Тема ДВИ по математике в МГУ

Тригонометрия на ДВИ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела дви по математике в мгу

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#130312Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

-1--- --12- ---12--- --3- cos2x + sin22x +sin xsin2x = sin2x

Источники: ДВИ - 2025, вариант 253, задача 4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу избавляется от двойных углов и от знаменателя (однако помним, что у нас есть ограничение – знаменатель не должен быть равен нулю). Как стоит преобразовать данное уравнение для удобства?

Подсказка 2

Сделайте так, чтобы в уравнении остался только один вид тригонометрической функции.

Подсказка 3

Воспользуйтесь ОТТ, чтобы получить квадратное уравнение относительно косинуса! Теперь просто решаем его и делаем обратную замену.

Показать ответ и решение

Воспользуемся формулой синуса двойного угла:

-1--- ----3---- ---6---- --3- cos2x + sin2x cos2x + sin2xcosx = sin2x

Перенесем все в одну сторону и умножим уравнение на $2 2 sin xcosx:$

sin2x+ 3+ 6cosx− 3cos2x =0

2 4+ 6cosx− 4cosx =0

2cos2x− 3cosx− 2 =0

Сделаем замену $t= cosx:$

2t2− 3t− 2 =0

3± 5 1 t1,2 =-4--= −2;2

Так как $t$ не может быть больше 1, то

t= − 1 2

cosx= − 1 2

2π x =± 3 + 2πk, k∈ ℤ

Заметим, что данная серия не зануляет знаменателей в исходном уравнении, так что эта серия и является ответом.

Ответ:

$± 2π +2πk, k ∈ℤ 3$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#130321Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

√- 2 2 √- 3⋅(sin x⋅tgx+ cos x⋅ctgx)= 4− 3⋅sin2x

Источники: ДВИ - 2025, вариант 252, задача 4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

С тангенсами и котангенсами не очень приятно работать, так что давайте перейдем к более простым функциям! И, конечно, не забудем записать ОДЗ.

Подсказка 2

Обычно мы переносим все в одну сторону, приводим к общему знаменателю и пытаемся увидеть там что-то хорошее – давайте и тут поступим так же, правда, в этот раз искать нужно вовсе не разложение на множители...

Подсказка 3

Если внимательно посмотреть на полученный числитель, то какая-то его часть свернется в квадрат суммы, а для суммы можно будет использовать ОТТ! После такого преобразования уравнение становится совсем простым, из него можно найти sin(2x), а отсюда уже и искомую переменную.

Показать ответ и решение

Наличие в выражении тангенса и котангенса обязывает нас иметь в виду ограничения:

{ sin(x)⁄= 0 cos(x)⁄= 0

Перепишем тангенс и котангенс по определению и приведём выражение к общему знаменателю:

√ - sin4(x)+-cos4(x)- √- 3⋅ sin(x)⋅cos(x) = 4− 2 3⋅sin(x)⋅cos(x)

√- sin4(x)+2sin2(x)⋅cos2(x)+ cos4(x) 3⋅---------sin(x)⋅cos(x)-------- =4

√3 ⋅ (sin2(x)+cos2(x))2= 4 sin(x)⋅cos(x)

2sin(2x)=√3-

Таким образом:

⌊ π | 2x= 3 + 2πk |⌈ 2π ,k∈ ℤ 2x= -3 +2πk

⌊ π | x = 6 + πk ⌈ π ,k∈ℤ x = 3 + πk

Ответ:

$π + πk, 6$ $π+ πk, 3$ $k∈ ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#130836Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

sin3x(cosx− cos2x)− cos3x(sinx− sin2x)= 6cosx− 3

Источники: ДВИ - 2025, вариант 254, задача 4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте для начала просто раскроем скобки.

Подсказка 2

Можно ли здесь заметить какие-то тригонометрические формулы?

Подсказка 3

Попробуйте увидеть синус разности.

Подсказка 4

Осталось просто дорешать уравнение, воспользовавшись формулой двойного угла и представив наше уравнение в виде произведения двух скобок.

Показать ответ и решение

Раскроем скобки в левой части уравнения:

sin3xcosx− sin 3x cos2x− cos3xsinx +cos3xsin2x= 6cosx − 3

Перегруппируем слагаемые и воспользуемся формулой синуса разности:

(sin3xcosx− sinxcos3x)+ (sin2xcos3x− sin3xcos2x)= 6cosx− 3

sin (3x− x)+sin (2x− 3x)=6 cosx− 3

sin2x− sinx− 6cosx +3 =0

Распишем синус двойного угла и разложим выражение на множители:

2sinxcosx− sinx− 6cosx +3 =0

(sinx− 3)(2cosx− 1)= 0

Так как $− 1≤ sinx ≤1$ и $sin x− 3⁄=0,$ поделим уравнение на эту ненулевую скобку.

