Тема ДВИ по математике в МГУ

Текстовые задачи на ДВИ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела дви по математике в мгу

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#63901

Автовладелец Авдей продал автосалону свой автомобиль за $60%$ его первоначальной стоимости. Автосалон выставил на продажу этот автомобиль за цену, на $20%$ большую уплаченной Авдею. Какова доля получившейся цены по отношению к первоначальной?

Источники: ДВИ - 2021, вариант 213, задача 2 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте обозначим первоначальную стоимость автомобиля за х. Попробуйте теперь выразить все остальные стоимости автомобиля!

Подсказка 2

Для этого будем действовать последовательно. Выразите стоимость, за которую Авдей продал его обратно в автосалон. А за какую стоимость автосалон выставил автомобиль на продажу?

Подсказка 3

Дело за малым, осталось только вспомнить, о чем нас спрашивают в задаче и посчитать нужное число!

Показать ответ и решение

Пусть автомобиль стоил $x$ (у.е.), тогда Авдей продал его за $0.6x$ , а затем его выставили на продажу за $1.2⋅0.6x= 0.72x$ , так что доля равна $72%.$

Ответ:

$72%$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#91775

Бобер доплывает от своей норы вниз по реке до осиновой рощи за три минуты. Подкрепившись, он плывет обратно к своей норе, на что у него уходит четыре минуты. Во сколько раз собственная скорость бобра превышает скорость течения? (Собственную скорость бобра считать постоянной).

Показать ответ и решение

Пусть $x$ — скорость бобра в неподвижной воде, $y$ — скорость течения реки (в м/мин). Заполним таблицу, отражающую связь между величинами, описывающими движение:


	$v$ , м/мин	$t$ , мин	$s$ , м

По течению	$x+ y$	3	$3(x +y)$

Против течения	$x− y$	4	$4(x − y)$

Поскольку бобёр проплывает одинаковые расстояния по течению реки и против течения то,

4(x− y)= 3(x+ y); 4x− 4y = 3x+ 3y; x = 7y.

Таким образом, собственная скорость бобра в 7 раз больше скорости течения реки.

Ответ: в 7 раз

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#64357

Василий с друзьями решили устроить пикник. Для этого им от пункта А нужно добраться вниз по реке до пункта В, причем в их распоряжении есть два катера. Считая себя самым ответственным, Василий вызвался самостоятельно доехать до пункта В на более быстроходном катере и начать готовить место для пикника. Оба катера вышли одновременно из пункта A. Однако, промчавшись восемь километров, Василий заметил на берегу машущего ему рукой Григория, который просил по старой дружбе довезти его до пункта С. И хоть пункт С Василий уже проехал, он согласился. По пути в пункт С Василий с Григорием встретили идущий навстречу второй катер с друзьями Василия, откуда те крикнули, что им до пункта В осталась треть пути и чтобы Василий нигде не задерживался. Доставив Григория в пункт С, Василий немедленно помчался догонять друзей. Найдите расстояние между пунктами В и С, если известно, что оба катера пришли в пункт В одновременно, скорости катеров постоянны, а Василий, действительно, нигде не задерживался.

Источники: ДВИ - 2017, вариант 1, задача 6 (cpk.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нарисуйте графики движения в осях “время – расстояние”. Длину какого отрезка мы тогда хотим найти?

Подсказка 2

Конечно проекции отрезка Василия “после отправления из С” на ось расстояния! При этом мы знаем длину проекции отрезка Василия “до встречи с Григорием”. Что можем сказать про связь этих отрезков (не проекций) в геометрическом плане?

Подсказка 3

Они параллельны! А что мы знаем про проекции отрезков с некоторых параллельных прямых на третью прямую?

Подсказка 4

Проекции соотносятся так же, как и длины самих отрезков! Этот факт нетрудно доказывается с применением обобщенной теоремы Фалеса. Остается только найти соотношение из планиметрических соображений и вычислить искомую длину.

