Теорема Кёнига —Каталог задач по Олимпиадной физике

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#45311

Два одинаковых маленьких шарика, соединённых невесомым твёрдым стержнем длины $L$ , падают на гладкую, абсолютно упругую горизонтальную плоскость. Непосредственно перед ударом нижнего шарика о плоскость скорости шариков направлены вертикально вниз и равны $v 0$ , а сразу после удара скорости шариков оказались взаимно перпендикулярны.
1) Каковы величина скорости центра масс гантели $vc$ и угловая скорость вращения стержня $ω$ сразу после удара?
2) Под каким углом $φ$ к вертикали был наклонён стержень перед ударом?
(Всеросс., 2020, РЭ, 11)

Источники: Всеросс., РЭ, 2020, 11

Показать ответ и решение

1) Найти скорость центра масс и угловую скорость стержня можно используя теорему Кёнига:

vc2 2 E кин = 2m 2 + Eвр = mv0.

Для $E вр$ имеем:

( )2 ωL- 2 2 E вр = 2m--2----= mω-L--. 2 4

Эта энергия представляет собой кинетическую энергию вращения системы относительно центра масс, $vc$ – скорость центра масс после удара. Поскольку поверхность гладкая, сразу после удара скорость центра масс направлена вертикально вверх и определяется выражением

⃗v + ⃗v v⃗c = -1---2, 2

С учётом перпендикулярности $⃗v 1$ и $⃗v 2$

∘ ------- --v21 +-v22 vc = 2 .

Из закона сохранения энергии $v21 + v22 = 2v20.$ Подставляя это в выражение для $vc$ , получаем

v0 vc = √-. 2

Подставляя выражения для $E вр$ и $vc$ уравнение для $Eкин$ получим ответ для угловой скорости:

√ - ω = v0--2. L

2) Ответ можно получить, используя тот факт, что для верхнего шарика выполняется закон сохранения импульса в проекции на ось, перпендикулярную стержню. Этот факт следует из того, что единственная сила, действие которой на верхний шарик за бесконечно малое время соударения существенно – это сила реакции стержня, направленная строго вдоль стержня. До удара проекция скорости шарика на эту ось равна

vx = v0sin φ.

После удара, воспользовавшись законом сложения скоростей, получим для проекции

ωL- vx = 2 − vc sinφ.

Из этих двух уравнений, используя ранее полученные выше выражения для $vc$ и $ω$ , получаем ответ для $φ$ :

√- √ - sin φ = --ωL-----= 2− 1 ⇒ φ = arcsin ( 2− 1) ≈ 24,5∘ 2(v0 + vc)

(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Использовано при решении выражение для кинетической энергии гантели после удара в виде $v2 Eкин = 2m-c + Eвр = mv20 2$	2

Из закона сохранения энергии получено $∘ -2---2- vc = --v1-+-v2 2$	2

Из определения скорости центра масс и закона сохранения энергии, с учётом перпендикулярности $v1$ и $v2$ , получено выражение $vc = v√0- 2$	2

Использовано для решения выражение для энергии вращения в системе центра масс $2 2 E вр = m-ω-L 4$	2

Получено верное выражение для угловой скорости	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#45312

Гантель, состоящая из двух маленьких шариков массы $m$ и лёгкого жёсткого стержня длины $L$ , движется в плоскости таким образом, что скорость её центра масс равна $v$ , а угловая скорость $ω$ . Чему равна её кинетическая энергия?
(«Покори Воробьёвы горы!», 2018, 10–11)

Источники: Покори Воробьёвы горы, 2018, 10–11

Показать ответ и решение

Кинетическая энергия гантели в этом случае есть сумма энергий поступательного

(m-+-m)v2- 2 Eпост = 2 = mv

и вращательного движений,

(m + m )v2 ( )2 2 2 Eвр = --------вр-= m ωL- = m-ω-L- . 2 2 4

То есть

( ) 2 ω2L2- K = Eпост + E вр = m v + 4 .

(Официальное решение ПВГ)

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Верно записана кинетическая энергия поступательного движения $E пост$	2

Верно записана кинетическая энергия вращательного движения $Eвр$	2

Сказано, что кинетическая энергия определяется суммой $Eпост$ и $Eвр$	2

Получено верное выражение для полной кинетической энергии системы	4

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#45313

Гантель, состоящая из двух массивных маленьких шариков и лёгкого жёсткого стержня длины $L$ , покоилась на гладкой горизонтальной поверхности. В один из её шариков врезается третий (такой же), скорость $⃗v0$ которого направлена под углом $30∘$ к стержню. Происходит лобовое абсолютно упругое соударение. Найти угловую скорость вращения гантели после удара.
(«Покори Воробьёвы горы!», 2018, 10–11)

Источники: Покори Воробьёвы горы, 2018, 10–11

Показать ответ и решение

Кинетическая энергия гантели в этом случае есть сумма энергий поступательного

(m-+-m)v2- 2 Eпост = 2 = mv

и вращательного движений,

(m + m )v2 ( )2 2 2 Eвр = --------вр-= m ωL- = m-ω-L- . 2 2 4

То есть

( ) 2 ω2L2- K = Eпост + E вр = m v + 4 .

Поскольку здесь «линия удара» (линия действия сил взаимодействия шариков во время удара) не проходит через центр масс гантели, то после соударения она начнет вращаться. Запишем закон сохранения импульса в проекции на направление начального движения

mv = 2mV − mv, 0

где $m$ – масса одного шарика. Значит, $v = 2V − v . 0$

Рассмотрим движение гантели после удара как движение центра масс с этой скоростью $V$ и вращение вокруг него с угловой скоростью $ω$ . Сила, действующая на «второй» шарик гантели (на тот, по которому не наносит удар налетающий шарик) – это сила упругости жесткого стержня, направленная вдоль стержня. Поэтому его скорость сразу после «мгновенного» удара направлена вдоль стержня и при этом является суммой скорости центра масс и скорости вращения $v⃗2 = ⃗V +v⃗вр$ , которая перпендикулярна радиусу вращения и по величине равна $vвр = ωr2$ . Расстояние от центра масс гантели до второго шарика $L r2 = 2.$ При этом из векторного треугольника скоростей видно, что

L 2V V ωr2 = ω2-= V sin α ⇒ ω = L--sinα = -L.

Следовательно, закон сохранения энергии записывается в виде

2 2 ( 2 2) [ ] mv-0 = mv--+ m v2 + ω-L-- = m- (2V − v0)2 + 5V 2 . 2 2 4 2 2

Для скорости центра масс гантели получается уравнение

2 13V − 8V v0 = 0,

ненулевой корень которого

8- V = 13v0.

Таким образом

8v0 ω = 13L.

(Официальное решение ПВГ)

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Записано верное выражение для кинетической энергии гантели $K$	2

Записан закон сохранения импульса	2

Получена связь $ω$ и $V$	2

Из ЗСЭ получено выражение для скорости центра масс системы	2

Верно выражена $ω$	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#45314

Гантель, состоящая из двух массивных маленьких шариков и лёгкого жёсткого стержня длины $L$ , покоилась на гладкой горизонтальной поверхности. В один из её шариков врезается третий (такой же), скорость которого $⃗v0$ направлена под углом $30∘$ к стержню. Происходит лобовое абсолютно неупругое соударение. Найти угловую скорость вращения «утяжелённой гантели» после удара.
(«Покори Воробьёвы горы!», 2018, 10–11)

Источники: Покори Воробьёвы горы, 2018, 10–11

Показать ответ и решение

Поскольку здесь «линия удара» не проходит через центр масс гантели, то после соударения она начнет вращаться. Из закона сохранения импульса можно определить, что скорость центра масс «утяжеленной гантели» после удара сонаправлена с $⃗v 0$ , а ее величина

V = -1-mv0 = v0, 3m 3

где $m$ – масса каждого из шариков.

Рассмотрим движение гантели после удара как движение центра масс с этой скоростью и вращение вокруг него с угловой скоростью $ω$ . Сила, действующая на «второй» шарик гантели (на тот, по которому не наносит удар налетающий шарик) – это сила упругости жесткого стержня, направленная вдоль стержня. Поэтому его скорость сразу после «мгновенного» удара направлена вдоль стержня и при этом является суммой скорости центра масс и скорости вращения $v⃗2 = ⃗V + ⃗vвр,$ которая перпендикулярна радиусу вращения и по величине равна $vвр = ωr2.$ Так как после удара на «первом» конце гантели находятся два слипшихся шарика, то расстояние от центра масс «утяжеленной гантели» до второго шарика $2 r2 = -L. 3$ При этом из векторного треугольника скоростей видно, что

2 v v v ωr2 = ω-L = V sinα = -0 sinα ⇒ ω = -0sinα = -0. 3 3 2L 4L

(Официальное решение ПВГ)

Ответ:

19 Теорема Кёнига