Тема Региональный этап ВсОШ и олимпиада им. Эйлера

Регион 10 класс → .08 Регион 2021

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела региональный этап всош и олимпиада им. эйлера

Разделы подтемы Регион 10 класс

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#75918Максимум баллов за задание: 7

Петя и Вася играют на доске $100× 100.$ Изначально все клетки доски белые. Каждым своим ходом Петя красит в чёрный цвет одну или несколько белых клеток, стоящих подряд по диагонали. Каждым своим ходом Вася красит в черный цвет одну или несколько белых клеток, стоящих подряд по вертикали. (На рисунке справа показаны возможные первые ходы Пети и Васи на доске $4× 4.$ ) Первый ход делает Петя. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?

Источники: ВСОШ, РЭ, 2021, 9.5 и 10.5 (см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Приведём одну из возможных выигрышных стратегий для Пети. Он всё время будет делать ходы, параллельные одной из диагоналей доски (назовём её главной).

$PIC$

Первым ходом Петя закрасит все клетки главной диагонали. После этого доска разбивается на две одинаковых “лесенки” (см. рис. $1$ ). Мысленно сделаем каждую лесенку симметричной относительно вертикальной прямой, сдвинув в ней каждый горизонтальный ряд, кроме первого, на полклетки относительно предыдущего ряда (см. рис. $2$ ).

В результате сдвигов и бывшие вертикали, и бывшие диагонали, параллельные главной, стали наклонными рядами. При этом “вертикали” одной лесенки симметричны “диагоналям” другой. Это значит, что на каждый ход Васи Петя может ответить симметричным ходом в другую лесенку (два таких ответа показаны на рис. $2$ ).

Тогда после каждого Петиного хода ситуация на «сдвинутой» картинке будет оставаться симметричной, а значит, Петя всегда сможет сходит согласно описанной стратегии. Так как игра закончится (не более чем за $104$ ходов), в некоторый момент Васе будет некуда ходить, и Петя выиграет.

$PIC$

Ответ:

Петя

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#140565Максимум баллов за задание: 7

Первоклассник составил из шести палочек два треугольника. Затем он разобрал треугольники обратно и разбил шесть палочек на две группы по три палочки: в первой группе оказались три самых длинных палочки, а во второй — три самых коротких. Обязательно ли можно составить треугольник из трех палочек первой группы? А из трех палочек второй группы?

Источники: ВСОШ, РЭ, 2021, 10.1 (см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

1) Упорядочим длины палочек

a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥a4 ≥ a5 ≥ a6.

Так как $a1$ входила в треугольник с некоторыми двумя другими палочками, то $a1$ меньше их суммы, а следовательно, меньше чем сумма двух самых длинных из оставшихся палочек: $a1 <a2+ a3.$ Так как $a1 ≥ a2$ и $a1 ≥a3,$ выполнение неравенства $a1 < a2+ a3$ достаточно для того, чтобы из палочек $a1,a2,a3$ можно было составить треугольник.

2) Пусть изначально были два равных треугольника со сторонами $1,3,3$ и $1,3,3.$ Тогда в группе самых коротких палочек окажутся палочки $1,1,3,$ из которых треугольник составить нельзя.

Ответ:

1) да, обязательно; 2) нет, не обязательно

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#140566Максимум баллов за задание: 7

Ненулевые числа $x$ и $y$ удовлетворяют неравенствам $x4− y4 > x$ и $y4 − x4 > y.$ Может ли произведение $xy$ равняться отрицательному числу?

Источники: ВСОШ, РЭ, 2021, 10.2 (см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Первое решение. Докажем, что $xy > 0.$ Предположим противное: $xy < 0$ ( $xy ⁄=0$ по условию). Не умаляя общности, $x> 0,$ $y < 0.$ Сложив данные в условии задачи неравенства, получим $x+y <0,$ т.е. $0< x< −y.$ Следовательно, $4 4 x <y .$ Но тогда $4 4 x< x − y <0$ – противоречие.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Сложив данные в условии задачи неравенства, получим: $x +y < 0.$ Преобразуем данные неравенства к виду: $4 4 x − x> y$ и $4 4 y − y > x$ и перемножим (это можно, так как их правые части положительны). Получим:

(x4− x)(y4− y)>x4y4.

Раскрывая скобки, имеем:

4 4 4 4 44 x y − xy − xy + xy > xy ,

откуда

4 4 −x y− xy + xy > 0,

или

xy(1− x3− y3)>0.

Так как $x< −y,$ то $x3+ y3 < 0,$ значит

1− x3− y3 > 1>0.

Следовательно, $xy > 0.$

Ответ:

не может

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#140567Максимум баллов за задание: 7

Пусть $S$ — множество, состоящее из натуральных чисел. Оказалось, что для любого числа $a$ из множества $S$ существуют два числа $b$ и $c$ из множества $S$ такие, что $b(3c−5) a= 15 .$ Докажите, что множество $S$ бесконечно.

Источники: ВСОШ, РЭ, 2021, 10.3 (см. olympiads.mccme.ru)

Показать доказательство

Предположим противное, и множество $S$ конечно. Тогда среди всех чисел множества $S$ выберем число $a,$ которое делится на максимальную степень тройки, пусть скажем, $a$ делится на $m 3 ,$ но не делится на $m+1 3 .$ Если условие выполняется, то $15a= b(3c− 5)$ для некоторых $b,c∈ S.$ Левая часть этого равенства делится на $m+1 3 .$ Но тогда, поскольку $3c− 5$ не делится на $3,$ число $b$ должно делиться на $m+1 3 ,$ что противоречит выбору $a.$

Предыдущая подтема

Следующая подтема