Логарифмы на Физтехе

Так то из последнего уравнения вида получаем , то есть следующую систему:

Поскольку то С учётом равенств запишем

Чтобы найти минимум, найдем координаты вершины параболы ветви которой направлены вверх, значит минимум достигается в вершине.

Так как парабола симметрична относительно вершины, то минимальное целое значение будет достигаться при Тогда искомое значение равняется

Обозначим , Так как

то исходные уравнения можно записать в виде

Рассмотрим первое уравнение системы. Возьмём производную от левой части, получим

Т.е. в левой части стоит возрастающая функция, а в правой части число, поэтому уравнение имеет не более одного решения. С другой стороны, любой многочлен нечётной степени имеет по крайней мере один действительный корень. Отсюда следует, что уравнение имеет ровно одно решение.

Аналогично рассмотрим второе уравнение:

Значит, аналогично с первым уравнением, второе уравнение имеет ровно одно решение. Если во втором уравнении сделать замену то оно принимает вид

Это эквивалентно первому уравнению. Это означает, что корни уравнений противоположны, следовательно, их сумма равна нулю. Тогда

Область допустимых значений — это а неравенство эквивалентно следующим:

Рассмотрим неравенство

Функция убывающая (как сумма убывающих функций). Несложно заметить, что , поэтому если , то , а если , то . Таким образом, это неравенство даёт , а исходное неравенство эквивалентно неравенству

Отсюда получаем

Переходя в обоих логарифмах к основанию 3, имеем:

Обозначаем и получаем:

Возвращаясь к переменной , окончательно получаем:

Из условия следует, что функции положительны и не принимают значения при всех из области допустимых значений. Пусть . Тогда

По условию числа удовлетворяют одному из трёх условий:

Рассмотрим случай . Подставляя и в полученное выше уравнение , имеем , откуда . Так как многочлен не имеет корней, то единственным решением уравнения является , поэтому системе удовлетворяет тройка чисел . Случаи и рассматриваются аналогично с точностью до смены обозначений (выражение симметрично). Из них получаем, что либо , либо . Теперь для каждой из полученных троек чисел найдём .

Если , то , то есть . Поэтому , то есть значений , при которых , не существует.

Если , то . Возводя обе части последнего уравнения в квадрат, получаем уравнение , которое не имеет корней, поэтому случай также не подходит.

Если , то . Это уравнение эквивалентно уравнению , корнями которого являются и , но не подходит, так как в этом случае . Значение подходит: .

Итак, — единственное решение задачи.

при решении перемножением логарифмов: показано, что произведение всех логарифмов равно целому числу – 1 балл;

получено и решено кубическое уравнение относительно одного из логарифмов – 1 балл;

за рассмотрение каждого из случаев – по 1 баллу;

если при этом в случае приобретены лишние корни, он не считается рассмотренным, и за него ставится 0 баллов.

при решении рассмотрением трёх случаев равенств логарифмов: разобран 1 случай – 1 балл,

разобраны 2 случая – 3 балла,

разобраны 3 случая – 5 баллов;

если при этом в случае приобретены лишние корни, он не считается рассмотренным, и за него ставится 0 баллов.

ОДЗ: .

Логарифмируем первое уравнение системы по основанию 10:

Это уравнение на области допустимых значений равносильно следующему:

Записываем второе уравнение в виде и решаем его как квадратное относительно переменной :

Теперь рассмотрим комбинации полученных результатов:
a)

Точка не удовлетворяет ОДЗ.
б)

в)

г)

Точка не удовлетворяет ОДЗ.

Объединяя результаты, получаем итоговый ответ: .

ОДЗ: .

Заметим, что

Значит, неравенство можно переписать в виде . (Отметим, что при этом изменилась область допустимых значений: исчезло ограничение , которое необходимо будет учесть в дальнейшем.) Обозначим . Тогда получаем , или, раскладывая левую часть на множители, .

Возвращаясь к переменной , находим, что

Осталось учесть потерянное условие из ОДЗ, поэтому окончательный результат таков: .

ОДЗ логарифмов неравенства определяется условиями

В итоге получаем и .

