Тема Физтех

Логарифмы на Физтехе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела физтех

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#80762

Целые числа $x,y,z$ удовлетворяют равенству $xln16+ yln8+ zln24= ln 6.$ Найдите наименьшее возможное значение выражения $2 2 2 x + y + z.$

Источники: Физтех - 2024, 11.2 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем. У нас есть сумма произведений каких-то констант на х, y, z. При этом, нам надо максимизировать x^2 + y^2 + z^2. Какое неравенство нам это напоминает? Что первым приходит в голову здесь?

Подсказка 2

Конечно же, неравенство КБШ! Тогда, по этому неравенству у нас выходит, что ((ln16)^2 + (ln8)^2 + (ln24)^2)(x^2 + y^2 + z^2) >= (ln6)^2. Тогда, выходит, что мы получили оценку на минимум нашей суммы. Достигается ли в КБШ равенство, если да, то когда?

Показать ответ и решение

xln16+y ln8+ zln24=ln6

4x ln2+ 3yln 2+z(3ln2 +ln3)= ln2+ ln 3

(4x+ 3y+3z− 1)ln2+ (z− 1)ln3= 0

ln(24x+3y+3z−1⋅3z−1)= 0

24x+3y+3z− 1⋅3z−1 = 1

Так $x, y, z ∈ℤ,$ то из последнего уравнения вида $a b 2 ⋅3 = 1; a, b∈ Z$ получаем $a =0,b= 0$ , то есть следующую систему:

{ 4x+ 3y +3z = 1 ⇔ 4x+3y =−2 ⇔ y = −x − x-+2 z = 1 3

Поскольку $x, y ∈ ℤ,$ то $x+2 =k ∈ℤ, =⇒ y =2− 3k− k= −4k+ 2. 3$ С учётом равенств $z = 1, x= 3k− 2, y = 2− 4k$ запишем $2 2 2 x + y + z :$

2 2 2 2 2 2 x + y +z = 1+ 9k +4 − 12k+ 4+16k − 16k =25k − 28k+ 9

2 2 2 2 x + y +z = 25k − 28k+ 9→ min

Чтобы найти минимум, найдем координаты вершины параболы $25k2− 28k+9,$ ветви которой направлены вверх, значит минимум достигается в вершине.

-28- 14 kверш. = 2⋅25 = 25

Так как парабола симметрична относительно вершины, то минимальное целое значение будет достигаться при $k= 1.$ Тогда искомое значение равняется

x2+ y2+ z2 =1 +4+ 1= 6

Ответ: 6

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#67589

Некоторые числа $x$ и $y$ удовлетворяют равенствам

4 log3x +6logx 3= logx2 243− 8

4 (11) log3(5y)+2log5y3 =log25y23 − 8

Найдите все возможные значения произведения $xy.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу видно, что логарифмы связаны между собой, что можно сделать для дальнейшего удобства?

Подсказка 2

Сделать замены! Введем 2 переменные (для каждого из равенств) и запишем условие с учётом замены. Получится 2 уравнения 4 степени, от которых можно равносильно перейти к уравнениям 5ой степени. Корни совсем неочевидны, да и, казалось, нам необязательно искать их точно - достаточно найти какую-то связь между переменными, чтобы ответить на вопрос задачи) Что нам помогает при исследовании корней уравнения больших степеней?

Подсказка 3

Производная! С помощью неё можно, к примеру, что-то узнать про количество корней уравнения. Помним, что уравнение нечетной степени имеет не менее одного корня. Что тогда можно сказать про корни уравнений?

Подсказка 4

Производные положительны, уравнение нечетной степени, значит уравнения имеют ровно по одному корню! Замечаем связь между коэффициентами уравнений. Что тогда можно сказать про корни?

Подсказка 5

Корни противоположны! Остаётся лишь сделать обратную замену, из которой xy находится несложно!

Показать ответ и решение

Обозначим $logx =u 3$ , $log (5y)= v. 3$ Так как

-1--- 1 logx3 = log3x = u,

logx2243= 5logx3 = 5-, 2 2u

log5y3= ---1-- =-1, log3(5y) v

11 11 11 log25y2(3 )= 2 log5y3 =2v,

то исходные уравнения можно записать в виде

( ( { u4+ 6u = 52u-− 8 { 2u5+ 16u+ 7= 0 ( v4+ 2 = 11-− 8 ⇐⇒ ( 2v5+16v− 7= 0 v 2v

Рассмотрим первое уравнение системы. Возьмём производную от левой части, получим

(2u5+ 16u +7)′ = 10u4+ 16> 0

Т.е. в левой части стоит возрастающая функция, а в правой части число, поэтому уравнение имеет не более одного решения. С другой стороны, любой многочлен нечётной степени имеет по крайней мере один действительный корень. Отсюда следует, что уравнение имеет ровно одно решение.

