Тема Ломоносов

Параметры на Ломоносове

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела ломоносов

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#70492

При каких значениях параметра $a∈ ℝ$ наибольшее расстояние между корнями уравнения

3 ( 2) 2 ( 2 ) atg x+ 2 − a− a tg x + a − 2a − 2 tgx+ 2a =0,

принадлежащими интервалу $(− π;π), 2 2$ принимает наименьшее значение? Найдите это наименьшее значение.

Источники: Ломоносов-2022, 11.6 (см. olymp.msu.ru)

Показать ответ и решение

Данное уравнение можно переписать в виде

(tgx− 1)(tgx − a)(a tgx +2)= 0

Откуда при $x∈ (− π;π) 2 2$ либо $tgx =1$ и $x = π, 4$ либо $tg x= a$ и $x= arctg a,$ либо (при $a⁄= 0)tgx =− 2 a$ и $x= − arctg 2. a$ Таким образом, данное уравнение имеет на интервале $(− π;π) 2 2$ два или три различных корня (второй корень не может совпадать с третьим, так как $arctg a$ и $− arctg 2 a$ имеют разные знаки при любом $a⁄= 0$ в силу нечётности арктангенса).

Случай 1: $a =0.$ Тогда остаётся два корня $x= π 4$ и $x = 0,$ которые отличаются на $π. 4$

Случай 2: $a >0.$ Тогда разность между корнями $x= π 4$ и $x= − arctg 2< 0 a$ больше, чем $π. 4$

Случай 3: $a <0.$ Тогда разность между корнями $π x= 4$ и $x= arctga< 0$ больше, чем $π 4.$

Ответ:

$π 4$ при $a =0$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#77781

Числа $a,b,c$ таковы, что каждое из двух уравнений $x2+ bx+a =0$ и $x2+ cx+ a= 1$ имеет по два целых корня, при этом все эти корни меньше $− 1.$ Найдите наименьшее значение $a.$

Источники: Ломоносов - 2021, 11.3 (см. olymp.msu.ru)

Показать ответ и решение

По теореме Виета произведение корней первого уравнения равно $a$ , произведение корней второго уравнения равно $a− 1$ . Ввиду того, что корни целые и меньше $− 1$ , их произведение больше $1$ , поэтому каждое из двух последовательных чисел $a − 1$ и $a$ является произведением двух различных целых чисел, больших $1$ (откуда $a> 1$ ).

Заметим, что $a$ и $a− 1$ не могут быть простыми числами, иначе один из корней — $1$ . Они так же не могут быть квадратами простых чисел, так как иначе либо корни совпадают и равны $√- a$ , либо один из них равен $1.$

Выпишем первые 15 натуральных чисел и вычеркнем все простые и квадраты простых. Останутся $6,8,10,12,14,15.$ Из них мы можем взять в качестве $a$ только число 15, так как в оставшихся случаях $a− 1$ будет вычеркнуто. Тогда

x2+bx+ a= (x+ 3)(x+ 5)= x2+ 8x+ 15

2 2 x + cx+ a− 1=(x+ 2)(x+ 7)= x +9x+ 14

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#102477

Найдите все значения $a$ , для каждого из которых при любом $x$ наибольшее из двух чисел

3 x + 3x +a − 9

a+25−x− 3x− 1

положительно.

Источники: Ломоносов - 2020, 11.5 (см. olymp.msu.ru)

Показать ответ и решение

Функция $f(x)= x3+3x+ a− 9$ строго возрастает, а $g(x)= a+ 25−x − 3x−1$ — убывает. Поэтому указанное в задаче требование на параметр $a$ означает, что точка пересечения графиков этих функций лежит выше оси абсцисс, т.е. их значение в корне $x =2$ (угадываемом) уравнения

3 5−x x−1 x + 3x +a − 9= a+ 2 − 3

положительно, т.е.

3 1 a+ 2 − 3 > 0

a> −5

Ответ:

$(−5;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#47236

Сколько существует значений параметра $a$ , при которых уравнение

2 2 4a + 3xlgx +3lg x= 13algx+ ax

имеет единственное решение?

Источники: Ломоносов-2019, 11.7 (см. olymp.msu.ru)

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x> 0$ . Заметим, что левую часть уравнения можно разложить на скобки

(3lgx − a)(x +lgx− 4a)= 0

Решениями этого уравнения будет объединение решений $f(x)= 3lgx =a ⇐ ⇒ lgx= a,x= 10a∕3 3$ и $g(x)= x+ lgx = 4a$ . Заметим, что обе функции монотонно возрастают на ОДЗ и принимают все действительные значения, потому оба уравнения имеют единственное решение при каждом значении параметра. Но тогда решения уравнений должны совпадать, то есть

a a a 11 103 + 3 =4a ⇐⇒ h(a) =103 − 3 a =0

Осталось найти количество решений этого уравнения. Поскольку $′ 1 a 11- h(a)= 3ln 10 ⋅103 − 3$ имеет единственный нуль, который является точкой минимума, а также $1∕3 11 11 h(1)= 10 − 3 < 3− 3 < 0$ (то есть она принимает отрицательные значения), то уравнение $h(a)= 0$ имеет два решения. Это следует из того, что функция $h$ не ограничена на $±∞$ , поэтому по каждую сторону от точки минимума будет пересекать прямую $y = 0$ .

Ответ:

$2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#100459

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых ровно одно из следующих двух утверждений является истинным:

1) “Уравнение $cos(cosx)+ sin(sinx)= a$ имеет ровно два корня на отрезке $[0;π]$ ”;

2) “Уравнение $4 4 sin x+ cos x+ sin2x= a$ имеет корни.”

Показать ответ и решение

1) Функция $f(x)= cos(cosx)+sin(sinx)$ возрастает на промежутке от 0 до $π 2$ (каждое из слагаемых монотонно возрастающая функция) и убывает на промежутке от $π 2$ до $π$ (так как $f(π− x)= f(x)$ ). Поэтому

E (f)= [f(0);f(π∕2)]= [cos1;1+ sin1]

Данное уравнение имеет ровно два корня на отрезке $[0;π]$ при $a∈$ $[cos1;1+ sin1)$ .

2) Во втором уравнении используем замену $t=sin 2x$ :

( 2 2 )2 2 2 sin x+ cos x − 2 sin xcos x+ sin2x= a

t2 1 − 2 + t= a

2 t − 2t− 2= −2a

Область значений функции $g(t)=t2− 2t− 2= (t− 1)2− 3$ на отрезке $[−1;1]$ есть множество

E(g)= [g(1);g(−1)]=[−3;1]

Данное уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда

−2a∈ [−3;1]

[ 1 3] a∈ −2;2

3) Поскольку

1+ sin1 >1+ sin π= 3, 6 2

то ровно одно из данных утверждений 1 ), 2) является истинным при

[ 1 ) (3 ) a∈ − 2;cos1 ∪ 2;1+ sin1

Ответ:

$[− 1;cos1)∪ (3;1+ sin1) 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#39869

Найдите все пары $(a,b)$ , при которых множество решений неравенства $log (x− a)> 2014$ $2x2− x− b$ совпадает с промежутком $(0;1)$ .

Источники: Ломоносов-2014, 11.4 (см. olymp.msu.ru)

Показать ответ и решение

Заметим, что $f(x)= 2x2− x − b− log (x− a) 2014$ имеет не более двух корней, поскольку её вторая производная всегда положительна. Если $x =1$ не входит в ОДЗ, то $x< 1$ не могут быть решениями, потому возможны два случая

$x =0$ не входит в ОДЗ, тогда $a= 0$ , потому что ОДЗ $x> a$ , а любой $x > 0$ лежит в решениях, но не $x =0$ . Тогда при $x =1$ достигается равенство, поскольку функции с обеих сторон непрерывны (иначе единица также входила бы в решение)
$log20141= 2− 1− b ⇐ ⇒ b =1$
Если $x → 0$ , то логарифм стремится к $− ∞$ , тогда как в левой части в пределе будет $− 1$ , тогда нужное неравенство не выполняется и этот случай нам не подходит.
$x =0$ входит в ОДЗ и $a <0$ . В этом случае решениями являются оба конца промежутка
${ log (−a)= −b { −a= 2014−b { b= log 2013 log2014(1− a)= 1− b ⇐ ⇒ 1− a =20141−b =− 2014a ⇐⇒ a =− 20114 2014 2013$
Поскольку $f$ имеет положительную вторую производную и непрерывна, то отрицательна она только на промежутке между этими корнями (на бесконечности она положительна, как и при $x→ a$ ), то есть найденные значения подойдут.

Ответ:

$(− -1-,log 2013) 2013 2014$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#47067

Функция $f$ с областью определения $D (f) =[1;+∞ )$ удовлетворяет равенству

(4y+-4−y) f 2 =y

для любого $y ≥0$ . Для каждого значения $a⁄= 0$ решите неравенство

( ) f --a-- ≤1. x+ 2a

Источники: Ломоносов-2013, 11.5 (см. olymp.msu.ru)

Показать ответ и решение

Функция $f$ является обратной к функции $g(y)= 4y+4−y 2$ для $y ≥0$ . Поскольку здесь $g$ монотонно возрастает, то и $f$ , как обратная, будет монотонно возрастать. Отсюда следует

( a ) a 17 f x+-2a- ≤ 1 ⇐⇒ x+-2a ≤ g(1)= 8

Дополнительно учитываем ОДЗ, то есть $x+a2a-≥1$ . Имеем систему

{ { xa+2a-≤ 178- ⇐ ⇒ 17xx++226aa≥ 0 xa+2a-≥1 xx++a2a ≤ 0

Точками смены знака будут $26a − -17-,− a,− 2a$ , однако их порядок зависит от знака $a$ . При $a >0$ получаем решения $26a x∈ [− 17 ,−a]$ , а при $a < 0$ $26a x∈ [− a,− 17 ]$ .

Ответ:

$[− 26a-;− a] 17$ при $a> 0$

$\text{[math]}$

$[ 26a] −a;− 17$ при $a <0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#80573

Найдите все значения $a> 0$ , при каждом из которых из неравенства

2 2 x + y ≤ a

следует неравенство

(|x|+ 3)(|y|+ 3)≤25.

Показать ответ и решение

(|x|+ 3)(|y|+3)= |xy|+ 3|x|+3|y|+ 9

Для любого значения $t$ верно $t2+4 ≥2√4t2 = 4|t|,$ поэтому с использованием неравенства о средних для двух чисел:

x2+-y2 x2+-4 y2-+4- 5(x2+-y2) |x|⋅|y|+ 3|x|+ 3|y|+9≤ 2 + 3 4 + 3 4 +9= 4 + 15

По условию это не превосходит $5a 4 +15,$ поэтому при $a≤ 8$ получаем искомое

5⋅8 (|x|+ 3)(|y|+ 3)≤ -4- +15= 25

Если $a> 8$ , то рассмотрим $∘ -- x =y = a2 >2.$ Такая пара $(x,y)$ подходит под первое условие, но не подходит под второе.

Ответ:

$a ≤8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#45586

При каких значениях $a,b$ и $c$ множество действительных корней уравнения

5 4 2 x + 2x + ax + bx =c

состоит в точности из чисел $− 1$ и $1?$

Источники: Ломоносов-2011, 11.6 (см. olymp.msu.ru)

Показать ответ и решение

Подставим корни $x= 1$ и $x= −1$ :

{ 3+ a+ b=c 1+ a− b=c =⇒ b= −1,a+ 2= c

Получаем, что уравнение имеет вид $x5+ 2x4+ (c− 2)x2− x − c= 0$ , которое имеет корни $x= ±1$ . Тогда по теореме Безу можем поделить левую часть на $(x− 1)(x+ 1)$ и получим

3 2 x + 2x +x +c= 0

Пусть $g(x)= x3+2x2+ x+ c.$ Так как $g(x)→ + ∞$ при $x → +∞$ $+ ∞$ и $g(x)→ −∞$ при $x→ − ∞$ , то по теореме о промежуточном значении непрерывной функции уравнение $g(x)= 0$ имеет корень.

Но по условию должны быть только корни $±1.$

Потому либо корнем является единица:

g(1)= 1+ 2+ 1+c =0 ⇐ ⇒ c= −4 =⇒ a= −6

Здесь получаем $g(x)= (x− 1)(x2 +3x+ 4)$ . Вторая скобка корней не имеет, потому такой набор параметров нам подходит.

Либо корнем является минус единица:

g(−1)= −1+ 2− 1+c =0 =⇒ c= 0 =⇒ a =− 2

Здесь $c= 0$ , так что уравнение будет иметь ещё и корень $x= 0$ , что нам не подходит.

Ответ:

$(−6,−1,− 4)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#70996

При каких значениях параметров $a,b,c$ множество решений уравнения

5 4 2 x +2x + ax +bx+ c= 0

состоит в точности из чисел $1$ и $− 1?$

Показать ответ и решение

Подставим оба решения в уравнение

{ 1+ 2+ a+b+ c= 0 −1+ 2+ a− b+c= 0 =⇒ b= −1,a+c =−2

Далее вынесем $(x− 1)(x+ 1) =x2− 1$ из многочлена, получим

(x2− 1)(x3 +2x2+ x+ 2+a)= 0

Вторая скобка представляет собой кубический многочлен, поэтому у неё всегда есть корень, разберём случаи

Этот корень $x= 1$ , тогда $1+ 2+ 1+2 +a= 0 ⇐⇒ a= −6,c= 4$ , при вынесении $x− 1$ получим $(x − 1)(x2+ 3x+ 4)$ — вещественных корней у второй скобки нет.
Если же $x= −1$ , то $− 1+ 2− 1+2 +a =0 ⇐ ⇒ a =−2,c= 0$ , здесь есть корень $x= 0$ , поэтому случай нам не подходит.

Ответ:

при $a = −6,b= −1,c= 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#114021

При каждом значении $a$ найдите все значения $x$ , удовлетворяющие уравнению

( (x +1)2 ) (x+ 1)2 log5 --x---− a = log5---x-- − log5a.

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

(| (x+ 1)2 ||||| ---x-- − a >0 ||{ (x+-1)2 || x >0 ||||| a> 0 |( x⁄= 0

a> 0, x> 0, (x+-1)2 >1 ax

На ОДЗ по свойствам логарифмов уравнение равносильно

(x+-1)2− a= (x+-1)2 x ax

2 2 (a − 1)(x +1) = ax

Если $a= 1,$ то уравнение не имеет решений. Иначе получаем квадратное уравнение (так как $a⁄= 0),$ корни которого равны

⌊ x =a − 1 |⌈ 1 x = a− 1

Условие $x> 0$ выполняется при $a> 1$ для обоих корней. Условие $2 (x+1ax)-> 1$ тоже выполнено при $a >1,$ так как из уравнения $(a− 1)(x+ 1)2 = a2x$ получаем

(x+-1)2 = -a--= 1+ -1--> 1 ax a− 1 a− 1

Ответ:

при $a > 1:$ $a− 1, -1- a−1$

при $a≤ 1:$ решений нет

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#31977

При каких значениях $a$ существует единственное решение системы

{ x2+ y2 = 4; (x− 3)2 +(y+ 4)2 = a?

Показать ответ и решение

При $a< 0$ второе уравнение не имеет решений. При $a =0$ второе уравнение имеет решение $x= 3,y = −4$ , которое не подходит под первое уравнение системы. Заметим, что при $a> 0$ перед нами две окружности: с центром $(0,0)$ радиусом $2$ и с центром в $(3,−4)$ радиусом $√ - a$ .

$PIC$

Нам нужно, чтобы у них была ровно одна точка пересечения, откуда две окружности касаются, то есть либо $------ √ 32+42 = 2+ √a$ (внешнее касание), либо $√32+-42-=√a − 2$ (внутреннее). Значит, $√a =3$ или $√a =7$ .

Ответ:

${9;49}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#31629

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение

||x− a|+2x|+4x =8|x+1|

не имеет ни одного корня.

Источники: Ломоносов-2005

Показать ответ и решение

Рассмотрим эквивалентное уравнение

8|x+ 1|− 4x− ||x− a|+ 2x|=0

Левая часть при каждом фиксированном параметре $a$ является кусочно-линейной функцией $f(x)= 8|x+ 1|− 4x− ||x− a|+ 2x|$ , характер монотонности которой определяется первым модулем $8|x +1|.$

При $x≤ −1$ коэффициент перед $x$ равен $− 8− 4± 1±2 <0,$ поэтому функция $f(x)$ является убывающей, а её наименьшее значение достигается при $x= −1$ и равно $4− ||1 +a|− 2|.$

При $x≥ −1$ коэффициент перед $x$ равен $8− 4± 1± 2>0,$ поэтому функция $f(x)$ является возрастающей, а её наименьшее значение достигается при $x= −1$ и равно $4− ||1 +a|− 2|.$

Все значения больше $f(− 1)= 4− ||1+ a|− 2|$ достигаются, поэтому уравнение $f(x)= 0$ не имеет решений, если $0< f(−1),$ ведь тогда $0 <f(x)$ при любом $x.$

||a +1|− 2|− 4< 0 ⇔ |a+ 1|− 2∈ (−4,4)

|a+ 1|∈[0,6) ⇔ a +1∈ (−6,6) ⇔ a∈(−7;5)

Ответ:

$(−7;5)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#80594

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

9|x− 1|− 4x+ |3x− |x+a||=0

имеет хотя бы один корень.

Показать ответ и решение

Функция

f(x)= 9|x− 1|− 4x+ |3x − |x+ a||

убывает при $x ≤1$ (так как при любом раскрытии модулей коэффициент при $x$ равен $− 9 − 4± 3± 1< 0$ ) и неограниченно возрастает при $x≥ 1$ (коэффициент при $x$ равен $9− 4±3 ±1> 0$ ), следовательно, уравнение имеет хотя бы один корень тогда и только тогда, когда

f(1)≤ 0

−4+ |3 − |1+a||≤0

− 4≤3 − |1+a|≤ 4

−1≤ |1+ a|≤7

−7 ≤1+ a≤ 7

−8≤ a≤ 6

Ответ:

$[−8;6]$