Тема 5. Задачи на теорию вероятностей

5.04 Комбинаторика

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи на теорию вероятностей

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#13146

Какова вероятность того, что последние три цифры номера случайно выбранного паспорта одинаковы?

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 29

Показать ответ и решение

Заметим, что каждой комбинации трех последних цифр соответствует равное число способов дополнить ее до полноценного номера (каким бы ни был стандарт на его длину). Всего цифр 10, значит, количество интересных нам исходов равно 10. Общее число исходов равно $3 10 ,$ так как каждую из трех цифр можно выбрать 10 способами. Тогда искомая вероятность равна

p= -10-= 0,01. 1000

Ответ: 0,01

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#1383

Монетку подбросили 10 раз. Какова вероятность того, что выпало не менее 9 орлов? Ответ округлите до тысячных.

Показать ответ и решение

Условие того, что выпало не менее 9 орлов эквивалентно тому, что выпало не более 1 решки, то есть либо ровно 1 решка, либо 0 решек.

Количество всевозможных различных исходов в серии из 10 испытаний равно $210 = 1024.$

Среди них есть 11 исходов, подходящих под условие: (Орёл; Орёл; ...; Орёл), (Орёл; Орёл; ...; Орёл; Решка), (Орёл; Орёл; ...; Решка; Орёл), ..., (Решка; Орёл; ...; Орёл), следовательно, искомая вероятность равна

-11- 1024.

После округления получим 0,011.

Ответ: 0,011

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#1928

На полке помещается 11 книг. Настя расставляет книги на полке случайным образом. Какова вероятность того, что два тома стихов Пушкина окажутся рядом? Ответ округлите до сотых.

Показать ответ и решение

Так как вероятности постановки на каждое место любой книги одинаковы, то искомая вероятность есть просто отношение суммарного количества способов расстановки, в которых тома Пушкина стоят рядом, к количеству всевозможных способов расстановки книг на полке.

Найдем число способов, которыми можно поставить книги так, чтобы тома Пушкина стояли рядом: для этого мысленно объединим два тома в одну книгу, занимающую 2 места, тогда ее можно поставить на любое из 10 мест на полке.

На первое место можно поставить одну из 10 книг, на второе одну из 9, ..., на последнее место можно поставить последнюю книгу. Итого: $10! = 10 ⋅ 9 ⋅ ...⋅ 1$ способов. При этом каждому такому способу в исходной задаче будут соответствовать 2 разных способа (объединить тома в одну книгу можно было двумя способами, в зависимости от того, какой том слева, а какой справа). В итоге количество подходящих способов равно $2 ⋅ 10!$ . При этом поставить 11 книг на полку можно $11!$ способами.

Вероятность того, что два тома стихов Пушкина окажутся рядом, равна

2 ⋅ 10! 2 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ ... ⋅ 1 2 ------ = ----------------= ---= 0,(18 ). 11! 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ ...⋅ 1 11

После округления имеем окончательно $0,18$ .

Ответ: 0,18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#11719

В коробке 6 синих, 9 красных и 10 черных носков. Случайным образом выбирают два носка. Найдите вероятность того, что выбранные носки окажутся разноцветными.

Показать ответ и решение

Рассмотрим два варианта: носки могли оказаться одноцветными и разноцветными. Это события несовместны и покрывают все пространство элементарных исходов. Поэтому сумма вероятностей этих событий равна 1.

Найдем вероятность того, что носки окажутся одноцветными. Для этого найдем вероятность того, что оба носка оказались синими, красными и чёрными по отдельности. Количество способов выбрать два синих носка из 6 равно $6⋅52 .$ Количество способов выбрать два носка из всех равно $25⋅24, 2$ так как всего носков $6 +9 +10 =25.$

Тогда вероятность того, что оба носка оказались синими, равна

6⋅5 25⋅24 6 ⋅5 pc =-2--:--2--= 25-⋅24

Вероятность того, что оба носка оказались красными, равна

pк = 9⋅8-: 25⋅24=-9-⋅8- 2 2 25 ⋅24

Вероятность того, что оба носка оказались черными, равна

pч = 10-⋅9 : 25⋅24 = 10⋅9 2 2 25⋅24

Значит, вероятность того, что носки окажутся одноцветными, равна

po = pc+ pк+ pч = 6⋅5+-9-⋅8-+10-⋅9-= 5+-12+-15 = 32-= 0,32 25⋅24 100 100

Тогда вероятность того, что носки окажутся разноцветными, равна

1− 0,32= 0,68

Замечание.

Можно считать, что носки выбирают по очереди, и решать задачу через цепочки событий.

Вероятность первого и второго носков синего цвета равна $6- 5- -5- 25 ⋅24 = 100.$

Вероятность первого и второго носков красного цвета равна $9 8 12 25 ⋅24 = 100.$

Вероятность первого и второго носков черного цвета равна $1205 ⋅ 924 = 11500.$

Тогда вероятность двух разноцветных носков равна

1 − -5-− 12-− -15 = 68- 100 100 100 100

Ответ: 0,68

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#13123

Симметричную монету бросают 11 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»?

Показать ответ и решение

Посчитаем количество $k5$ исходов, в которых выпало ровно 5 орлов. Оно равно количеству способов выбрать из 11 произведенных бросков 5, в которых выпали орлы

11⋅10⋅9⋅8⋅7 k5 =-----5!-----

Посчитаем количество $k4$ исходов, в которых выпало ровно 4 орла. Оно равно количеству способов выбрать из 11 произведенных бросков 4, в которых выпали орлы

k = 11⋅10⋅9⋅8- 4 4!

Общее количество исходов равно $11 2$ (орел либо решка на каждом из 11 бросков), тогда искомое отношение вероятностей

( k ) ( k ) k 7 2151 ∕ 2141 = k5= 5 = 1,4 4

Ответ: 1,4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#13140

Из ящика, в котором лежат фломастеры, не глядя достали два фломастера. Найдите вероятность того, что эти фломастеры оказались одного цвета, если известно, что в ящике 12 синих и 13 красных фломастеров.

Показать ответ и решение

Посчитаем число исходов, в которых оба фломастера синие. Оно равно числу способов выбрать 2 фломастера из 12 синих:

12⋅11 --2-- =66

Посчитаем число исходов, в которых оба фломастера красные. Оно равно числу способов выбрать 2 фломастера из 13 красных:

13⋅12 =78 2

Общее число исходов равно количеству способов выбрать 2 фломастера из 25: $25⋅24 2 .$ Тогда искомая вероятность

66 +78 p= -300--= 0,48

Ответ: 0,48

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#13143

На уроке физкультуры 26 школьников, из них 12 девочек, остальные – мальчики. По сигналу учителя физкультуры все быстро выстраиваются в одну шеренгу в случайном порядке. Найдите вероятность того, что справа в шеренге первые двое окажутся мальчиками.

Показать ответ и решение

Посчитаем количество исходов, в которых первые два места занимают мальчики. На первую позицию человек может быть выбран 14 способами (любой из мальчиков), на вторую — 13 (любой из оставшихся мальчиков, кроме выбранного на первую позицию). Число способов расставить остальных 24 людей в некотором порядке равно $24!.$ Итого имеем $14⋅13⋅24!.$

Общее число возможных расстановок равно $26!,$ тогда имеем

14-⋅13-⋅24! 14-⋅13- p= 26! = 26 ⋅25 = 0,28

Ответ: 0,28

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#13147

За круглый стол на 21 стул в случайном порядке рассаживаются 19 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что девочки не окажутся на соседних местах.

Показать ответ и решение

Пусть $k = 19!$ – число способов рассадить 19 человек на 19 мест.

Посчитаем количество исходов, в которых девочки сидят рядом. Количество пар соседних мест за столом равно 21 (если пронумеровать места от 1 до 21, то это пары мест $(1;2),$ $(2;3),$ …, $(21;1)$ ). На каждую такую пару мест мы можем посадить девочек двумя способами, остальные 19 мест могут быть распределены между мальчиками $k$ способами. Получаем

21⋅2⋅k = 42⋅19!

Общее число способов рассадить людей равно $21!,$ а вероятность того, что девочки сидят рядом

p= 42⋅19!= 0,1 21!

Тогда искомая вероятность того, что девочки не окажутся на соседних местах равна

1− 0,1= 0,9

Ответ: 0,9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#13550

Монету бросают 8 раз. Во сколько раз событие «орел выпадает ровно шесть раз» более вероятно, чем событие «орел выпадает ровно один раз»?

Показать ответ и решение

Количество возможных исходов равно $28$ , все они равновероятны и реализуются с вероятностью $( )8 p = 12$ .

Очевидно, что ровно в восьми исходах орел выпадет ровно 1 раз (первый бросок орел, остальные решки, второй бросок орел, остальные решки и т.д.), значит вероятность такого события $8p$ .

Выпадение орла ровно шесть раз эквивалентно выпадению ровно двух решек. Количество исходов с ровно двумя решками равно количеству способов выбрать из восьми бросков два, на которые выпадут решки. Таких способов $8⋅7 = 28 2$ , тогда вероятность выпадения ровно шести орлов равна $28p$ . Ответом будет отношение
$288pp = 3,5$ .

Ответ: 3,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#16742

В группе туристов восемь человек. С помощью жребия они выбирают шестерых человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что входящий в состав группы турист Г. пойдёт в магазин?

Показать ответ и решение

Найдем количество различных способов выбрать шесть человек из восьми. Это количество равно количеству способов не выбрать двух человек из восьми. То есть всего есть

8⋅7 -2--= 28

способов выбрать шесть человек из восьми.

Теперь найдем количество способов выбрать группу из шести человек, в которой обязательно есть турист Г. То есть надо найти количество способов добрать пять человек из семи оставшихся. Это количество равно количеству способов не выбрать двух человек из семи. То есть всего есть

7⋅6 -2--= 21

способ выбрать шесть человек из восьми, если среди выбранных людей должен быть турист Г.

Заметим, что с помощью жребия каждую группу мы могли выбрать с одинаковой вероятностью. Значит, вероятность того, что турист Г. должен будет пойти в магазин, равна отношению количества способов выбрать шесть человек с его участием из восьми к количеству способов выбрать шесть любых человек из восьми. То есть искомая вероятность равна

21 3 p= 28-= 4 = 0,75

Ответ: 0,75

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#17031

Клиент получает в банке кредитную карту. Четыре последние цифры номера карты случайные. Какова вероятность того, что эти последние четыре цифры идут подряд в порядке возрастания, например 1234 или 3456?

Показать ответ и решение

Общее число комбинаций из 4 цифр равно 10000 (от 0000 до 9999).

Пусть первая цифра из 4 равна $k$ . Тогда существует единственный вариант, когда цифры идут подряд, причем первая из них равна $k :$ $k,$ $k+ 1,$ $k +2,$ $k+ 3.$ В качестве $k$ могут быть использованы цифры от 0 до 6, так как при $k > 6$ число $k+ 3$ не является цифрой. Значит имеем 7 (количество цифр от 0 до 6) «благоприятных» исходов:

0123, 1234, 2345, 3456, 4567, 5678, 6789

Из 10000 вариантов нам подходит только 7, значит, искомая вероятность равна

p= --7--= 0,0007 10000

Ответ: 0,0007

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#17048

В группе туристов 12 человек. С помощью жребия они выбирают трех человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдет в магазин?

Показать ответ и решение

Посчитаем число исходов, в которых Д. отправляется в магазин. Оно равно числу способов выбрать ему двух компаньонов из оставшихся 11 человек:

11⋅10 --2-- =55

Общее число способов выбрать троих человек из 12:

12⋅11⋅10 = 220 3!

Искомая вероятность равна

-55- p= 220 = 0,25

Ответ: 0,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#17304

Плейлист айпода содержит 25 треков, из которых 9 исполняет группа Битлз. Функция «shuffle» воспроизводит все треки в случайном порядке, каждый по одному разу. Какова вероятность того, что трек Битлз будет играть вторым, причем первым будет воспроизведен трек другого исполнителя?

Показать ответ и решение

Посчитаем количество исходов, в которых вторую позицию занимает трек Битлз, причем первый трек другого исполнителя.

Количество способов выбрать первый трек не Битлз равно $25− 9= 16.$ Количество способов выбрать второй трек Битлз равно 9. Количество способов расставить оставшиеся 23 трека на 23 позициях равно $23!.$ Получаем $16⋅9⋅23!$ исходов.

Общее количество исходов равно $25!,$ поскольку это количество перестановок из 25 попарно различных элементов.

Тогда искомая вероятность равна

16⋅9⋅23! 16 ⋅9 p = --25!---= 25⋅24 =0,24

Ответ: 0,24

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#18131

Дана колода из 20 карт, по 5 карт каждой из четырех мастей. Из колоды случайным образом тянут 3 карты. Найдите вероятность того, что не все 3 карты окажутся одной масти. Ответ округлите до сотых.

Показать ответ и решение

Заметим, что три вытянутые карты либо все одной масти, либо не все одной масти, значит, это два противоположных события. То есть вероятность того, что не все вытянутые карты окажутся одной масти, равна разности единицы и вероятности того, что все три карты имеют одинаковую масть. Всего количество способов вытянуть 3 карты из 20 равно

20-⋅19⋅18 3! = 20 ⋅19⋅3

Найдём количество способов вытянуть три карты одной масти. Количество способов вытянуть три карты из карт одной конкретной масти равно

5⋅4⋅3-= 10 3!

Всего 4 масти, поэтому количество способов вытянуть три карты одной масти равно $4⋅10 = 40$ . Тогда вероятность того, что не все 3 карты окажутся одной масти, равна

---40--- 2- 55 1 − 20⋅19 ⋅3 = 1 − 57 = 57

Чтобы округлить, поделим в столбик, получим

55 57 ≈ 0,964...

Нас просят округлить с точностью до сотых, следовательно, ответ $0,96$ .

Ответ: 0,96

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#20617

На ЕГЭ 2024 в каждом из 7 номеров второй части есть 2 прототипа, один из которых простой, а второй сложный. Генератор случайным образом составляет вариант второй части. Какова вероятность того, что ученику попадется вторая часть только со сложными задачами? Ответ округлите до тысячных.

Показать ответ и решение

Посчитаем вероятность как отношение числа благоприятных исходов к числу всех исходов.

Благоприятный исход ровно один: когда в каждом номере второй части выбрали сложный прототип. Всего исходов $27,$ так как у нас есть 7 номеров и для каждого из них можно двумя способами выбрать задачу.

Тогда искомая вероятность равна

-1 = 57-= -78125--= 0,0078125 27 107 10000000

Округлив до тысячных, получим 0,008.

Ответ: 0,008

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#23593

На экзамене по геометрии всего 20 билетов. Из них 10 билетов про трапецию, 7 билетов про окружность и 3 билета про треугольники. Известно, что не существует билетов по двум темам сразу. Сдающий вытягивает два билета. Найдите вероятность того, что среди вытянутых билетов не будет билетов про треугольники. Ответ округлите до сотых.

Показать ответ и решение

Найдём количество всевозможных пар вытянутых билетов. Так как на экзамене всего 20 билетов, то таких пар ровно

20⋅19 --2--= 190

Найдём количество пар билетов, в которых оба билета не про треугольники. Всего на экзамене $10+ 7= 17$ билетов не про треугольники, поэтому таких пар ровно

17⋅16= 136 2

Вероятность того, что среди вытянутых билетов не будет билетов про треугольники, равна отношению количества пар билетов, в которых оба билета не про треугольники, к количеству всевозможных пар вытянутых билетов, то есть

p = 136 190

После деления в столбик и округления результата до сотых получим 0,72.

Ответ: 0,72

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#74205

Симметричную монету бросают 15 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 7 решек» больше вероятности события «выпадет ровно 9 решек»? Ответ округлите до сотых.

Показать ответ и решение

Ровно 9 решек без учета порядка выпадают с вероятностью $( ) ( ) 1 9⋅ 1 6, 2 2$ а 7 решек — с вероятностью $( ) ( ) 1 7⋅ 1 8. 2 2$