Аналогично рассмотрим второе уравнение:

(2v5+ 16v − 7)′ = 10v4+ 16> 0

Значит, аналогично с первым уравнением, второе уравнение имеет ровно одно решение. Если во втором уравнении сделать замену $v =− w,$ то оно принимает вид

−2w5− 16w− 7= 0 ⇐⇒ 2w5 +16w +7 =0

Это эквивалентно первому уравнению. Это означает, что корни уравнений противоположны, следовательно, их сумма равна нулю. Тогда

u+ v = 0 ⇐⇒ log3x+ log3(5y)= 0 ⇐ ⇒ log3(5xy)=0

5xy =1 ⇐ ⇒ xy = 15

Ответ:

$1 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#70775

Решите неравенство

log (x2+6x) 2 log 5 2 3 4 + 6x≥ |x + 6x| 4 − x

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В первую очередь, запишем ОДЗ неравенства и заметим, что тогда мы можем избавиться от модуля. Далее надо хорошо преобразовать наше неравенство. Попробуем сделать так, чтобы в степенях у нас везде были логарифмы с x²+6x. Как можно преобразовать тогда x²+6x? Причём он нам нужен с определённым основанием.

Подсказка 2

Верно, x²+6x мы можем преобразовать по свойству логарифма. А что же делать с оставшейся частью (x²+6x)^log_4(5)? Попробуйте понять, почему a^log_b(c)=c^log_b(a). Это несложно сделать, записав логарифм по-другому. Теперь примените это к (x²+6x)^log_4(5). Что же можно сделать, когда мы получили везде одинаковое "некрасивое" выражение?

Подсказка 3

Конечно, можем сделать замену на y! А далее для удобства поделить на 5^y обе части неравенства. Получим какое-то интересное выражение. Прям по-честному решать его не хочется. Давайте подумаем, как схитрить. А что если рассмотреть выражение слева, как функцию? Какие выводы по этому поводу можно сделать? Попробуйте подставить ещё хорошие значения для y.

Подсказка 4

Верно, слева у нас убывающая функция, как сумма убывающих. И причём значение в 2 равно 1. Значит, можно сделать вывод, что неравенство верно при y ⩽ 2. Осталось только сделать обратную замену, решить исходное неравенство с учётом ОДЗ, и победа!

Показать ответ и решение

Область допустимых значений — это $x∈ (−∞;−6)∪ (0;+∞ ),$ а неравенство эквивалентно следующим:

log (x2+6x) ( 2 ) ( 2 )log45 3 4 + x + 6x ≥ x + 6x

log4(x2+6x) log4(x2+6x) log4(x2+6x) 3 + 4 ≥ 5

( 3)log4(x2+6x) (4)log4(x2+6x) 5 + 5 ≥ 1

Рассмотрим неравенство

( )y ( )y 3 + 4 ≥ 1 5 5

Функция $h(y)= (35)y+(45)y−$ убывающая (как сумма убывающих функций). Несложно заметить, что $h(2) =1$ , поэтому если $y >2$ , то $h(y)< 1$ , а если $y < 2$ , то $h(y)> 1$ . Таким образом, это неравенство даёт $y ≤2$ , а исходное неравенство эквивалентно неравенству

log4(x2+ 6x) ≤2

Отсюда получаем

0< x2+ 6x≤ 16 ⇔ x∈ [−8;−6)∪(0;2]

Ответ:

$[−8;− 6)∪(0;2]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#75110

Решите неравенство

∘-----4 -1 log3xx ≤ log9xx2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Логарифмы в обеих частях, с разными основаниями, x содержится и в аргументе, и в основании обоих логарифмов... Давайте "причешем" наше выражение. Для начала разберёмся с основаниями - попробуем вынести оттуда x и привести логарифмы к одному основанию

Подсказка 2

Перейдём, например, к основанию 3 (используя формулу о делении логарифмов с одним основанием), так как оба основания кратны трём. Кажется, всё ещё ничего не видно. Тогда продолжим причёсывать - теперь, когда у всех логарифмов общие основания, попробуем оставить всем логарифмам одинаковый аргумент.

Подсказка 3

Да, можем вынести степени и коэффициенты из аргумента логарифма, оставив везде только х, после чего заменить log₃ x на t - и получим неравенство без логарифмов, которые мы решать уже умеем!

Показать ответ и решение

Переходя в обоих логарифмах к основанию 3, имеем:

∘ ----4- log 1- lologg3x3x ≤-log3x92x 3 3

∘ -4log3x-- −2log3x 1+-log3x ≤ 2-+log3x.

Обозначаем $log3x =t$ и получаем:

∘---- -t--≤ −-t- 1+t 2+t

(| t--≤0, |{ 2+tt-≥0, ||( 1+tt- --t2-- 1+t ≤(2+t)2

( ||{ 2t+t ≤0, | 1t+t ≥0, |( (1(+3tt+)(42)t+t)2 ≤ 0

( |{ t∈(−2;0], | t∈(−∞; −1)∪[0;+∞ ), ( t∈(−∞; −2)∪(−2;− 43]∪(−1;0],

4 t∈(−2;−3]∪ {0}

Возвращаясь к переменной $x$ , окончательно получаем:

[ −2 <log3x≤ − 43, log3x =0

[ 3√- 19 <x ≤ 99, x =1.

Ответ:

$(1; 3√9]∪{1} 9 9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#33380

Даны числа $log√----(4x+ 1),log (x+ 2)2,logx (5x− 1) 5x−1 4x+1 2 2+2$ . При каких $x$ два из этих чисел равны, а третье меньше их на $1$ ?

Источники: Физтех - 2021, 11.5 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам нужно рассмотреть три случая в зависимости от того, какое из чисел меньше на 1. Только каждый раз мы получаем равенства на логарифмы с разными основаниями. Нужно получить ещё условие на числа a,b,c. Попробуйте внимательно посмотреть на основания и аргументы логарифмов. Что можно заметить?

