Планиметрия на СПБГУ

Первое решение.

Пусть - точка пересечения прямых и , а прямая пересекает отрезки и в точках и соответственно. Так как — параллелограмм, отрезок проходит через точку и делится в ней пополам. Значит, откуда

Обозначим через и середины отрезков и соответственно. Треугольники и равны по стороне и двум углам, что дает В силу подобия треугольников и

Поэтому треугольники и подобны, и мы получаем Таким образом, точки и лежат на одной прямой.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Пусть и — точки пересечения диагоналей параллелограммов и соответственно. Так как отрезок — средняя линия треугольника Поэтому

Тогда четырёхугольник является параллелограммом, откуда . Треугольники и подобны, поскольку их соответствующие стороны параллельны. Следовательно,

Поэтому треугольники и также подобны и, значит, Таким образом, прямая параллельна а по доказанному выше она параллельна и Поскольку у прямых и есть общая точка они совпадают, откуда