Планиметрия на МВ (Финашке)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Два треугольника пересекаются по шестиугольнику 
, в котором
Найдите углы этих треугольников.
Источники:
Подсказка 1
Обратите внимание, что есть два случая для пересечения треугольников.
Случай 
(стороны треугольника - тройки несмежных сторон):
В таком случае все углы треугольников легко находятся, как 
, где 
- два соседних угла
шестиугольника.
Тогда получаем, что углы красного треугольника равны 
, а углы синего - 
.
Случай 
(один из углов шестиугольника совпадает с углом треугольника):
Заметим, что это единственное возможное положение в этом случае. Углы синего треугольника равны 
;
и 
.
Углы красного треугольника будут равны 
и 
.
и 
; или 
и 
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
B неравнобедренном треугольнике 
проведены биссектрисы 
и 
. Известно, что 
и что радиус
окружности, касающейся стороны 
и продолжений сторон 
и 
, равен 1. Найдите периметр треугольника
Источники:
Подсказка 1
Смотрите, у нас есть условие, что AA1/BB1 = AC/BC. Обратите внимание на треугольники AA1C и BB1C. Что можно про них сказать?
Подсказка 2
Хочется сказать что они подобны, но у них общий угол BCA не между двумя соответственными сторонами. Тогда это почти как 4 признак равенства треугольников, только подобия: если растянуть один из треугольников так, что там две стороны будут равны, то выйдет как раз 4 признак равенства! Что это будет означать?
Подсказка 3
Это значит, что либо угол AA1C = BB1C, но это значит, что ABC - равнобедренный, а так нельзя. Остается, что AA1C + BB1C = 180. Что тогда можно сказать про угол BCA?)
Подсказка 4
Он равен 60! А теперь попробуйте посчитать периметр, вспомнив про то, что отрезок касательной из C к нашей вневписанной окружности - это полупериметр)
Докажем, что 
. Для этого положим 
, 
и воспользуемся теоремой синусов.
Имеем:
откуда
С учетом условия 
это означает, что 
. Равенству 
противоречит условие
задачи.
Поэтому 
, откуда 
и 
Теперь найдем периметр треугольника 
. Пусть окружность с центром 
касается стороны 
в точке 
, а продолжений
сторон 
и 
- в точках 
и 
соответственно.
Тогда 
и
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На сторонах 
и 
неравнобедренного треугольника выбраны точки 
и 
соответственно. Биссектриса угла 
и
серединный перпендикуляр к отрезку 
пересекаются в точке 
Известно, что 
Найдите
длину отрезка 
Источники:
Подсказка 1
По условию треугольники AMN и MLC – равнобедренные, значит, ∠NMA = ∠BAC, а также ∠LMC = ∠BCA, что тогда можно сказать про величину угла NML? Также подумайте, как этот угол может нам помочь в дальнейшем решении.
Так как из условий 
следуют равенства 
и 
соответственно, то
Заметим, далее, что точка 
лежит на описанной окружности треугольника 
(и делит пополам дугу 
не содержащую 
).
Поэтому
с учётом того, что 
и 
лежат в одной полуплоскости относительно прямой 
заключаем, что 
- ортоцентр треугольника
Рассмотрим теперь треугольник 
Используя равенства
и равнобедренность треугольника 
нетрудно найти углы 
и 
Применив теорему синусов, получим
откуда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольнике 
проведены биссектрисы 
и 
Известно, что середины отрезков 
и 
лежат на одной прямой.
Найдите 
если 
а 
Источники:
Подсказка 1
Нам даны отрезки, на которые делит сторону биссектриса. Какое её свойство можно применить?
Подсказка 2
Отношение сторон равно отношению отрезков, на которые биссектриса делит третью сторону! Здорово, теперь мы можем записать некоторые равенства отношений. А что можно сказать о точке O на BP, если она лежит на отрезке, соединяющем середины двух сторон?
Подсказка 3
О лежит на средней линии треугольника, значит, является серединой BP! Какую интересную нам фигуру тогда можно заметить на рисунке?
Подсказка 4
O — середина BP и средней линии. Отсюда мы можем заприметить некоторые параллельности и попробовать записать равенства на отношения. А какая теорема может помочь нам в их записи?
Подсказка 5
Используйте теорему Фалеса!
По свойству биссектрисы 
и биссектрисы 
Пусть т. 
- середина отрезка 
а т. 
-
точка пересечения прямых 
и 
Заметим, что из условия следует, что т. 
лежит на средней линии 
параллельной 
Следовательно, по теореме Фалеса 
и четырёхугольник 
параллелограмм (диагонали
пересекаются и делятся точкой пересечения пополам). Ещё дважды применяя теорему Фалеса, получим 
откуда