Обозначим . Записываем и преобразуем неравенство:

Для решения этого неравенства далее применяем метод рационализации: знак разности на области допустимых значений совпадает со знаком выражения ; в частности (при , знак логарифма совпадает со знаком выражения . Тогда из последнего неравенства получаем . Подставляем сюда выражения для и решаем получаюшееся неравенство:

С учётом ОДЗ остаётся

Пусть . Тогда неравенство принимает вид Далее его можно преобразовать так:

Для решения этого неравенства далее применяем метод рационализации: знак разности на области допустимых значений совпадает со знаком выражения в частности (при ), знак логарифма совпадает со знаком выражения . Тогда из последнего неравенства получаем

ОДЗ исходного неравенства задаётся условиями При этом последние два ограничения выполнены автоматически для любого решения, так как при или знаменатель дроби обращается в ноль. Помимо этого и положительны при всех значениях Следовательно, единственное ограничение из ОДЗ, которое необходимо учесть, - это неравенство откуда Решаем неравенство:

С учётом ОДЗ окончательно получаем

Найдем ОДЗ: и

Заметим, что на ОДЗ по формуле перехода к новому основанию верно тождество

Пусть — число, которое равно произведению двух других, и — оставшиеся. Тогда и Отсюда получаем, что

Заметим также, что если какой-то логарифм равен то и произведение двух других равно

То есть мы поняли, что условие задачи выполняется тогда и только тогда, когда один из логарифмов равен (Единице никакой логарифм из трех данных равняться не может, так как у всех них различны аргумент и основание).

Получили следующую совокупность:

Откуда понимаем, что нам подходят (с учетом ОДЗ) только и

ОДЗ: .

Поскольку , то сделаем замену . По свойствам логарифмов , поэтому левая часть принимает вид

Таким образом, получаем неравенство

Подбором находим корень , откуда

Заметим, что при вторая скобка всегда положительна, потому решениями будут . Подставим

В итоге

Перепишем неравенство в виде

Сгруппировав первый член с третьим, а второй — с четвёртым, раскладываем левую часть неравенства на множители:

Далее возможны два случая.

а)

б)

Объединяя результаты, получаем

Сделаем замену . ОДЗ: . При этом (на ОДЗ), то есть . Неравенство принимает вид

Рассмотрим случаи с учётом

• . Здесь , то есть неравенство принимает вид

  

  То есть и . Также .

• . Этот случай невозможен из ОДЗ.

• . Здесь , тогда

  

  Тогда и . Условие выполнено автоматически.

Заметим, что мы не проверили условие . Проверим

В итоге .

Пусть тогда по свойствам логарифмов неравенство примет вид

Откуда по методу интервалов

При обратной замене получаем

откуда

Запишем ОДЗ:

Преобразуем уравнение:

Возьмем от обеих частей

Сделаем замену Тогда

Следовательно,

ОДЗ: . Поскольку

то для замены уравнение примет вид

То есть

или После проверки ОДЗ получаем ответ.

ОДЗ:

Вынесем из оснований и аргументов логарифмов показатели степеней, получим

Что эквивалентно равенству

Получается , но только входит в ОДЗ исходного уравнения.

ОДЗ:

В иоге .

Приведём все логарифмы к основанию за счёт свойств логарифмов:

В итоге .

На олимпиаде задача оценивалась в 5 баллов. Баллы суммируются:

Найдено ОДЗ – 1 балл;

Неравенство сведено к квадратному – 2 балла;

Решено полученное квадратное неравенство – 1 балл;

Полученные решения пересечены с ОДЗ – 1 балл;

Важно: неравносильное преобразование неравенства – 0 баллов за всю задачу.

Имеем

при условиях и Получаем и Следовательно, т. е. Тогда либо и в этом случае т. е. это не решение, либо а и в этом случае и т. е. это решение.

ОДЗ: Преобразуем к виду

При имеем т. e. Следовательно, либо либо и Тогда при получаем т. е. Следовательно, а учитывая ОДЗ получаем — решения. При имеем т. е. Учитывая ОДЗ получаем — решения.