Показать ответ и решение

Рассмотрим график движения, где по $ADCB$ двигался первый катер, а по $AB$ — второй

$PIC$

Здесь $AE = 8$ из условия, $AD$ и $BC$ параллельны (тангенсы их углов наклона к оси равны скорости катера вниз по реке), откуда $△ADF ∼△BCF$ с коэффициентом $2:1$ ( $∠ADF = ∠FCB$ ), откуда на отрезке $CB$ первый катер прошёл 4 км.

Ответ:

4 километра

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#80604

Василий выехал из пункта $A$ в пункт $B$ на велосипеде. Проехав треть пути, велосипед Василя сломался. Не теряя времени, Василий пошел пешком обратно в пункт $A$ . В момент поломки из пункта $A$ выехал мотоциклист Михаил. На каком расстоянии от пункта $A$ он встретит Василия, если расстояние между пунктами $A$ и $B$ $4$ км, скорости велосипедиста, мотоциклиста и пешехода постоянны, а Василий доберется до пункта $A$ тогда же, когда Михаил до пункта $B$ ?

Источники: ДВИ - 2015, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте построим график движения, будем рассматривать расстояние от пункта А относительно времени.

Подсказка 2

Строим графики движения обоих велосипедистов и далее вспоминаем про подобие треугольников!

Показать ответ и решение

$PIC$

Ломаная $AY V$ — график движения Василия, а отрезок $XU$ — график движения Михаила $UV = PT = AB = 4$ . Так как треугольник $XY Z$ подобен треугольнику $UVZ$ , то $XZZU-= XUYV-= 13,$ а так как треугольник $XP Z$ подобен треугольнику $UT Z$ , то $PZZT = XZZU-= 13$ . Значит $PZ = UV4-= 44 = 1$

Ответ: 1 км

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#90851

Велосипедист Василий выехал из пункта А в пункт Б. Проехав треть пути, Василий наткнулся на выбоину, вследствие чего велосипед безнадёжно вышел из строя. Не теряя времени, Василий бросил сломавшийся велосипед и пошёл пешком обратно в пункт А за новым велосипедом. В момент поломки из пункта A выехал мотоциклист Григорий. На каком расстоянии от пункта А он встретит Василия, если пункт Б отстоит от пункта А на 4 км, а Василий доберётся до пункта А тогда же, когда Григорий до пункта Б? Скорости велосипеда, мотоцикла и пешехода считать постоянными.

Показать ответ и решение

Поскольку Григорий проехал втрое больше до пункта $B$ , чем Василий прошёл до $A$ , то его скорость втрое выше. Тогда на момент встречи он проехал $3 4$ расстояния между ними, откуда расстояние до пункта $A$ на момент встречи будет $1 3 3 ⋅4 ⋅4$ км = 1км.

Ответ: 1 км.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#64358

Из села Покровское до села Успенское ведут две дороги: одна через деревню Ивановка, другая через деревню Павловка — обе длиной в 6 км. Иван и Павел отправились ровно в полдень из Покровского в Успенское, Иван — через Ивановку, Павел — через Павловку. Иван сразу сел на автобус, доехал до Ивановки, а оттуда пошел в Успенское пешком. Павел же пошел до Павловки пешком, дошел до нее в 12:30 — ровно в тот момент, когда Иван прибыл в Успенское, тут же сел в Павловке на автобус и поехал в Успенское, куда приехал в 12:40. Найдите расстояние от Ивановки до Успенского, если известно, что Иван и Павел шли со скоростью 4 км/ч, а автобусы двигались с равными постоянными скоростями.

Источники: ДВИ - 2013, вариант 1 (резервный), задача 5 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Рассмотрите путь Павла. Что мы можем сказать про расстояния на нем и скорость автобуса?

Подсказка 2

Теперь нам известна скорость автобуса и полное время в пути Ивана! Остается только составить уравнения из этого и найти все интересующие нас величины.

Показать ответ и решение

Павел дошёл до Павловки за 30 минут, потому расстояние до неё равно $2$ км, далее он проехал $4$ км за 10 минут, откуда скорость автобуса равна $24$ км/ч. Пусть Иван шёл $t1$ часов и ехал — $t2$ , отсюда $t1+t2 = 0.5$ и $4t1 +24t2 =6$ , то есть $t2 =0.2,t1 = 0.3$ , откуда длина пути от Ивановки до Успенского равна $4t1 =1.2$ км.

Ответ:

1200 метров

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#80603

В 14:00 из села Верхнее вниз по течению реки в сторону села Нижнее вышел катер «Быстрый». Когда до Нижнего оставалось идти 500 метров, ему навстречу из Нижнего вышел катер «Смелый». В этот же самый момент «Быстрый» развернулся и пошел обратно к Верхнему. В 14:14, когда расстояние по реке от «Быстрого» до Верхнего сравнялось с расстоянием по реке от «Смелого» до «Быстрого», «Смелый» развернулся и направились обратно в Нижнее. В исходные пункты катера вернулись одновременно в 14:18. Найдите расстояние по реке между Верхним и Нижним, если скорости катеров в стоячей воде одинаковые и постоянны.

Источники: ДВИ - 2013, вариант 1, задача 5 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте построим график движения, будем рассматривать расстояние от Верхнего относительно времени.

Подсказка 2

Обозначаем за S расстояние между Верхним и Нижним, а Т — время «Быстрого» вниз по течению, обозначаем на графике всю известную информацию, и пользуемся фактами планиметрии, в том числе подобием треугольников, чтобы выражать те отрезки, которые можем.

Подсказка 3

Находим, какие есть варианты для S и помним о том, что по течению корабли плывут быстрее, чем против, чтобы на основе этого составить строгую оценку!

Показать ответ и решение

Графики движения катеров в осях время и расстояние изображены на рисунке:

$PIC$

Ломаная $ABC$ - график движения «Быстрого», а ломаная $DEF$ «Смелого». Пусть $S$ расстояние (в километрах) от Верхнего до Нижнего, $T$ — время (в минутах) движения «Быстрого» вниз по течению. Из подобия треугольников $ABC$ и $DEF$ получаем $S−S−1∕12= 1188−T$ .

Из подобия треугольников $CHG$ и $CBQ$ : $S1−∕21∕2-= 184−T-$ . Из этих равенств получаем $S−-1∕2= -18∕8-= ---9-- ⇔ 4(S − 1∕2)2 =9(S− 1)⇔ 4S2 − 13S+ 10= 0 S−1 S−1∕2 4(S−1∕2)$ Значит или $S = 2,$ или $S = 5 4$ . Так каk $T$ и 18 - Т времена прохождения одного и того же пути по и против течения, то $T < 18− T ⇔ T < 9.$ Поэтому получаем $S−-1∕2= -18-< 2⇔ S > 3 S−1 18−T 2$ .

Ответ: 2 км

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#89913

Строительной организации необходимо построить некоторое количество одинаковых домов общей площадью 2500 квадратных метров. Стоимость одного дома площадью $x$ квадратных метров складывается из стоимости материалов $√- p1x x,$ стоимости строительных работ $p2x$ и стоимости отделочных работ $√- p3 x.$ Числа $p1,p2,p3$ являются членами геометрической прогрессии, их сумма равна 21, а их произведение равно 64. Если построить 63 дома, то затраты на материалы будут меньше, чем на строительные и отделочные работы. Сколько следует построить домов, чтобы общие затраты были минимальными?

Показать ответ и решение

Введем вспомогательные буквенные обозначения:

$∘$ пусть $√- x =z,$

$∘$ пусть искомое количество домов равно $n,$

$∘$ пусть знаменатель геометрической прогрессии равен $k$ .

Также зафиксируем, что $2 2500= xn= z n.$

Поскольку знаменатель прогрессии равен $k,$ то

$p2 = p1⋅k,$

$p = p ⋅k = p ⋅k2. 3 2 1$

Разберемся со значениями $k,p1,p2,p3 :$

{ p1+ p2+ p3 = 21, p1⋅p2⋅p3 = 64.

{ p1+ p1⋅k+ p1⋅k2 = 21, p1⋅p1⋅k ⋅p1⋅k2 =64.