Подсказка 2

Так, мы получаем, что аргументы и основания логарифмов сдвинуты по циклу. Что тогда можно сказать про произведение abc, используя свойство логарифма?

Подсказка 3

Верно, мы получаем, что abc = 4. Теперь, рассматривая каждый случай, мы можем выразить две переменные через одну и, подставив в полученное равенство, получить уравнение от одной переменной. Осталось лишь проделать это. И победа!

Показать ответ и решение

Из условия следует, что функции $4x+1,x +2,5x− 1 2$ положительны и не принимают значения $1$ при всех $x$ из области допустимых значений. Пусть $√---- (x )2 a= log 5x−1(4x+ 1),b= log4x+1 2 + 2 ,c=$ $logx2+2(5x− 1)$ . Тогда

---- (x )2 abc= log√5x− 1(4x+ 1)⋅log4x+1 2 +2 ⋅logx2+2(5x− 1)=

(x ) log (5x− 1) = 2log5x−1(4x+ 1)⋅2 log4x+1 -2 + 2 ⋅log4x+1(x-+2)-=4. 4x+1 2

По условию числа $(a;b;c)$ удовлетворяют одному из трёх условий:

I) a= b a= c+1 II) b= c c= a+1 III)c= a a= b+ 1.

Рассмотрим случай $I$ . Подставляя $b= a$ и $c =a − 1$ в полученное выше уравнение $abc= 4$ , имеем $a⋅a⋅(a − 1)= 4$ , откуда $3 2 ( 2 ) a − a − 4=0,(a− 2) a + a+2 = 0$ . Так как многочлен $2 a +a +2$ не имеет корней, то единственным решением уравнения является $a =2$ , поэтому системе удовлетворяет тройка чисел $a =2,b= 2,c= 1$ . Случаи $II$ и $III$ рассматриваются аналогично с точностью до смены обозначений (выражение $abc$ симметрично). Из них получаем, что либо $a =1,b= 2,c= 2$ , либо $a= 2,b =1,c= 2$ . Теперь для каждой из полученных троек чисел $(a;b;c)$ найдём $x$ .

Если $c= 1$ , то $x 5x − 1 =2 +2$ , то есть $2 x= 3$ . Поэтому $11 a= 2log733-⁄= 2$ , то есть значений $x$ , при которых $a= b= 2,c= 1$ , не существует.

Если $a= 1$ , то $√ ----- 4x +1 = 5x− 1$ . Возводя обе части последнего уравнения в квадрат, получаем уравнение $16x2+ 3x+ 2= 0$ , которое не имеет корней, поэтому случай $a =1,b= c= 2$ также не подходит.

Если $b= 1$ , то $( )2 x2 + 2 =4x+ 1$ . Это уравнение эквивалентно уравнению $x2− 8x+ 12 =0$ , корнями которого являются $x= 2$ и $x =6$ , но $x = 6$ не подходит, так как в этом случае $a= log√2925⁄= 2$ . Значение $x= 2$ подходит: $a= log√99 =2,c= log39= 2$ .

Итак, $x =2$ — единственное решение задачи.

Ответ:

$2$

Критерии оценки

при решении перемножением логарифмов: показано, что произведение всех логарифмов равно целому числу – 1 балл;

получено и решено кубическое уравнение относительно одного из логарифмов – 1 балл;

за рассмотрение каждого из случаев – по 1 баллу;

если при этом в случае приобретены лишние корни, он не считается рассмотренным, и за него ставится 0 баллов.

при решении рассмотрением трёх случаев равенств логарифмов: разобран 1 случай – 1 балл,

разобраны 2 случая – 3 балла,

разобраны 3 случая – 5 баллов;

если при этом в случае приобретены лишние корни, он не считается рассмотренным, и за него ставится 0 баллов.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#33589

Решите систему уравнений

({ (y5)lgx 2lgxy x =y ( x2− 2xy− 4x− 3y2+ 12y = 0

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Второе уравнение выглядит намного "приятнее" первого, так что попробуем разобраться сначала с ним. Такое выражение мы легко можем разложить на скобки, если рассмотрим как квадратное уравнение относительно x.

Подсказка 2

Отлично! Теперь осталось разобраться с первым уравнением. Очень неудобно работать с логарифмами в показателях степеней. Как можно перенести их к основаниям степеней?

Подсказка 3

Верно! Это можно сделать, если логарифмировать первое уравнение по основанию 10.

Подсказка 4

Теперь мы получили уравнение на lg(x) и lg(y). Попробуйте заменить их на новые переменные и разложить всё выражение на скобки.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x,y >0$ .

Логарифмируем первое уравнение системы по основанию 10:

(y5) 2 lg -x ⋅lgx= lgy ⋅lg(xy)

Это уравнение на области допустимых значений равносильно следующему:

(5lgy− lgx)lgx =2 lgy(lgx+ lgy) ⇐ ⇒ lg2 x− 3 lgylgx+ 2lg2y = 0 ⇐⇒

[ (lgx − lgy)(lgx − 2lgy)= 0 ⇐⇒ (x− y)(x− y2)= 0 ⇐⇒ x= y, x= y2

Записываем второе уравнение в виде $2 2 x − 2x(y+2)+ 12y− 3y = 0$ и решаем его как квадратное относительно переменной $x$ :

D ( ) 4-= (y+2)2− 12y− 3y2 = 4y2− 8y +4= (2y− 2)2 =⇒ x = y+2 ±(2y− 2) ⇐⇒ x= 3y,4 − y

Теперь рассмотрим $4$ комбинации полученных результатов:
a)

{ { x =y, ⇐ ⇒ x = 0, x =3y y =0.

