Тема МВ / Финашка (Миссия выполнима. Твоё признание — финансист!)

Планиметрия на МВ (Финашке)

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела мв / финашка (миссия выполнима. твоё признание — финансист!)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#104130Максимум баллов за задание: 7

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$ , а на сторонах $AB$ и $BC$ выбраны точки $M$ и $N$ так, что прямые $HM$ и $HN$ симметричны друг другу относительно прямой $BH$ . Прямые $MN$ и $AC$ пересекаются в точке $K$ . Найдите длину отрезка $AK$ , если $AH = 6,HC =9$ .

Источники: Миссия выполнима - 2025, 11.6 (см. www.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если прямые AN, CM и BH не пересекаются в одной точке, то чертеж получается нагруженный и неприятный, и не понятно, что с ним вообще делать..( Попробуйте доказать, что эти прямые пересекаются в одной точке.

Подсказка 2

Доказательства этого факта может быть не самым очевидным, однако оно является ключевым в решении задачи. Например, в этом может помочь теорема Бланше.

Подсказка 3

Так, теперь у нас есть три чевианы, пересекающиеся в одной точке.. на какую теорему это нам намекает?

Подсказка 4

Верно, на теорему Чевы! А далее мы можем использовать теорему Менелая, чтобы найти длину искомого отрезка.

Показать ответ и решение

$PIC$

По теореме Бланше симметричность $HM$ и $HN$ относительно высоты $BH$ равносильно конкурентности чевиан $BH,AN, CM,$ то есть $AN$ и $CM$ пересекаются на высоте $BH.$ Тогда по теореме Чевы для треугольника $ABC :$

AM BN CH MB--⋅NC-⋅HA- =1

А по теореме Менелая для треугольника $ABC$ и прямой $MN :$

AM--⋅ BN-⋅ CK =1 MB NC KA

Из этих двух равенств получаем

CK- = CH- KA HA

Подставляя данные в условии числа,

15-+AK--= 9 AK 6

-15 1 AK = 2

AK = 30

Ответ: 30

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#129637Максимум баллов за задание: 7

Существует ли выпуклый 73-угольник такой, что градусная мера каждого из его углов кратна пяти?

Источники: Миссия выполнима - 2025, 10.2 (см. www.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вспомните формулу суммы внутренних углов n-угольника. Как она связана с суммой внешних углов?

Подсказка 2

Если каждый внутренний угол кратен 5, какие минимальные/максимальные значения они могут принимать в выпуклом многоугольнике?

Подсказка 3

Вычислите минимально возможную сумму внешних углов при заданных условиях.

Показать ответ и решение

Предположим, что такой 73-угольник существует. Если градусная мера каждого угла кратна пяти, то каждый из них не больше $175,$ то есть любой из внешних углов не меньше $5.$ Тогда сумма всех внешних углов не меньше $73⋅5= 365,$ но сумма внешних углов в любом выпуклом многоугольнике равна $360,$ так как, используя формулу суммы углов в $n$ -угольнике, можем получить

∘ ∘ ∘ 180 ⋅n− 180 ⋅(n− 2)=360

Противоречие, значит, такого 73-угольника не существует.

Ответ:

Не существует

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#129640Максимум баллов за задание: 7

В трапеции $ABCD (AB ∥CD )$ оказалось, что $∠BAD = ∠ADB =$ $40∘$ и $AB+ CD = AD.$ Найдите угол $DAC.$

Источники: Миссия выполнима - 2025, 10.5 (см. www.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сделаем рисунок. Пока не очень понятно, откуда на картинке возьмётся нужное, да и условие про сумму длин двух сторон явного результата не даёт. Значит, надо придумать дополнительные построения! Какие распространённые конструкции Вы знаете?

Подсказка 2

Хочется, чтобы у нас появился ещё один (или не один) отрезок, равный AB + CD. Для этого можно провести прямые через середину боковой стороны BC и оставшиеся вершины трапеции. Что интересного можно сказать о треугольниках, полученных в результате пересечения проведённых прямых с прямыми, содержащими основания трапеции?

Подсказка 3

Итак, у нас образовался четырёхугольник с тремя равными и двумя параллельными сторонами. Это ...?

Подсказка 4

Докажите, что это параллелограмм. Подумайте, в каком параллелограмме могут быть равны 3 стороны.

Подсказка 5

Тут уже неплохо считаются многие углы, но чего-то всё равно не хватает. Попробуем добавить в конструкцию ещё равнобедренных треугольников, а может и более "интересных", например, ... . Отразите точку B относительно диагонали ромба.

Подсказка 6

Осталось лишь увидеть тот самый равносторонний треугольник, ещё немного поработать с углами и симметрией и наслаждаться победой!

Показать ответ и решение

Отметим середину стороны $BC$ точку $E.$ Продлим луч $AE$ до пересечения с прямой $DC$ в точке $P$ и луч $DE$ до пересечения с прямой $AB$ в точке $Q.$

$PIC$

Из равенства треугольников $AEB$ и $PEC$ получаем, что

AD =AB + CD = DC +CP = DP

Откуда $△ADP$ — равнобедренный треугольник. Аналогично равны треугольники $DEC$ и $QEB,$ откуда равнобедренным является треугольник $ADQ.$ Получаем, что четырёхугольник $ADP Q$ является ромбом.

Отразим точку $B$ относительно диагонали $DQ,$ получим точку $H.$ Так как

∘ ∘ ∠ADP =180 − ∠DAB = 140

То $∠ADQ = 70∘$ и $∠BDQ = 30∘.$ Получаем, что в равнобедренном треугольнике $BDH$ угол $BDH$ равен $60∘,$ значит, треугольник $BDH$ равносторонний.

Треугольник $BQH$ равнобедренный, поэтому $BH ∥AP,$ то есть трапеция $ABHP$ равнобедренная. Из этого получаем, что

AB = BD =BH =HP

То есть

∘ ∠HAP = ∠AHB = ∠BAH = 10

В силу симметрии в ромбе

∠CAP = ∠HAP =10∘

Ответ:

$10∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#81379Максимум баллов за задание: 7

Два треугольника пересекаются по шестиугольнику $ABCDEF$ , в котором

∘ ∘ ∘ ∘ ∠A = ∠B =∠C = 100 ,∠D =130 ,∠E = 140,∠F =150

Найдите углы этих треугольников.

Источники: Миссия выполнима - 2024, 11.6 (см. www.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обратите внимание, что есть два случая для пересечения треугольников.

Подсказка 2

Один из таких случаев — когда ни один из углов треугольников не является углов рассматриваемого шестиугольника. Другой — когда у шестиугольника 2 угла являются углами данных треугольников.

Подсказка 3

Попробуйте обозначить углы треугольников через переменные и записать уравнения. Таким образом мы посчитаем все углы!

Показать ответ и решение

Случай $1$ (стороны треугольника - тройки несмежных сторон):

$PIC$

В таком случае все углы треугольников легко находятся, как $∘ ∘ ∘ ∘ 180 − (180 − α)− (180 − β)=α +β − 180$ , где $α,β$ - два соседних угла шестиугольника.

Тогда получаем, что углы красного треугольника равны $∘ ∘ ∘ 20 ,70 ,90$ , а углы синего - $∘ ∘ ∘ 20,50,110$ .

Случай $2$ (один из углов шестиугольника совпадает с углом треугольника):

$PIC$

Заметим, что это единственное возможное положение в этом случае. Углы синего треугольника равны $150∘$ ; $180∘− (180∘− ∠A )− (180∘ − ∠B )=20∘$ и $10∘$ .

Углы красного треугольника будут равны $130∘;$ $180∘ − (180∘− ∠B)− (180∘− ∠C)= 20∘$ и $30∘$ .

Ответ:

$20∘,50∘,110∘$ и $20∘,70∘,90∘$ ; или $10∘,20∘,150∘$ и $20∘,30∘,130∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#63950Максимум баллов за задание: 7

B неравнобедренном треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AA 1$ и $BB 1$ . Известно, что $AA :BB =AC :BC 1 1$ и что радиус окружности, касающейся стороны $AB$ и продолжений сторон $CA$ и $CB$ , равен 1. Найдите периметр треугольника $ABC.$

Источники: Миссия выполнима - 2023, 11.6 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Смотрите, у нас есть условие, что AA1/BB1 = AC/BC. Обратите внимание на треугольники AA1C и BB1C. Что можно про них сказать?

Подсказка 2

Хочется сказать что они подобны, но у них общий угол BCA не между двумя соответственными сторонами. Тогда это почти как 4 признак равенства треугольников, только подобия: если растянуть один из треугольников так, что там две стороны будут равны, то выйдет как раз 4 признак равенства! Что это будет означать?

Подсказка 3

Это значит, что либо угол AA1C = BB1C, но это значит, что ABC - равнобедренный, а так нельзя. Остается, что AA1C + BB1C = 180. Что тогда можно сказать про угол BCA?)

Подсказка 4

Он равен 60! А теперь попробуйте посчитать периметр, вспомнив про то, что отрезок касательной из C к нашей вневписанной окружности - это полупериметр)

Показать ответ и решение

$PIC$

Докажем, что $∠BCA = 60∘$ . Для этого положим $∠BAC = α,∠ABC = β$ , $∠BCA = γ$ и воспользуемся теоремой синусов.

Имеем:

AA1-= ---AC---, BB1-=---BC--- , sinγ sin∠AA1C sinγ sin∠BB1C

откуда

-AA1= AC- ⋅ sin∠BB1C BB1 BC sin∠AA1C

С учетом условия $AA1 AC- BB1 = BC$ это означает, что $sin∠BB1C = sin∠AA1C$ . Равенству $α =β$ противоречит условие задачи.

Поэтому $β α ∘ α + 2 + 2 + β =180$ , откуда $∘ α +β =120$ и $∘ γ = 60$

Теперь найдем периметр треугольника $ABC$ . Пусть окружность с центром $O$ касается стороны $AB$ в точке $K$ , а продолжений сторон $CA$ и $CB$ - в точках $S$ и $T$ соответственно.

Тогда $AK =AS,BK = BT$ и

AB + CA +CB = CA + AS+ CB +BT = CS +CT = =OS ctg γ+ OTctg γ =2ctg30∘ =2√ 3 2 2

Ответ:

$2√3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#76535Максимум баллов за задание: 7

На сторонах $BC,$ $CA$ и $AB$ неравнобедренного треугольника выбраны точки $L,$ $M$ и $N$ соответственно. Биссектриса угла $ABC$ и серединный перпендикуляр к отрезку $NL$ пересекаются в точке $P.$ Известно, что $∘ ∠ABC =135 ,AN =NM = ML = LC = 1$ Найдите длину отрезка $MP.$

Источники: Миссия выполнима-2022, 11.6 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

По условию треугольники AMN и MLC – равнобедренные, значит, ∠NMA = ∠BAC, а также ∠LMC = ∠BCA, что тогда можно сказать про величину угла NML? Также подумайте, как этот угол может нам помочь в дальнейшем решении.

---------------------------—

Подсказка 2
∠NML = ∠ABC = 135° Давайте рассмотрим треугольник NBL, точка P лежит на пересечении биссектрисы этого треугольника и серединного перпендикуляра. Что мы можем сказать про данную точку? И как найти величину угла NPL?

---------------------------—

Подсказка 3
Точка P лежит на окружности, описанной около треугольника NML, следовательно, его величина будет равна 180°-135° = 45°. Кроме того, NP = PL, так как стягивают равные дуги. Значит, PM является не только серединным перпендикуляром, а также биссектрисой. Теперь в треугольнике MPL мы знаем одну сторону и угол, лежащий против нее, что еще нам необходимо, чтобы найти сторону PM?

---------------------------—

Подсказка 4
Если мы найдем угол MLP, от можно будет применить теорему синусов и найти сторону PM. В этом нам поможет значение угла ∠NML и тот факт, что треугольники NMP и LMP равные.

Показать ответ и решение

$PIC$

Так как из условий $AN = NM =ML =LC$ следуют равенства $∠AMN =∠BAC$ и $∠CML = ∠BCA$ соответственно, то

∠LMN = 180∘ − ∠AMN − ∠CML = 180∘− ∠BAC − ∠BCA = ∠ABC.

Заметим, далее, что точка $P$ лежит на описанной окружности треугольника $△NBL$ (и делит пополам дугу $NL,$ не содержащую $B$ ). Поэтому

∠LPN = 180∘− ∠ABC = 180∘− ∠LMN

с учётом того, что $P$ и $M$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $LN,$ заключаем, что $P$ - ортоцентр треугольника $△LMN.$

Рассмотрим теперь треугольник $△LP M.$ Используя равенства

∘ ∘ ∠LMN = 135 ,∠LP N = 45

и равнобедренность треугольника $△LP N,$ нетрудно найти углы $∠PLM = 45∘$ и $∠LP M = 22,5∘.$ Применив теорему синусов, получим $-MP-- -ML--- sin45∘ = sin22,5∘,$ откуда

∘ ∘ 1+-cos45∘- ∘---√-- MP = 2cos22,5 = 2 ---2----= 2 + 2

Ответ:

$∘2-+-√2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#96827Максимум баллов за задание: 7

В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AK$ и $CM.$ Известно, что середины отрезков $AB,BC$ и $MK$ лежат на одной прямой. Найдите $AB,$ если $BK =4,$ а $KC =5.$

Источники: Миссия выполнима - 2021, 11.4 (см. www.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам даны отрезки, на которые делит сторону биссектриса. Какое её свойство можно применить?

Подсказка 2

Отношение сторон равно отношению отрезков, на которые биссектриса делит третью сторону! Здорово, теперь мы можем записать некоторые равенства отношений. А что можно сказать о точке O на BP, если она лежит на отрезке, соединяющем середины двух сторон?

Подсказка 3

О лежит на средней линии треугольника, значит, является серединой BP! Какую интересную нам фигуру тогда можно заметить на рисунке?

Подсказка 4

O — середина BP и средней линии. Отсюда мы можем заприметить некоторые параллельности и попробовать записать равенства на отношения. А какая теорема может помочь нам в их записи?

Подсказка 5

Используйте теорему Фалеса!

Показать ответ и решение

$PIC$

По свойству биссектрисы $AK : AABC-= BKKC-= 45$ и биссектрисы $CM : BACC-= MABM-.$ Пусть т. $O$ - середина отрезка $MK,$ а т. $P$ - точка пересечения прямых $BO$ и $AC.$ Заметим, что из условия следует, что т. $O$ лежит на средней линии $△ABC$ параллельной $AC.$ Следовательно, по теореме Фалеса $BO = OP$ и четырёхугольник $MBKP$ параллелограмм (диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам). Ещё дважды применяя теорему Фалеса, получим $AMMB- =PACP= BKKC-= 45,$ откуда

AB = 4 ⋅ 4⋅(4 +5)= 144= 5,76 5 5 25

Ответ:

$5,76$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#108625Максимум баллов за задание: 7

Дан треугольник $ABC$ ; точка $K$ на стороне $AB$ и точка $L$ на стороне $BC$ таковы, что $AK = KL = LC$ . На луче $CB$ отмечена точка $M$ , для которой $CM =AB$ , а на прямой $AL$ - точка $N$ , для которой $MN ∥ AC$ . Докажите, что $BN = AB$ .

Источники: Миссия выполнима - 2020, 11 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

На картинке немало равных отрезков, а параллельность влечёт за собой равные углы. Что тогда хочется найти на рисунке?

Подсказка 2

Попробуем поискать подобные треугольники! Давайте отмечать равные углы ;)

Подсказка 3

Отлично, треугольники MNL и ALC подобны! Давайте тогда запишем равенства отношений их сторон, а затем преобразуем это так, чтобы воспользоваться равенствами отрезков из условия!

Подсказка 4

AL/AN = CL/CM. Настало время заменить отрезки на равные им ;)

Подсказка 5

Получается, что AL/AN = AK/AB. Давайте посмотрим на треугольники, в которых они расположены, и подумаем, что про них можно сказать ;)

Показать доказательство

Из равенств $∠MLN =∠ALC$ и $∠MNL =∠CAL$ следует подобие треугольников $MNL$ и $CAL$ . Поэтому $AL :AN = CL:CM =AK :AB,$ и треугольник $ABN$ подобен треугольнику $AKL$ . Равенство $BN = AB$ теперь следует из равенства $KL = AK$ .