( {p1+ p1⋅k+ p1⋅k2 = 21, (k = 4-. p1

( )2 p1+ p1⋅-4+ p1⋅ 4- = 21, p1 p1

2 p1 − 17p1+ 16 = 0,

$[ p1 = 1, p1 = 16.$

1) Рассмотрим случай $p = 1. 1$ Тогда $k = 4-= 4, p1$ $p = 1⋅4 = 4, 2$ $p3 = 4 ⋅4 = 16.$

Пусть на один дом суммарно будет потрачено

√ - √- S = p1x x+ p2x+ p3 x =z3+ 4z2+ 16z.

Тогда общие затраты на все дома будут равны $A= Sn.$ Запишем систему:

( |{A = Sn, |S = z3+ 4z2 +16z, (2500= z2n.

Перед поиском минимального значения $A$ обратимся к условию на 63 дома ( $z3 < 4z2+ 16z$ ):

{ 2 z = 256003 , z3 < 4z2+ 16z.

Преобразуем неравенство с учетом $z ≥ 0:$

z3 < 4z2+ 16z,

z2 − 4z − 16 <0,

∘ ---- 2500− 4 2500− 16< 0, 63 63

ВЕРНО!

Вернемся к системе:

( 3 2 2500 |{A = (z3 + 4z2 + 16z)⋅ z2 , |(S = z + 4z +16z, n = 250z20.

Итак, требуется найти наименьшее значение

3 2 2500 2500z2+-10000z+-40000 A = (z +4z + 16z)⋅ z2 = z .

Возьмем производную:

A′ = 2500 − 400020. z

Найдем критические точки с учетом ограничения $√ - z = x≥ 0:$

40000- 2500− z2 = 0,

z = 4.

Это точка минимума функции, ибо $A′(3)< 0,$ а $A ′(5)> 0.$

Однако при $z = 4$ имеем нецелое значение $n:$

n= 2500= 156,25. 42

Но мы точно знаем что оптимальное значение $n$ лежит в окрестности числа $156,25.$ Надо просто найти наиболее близкое к нему целое число. Таким будем число 156.

2) Рассмотрим случай $p1 = 16.$ Тогда $k = 4p1-= 14,$ $p2 = 16⋅ 14 = 4,$ $p3 = 4 ⋅ 14 = 1.$

Пусть на один дом суммарно будет потрачено

S = px√x-+ p x+ p √x =16z3+ 4z2+ z. 1 2 3

Тогда общие затраты на все дома будут равны $A =Sn.$ Имеем систему:

(|A = Sn, {S = 16z3+4z2+ z, |( 2 2500= z n.

Перед поиском минимального значения $A$ обратимся к условию на 63 дома ( $16z3 < 4z2+z$ ):

{z2 = 2500, 16z3 <634z2+z.

Преобразуем неравенство с учетом условия $z ≥ 0:$

16z3 < 4z2+ z,

16z2− 4z− 1< 0,

2500 ∘ 2500 16⋅-63-− 4 -63-− 1< 0,

НЕВЕРНО!

Этот случай невозможен, следовательно, ответом является значение $n,$ полученное в первом случае.

Ответ: 156 домов

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#90119

Из двух городов, расстояние между которыми равно 135 километров, навстречу друг другу выезжают два велосипедиста, при этом скорость одно из них на 25% больше скорости другого. Через 3 часа они находились на расстоянии 27 километров друг от друга. Найдите скорости велосипедистов.

Показать ответ и решение

Пусть скорость первого велосипедиста равна $v1 = y$ км/ч, а скорость второго $v2 = x$ км/ч. Не теряя общности будем считать, что $x > y.$

Рассмотрим тот случай, где два велосипедиста за 3 часа еще не успели встретиться, и их разделяют 27 километров пути друг до друга. Тогда имеем такую систему условий:

{ x =1,25y, 3(x+ y)= 135 − 27.

{ x =20, y =16.

Рассмотрим тот случай, где два велосипедиста за 3 часа успели встретиться, проехали мимо друг друга, продолжили движение и уже после встречи отдалились друг от друга на расстояние в 27 километров. Имеем иную систему условий: