Найдем ОДЗ уравнения:

({ 5x− 3≥ 0 (1) ( x2− 6x+ 10− a2 > 0 (2)

Предполагаемые корни уравнения найдем из совокупности

⌊ ⌊ ⌊ 3 x1 = 3 5x− 3= 0 |x1 = 5 || 5 ⌈ 2 2 ⇒ |⌈ ⇒ ||| x − 6x+ 10− a = 1 (x− 3)2 = a2 ⌈x2 = 3 +a x3 = 3 − a

Заметим, что число $x1$ удовлетворяет $(1),$ числа $x2$ и $x3$ удовлетворяют $(2).$ Также заметим, что число $x1$ принадлежит отрезку $[0;3].$

Назовем число хорошим, если оно лежит в отрезке $[0;3]$ и удовлетворяет ОДЗ. В противном случае число будем называть плохим. Нам подходит ситуация, когда среди найденных чисел $x1,$ $x2$ и $x3$ ровно одно хорошее, а остальные плохие.

$x1$ — хорошее, если оно удовлетворяет (2), следовательно,

-9− 18 + 10 − a2 > 0 ⇔ − 13 < a< 13 25 5 5 5

$x2$ — хорошее, если

( { 0≤ 3+ a ≤3 ⇔ − 12 ≤ a≤ 0 ( 5(3+ a) − 3 ≥ 0 5

$x3$ — хорошее, если

( { 0≤ 3− a≤ 3 12 ( ⇔ 0 ≤ a≤ 5- 5(3− a)− 3≥ 0

Разберем следующие случаи.

1.

$x1$ — хорошее, $x2,x3$ — плохое.

Нужно пересечь множества

( 13 13 ) ( 12 ) (12 ) − 5-;5- , −∞; − 5- ∪ (0;+∞ ), (− ∞;0)∪ -5 ;+∞

Получим

( ) ( ) a∈ − 13;− 12 ∪ 12; 13 5 5 5 5

2.

$x1,x3$ — плохое, $x2$ — хорошее.

Нужно пересечь множества

( ] [ ) [ ] ( ) −∞; − 13 ∪ 13-;+ ∞ , − 12;0 , (− ∞;0)∪ 12;+∞ 5 5 5 5

Получим $a∈ ∅.$

3.

$x1,x2$ — плохое, $x3$ — хорошее.

Нужно пересечь множества

( ] [ ) ( ) [ ] −∞; − 13 ∪ 13;+ ∞ , −∞; − 12- ∪ (0;+∞ ), 0; 12 5 5 5 5

Получим $a∈ ∅.$

4.

$x1 = x2,$ следовательно, $12 a = −-5 .$ Тогда $x1 = x2$ хорошее, $x3$ плохое, значит, $12 a= − 5-$ подходит.

5.

$x1 = x3,$ следовательно, $12 a = 5-.$ Тогда $x1 = x3$ хорошее, $x2$ плохое, значит, $12 a = 5-$ подходит.

6.

$x2 = x3,$ следовательно, $a = 0.$ Тогда все числа $x1,$ $x2,$ $x3$ хорошие, значит, $a = 0$ не подходит.

Объединяя случаи, получаем окончательно

( 13 12-] [ 12- 13-) a ∈ − 5 ;− 5 ∪ 5 ;5

18.10 Алгебра. Метод хорошего/плохого корня