Тема МКТ. Тепловые явления

01 Тепловой насос. Холодильник

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела мкт. тепловые явления

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#33998Максимум баллов за задание: 10

Идеальная тепловая машина с КПД $η$ работает по обратному циклу. Какое максимальное количество теплоты можно забрать из холодильника, совершив механическую работу $A$ ?

Показать ответ и решение

Поскольку холодильная машина работает по обратному циклу, то для перехода тепла от менее нагретого тела к более нагретому необходимо, чтобы внешние силы совершили положительную работу. Принципиальная схема холодильной машины: от холодильника отбирается количество теплоты $Q 2$ , внешними силами совершается работа и нагревателю передаётся количество теплоты $Q1$ . Следовательно:

A Q2 η = ---= 1 − ---⇒ Q2 = Q1 (1 − η); Q1 = A∕η Q1 Q1

1-−-η- ⇒ Q2 = η A

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#33999Максимум баллов за задание: 10

Идеальная тепловая машина, работающая по обратному циклу, передаёт тепло от холодильника с водой при температуре $∘ 0$ C кипятильнику с водой при температуре $∘ 100$ C. Сколько воды нужно заморозить в холодильнике, чтобы превратить в пар 1 кг воды в кипятильнике?

Показать ответ и решение

За время работы холодильная машина отберет от холодильника количество теплоты:

Q2 = m2 λл

и передаст кипятильнику количество теплоты:

Q1 = m1r в

Для идеальной тепловой машины, работающей по циклу Карно, справедливо соотношение ( $T = 373K 1$ и $T = 273K 2$ ):

Q1 − Q2 T1 − T2 ---------= --------= η, Q1 T1

Из этих соотношений следует:

m λ T m r T ⇒ --2-л-= --2⇒ m2 = --1-в -2-= 5,1 кг m1r в T1 λл T1

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#34000Максимум баллов за задание: 10

С помощью электрической плитки мощностью 1 кВт в комнате поддерживается температура $17 ∘$ C при отрицательной температуре наружного воздуха $∘ − 23$ C. Какая мощность потребовалась бы для поддержания в комнате той же температуры с помощью идеальной тепловой машины?

Показать ответ и решение

Идеальная машина, работающая по обратному циклу Карно, есть тепловой насос, который отбирает теплоту у внешней среды и при помощи компрессора передает теплоту комнатному воздуху. Наружный воздух будет играть роль нагревателя при $T = 250 2$ K, а воздух в комнате - роль холодильника при $T1 = 290 K$ . Процесс пойдет таким образом: забрав тепло $Q2$ от наружного воздуха и затратив некоторую работу $A$ , передадим тепло $Q1$ внутрь комнаты. Пусть $A, Q1$ и $Q2$ относятся к единице времени (секунде). Тогда для поддержания той же температуры необходимо, чтобы переданное тепло $Q1$ равнялось теплу, поступающему в первом случае:

Q1 = N

КПД тепловой машины

T2- η = (Q1 − Q2 )∕Q1 = (T1 − T2)∕T1 ⇒ Q2 = Q1 T1

Мощность, которую необходимо затратить

A = Q − Q = Q (1 − T ∕T ) 1 2 1 2 1

Подставляя $Q1 = 103$ Вт и температуры, получим

A = 103(1 − 250 ∕290) ≈ 103 ⋅ 0,138 = 138 В т.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#34001Максимум баллов за задание: 10

Летом при температуре в помещении $t1 = 27 ∘$ C промышленный морозильник при работе на полную мощность поддерживал температуру в камере $∘ t2 = − 23$ C. Зимой температура в помещении упала до значения $t = 7∘ 3$ C. Из-за отказа реле агрегат вновь заработал на полную мощность. Какой при этом стала температура $tx$ в камере? Считайте агрегат идеальной машиной.

(Всеросс., 2002, финал, 10)

Показать ответ и решение

Идеальный холодильник работает по обратному циклу Карно, поэтому

Tн-−-Tx- A- ----N-t----- T = Q = k(T − T )t, x н x

где $A$ - работа агрегата, $Q$ - отнятое у камеры тепло, $Tх$ - температура в камере, $Tн −$ внешняя температура, $N$ - мощность агрегата, $k$ - коэффициент пропорциональности, $t−$ время. Применительно к первому и второму случаям эта формула дает:

T1 −-T2-= -----N-t---- = ----N-----, (1) T2 k (T1 − T2)t k(T1 − T2) T3 − Tx N -------- = -----------. (2) Tx k (T3 − Tx)

Из (1) и (2) получим:

2 (T1 −-T2)- T2- (T − T )2 = Tx , 3 x

откуда $Tx = 232 K$ , то есть $tx = − 41∘C$ . Второе решение $Tx = 338 K$ отвечает работе агрегата в качестве теплового насоса.