Точка $(0;0)$ не удовлетворяет ОДЗ.
б)

{ { x = y ⇐ ⇒ x = 2 x = 4− y y =2

в)

⌊ { { 2 || x= 0, x =y , ⇐⇒ || { y = 0, x =3y ⌈ x= 9, y = 3.

г)

⌊ { x= 9−√17, { 2 { { x= 4− y, || −12+√17- x= y , ⇐⇒ x2=4− y, ⇐⇒ −1±√17 ⇐ ⇒ || { y = 9+2√17-, x= 4− y y + y− 4= 0 y = 2 ⌈ x= −12−√,17- y = 2 .

Точка $(9+√17;−1−-√17) 2 2$ не удовлетворяет ОДЗ.

Объединяя результаты, получаем итоговый ответ: $( 9−√17 √17−1) (2;2),(9;3), -2--;--2--$ .

Ответ:

$(2;2),(9;3),(9−√17;√17−1) 2 2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#33644

Решите неравенство $27√log3x− 11⋅3√4log3x+ 40⋅x√logx3 ≤ 48.$

Источники: Физтех-2020, 11.3, (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x> 1$ .

Заметим, что

√---- ( )√logx3- ∘log2x⋅log3- √ ---- x logx3 = 3log3x =3 3 x =3 log3x

Значит, неравенство можно переписать в виде $√---- √ ---- √---- 33 log3x− 11⋅32 log3x +40⋅3 log3x ≤ 48$ . (Отметим, что при этом изменилась область допустимых значений: исчезло ограничение $x ⁄=1$ , которое необходимо будет учесть в дальнейшем.) Обозначим $√---- t= 3 log3x$ . Тогда получаем $t3− 11t2+ 40t− 48≤ 0$ , или, раскладывая левую часть на множители, $(t− 3)(t− 4)2 ≤ 0 ⇐⇒ t∈ (−∞; 3]∪ {4}$ .

Возвращаясь к переменной $x$ , находим, что

[ √---- [ ∘ ----- [ [ 3√log3x ≤ 3, ⇐ ⇒ ∘ log3x≤ 1, ⇐⇒ 0≤ log3x≤ 1, ⇐ ⇒ 1 ≤x ≤3 3 log3x = 4 log3x= log34 log3x =log234 x =4log34

Осталось учесть потерянное условие $x ⁄=1$ из ОДЗ, поэтому окончательный результат таков: ${ } x∈ (1;3]∪ 4log34$ .

Ответ:

$(1;3]∪{4log34}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#33671

Решите неравенство

( ( 2) ( 2) ) ( 3x2- 4x- 5) log32x2− 43x+ 56 1+4x ⋅log32x2− 43x+56 1− 4x + 1 log1−16x4 2 − 3 + 6 ≥ 1.

Источники: Физтех-2019, 11.5, (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу можно заметить, что в основаниях и в аргументах логарифмов находятся три одинаковых выражения. Тогда попробуем сделать замену на 3 новые переменные и решать относительно них.

Подсказка 2

Преобразуя наше неравенство, мы получаем слева дробь, а справа 0. Теперь нужно как-то избавиться от логарифмов и привести всё к рациональному виду. Какой метод для этого можно применить?

Подсказка 3

Верно! Метод рационализации. Теперь уже можно сделать обратную замену и воспользоваться методом интервалов. Осталось лишь технически довести, не забывая про ОДЗ!

Показать ответ и решение

ОДЗ логарифмов неравенства определяется условиями

2 1 1 1− 4x > 0 ⇐ ⇒ − 2 < x< 2, 1− 4x2 ⁄=1 ⇐ ⇒ x ⁄=0 1+ 4x2 >0 ⇐⇒ x ∈ℝ 2 1+ 4x ⁄=1 ⇐ ⇒ x ⁄=0 3x2 − 4x + 5> 0 ⇐⇒ x∈ ℝ 2 3 6 { 3x2− 4x+ 5 ⁄=1 ⇐ ⇒ x ⁄= − 19 2 3 6 x ⁄= 1

В итоге получаем $( ) x ∈ − 12;12$ и $x⁄= 0,x⁄= − 19$ .

Обозначим $2 3x2-− 4x3 + 56 = u,1+ 4x2 =v,1− 4x2 =w$ . Записываем и преобразуем неравенство:

(loguv ⋅logu w+ 1)logvw u≥ 1 ⇐⇒ loguv-⋅logu-w+-1− 1≥ 0 loguvw

loguv⋅loguw-+1-− logu-v− logu-w-≥1 ⇐⇒ (loguv−-1)(loguw−-1)≥ 0 loguvw loguvw

Для решения этого неравенства далее применяем метод рационализации: знак разности $logab−$ $logac$ на области допустимых значений совпадает со знаком выражения $b−c a−1$ ; в частности (при $c= 1)$ , знак логарифма $logab$ совпадает со знаком выражения $b−1 a−1$ . Тогда из последнего неравенства получаем $(u−1)(v−u)(u−1)(w−u) (v− u)(w− u) ---(u−1)(vw-−1)----≥ 0 ⇐⇒ (u−1)(vw−1) ≥ 0$ . Подставляем сюда выражения для $u,v,w$ и решаем получаюшееся неравенство:

( 2 )( 2 ) -5x2-+-43x+-16--−-11x2-+-43x+-16- (3x2− 4x− 1)(−16x4) ≥0 2 3 6

(15x2+-8x-+1)(33x2-− 8x−-1) x2(9x2− 8x− 1) ≥ 0

(5x+1)(3xx2(x+−1)1(3)(x9−x+1)(11)1x+-1) ≥0

( ] [ ) [ ) ( ] x∈ −∞;− 1 ∪ − 1;− 1 ∪ − 1;0 ∪ 0;1 ∪ (1;+∞ ) 3 5 9 11 3

С учётом ОДЗ остаётся

( 1 1] [ 1 1) [ -1 ) ( 1] x∈ −2;−3 ∪ −5 ;− 9 ∪ −11;0 ∪ 0;3

Ответ:

$(− 1;− 1]∪[− 1;− 1)∪[−-1;0)∪ (0;1] 2 3 5 9 11 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#80055

Решите неравенство

( 5) ( 2) ( 5) log1+x2 1+ 27x + log1−2x2+27x4 1+ x ≤ 1+log1−2x2+27x4 1+27x .

Показать ответ и решение

Пусть $1+ x2 = u,1− 2x2+ 27x4 =v,1+ 27x5 = w$ . Тогда неравенство принимает вид $log w+ log u − log w − 1≤0. u v v$ Далее его можно преобразовать так:

1 loguw loguvlogu w+ 1− loguw− loguv loguw+ logu-v − loguv-− 1≤0 ⇔----------loguv-----------≤ 0⇔ (logu-w−-1)(loguv-− 1) ⇔ loguv ≤ 0⇔ (logu-w−-loguu)(loguv−-loguu) ⇔ loguv ≤ 0.

Для решения этого неравенства далее применяем метод рационализации: знак разности $logab−$ $logac$ на области допустимых значений совпадает со знаком выражения $ba−−c1;$ в частности (при $c= 1$ ), знак логарифма $logab$ совпадает со знаком выражения $ba−−11$ . Тогда из последнего неравенства получаем

(w-−-u)(v−-u)≤ 0 (u− 1)(v− 1)

ОДЗ исходного неравенства задаётся условиями $u >0,v > 0,w > 0,u ⁄=1,v ⁄= 1.$ При этом последние два ограничения выполнены автоматически для любого решения, так как при $u =1$ или $v = 1$ знаменатель дроби обращается в ноль. Помимо этого $u= 1+x2$ и $v =$ $1− 2x2+ 27x4$ положительны при всех значениях $x.$ Следовательно, единственное ограничение из ОДЗ, которое необходимо учесть, - это неравенство $1+27x5 > 0,$ откуда $x > −5√1-. 27$ Решаем неравенство:

(27x5+-1−-x2− 1)(1−-2x2-+27x4−-1− x2) 3x4(27x3− 1)(9x2−-1) (1+ x2− 1)(1− 2x2+27x4− 1) ≤ 0⇔ x4(27x2− 2) ≤0 ⇔ ({ (|{ x⁄= 0, ⇔ x(3⁄=x0−,1)(9x2+3x+1)(3x+1)(3x−1) ⇔ (-(3x+1))(3(x−1)2-) ≤ 0 ⇔ ( -------(27x2−2)--------≤ 0 |( x−∘227 x+∘227 ({ ⇔ x ⁄=0(, ] ( ∘-- ∘--) { } ( x ∈ −∞;− 13 ∪ − 227; 227- ∪ 13 .

С учётом ОДЗ окончательно получаем $( ] ( ∘ -- ) ( ∘--) { } x∈ −-5√127;− 13 ∪ − 227;0 ∪ 0; 227-∪ 13 .$

Ответ:

$x ∈(− √1-;− 1]∪(− ∘-2;0)∪(0;∘-2) ∪{1} 327 3 27 27 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#79282

Найдите все значения $x$ , при каждом из которых одно из трёх данных чисел $log (x− 1) x 3$ , $log (x− 3) x− 13$ и $log x x−3$ равно произведению двух остальных.

Источники: Физтех-2018, 11.1 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу можно заметить некоторую схожесть логарифмов (однако сначала нужно записать кое-что важное!), точно неспроста так подобрали аргументы и основания! Что тогда можем сделать, чтобы это использовать? Какое свойство логарифмов нам поможет?

Подсказка 2

Вспоминается свойство log_a(b) ⋅ log_b(c) = log_a(c).. Очень удачным оказывается перемножить сразу все логарифмы, чтобы получилось 1! Какой логарифм равен произведению других мы не знаем, а тогда можем его обозначить переменной. Чему она должна быть равна?

Подсказка 3

Получаем, что какой-то логарифм равен ±1, остаётся только перебрать варианты! И можно ещё кое-что заметить: а может ли какой-то логарифм равняться 1?

Подсказка 4

Верно, не может) Осталось решить 3 простых уравнения и отобрать корни на ОДЗ!

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ: $x> 3$ и $x⁄= 4.$

Заметим, что на ОДЗ по формуле перехода к новому основанию верно тождество

( 1) logx x −3 ⋅logx− 13(x− 3)⋅logx−3x =1

Пусть $c$ — число, которое равно произведению двух других, $a$ и $b$ — оставшиеся. Тогда $c =ab$ и $abc =1.$ Отсюда получаем, что $c= ±1.$

Заметим также, что если какой-то логарифм равен $±1,$ то и произведение двух других равно $± 1.$

То есть мы поняли, что условие задачи выполняется тогда и только тогда, когда один из логарифмов равен $− 1.$ (Единице никакой логарифм из трех данных равняться не может, так как у всех них различны аргумент и основание).