2cosx− 1= 0

1 cosx= 2

π x= ±3 +2πn; n ∈ℤ

Ответ:

$± π + 2πn; n∈ ℤ 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#131019Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

(1−-tg2x)(1+-sin2x) 2 (1+ tg2x)(1− sin2x) = 3+ 2sin2x− 2sin x

Источники: ДВИ - 2025, вариант 255, задача 4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Начинаем с ОДЗ перед преобразованием и пробуем упростить выражение (1 - tg²(x))/(1+tg²(x)).

Подсказка 2

Для упрощения используем выражения тангенса через синус и косинус. Что теперь получилось в левой части?

Подсказка 3

В левой части будет cos(2x)⋅(1+sin(2x))/(1-sin(2x)). Перейдем к правой части. Попробуйте применить формулу понижения степени.

Подсказка 4

Справа будет следующее выражение: 2+2sin(2x)+cos(2x). С дробями работать неудобно, домножим обе части уравнения на (1-sin(2x)).

Подсказка 5

Осталось раскрыть скобки, получим произведение двух множителей, равное нулю. Расписываем два случая и помним про ОДЗ.

Показать ответ и решение

Сначала определим ОДЗ. Тангенс определен, если $cosx ⁄=0,$ то есть $x⁄= π +πk,k∈ ℤ. 2$ Знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Так как

2 1 1+tg x= cos2x-⁄= 0

при $cosx ⁄= 0,$ то второе условие: $1− sin2x⁄= 0.$ Отсюда $sin2x⁄= 1,$ то есть

π 2x ⁄= 2 + 2πk

Теперь преобразуем обе части уравнения.

Начнем с левой части. Воспользуемся известными тригонометрическими тождествами:

2 1− sin2x- cos2-x− sin2x 11−+-ttgg2-xx =---csoins22xx-= cos2coxs2+sxin2x-= cos12x-= cos2x 1+ cos2x- ---cos2-x---

Тогда левая часть уравнения принимает вид:

cos2x ⋅ 1+-sin2x 1− sin2x

Преобразуем правую часть уравнения, используя формулу понижения степени $2sin2x =1 − cos2x$ :

3+ 2sin2x− 2sin2x= 3+ 2sin2x− (1 − cos2x)= 2+ 2sin2x+ cos2x

Приравняем преобразованные части с учетом ОДЗ:

cos2x ⋅ 11+−s siinn22xx = 2+ 2sin2x+ cos2x

Домножим обе части на $(1− sin2x) ⁄=0$ :

cos2x(1 +sin 2x)= (2+2 sin2x+cos2x)(1− sin2x)

Раскроем скобки:

cos2x+ cos2xsin2x =2(1+ sin2x)(1− sin2x)+cos2x(1− sin2x)

2 cos2x +cos2x sin2x= 2(1− sin 2x)+cos2x− cos2xsin2x

cos2x+ cos2xsin2x = 2cos22x+ cos2x− cos2xsin2x

Перенесем все члены в одну сторону:

2cos2xsin2x− 2cos22x= 0

Вынесем общий множитель $2cos2x$ за скобки:

2cos2x(sin2x− cos2x)=0

Это уравнение распадается на два:

cos2x =0

2x = π+ πk,k ∈ℤ 2

Отсюда

sin 2x = ±1

Учитывая ОДЗ ( $sin2x⁄= 1$ ), мы должны исключить случаи, когда $sin2x =1.$ Следовательно, нам подходит только

sin 2x = −1

Это соответствует такому равенству:

π 2x= −2 + 2πm, m∈ ℤ

Отсюда

π x= −4 + πm,m ∈ℤ

Эта серия корней удовлетворяет ОДЗ.

sin 2x =cos2x

Так как если бы $cos2x= 0,$ то и $sin2x$ был бы равен нулю, что невозможно, мы можем разделить обе части на $cos2x$ :

tg2x= 1

2x = π+ πk,k ∈ℤ 4

π πk x= 8 + 2 ,k ∈ℤ

Эта серия корней также удовлетворяет ОДЗ.

Ответ:

$− π + πm, m ∈ ℤ;π+ πk, k ∈ℤ. 4 8 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#132615Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

sin2x− cos2x =tgx

Источники: ДВИ - 2025, вариант 256, задача 4

Показать ответ и решение

На ОДЗ $cosx⁄= 0,$ поскольку $tgx$ определён корректно, поэтому

2 sinx- 2sinxcosx− 2cos x+ 1= cosx

1 2cosx(sinx − cosx)− cosx(sinx− cosx)= 0

( ) 2cosx − -1-- (sinx − cosx)=0 cosx

⌊ 2cosx− -1--= 0 |⌈ cosx sin x− cosx= 0

Так как на ОДЗ $cosx⁄= 0,$ домножим на него первое равенство системы и поделим второе:

[ 2cos2x− 1= 0 tgx= 1

[ cos2x= 0 tgx= 1

⌊ π πk || x =-4 + 2-,k∈ ℤ ⌈ x = π + πn,n ∈ℤ 4

π πk x= 4 +-2 ,k ∈ℤ

Ответ:

$π + πk, 4 2$ $k∈ ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#132899Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

√- sin2x+3cosx= 3(1+ cos2x+ sinx)

Источники: ДВИ - 2025, вариант 251, задача 4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам даны тригонометрические функции от разных аргументов. Как это можно изменить?

Подсказка 2

Используем формулы синуса и косинуса двойного угла. Слева и справа что-то получилось, перенесем в одну сторону и раскроем скобки.

Подсказка 3

Дошли до уравнения: 2sin(x)cos(x) + 3cos(x) - 2√3cos²(x) - √3sin(x) = 0. Можно ли его разложить на множители?

Подсказка 4

Вынесем общий множитель у первого и четвертого слагаемых и у второго и третьего слагаемых.

Подсказка 5

Осталось решить совокупность уравнений, не забывая про осторожность с делением на 0!

Показать ответ и решение

Применив формулы синуса и косинуса двойного угла, получим:

√- 2 2sinxcosx +3cosx= 3(2cos x+ sinx)

Перенесем все члены в левую часть и сгруппируем:

√ - 2 √- 2sinxcosx +3cosx− 2 3cos x− 3sinx= 0

(2sinxcosx− √3sinx)+ (3 cosx− 2√3cos2x)= 0

sinx(2cosx− √3)− √3cosx(2cosx− √3-)=0

Вынесем общий множитель $√- (2cosx− 3)$ :

(2cosx− √3)(sinx− √3cosx)= 0

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

⌊ √- | cosx= -3- ⌈ √2 sin x= 3cosx

Решим первое уравнение:

√- cosx= -32-

x =± π+ 2πk, k∈ ℤ 6

Теперь решим второе уравнение:

√ - sinx = 3cosx

Заметим, что если $cosx =0,$ то из уравнения следует, что и $sinx =0,$ что невозможно. Следовательно, $cosx⁄= 0,$ и мы можем разделить обе части уравнения на $cosx$ :

tgx= √3

x = π + πk, k∈ ℤ 3

Ответ:

$± π + 2πk, 6$ $π+ πk, 3$ $k∈ ℤ$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#91955Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

-tg-3x-+tgx- 1+ tg3xtgx = tg 4xtg2x

Источники: ДВИ - 2024, вариант 241, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В первую очередь давайте запишем ОДЗ. Вообще нам гораздо привычнее работать с синусами и косинусами, нежели с тангенсами, поэтому давайте распишем все имеющиеся здесь тангенсы и попробуем преобразовать уравнение

Подсказка 2

Если воспользоваться формулами синуса суммы и косинуса разности, уравнение примет очень даже приятный вид, и решить его будет уже совсем не трудно!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Запишем ОДЗ

(| π (|| cosx⁄= 0 ||||| x⁄= 2 +πn ||||{ cos2x ⁄= 0 ||||{ x⁄= π + πn cos3x ⁄= 0 =⇒ 4π π2n ||||| cos4x ⁄= 0 ||||| x⁄= 6 +-3 |( 1+ tg3xtgx ⁄= 0 ||||| π πn ( x⁄= 8 +-4 , n∈ ℤ

Преобразуем левую часть. Домножим и числитель, и знаменатель на $cos3x cosx:$

(sin3x sinx) cos3xcosx⋅(cos3sxin +3xcsosinxx)-= sin3xcosx-+sin-xcos3x-= sin(3x+-x)= sin-4x cos3xcosx⋅1+ cos3xcosx cos3xcosx+sin3xsinx cos(3x− x) cos2x

Тогда получаем следующее

-tg-3x-+tgx- sin4x 1+ tg3xtg x = tg 4x tg2x ⇐⇒ cos2x − tg4xtg2x= 0

sin-4x- sin4xsin2x- sin4x( -sin2x) cos2x − cos4xcos2x = 0 =⇒ cos2x 1 −cos4x = 0

sin 4x(cos4x− sin2x) ----cos2xcos4x----= 0

Тогда получаем, что

[ sin4x(cos4x− sin2x)=0 =⇒ sin4x= 0 cos4x− sin2x= 0

⌊ πl | x= -4 , l∈ ℤ ⌈ 2 1− 2sin 2x− sin2x= 0

Решим последнее уравнение:

2 t= sin2x, =⇒ 1− 2t− t= 0

⌊ t= −1 =⇒ sin2x= −1 |⌈ t= 1 =⇒ sin2x= 1 2 2

Тогда получаем следующую серию

⌊ x= πl || 4 ||| x= 3π+ πl || 4 ||| x= π-+ πl |⌈ 152π x= 12 + πl, l∈ℤ

Объединяя серии и объединяя с ОДЗ, получаем ответ.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

По формуле тангенса суммы

tg4x= tg(3x+ x) =-tg3x+tgx- 1 − tg3xtgx

Сначала запишем ОДЗ:

( ||| 1+ tg 3x tgx ⁄=0 |||{ cos4x ⁄=0 | cos2x ⁄=0 ||||| cosx ⁄= 0 ( cos3x ⁄=0

По формуле тангенса разности

tg2x= tg(3x− x) =-tg3x− tgx 1 +tg3xtgx

Подставим все, что получили в исходное уравнение, получится следующее:

-tg3x-+tgx-= -tg3x+-tgx-tg3x−-tgx-- 1+ tg3xtgx 1− tg3xtgx 1+tg3xtgx

Видно, что можно будет кое-что сократить. Но сначала нужно проверить случай, когда $tg3x+tgx =0.$ Решения этого уравнения нам подходят, если они удовлетворяют ОДЗ. Это уравнение эквивалентно уравнению $tg3x =tg(− x).$ А это равенство может выполняться только если аргументы тангенсов отличаются на число, кратное $π.$ То есть $3x= −x +πt,t∈ ℤ.$ Таким образом, $π x = 4t.$ После пересечения решений этого равенства с ОДЗ получим $x= πt1.$ Это нетрудно получить подстановкой во все условия, если записать $t$ в виде $t= n1+ 4πt1,$ где $t1 ∈ℤ$ и $n1 ∈{0,1,2,3}.$

Перейдем к случаю $tg3x +tgx⁄= 0.$ В этом случае с учетом ОДЗ после сокращений получим уравнение:

-tg3x-− tgx 1 − tg3xtgx = 1

Теперь необходимо дополнительно учесть, что $1− tg3xtgx ⁄=0.$ Это условие проверим подстановкой после того, как решим уравнение.

Итак, после умножения на знаменатель уравнение примет вид:

tg 3x − tgx= 1− tg 3x tgx

Перенесем все в левую часть и разложим на множители

(1+tgx)(1− tg3x) =0

Тогда $tgx = −1$ или $tg3x =1.$ Таким образом, $3π x= 4 + πk$ или $π- π x = 12 + 3n,$ $n,k ∈ℤ.$

$3π x= 4 + πk$ не подходит по ОДЗ, поскольку $3π- cos(24 +πk)= 0.$

$π- π x= 12 + 3n$ тоже можно проверить, представив $n$ в виде $n =d+ 3l,$ где $l∈ ℤ$ и $d= 0,1,2.$ Тогда получится, что при $d =2$ этот корень не подходит по ОДЗ, поэтому в этом случае ответ таков: $-π x= 12 + πl$ или $5π- x = 12 +πl,l∈ℤ.$

Ответ:

$πl, π-+ πl,5π+ πl,l∈ ℤ 12 12$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#91978Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

sinx+ sin2x+ cosx= 1.

Источники: ДВИ - 2024, вариант 242, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Прибавим 1 к обеим частям уравнения и превратим её слева в ОТТ. Какую формулу можно заметить в левой части?

Подсказка 2

Уравнение преобразуется в квадратное относительно t = sin(x) + cos(x). Решите его!

Подсказка 3

Мы нашли значения t, осталось лишь перейти к значениям х. В этом нам очень поможет метод вспомогательного угла!

Показать ответ и решение

Воспользуемся тем, что $sin2x= (sinx+ cosx)2− 1$

2 sinx +cosx+ (sinx +cosx)− 1= 1

Сделаем замену $t= cosx+ sinx,$ получим

2 t+ t− 2= 0

(t− 1)(t+2)= 0

[ t= 1 t= −2

Тогда при обратной замене

⌊ ⌈ sinx+ cosx= 1 sinx+ cosx= −2

⌊ sin(x+ π) = 1√-- || 4 2 ⌈ sin(x+ π) =− 2√-- 4 2

Заметим, что $-2- − √ 2 < −1,$ поэтому второе равенство невозможно, значит,

( π) 1 sin x+ 4 = √2-

⌊ π π | x+ 4 = 4 + 2πk, k ∈ℤ |⌈ π 3π x+ 4 =-4 +2πk, k ∈ℤ

⌊ | x= 2πk, k∈ ℤ ⌈ x= π +2πk, k ∈ℤ 2

Ответ:

$2πk,π+ 2πk, k∈ ℤ 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#92115Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение $2sin3 x= cos3x$ .

Источники: ДВИ - 2024, вариант 243, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В уравнении присутствует косинус тройного угла, как можно его преобразовать?

Подсказка 2

Распишем его по формуле cos(3x) = 4*(cos(x))³ - 3*cos(x). Теперь у нас и справа, и слева имеется третья степень, и нам хотелось бы её уменьшить, но как это сделать?

Подсказка 3

Поделим обе части на (cos(x))³ . Сейчас в нашем уравнении присутствует тангенс и деление на (cos(x))², но нет ли у нас какой-нибудь формулы, которая их связывает?

Подсказка 4

1/(cos(x))² = 1 + (tg(x))². Имеем уравнение третьей степени от tg(x), с одной стороны которого стоит 0, на что это намекает?

Подсказка 5

Разложите многочлен третьей степени на множители!