(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#34002Максимум баллов за задание: 10

С помощью бензиновой горелки в помещении поддерживается температура $t1 = − 3∘$ C при температуре на улице $∘ t2 = − 23$ C. Предполагается использовать бензин в движке с КПД $η = 0,4$ , а с помощью полученной механической энергии запустить тепловой насос, перекачивающий по идеальному холодильному циклу теплоту с улицы в комнату. Какую температуру $t3$ удастся в таком случае поддерживать в помещении при прежнем расходе бензина? Движок находится вне помещения.

Показать ответ и решение

Мощность теплового потока из комнаты пропорциональна разности комнатной и уличной температур, т.е. в установившемся режиме при использовании горелки можно записать

N = k(T1 − T2) ,

где $N$ - мощность горелки, $k$ - коэффициент пропорциональности.

Идеальный холодильник работает по обратному циклу Карно. Пусть $N0$ - мощность, отнимаемая агрегатом у окружающей среды, тогда

ηN--= T3 −-T2, откуд а N0 = -T2ηN---. N0 T2 T3 − T2

В установившемся режиме мощность теплового потока в комнату равна

′ N = N0 + ηN = k(T3 − T2 ).

Подставив сюда выражения для $N0$ и $N$ и сократив на $k$ , получим

T η (T − T ) -2----1----2-+ η(T1 − T2) = T3 − T2 T3 − T2

Из этого квадратного относительно $T3$ уравнения найдем искомую температуру:

∘ T3 = 299 K, и ли t3 = 26 C.

Второе решение $T3$ , или $t′3 = − 64∘C$ , отвечает работе агрегата на охлаждение комнаты.

(Решение из журнала Квант)

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Формула мощности теплового потока	2

Формула цикла Карно	2

Формула мощности теплового потока в установившемся режиме	2

Сказано, что цикл работает по обратному циклу Карно	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#124594Максимум баллов за задание: 10

В жаркие летние дни, когда в комнате установилась температура $t0 = 30∘C,$ экспериментатор Глюк обратил внимание на то, что время работы двигателя холодильника стало вдвое превышать время бездействия. Решив оптимизировать его работу, экспериментатор регулятором изменил температуру внутри холодильника на $Δ𝜃 = 9∘C.$ В результате время бездействия стало вдвое больше времени работы. Определите:
На какие температуры $t1$ и $t2$ был настроен регулятор в начале и в конце эксперимента?
На какую внутреннюю температуру $tm$ надо выставить регулятор, чтобы двигатель холодильника начал работать без перерыва?
При какой выставленной регулятором температуре $t3$ частота включения холодильника станет максимальной?
Указание. Регулятор задает температуру внутри холодильника $t$ в небольшом интервале $t± Δt ∕2$ Когда температура внутри становится равной $t+ Δt∕2,$ двигатель холодильника включается, когда она снижается до $t− Δt∕2$ выключается. Считайте, что:
1) мощность подводимого тепла пропорциональна разности температуры внутри холодильника и окружающей среды и постоянна во всём интервале внутренних температур $t+ Δt∕2;$
2) тепловая мощность, отбираемая двигателем во время его работы у внутреннего объёма холодильника, не зависит от температур;
3) изменением температуры в комнате можно пренебречь.

(Всеросс., 2015, финал, 9)

Источники: Всеросс., 2015, финал, 9

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ:

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#124595Максимум баллов за задание: 10

Гигантский айсберг массой $m = 9⋅108 кг$ (куб $100× 100× 100 м3$ ), имеющий температуру $T2 = 273 К,$ дрейфует в течении Гольфстрим, температура воды которого $T1 = 295 К.$
1) Пренебрегая прямым теплообменом между айсбергом и тёплой водой, найдите максимальную работу тепловой машины, использующей Гольфстрим в качестве нагревателя и айсберг в качестве холодильника, за то время, пока весь айсберг не растает (рис.).

$PIC$

2) Определите, сколько воды можно испарить в котле за счёт работы, количество которой найдено в первом пункте, если использовать её в тепловом насосе для «перекачки» тепловой энергии из течения Гольфстрим в котёл с температурой $T0 = 373 К$ (рис.).

$PIC$

Теплота плавления льда $5 q = 3,35⋅10 Д ж/кг,$ теплота испарения воды $6 λ = 2,26⋅10 Дж/ кг$

Источники: Всеросс., 2011, финал, 10

Показать ответ и решение

1. Максимальная работа цикла возможна при максимальном значении КПД, которое достигается в том случае, если машина, совершающая работу, является машиной Карно.

