Комбинаторика на Ломоносове: способы, логика, игры

Первое решение.

Пронумеруем вершины, начиная с произвольной. Заметим, что диагональ параллельна какой-то стороне тогда и только тогда, когда номера вершин в ней имеют разную чётность. Действительно, из второго очевидно следует первое, достаточно рассмотреть операцию “сдвинем одну вершину по часовой, а другую — против”, такими операциями мы будем получать параллельные отрезки и попадём в сторону (при такой операции чётность не меняется и в итоге приходим к соседним вершинам, которые имеют разную чётность). Из этой же операции получаем следствие в обратную сторону, поскольку такие операции сходятся в точку.

Нам нужно найти число непараллельных сторонам диагоналей. Так что задача сводится к поиску числа пар вершин одинаковой чётности. Число способов выбрать две вершины с чётными номерами аналогично с нечётными. Получаем всего диагоналей.

Второе решение.

Всего в -угольнике

диагоналей. Разобьем стороны на пар параллельных сторон. Несложно заметить, что если зафиксировать какую-то пару ( вершины), то оставшиеся вершины можно соединить попарно диагоналями, параллельными этой паре. Их всего будет Значит, диагоналей, параллельных какой-то стороне А непараллельных