Показать ответ и решение

По формуле косинуса тройного угла $cos3x= 4cos3x− 3cosx.$ Заметим, что $cosx ⁄= 0,$ так как в противном случае, по основному тригонометрическому свойству $sin x⁄= 0,$ что противоречит равенству. Значит, мы можем поделить на ненулевое число $3 cos x:$

3 3 2 tg x= 4− cos2x-

Воспользуемся следующей формулой:

1 cos2x-= 1+ tg2x

Имеем:

2tg3x= 4− 3− 3tg2x

Пусть $t=tgx.$ Тогда:

2t3+ 3t2− 1= 0

Заметим, что $t= −1$ — решение этого уравнение, значит можно разделить на $t+ 1.$ Получим:

(t+ 1)2(2t− 1)= 0

Тогда $tgx = −1$ или $tgx = 12.$ Откуда получаем ответ

− π4 + πn,arctg 12 + πn, n ∈ℤ.

Ответ:

$− π + πn,arctg 1 +πn, n ∈ℤ 4 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#92260Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

tgx⋅tg2x cos2x+ 2 = 1.

Источники: ДВИ - 2024, вариант 244, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Явно напрягает произведение тангенсов. Давайте распишем их по определению и запишем условие их существование!

Подсказка 2

В итоге получим tg(x) * tg(2x)/2 = sin²(x)/cos(2x). После подстановки в уравнение мы можем обе части домножить на ненулевое число cos(2x)!

Подсказка 3

Получим классическое тригонометрическое уравнение. Если распишем косинус двойного угла через синус, то получим квадратное уравнение относительно него ;)

Подсказка 4

Остается соотнести полученные решения с условием существования исходных тангенсов!

Показать ответ и решение

Преобразуем второе слагаемое, но перед этим запомним, что оба тангенса должны быть определены:

tgx-⋅tg2x- sin-xsin2x- sin2x- 2 = 2cosxcos2x = cos2x

Тогда домножим наше уравнение на ненулевое число $cos2x.$ А также после замены $2 t=sin x$ получаем $cos2x= 1− 2t$ и квадратное уравнение

(1− 2t)2 +t= 1− 2t

1− 4t+ 4t2 +t= 1− 2t

2 1 4t − t =0, t= 0 или t= 4

cos2x =1 или cos2x= 1 2

x= πn;n ∈ℤ или 2x= ± π+ 2πn;n ∈ℤ 3

Ответ:

$πn;±π + πn;n ∈ℤ 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#92345Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

1+ √3 cos2x= --2--(cosx +sinx).

Источники: ДВИ - 2024, вариант 245, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Справа у нас в аргументах функций стоит x, тогда слева раскроем косинус двойного угла по формуле! Как можно преобразовать левую часть, чтобы она стала схожа с правой?

Подсказка 2

После того, как раскроем косинус двойного угла, разложим на скобки разность квадратов. Теперь и слева, и справа есть сумма косинуса и синуса. Видим, что нужно разобрать случаи ;)

Подсказка 3

Или сумма синуса и косинуса равна нулю, или же их разность равна (1 + √3)/2. Первое решить не так сложно, а на какой метод решения намекает √3 справа?

Подсказка 4

Решите второй случай с помощью метода дополнительного аргумента!

Показать ответ и решение

По формуле косинуса двойного угла $cos2x= cos2x− sin2x= (cosx+ sinx)(cosx− sinx).$ После подстановки уравнение принимает вид

1+ √3 (cosx+ sinx)(cosx− sinx)= --2--(cosx+ sinx)

Таким образом, $cosx+sinx= 0$ или $√ - cosx − sinx = 1+2-3.$ Первое из этих уравнений эквивалентно $tgx =− 1,$ то есть $x =− π4 + πk,k ∈ℤ.$

Для решения второго уравнения применим метод дополнительного аргумента:

cosx − sin x= √2(cosπ cosx− sinπ sinx)= √2cos(x+ π) 4 4 4

Тогда второе уравнение эквивалентно

- π 1-1- √3-1-- cos(x+ 4)= 2√ 2 + 2 √2

π π π cos(x+ 4 )=cos(3 − 4)

В итоге, объединяя все ответы

⌊ π | x = −4π + πk,k∈ ℤ ⌈ x = −6π + 2πk,k ∈ℤ x = −3 + 2πk,k ∈ℤ

Ответ:

$− π + πk,− π+ 2πk,− π+ 2πk; k∈ ℤ. 4 6 3$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#92364Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

√- tgx − 4sin x= 3.

Источники: ДВИ - 2024, вариант 246, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрим внимательно на наше уравнение: формулы, которую можно удачно применить, сходу не видно – что будем делать? Возможно, стоит поработать с тангенсом?

Подсказка 2

Итак, видим тангенс – пишем ограничение. Может быть сразу перепишем его по определению как sin(x)/cos(x)?

Подсказка 3

Что хочется сделать, когда видим дробь? Удобно ли тут привести её к общему знаменателю? А может быть удастся вообще избавиться от него?

Подсказка 4

Не напоминает ли какое-то из слагаемых формулу для двойного угла? Перенесите его в правую часть и попробуйте преобразовать всё что осталось слева.

Подсказка 5

Удачное применение формулы для вспомогательного угла поможет свести уравнение к виду sin(a) = sin(b) – а уж такое решать мы умеем!

Показать ответ и решение

ОДЗ этого уравнения состоит из единственного условия: $cosx⁄= 0,$ что эквивалентно $x ⁄= π+ πd,d∈ ℤ. 2$ Далее умножаем уравнение на $cosx,$ тогда оно принимает вид:

√ - sinx − 4sinx cosx= 3cosx

Используем формулу двойного аргумента и переносим правую часть влево:

√ - (sinx − 3cosx)− 2sin2x= 0

Разделим уравнение на $2$ и воспользуемся методом дополнительного аргумента:

sin(x − π )=sin 2x 3

[ x − π− 2x = 2πk,k∈ ℤ x − 3π+ 2x = π+ 2πk ∈ℤ 3

[ x =− π3 − 2πk,k ∈ℤ x = 4π9-+ 2πk3 ,k∈ ℤ

Ответ:

$− π + 2πk,4π + 2πk; k∈ ℤ 3 9 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#89777Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

tg-2x-+2cosx tg 2x − 2cosx = 0.

Источники: ДВИ - 2023, вариант 237, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Запишите ОДЗ. Чтобы сократить себе труд по решению уравнения "знаменатель = 0", попробуйте записать двойное равенство: "знаменатель" = "числитель" = 0. Сделайте из этого вывод: в каком случае у числителя и знаменателя есть общие корни, то есть какие из корней числителя не подходит под ОДЗ?

Подсказка 2

Приравняем к нолю числитель: тангенс двойного угла можно записать как отношение синуса к косинусу. После этого приведите выражение к общему знаменателю.

Подсказка 3

Распишите синус двойного угла по известной формуле, тогда можно будет вынести общий множитель, какой он?

Подсказка 4

В скобках осталось выражение, зависящее от sin(x) и от двойного угла, что с ним ещё можно сделать? Попробуйте раскрыть синус двойного угла по формуле!

Подсказка 5

Осталось приравнять к нулю получившиеся множители, проверить их на соответствие ОДЗ и записать ответ!

Показать ответ и решение

Выражения $tg 2x +2cosx$ и $tg2x − 2cosx$ отличаются на $4cosx$ , стало быть, если они одновременно равны нулю, то $cosx= 0$ . Легко убедиться, что обратное тоже верно. Стало быть, множество решений исходного уравнения совпадает с множеством нулей выражения $tg2x+$ $2cosx$ , из которого исключены нули $cosx$ . Преобразуем это выражение:

2cosx(sinx +cos2x) tg2x +2cosx= ------cos2x----- =

( 2 ) ( 1) = −2cosx-2sin-x−-sinx−-1-= −4cosx(sinx−-1)-sinx-+2-. cos2x cos2x

Если $sinx =1$ , то $cosx= 0$ , стало быть, множество решений исходного уравнения совпадает с множеством нулей выражения $sinx+ 12$ , из которого исключены нули $cos2x$ . Ho $sin x+ 12$ и $cos2x$ одновременно нулю не равны, поскольку если $sinx= − 12$ , то $cos2x= 1− 2sin2x= 12$ . Следовательно, исходное уравнение равносильно уравнению $sinx =− 12$ . То есть $x= (−1)k π6+$ $(k+ 1)π,k∈ ℤ$ .

Ответ:

$(−1)kπ+ π(k +1), k∈ ℤ 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#90037Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

cosx−-cos3x- 2cos2x+ cosx+ cos3x = 2.

Источники: ДВИ - 2023, вариант 236, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что можно сделать с суммой и разностью косинусов во втором слагаемом? Попробуйте применить формулы преобразования суммы в произведение.

Подсказка 2

На этом этапе удобно записать и решить ограничения!

Подсказка 3

Получившееся после преобразования уравнения второе слагаемое, удобно записать через тангенсы. А как нам выразить через тангенс косинус двойного угла?

Подсказка 4

Чтобы cos(2x) выразить через тангенс, удобно воспользоваться формулой косинуса двойного угла, а затем вспомнить, что 1 + tg²(α) = 1/cos²α, выразите отсюда косинус и подставьте в исходное уравнение.

Подсказка 5

Осталось воспользоваться формулой для tg(2x) и мы получим рациональное уравнение относительно tg(x). Решите его и не забывайте про ОДЗ!

Показать ответ и решение

Применим формулы суммы и разности косинусов:

cosx− cos3x= −2sin 2x sin(−x)= 2sin2xsinx

cosx+ cos3x= 2cos2xcosx

Преобразуем равенство из условия:

2cos2x+ sin2xsinx-= 2 cos2xcosx

Запишем ОДЗ:

2cos2xcosx⁄= 0

{ x ⁄= π2 + πk,k ∈ℤ x ⁄= π4 + πn2 ,n∈ ℤ

Продолжим преобразования равенства из условия:

2cos2x+ tg2x⋅tgx =2

Применим формулу косинуса и тангенса двойного угла:

2tg2x 2(2cos2x − 1)+ 1−-tg2x-= 2

Сократим равенство на $2$ и вспомним, что $cos2x= tg12x+1.$

2 --22---− 1+ -tg-x2--=1 tg x+ 1 1− tg x

2(tg2x-− 1)−-tg2x(tg2x-+1) tg4x − 1 = 2

− tg4x +tg2x− 2 ----tg4x-− 1---= 2

−-3tg4x-+tg2x= 0 tg4x − 1

(| tg4x− 1⁄= 0 |||{ ⌊ tgx= 0 | || tgx= √1- |||( ⌈ 31√- tgx= − 3

С учетом ОДЗ получаем ответ:

⌊ x =πk |⌈ x = π + πk x =−6π+ πk 6

Ответ:

$πk;±π + πk; k∈ ℤ 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#90406Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2 √- 2 √- cos x+ 3sin x =(1+ 3)(cosx − cosxsinx +sinx).

Источники: ДВИ - 2023, вариант 235, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте раскроем скобки в правой части. У нас есть много одинаковых множителей, быть может, перенесем всё в одну сторону и разложим на множители?

Подсказка 2

Мы получим совокупность, в которой сумма синуса и косинуса 0. Как можно решить такое уравнение?

Подсказка 3

Методом вспомогательного угла! А как решить второе уравнение совокупности?

Подсказка 4

А второе решим с помощью оценки!

Показать ответ и решение

Раскроем скобки в правой части равенства.

2 √ - 2 √ - √- √- cosx + 3sin x= cosx − cosxsinx+ sinx + 3cosx− 3cosxsinx+ 3 sinx

Разложим выражение на множители:

(√3-sin2x+ √3cosx sinx)+(cos2x+ cosxsinx)− (1+ √3)(cosx+ sinx)= 0

(cosx+ sinx)(√3sin x+ cosx− 1− √3)= 0

[ c√osx+ sinx= 0 √- 3sinx+ cosx − 1− 3 =0

Первое уравнение решим методом вспомогательного угла:

√- √ - -2-cosx+ --2sinx =0 2 2

sin(x+ π)= 0 4

π x =− 4 + πk,k∈ ℤ

Второе — не имеет решений, так как $√- √- 3sinx+ cosx≤ 3+ 1.$ При этом равенство достигается только при $sin x= cosx= 1,$ что противоречит основному тригонометрическому тождеству.

Ответ:

$x =− π+ πk (k∈ ℤ) 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#90409Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

4 ( π) ( π) ( π ) ( π) cos x− cosx + 3 cosx − 3 = 2sin x+ 6 sin x− 6 .

Источники: ДВИ - 2023, вариант 233, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что нам больше всего не нравится в этом уравнении? Да как будто бы вообще всё, но давайте начнём с того, что понизим степень у косинуса. Конечно, произведения косинусов и синусов с разными аргументами нам совсем неудобны в работе... Подумайте, как от них можно избавиться!

Подсказка 2

После того, как мы понизили степень у косинуса и воспользовались формулами преобразования произведения в сумму, мы получаем квадратное уравнение относительно cos(2x). Решите данное уравнение и отсейте лишние корни!

Показать ответ и решение

Преобразуем произведение косинусов в сумму, а также воспользуемся формулой понижения степени.

(cos2x +1)2 1( 2π) π ---2--- − 2 cos2x +cos3- = cos3 − cos2x

2 (cos2x+-1) − 1cos2x + 1 − 1+ cos2x= 0 4 2 4 2

(cos2x+-1)2 + 1 cos2x− 1 =0 4 2 4

Сделаем замену $t= cos2x, t∈ [−1;1].$

(t+-1)2- 1 1 4 + 2t−4 = 0

t2+ 2t+1 +2t− 1= 0 ⇐ ⇒ t2+ 4t=0

t(t+4)= 0

Получаем следующие решения

[ t= 0 t= −4 не подходит под ограничения

Итого

π t= 0 ⇐⇒ cos2x =0 ⇐ ⇒ 2x= 2 + πn, n∈ ℤ

Ответ:

$π + πn, n ∈ℤ 4 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#90134Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

tgxtg2x+ 3= 0.

Источники: ДВИ - 2022, вариант 221, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем, как можно упростить уравнение. Было бы удобно сделать замену и решить обычное, не тригонометрическое уравнение. Как это сделать?

Подсказка 2

Применим формулу тангенса двойного угла. Тогда при замене t = tg(x) и домножении левой и правой части на 1 - tg²x получим обычное квадратное уравнение.

Показать ответ и решение

Применим формулу тангенса двойного угла

-2tgx-- tgx⋅1− tg2x = −3

2 tg2x= 3tg2x− 3

√ - tgx= ± 3⁄= ±1

π x =± 3 + πn,n∈ ℤ

Ответ:

$± π + πn, n∈ ℤ 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#90408Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

√2 √2- 1 1 sinx-+ cosx-= sin2x + cos2x-.

Источники: ДВИ - 2022, вариант 224, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу запишем ОДЗ ;) Перед нами выражение, в обеих частях которого стоят дроби. Это может быть не совсем удобно, а как от них избавиться?

Подсказка 2

Домножим обе части равенства на квадраты синуса и косинуса!