Для КПД цикла карно имеем:

T2 ---Aцикла--- η = 1 − T1 = Aцикла + Qхол

Айсберг растает, когда получит энергию

Q хол = qm

Подставляем в формулу для КПД и выражаем $A цикла$ :

A = T1-− T2-qm ≈ 2,43⋅1013 Дж цикла T2

2. Если смотреть на тепловой насос как на тепловую машину, Гольфстрим является холодильником и котел — нагревателем (тепловой насос работает по обратному циклу). Чтобы понять, какое количество воды можно испарить в котле, выразим теплоту нагревателя $Q нагр$ . Пишем КПД тепловой машины:

T1 Aцикла η = 1− T0 = Q нагр

При этом $Qнагр = λm ′,$ где $m ′$ — искомое количество воды, а выражение для $Aцикла$ уже получено в предыдущем пункте.

Подставляем и получаем:

A 1 T − T m ′ =---циклTа1--= -----T1- ⋅-1---2qm ≈ 5,14 ⋅107 кг L(1− T0) λ(1− T0) T2

Ответ:

T1 −-T2 13 ′ ---1---- T1-−-T2 7 1) Aцикла = T2 qm ≈ 2,43 ⋅10 Дж, 2) m = λ(1 − T1) ⋅ T2 qm ≈ 5,14⋅10 к г T0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#124596Максимум баллов за задание: 10

Идеальный холодильник, потребляющий во время работы из электросети мощность $N = 100 В т,$ находится в комнате, которую можно рассматривать как замкнутую теплоизолированную камеру объёмом $V = 100 м3.$ Начальные параметры воздуха в комнате: $T = 300 К, 0$ давление $p = 1 атм. 0$ В холодильную камеру устанавливается ванночка с водой при температуре $Tx = 273 К.$ Масса воды $m0 = 4 кг.$
1) Какое минимальное время должен проработать холодильник, чтобы вода в ванночке замёрзла?
2) Чему равна температура воздуха в комнате в этот момент?
Удельная теплота плавления льда $5 λ = 3,34 ⋅10 Д ж/кг.$ Теплоёмкость стен комнаты и стенок холодильника не учитывать. Считать относительное изменение температуры в комнате в результате работы холодильника малым.
Воздух считать идеальным двухатомным газом.

Источники: Всеросс., 1999, финал, 11

Показать ответ и решение

$PIC$

1) Холодильник идеальный, можем применить формулу для КПД цикла Карно. Согласно условию задачи, температура комнаты меняется мало $T0 ≈ Const$ , в связи с этим можем считать КПД цикла Карно постоянной величиной.

η = 1− Tх-= --N-τ--- T0 Q х + N τ

При этом $Qх = λm0$ . Подставляем и выражаем $τ$ :

1 − Tх-= ---N-τ---⇒ τ = λm0-⋅ T0 −-Tх-≈ 1,3⋅103 с T0 λm0 + N τ N Tх

2) Чтобы ответить на второй вопрос задачи, воспользуемся соотношением, напрямую следующим из определения КПД:

Tх-= Qх,Q = λm ⇒ Q = T0-⋅λm T0 Qн х 0 н Tх 0

Воздух, согласно условию, считаем идеальным двухатомным газом. Тогда можем переписать $Q н$ , используя теплоемкость двухатомного газа в изохорном процессе:

Q = 5Rν(T − T) н 2 1 0

Также имеет место уравнение Клапейрона-Менделеева $p0V = νRT$ , получаем соотношение

T 5 p V 2 T2λm -0λm0 = -⋅-0--(T1 − T0) ⇒ T1 = ⋅--0---0 + T0 ≈ 317 К Tх 2 T0 5 Tх ⋅p0V

Ответ:

$λm0 T0 − Tх 2 T02λm0 1) τ =-N-- ⋅--T----≈ 1,3⋅103 с, 2) T1 = 5 ⋅T-⋅p-V-+ T0 ≈ 317 К х х 0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#124599Максимум баллов за задание: 10

В морозильной камере поддерживается постоянная температура $t1 = − 18∘C,$ а радиатор холодильника при этом имеет температуру $t2 = 33∘C.$
Известно, что рабочее тело холодильной установки совершает цикл Карно (составленный из двух изотерм и двух адиабат), а его сжатие обеспечивается электродвигателем, который потребляет мощность $P = 20 Вт.$ КПД электродвигателя (с учетом всех потерь) $ηM = 30%.$ Какое количество тепла поступает в морозильную камеру от внешней среды за время $τ = 1 м ин$ в этом режиме?

Источники: Всеросс., 1999, финал, 11

Показать ответ и решение

$PIC$

Электродвигатель потребляет энергию $Pτ,$ при этом известно, что его КПД составляет $ηM,$ получается, что на сжатие к рабочему телу передается энергия $ηM Pτ$ .