Получили следующую совокупность:

⌊ ( ) x x− 1 =1 ||| ( 13) |⌈ x− 3 (x− 3)=1 x(x− 3)= 1

Откуда понимаем, что нам подходят (с учетом ОДЗ) только $x = 10 3$ и $√-- x= 3+--13. 2$

Ответ:

$10 3+-√13 3 , 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#44065

Решите неравенство

( 2 ) log2x logx log94+ 16− log32 log1623≤64 4 − 15⋅x 4

Источники: Физтех-2017, 11.3 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу стоит записать ОДЗ. Неравенство состоит из очень разнообразных слагаемых, так что хочется привести их к похожему виду. Как можно преобразовать степень 64? Слева же хочется преобразовать логарифм по основанию 162, т.к. такое число у нас больше нигде не встречается.

Подсказка 2

Пусть у нас справа будет замена t = x в степени log₄x. Перепишите тогда правую часть выражения!

Подсказка 3

Посмотрим на логарифмы, слева у нас даже нет х. То есть, там записано некоторое число! Давайте попробуем привести их к хорошему виду и посчитать! Для этого стоит попробовать выразить все логарифмы через log₃2

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x> 0$ .

Поскольку $log24x 3log4x 64 =x$ , то сделаем замену $log4x t= x > 0$ . По свойствам логарифмов $--1-- ---1-- log162 3= log3162 = 4+log32$ , поэтому левая часть принимает вид

(4− log3 2)(4+log3 2) log32+ -----4+log3-2-----=4

Таким образом, получаем неравенство

t3 − 15t− 4 ≥0

Подбором находим корень $t= 4$ , откуда

(t− 4)(t2+ 4t+1)≥ 0

Заметим, что при $t> 0$ вторая скобка всегда положительна, потому решениями будут $t≥4$ . Подставим

log x x 4 ≥4 ⇐⇒ log4x⋅log4x ≥1 ⇐ ⇒ |log4x|≥ 1

В итоге

x ∈(0;1]∪[4;+∞ ) 4

Ответ:

$(0;1]∪ [4;+∞ ) 4$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#44064

Решите неравенство

(x2 − 2)(2x− 3) logx22−x−23------4-------≥1.

Источники: Физтех-2016, 11.1 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) Заметим, что у нас в основании логарифма те же скобки! Давайте сделаем замену для удобства. Пусть а = x²-2, b = 2x-3. Перепишите полученное неравенство!

Подсказка 2!

2) В этой задаче очень важно учесть ОДЗ, оно довольно громоздкое.. Не забудьте про неравенство a и b!

Подсказка 3!

3) А теперь вернемся к нашему неравенству. Попробуйте доказать, что а больше b на нашем ОДЗ, а затем подставить в логарифм b вместо a! Подумайте, почему так можно, а затем аккуратно разберитесь с остатками задачи!

Показать ответ и решение

Сделаем замену $a= x2− 2,b= 2x− 3$ . ОДЗ: $a⁄= b,ab> 0$ . При этом $a − b= x2− 2x+1 >0$ (на ОДЗ), то есть $a> b$ . Неравенство принимает вид

ab b2 |b| loga∕b 4-− 1 ≥0 ⇐⇒ loga∕b4-≥ 0 ⇐⇒ loga∕b-2 ≥0

Рассмотрим случаи с учётом $a> b$

$b< a< 0$ . Здесь $a b < 1$ , то есть неравенство принимает вид
$− b ≤1 ⇐ ⇒ b≥ −2 2$
То есть $− 2 ≤2x− 3< 0$ и $1 3 2 ≤ x< 2$ . Также $2 1√ - a= x − 2< 0 =⇒ x∈ (2, 2)$ .
$b< 0< a$ . Этот случай невозможен из ОДЗ.
$0 <b< a$ . Здесь $a b > 1$ , тогда
$b ≥1 ⇐ ⇒ b≥ 2 2$
Тогда $2 ≤2x− 3$ и $5 x≥ 2$ . Условие $a> 0$ выполнено автоматически.

Заметим, что мы не проверили условие $a ⁄=b$ . Проверим

2 a = b ⇐ ⇒ x − 2x+ 1= 0 ⇐⇒ x= 1-нужно исключить

В итоге $x∈ [1,1)∪(1,√2)∪ [5,+ ∞) 2 2$ .

Ответ:

$[1,1)∪ (1,√2)∪ [5,+∞ ) 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#31430

Решите неравенство

log3x4⋅log1x2+ log3x2− log1x4+ 2 --------3(-----)3------3------≤0. log13 x2 + 64

Источники: Физтех-2015, 11.1 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вы тоже заметили, что повторяется х в четной степени, а также тройка фигурирует в основании? Значит, можете сделать интересную замену t = log_3(x²). Перед этим нужно будет предварительно вынести четные степени из аргументов всех логарифмов.

Подсказка 2

Полученное неравенство решается методом интервалов, после чего мы находим значения для x². А потом вспомним, что если x² = a (какому-то неотрицательному), то х может принимать значения а и -а.

Показать ответ и решение

Пусть $log x2 = t, 3$ тогда по свойствам логарифмов неравенство примет вид

2t⋅(−t)+t+-2t+2- −t3+ 64 ≤ 0

(t− 2)(2t+ 1) (t−-4)(t2+-4t+-16) ≤0

Откуда по методу интервалов

t∈ (−∞; − 1]∪ [2;4) 2

При обратной замене получаем

2 −1∕2 2 4 x ∈ (0;3 ]∪[3;3)

откуда

x ∈(−9;−3]∪ [− 3− 1∕4;0)∪ (0;3−1∕4]∪[3;9)

Ответ:

$(−9;−3]∪[− √1;0)∪(0; 1√-]∪[3;9) 43 43$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#90687

Решите уравнение

log (27x2) x9 x 3 = 81.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как всегда начнём с ОДЗ! После этого попробуйте подобрать удобное основание для логарифмирования и воспользуйтесь свойствами логарифмов, чтобы максимально упростить уравнение.

Подсказка 2

Воспользуйтесь свойствами логарифмов: log₃(x) = 1/logₓ3 и сделайте замену

Подсказка 3

Решите рациональное уравнение и сделайте обратную замену!

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

(| 27x2 > 0 |||{ x> 0 | =⇒ x> 0 |||( x9> 0 81

Преобразуем уравнение:

3+2log3x 9 −4 x =x ⋅3

Возьмем $logx$ от обеих частей

logx(x3+2log3x)=logx(x9⋅3−4)

3+2 log3x= 9+ logx3−4 =⇒ 3+ 2log3x =9 − 4logx3

3+ 2log3x= 9− --4-- log3x

Сделаем замену $log3x =t, t⁄= 0.$ Тогда

3+ 2t=9− 4 =⇒ 3t+2t2 = 9t− 4 t

2 2 2t − 6t+ 4= 0 =⇒ t − 3t+ 2= 0

Следовательно,

[ t= 1 =⇒ log3x =1 =⇒ x= 3 t= 2 =⇒ log3x =2 =⇒ x= 9

Ответ: 3; 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#38130

Решите уравнение

( 2 ) ( 3 ) ( 2 ) (3 ) log7x−6 7x +x − 6 ⋅logx+1 x +1 = log7x−6 7x +x− 6 + logx+1 x + 1

Источники: Физтех-2014, 11.1 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрим на то как выглядит наше уравнение. Хмм… Мы видим, что , по сути, здесь есть две конструкции. Собственно два этих логарифма. Слева их произведение, справа их сумма. А что можно сделать, если мы знаем что сумма двух чисел равна их произведению?

Подсказка 2

Конечно, можно заменить и разложить. ab=a+b => (a-1)(b-1)=1. А как можно сократить единицу, если мы знаем чему равно а и b(логарифмам)? А что это даст?

Подсказка 3

Видим, что log_(7x-6)(7x^2+x-6)=1+log_(7x-6)(x+1). Аналогично со вторым. На выходе получаем уравнение (log_(7x-6)(x+1))*(log_(x+1)(x^2-x+1))=1. Хмм… х+1 много где встречается… Ах, есть же свойство!

Подсказка 4

Свойство о смене оснований в произведении логарифмов. Тогда наше уравнение преобразуется в вид log_(7x-6)(x^2-x+1)=1. А такое мы точно умеем решать. Остается проверить корни на соответствие ОДЗ и записать ответ.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $7x− 6 >0,x+ 1> 0,7x− 6⁄= 1,x+1 ⁄=1$ . Поскольку

( 2 ) ( 3 ) ( 2 ) log7x−6 7x + x− 6 =1+ log7x−6(x +1) и logx+1 x + 1 = 1+logx+1 x − x+ 1

то для замены $a= log (x +1),b=log (x2− x+ 1) 7x− 6 x+1$ уравнение примет вид

(a+ 1)(b+ 1)=a +b+ 2 ⇐⇒ ab= 1

То есть

log (x+1)log (x2− x+1)= log (x2− x +1)= 1 7x−6 x+1 7x−6

или $7x− 6 =x2 − x+ 1 ⇐⇒ x2− 8x +7 =0 ⇐ ⇒ x ∈{1;7}.$ После проверки ОДЗ получаем ответ.

Ответ:

$7$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#38131

Решите уравнение

(2 ) 3 2 log5x x +9x+ 15 +log125x x = x.

Источники: Физтех-2013, 11.1 (см.olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас в основании логарифмов пятерки в некоторых степенях. А это как-то можно исправить? Когда в основании логарифма показательная функция работать не так удобно, как с константой там же.

Подсказка 2

Ну конечно, можно. По свойству логарифмов. Что-то мы забыли… Ах, да! Найти ОДЗ! Ведь вынеся степень из основания оно точно будет использоваться.

Подсказка 3

Ого, какое простое ОДЗ, х>0. А значит можно домножить на х и не потерять корней. Теперь у нас остается что сумма наших логарифмов равна 2. Но они по одному основанию! Значит их можно преобразовать в один и приравнять к логарифму по основанию 5, равному двойке.

Подсказка 4

В итоге получаем кубическое уравнение, которое остается решить (к примеру угадать один из корней) и не забыть учесть ОДЗ.

Показать ответ и решение

ОДЗ:

x> 0

Вынесем из оснований и аргументов логарифмов показатели степеней, получим

1log (x2+ 9x +15)+ 3-log x = 2 ⇐⇒ log (x3+ 9x2+15x)= log 25 x 5 3x 5 x 5 5

Что эквивалентно равенству

3 2 2 2 x + 9x + 15x− 25= 0 ⇐⇒ (x − 1)(x + 10x+ 25)= 0 ⇐⇒ (x− 1)(x +5) = 0

Получается $x= 1,x =− 5$ , но только $x =1$ входит в ОДЗ исходного уравнения.

Ответ:

$1$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#44066

Решите неравенство

1 ( x2 ) ( 2 ) (x-− 1) 2log2 2 + 8x+33 ≤− log14 x + 13x+42 + log4 x +7 .

Источники: Физтех-2012, 11.1 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) Так, у нас опять задача с жутким ОДЗ, не забываем его выписать! А затем, как было бы удобно, если бы мы могли привести все логарифмы к одному основанию!

Подсказка 2!

2) Да, приведите все логарифмы к основанию 4! В таком случае нам останется сравнить два логарифма, для этого перейдем к сравнению их содержимого, а дальше осталось только разобраться, когда неравенство для х выполнено!

Показать ответ и решение

ОДЗ:

2 2 1)x +16x+ 66 =(x+ 8) +2> 0

2)(x +7)(x +6)> 0

3)x−-1> 0 x+ 7

В иоге $x∈ (− ∞;−7)∪ (−1;+∞ )$ .

Приведём все логарифмы к основанию $4$ за счёт свойств логарифмов:

(x2 ) ((x− 1)(x2+ 13x+ 42)) log4 -2 +8x+ 33 ≤ log4 ------x-+7------- = log4((x − 1)(x +6))

x2+ 16x+ 66≤ 2x2+10x− 12 ⇐ ⇒ x∈(−∞; 3− √87]∪ [3+ √87;+∞)

В итоге $√-- x∈ (−∞, −7)∪[3+ 87;+ ∞)$ .

Ответ:

$(−∞,− 7)∪[3 +√87;+∞ )$

Критерии оценки

На олимпиаде задача оценивалась в 5 баллов. Баллы суммируются:

Найдено ОДЗ – 1 балл;

Неравенство сведено к квадратному – 2 балла;

Решено полученное квадратное неравенство – 1 балл;

Полученные решения пересечены с ОДЗ – 1 балл;

Важно: неравносильное преобразование неравенства – 0 баллов за всю задачу.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#80053

Решите систему уравнений

({ log (4x2− y2+8x − 6y− 4)=2 2x+1 ( 2 ) ( logy+2 y +6y− x+ 14 =2

Показать ответ и решение

Имеем

({4x2− y2+8x − 6y− 4= 4x2+4x+ 1 2 2 ( y +6y − x+ 14= y +4y+ 4

при условиях $0< 2x+ 1⁄= 1$ и $0< y+ 2⁄=1.$ Получаем $2 − y − 6y = −4x+ 5$ и $− x= −2y− 10.$ Следовательно, $2 − y − 6y = −8y− 35,$ т. е. $2 y − 2y− 35= 0.$ Тогда либо $y =− 5,$ и в этом случае $y+2 =− 3< 0,$ т. е. это не решение, либо $y = 7,$ а $x =2y+ 10= 24,$ и в этом случае $0< y+2 =9 ⁄=1$ и $0< 2x+ 1= 49⁄= 1,$ т. е. это решение.

Ответ:

$(24,7)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#80054

Решите неравенство

√ ---- log|x|( x+5 +4)≥ 2logx2(2x+ 8)

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x∈ (− 4,− 1)∪(−1,0)∪(0,1)∪ (1,+∞ ).$ Преобразуем к виду

√---- log|x|( x+ 5+ 4) ≥log|x|(2x +8)

При $|x|> 1$ имеем $√x+-5+ 4≥2x +8,$ т. e. $√x-+-5≥ 2x +4.$ Следовательно, либо $x< −2,$ либо $x ≥−2$ и $x +5≥ (2x+4)2.$ Тогда при $x ≥− 2$ получаем $2 4x +15x+ 11≤0,$ т. е. $[ 11- ] x∈ − 4 ,− 1 .$ Следовательно, $x≤ −1,$ а учитывая ОДЗ получаем $x ∈(−4,− 1)$ — решения. При $|x|< 1$ имеем $√---- x+ 5+ 4≤2x +8,$ т. е. $x ≥− 1.$ Учитывая ОДЗ получаем $x∈ (−1,0)∪(0,1)$ — решения.

Ответ:

$(−4,− 1)∪ (− 1,0)∪(0,1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#80050

Решить уравнение

( 2 ) ∘ --------2 2 2log3 x − 4 +3 log3(x+ 2) − log3(x− 2)= 4

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение к виду

2 ∘--------2 log3(x+ 2) + 3 log3(x+ 2) = 4

Пусть $∘ --------2 t= log3(x +2) ≥ 0.$ Тогда $2 t + 3t− 4= (t− 1)(t+ 4)= 0.$ Следовательно, $t= 1$ и $2 (x+2) = 3.$ Получаем $√- x= −2± 3,$ причем $√ - x =− 2+ 3$ не является решением, так как $2 √- √- x − 4=( 3 − 4) 3< 0$ и $( 2 ) log3 x − 4$ не определен, а $√- x= −2− 3−$ решение.

Ответ:

$− 2− √3$

Предыдущий раздел

Следующий раздел