Подсказка 3

На что похоже выражение слева? Быть может, его можно попробовать «собрать»?

Подсказка 4

В выражении слева выносится удвоенное произведение синуса и косинуса, а выражение в скобках очень напоминает известную формулу ;)

Подсказка 5

Имеем, что sin(2x)sin(x+ pi/2)= 1. Осталось лишь понять, какие же значения может принимать каждая из скобок ;)

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ.

{ sinx ⁄=0 πk cosx ⁄=0 ⇐⇒ x ⁄= 2-,k ∈ℤ

Домножим равенство на $sin2x⋅cos2x:$

√2sin xcos2x+ √2sin2cosx= cos2x+ sin2x

√- √ - 2sin xcosx(-2-cosx+ --2sinx)= 1 2 2

π sin2x⋅sin(x + 4)= 1

Синус принимает значения из $[−1;1],$ поэтому равенство достигается только при

⌊ { | sin2x= 1 || { sin(x+ π4) =1 |⌈ sin2x= −1 sin(x+ π4) =−1

⌊ { π | 2x= 2 +2πk,k∈ ℤ || { x + π4 = π2 + 2πn,n ∈ℤ |⌈ 2x= − π2 + 2πk,k∈ ℤ x + π4 = − π2 +2πn,n∈ ℤ

⌊ { π | x = 4π + πk,k ∈ℤ ||| { x = 4 +π 2πn,n ∈ℤ ⌈ x =− 4 +π πk,k∈ℤ πk =− 2 + 2πn,n ∈ℤ

Решение первой системы: $π x= 4 +2πn,$ что удовлетворяет ОДЗ.

Вторая система не имеет решений для целых $k,n.$

Ответ:

$x = π+ 2πn (n∈ ℤ) 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#63561Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

4sin2xcos3x− 2sin5x= tg2x

Источники: ДВИ - 2021, вариант 215, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Раскрывать по формуле синуса суммы и косинуса суммы тройные, а уж тем более “5-рные” углы мы не хотим. А что еще можно сделать с первым слагаемым левой части?

Подсказка 2

Конечно применить формулу произведения синусов! Тогда после преобразований получим выражение только с двойными углами. А с ними уже проще работать! Но не спешите применять формулу к тангенсу, ведь слева останется еще синус, который все портит. Попробуйте сначала перейти к выражению с синусами и косинусами!

Подсказка 3

Чтобы не работать с дробями – домножаем обе части на знаменатель (не забывая выписать ограничение) и теперь уже смело можем раскрывать двойные углы. Что общего у всех слагаемых?

Подсказка 4

Есть общий множитель! Выносим его за скобку, предварительно перенеся все в одну сторону – приговор для него уже подписан. А со скобкой, возможно, еще стоит поработать! Приведите ее к выражению, в котором есть только косинусы и числа. На что похоже полученное выражение?

Подсказка 5

Конечно на квадратный трехчлен! Вот только оно относительно функции, а не просто переменной. Ищем нули известным Вам способом и получаем уже простейшие тригонометрические уравнения! Для удобства можно ввести новую переменную t = cos (x) и решать квадратное относительно t уравнение.

Показать ответ и решение

Снова вспомним формулы $2sin2xcos3x= sin5x − sinx$ , тогда получим:

2(sin5x− sinx)− 2sin5x= tg2x

Домножим на $cos2x⁄= 0$ :

− 2sinxcos2x = sin2x= 2sinxcosx

Если $sinx =0$ , то $x =πn,n ∈ℤ$ , иначе

cosx+ cos2x= 0

2cos2x+ cosx− 1= 0

cosx= −1±-3 4

Тут можно заметить, что для $cosx= −1$ верно $sinx= 0$ , поэтому достаточно добавить в ответ серию для второго решения $x =± π3 + 2πn,n ∈ℤ$ . Очевидно, все корни подходят под условие $cos2x⁄= 0$ .

Ответ:

$πn,±π + 2πn, n∈ ℤ 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#63562Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2 ctgx− 2ctg 2x = 3cosx

Источники: ДВИ - 2021, вариант 216, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Не забываем выписать ОДЗ и смотрим на косинус справа. Он явно не даст нам работать только с тангенсами и котангенсами, значит, приводим все к выражению с косинусами и синусами!

Подсказка 2

Все еще остались двойные углы – самое время от них избавиться! А заодно и дроби собрать в одну, приведя к общему знаменателю. Приводите числитель к красивому итогу и смотрите, что получилось :)

Подсказка 3

А получилось уже совсем несложное тригонометрическое уравнение! Можем ли еще сильнее упростить его, перейдя к одной тригонометрической функции?

Подсказка 4

Если домножить обе части на знаменатель, то получится заменить квадрат косинуса на выражение с квадратом синуса по ОТТ! Остается лишь решить квадратичное уравнение и добить до ответа. Для удобства можно ввести новую переменную t = sin (x) и решать квадратное относительно t уравнение.

Показать ответ и решение

Учтём, что $sin 2x ⁄=0$ — это задаёт всю ОДЗ, далее преобразуем выражение слева: