Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Регион 10 класс

Тема Региональный этап ВсОШ и олимпиада им. Эйлера

Регион 10 класс → .06 Регион 2019

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела региональный этап всош и олимпиада им. эйлера

Разделы подтемы Регион 10 класс

Регион до 2015

Регион 2015

Регион 2016

Регион 2017

Регион 2018

Регион 2019

Регион 2020

Регион 2021

Регион 2022

Регион 2023

Регион 2024

Регион 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#81692Максимум баллов за задание: 7

Даны действительные числа $a$ и $b,$ причём $b>a >1.$ Пусть

n( 2n√ - 2n√-) xn =2 b− a

Докажите, что последовательность $x1,x2,...$ убывает.

Источники: Всеросс., 2019, РЭ, 10.7(см. olympiads.mccme.ru)

Показать доказательство

Нас просят доказать неравенство $x > x n n+1$ для всех натуральных $n.$ По условию $b> a> 1.$ Перепишем корни в степени и приступим к доказательству:

n -1 -1 n+1 -1-- -1-- 2 (b2n − a2n)> 2 (b2n+1 − a2n+1)

Сократим на $2n :$

1n 1n- -n1+1 -1n+1- b2 − a2 > 2(b2 − a2 )

Заметим, что:

21n 21n 2n1+1- 2n1+1 21n+1- 2n1+1- b − a = (b − a )(b + a )

Сократим на величину $b21n+1 − a2n1+1,$ которая является положительной, поскольку $b >a >1 :$

b2n1+1 + a21n+1-> 2

Осталось заметить, что $1 b2n+1->1$ и $1 a2n+1 > 1,$ потому что $b>1$ и $a >1.$ Следовательно, их сумма больше $2.$

Предыдущая подтема

Следующая подтема