можно сразу найти?

Подсказка 2

S(ACD) и S(BCD). А есть ли в данной конструкции фигуры с равными площадями?

Показать ответ и решение

$PIC$

Из условия мы можем найти площади $SACD = 3⋅22,4 =3,6$ и $SBCD = 2⋅2,24= 2,4$ . Используем известный факт (см. рельсы Евклида), что $SDBC = SABC$ : действительно, если $h$ — расстояние между основаниями трапеции (между параллельными прямыми $AD$ и $BC$ ), то $SABC = 12h⋅BC = SBCD$ . Тогда $SABCD = SACD +SABC = 3,6+ 2,4= 6$ .

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 93#79926Максимум баллов за задание: 7

Найдите площадь трапеции $ABCD$ с боковой стороной $BC = 5$ , если расстояния от вершин $A$ и $D$ до прямой $BC$ равны 3 и 7 соответственно.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Проведите перпендикуляры из A и D к прямой BC.

Подсказка 2

Какое дополнительное построение можно сделать в трапеции, чтобы по-другому выразить её площадь?

Подсказка 3

Пусть М — середина AD. Проведите через неё прямую, параллельную BC.

Подсказка 4

А чем будет являться перпендикуляр из M к BC?

Показать ответ и решение

Проведём через середину $M$ стороны $AD$ прямую $EF ∥BC$ и опустим перпендикуляры $MH, AH ,DH 1 2$ на $BC.$

$PIC$

Тогда $△DEM$ равен $△AFM,$ поэтому площадь трапеции $ABCD$ равна площади параллелограмма $EF BC.$ Заметим, что $MH$ — средняя линия трапеции $AH1H2M,$ тогда

AH1 +DH2 3+7 MH = ----2---- = -2--= 5

В итоге

SABCD = SEFBC =MH ⋅BC =5 ⋅5 =25

Ответ: 25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 94#116301Максимум баллов за задание: 7

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ площади треугольников $ABD$ и $BCD$ равны, а площадь треугольника $ACD$ равна половине площади треугольника $ABD.$ Найдите длину отрезка $CM,$ где $M$ — середина стороны $AB,$ если известно, что $AD = 12.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем раскручивать задачу постепенно и будем записывать равенства площадей из условия. Раз уж нужны площади, почему бы тогда не опустить высоты в них?)

Подсказка 2

Опустим высоты из A и C на BD. Что можно сказать об их длинах? Быть может, это влечет за собой другие равенства треугольников?

Подсказка 3

Высоты равны, поэтому появляются еще и равные треугольники! Пусть O — точка пересечения диагоналей нашего четырёхугольника. Что можно сказать о треугольнике ACD?

Подсказка 4

В треугольнике ACD проведена медиана DO! Тогда можно обозначить площадь треугольника ADO за x и записать уравнение на площади из условия)

Подсказка 5

Итак, теперь мы знаем, какую часть треугольника ABD составляет треугольник ADO. Что тогда полезного можно отметить на BO?

Подсказка 6

Отметьте на BO точку, делящую отрезок в отношении 2:1, считая от вершины ;)

Показать ответ и решение

Опустим высоты $AH A$ и $CH C$ на $BD$ из точек $A$ и $C$ соответственно.

$PIC$

Воспользуемся равенством площадей $△ABD$ и $△BCD :$

1 1 2 ⋅AHA ⋅BD = 2 ⋅CH ⋅BD

Значит, высоты $AHA$ и $CHC$ равны. Тогда из равенства прямоугольных треугольников $△AOHA$ и $△COHC$ следует равенство отрезков $AO$ и $CO.$ А так как медиана делит треугольник на два равновеликих, то пусть $SAOD = SDOC =x.$

$PIC$

По условию дано, что $SABD = 2SACD.$ Перепишем в виде:

SABO +x =2⋅2x

Откуда получаем $SABO = 3x.$ Если на $BO$ отметить точку $G$ , такую что $BG :GO = 2:1,$ то $1 SGAO = 3SABO =x.$ Из равенства $SGAO = SAOD =x$ следует, что $GO = OD.$ Так как выше уже получили равенство $AO =OC,$ то $AGCD$ — параллелограмм и $AD = CG.$

Вспомним, что на медиане $BO$ была отмечена точка, делящая данный отрезок в том же отношении, что и точка пересечения медиан. Значит, точка $G$ и есть центр масс. Следовательно, $CG :GM =2:1.$ Собирая найденные факты воедино, получаем:

3 3 3 CM = 2CG = 2AD = 2 ⋅12= 18.

Ответ:

Предыдущая подтема

Следующая подтема