20 Признак Абеля-Дирихле для несобственных интегралов.

У нашего интеграла 2 особенности: одна связана с тем, что подынтегральная функция неопределена на нижнем пределе интегрирования (т.е. в нуле) - это особенность II рода. Другая же связана с неограниченностью промежутка интегрирования.

В таком случае интеграл разбивают произвольной точкой на сумму двух интегралов (возьмём, к примеру, точку 1):

И говорят, что исходный интеграл сходится в случае, если сходятся оба ; если же один из них сходится, а другой расходится, то по определению расходится. В случае же расходимости обоих и , ничего сказать нельзя.

1. Исследуем . Вспомним, что по первому замечательному пределу

Поэтому . А значит, - бесконечно малая при . Интеграл давайте исследуем по критерию Коши.

Он будет сходиться, если

Итак,

(Вместо можно было бы взять любую другую сколь угодно малую константу, поскольку мы рассматриваем интегралы от до , где и близки к нулю. А наша подынтегральная функция стремится к нулю при , следовательно, её модуль меньше любой сколь угодно малой константы в достаточно маленьких окрестностях нуля.)

И если взять достаточно близкое к , то и и подавно будут близки к 0, поскольку они оба меньше , а значит может быть сделано меньше любого . Следовательно, - сходится.

2. Исследуем . Давайте по формуле понижения степени распишем квадрат синуса как . Тогда можно представить в виде:

2.1. Исследуем .

Следовательно, - расходится.

2.2. Исследуем . Пусть . Тогда очевидно, что монотонно стремится к 0 при . Пусть . Тогда имеет ограниченную первообразную на :

Следовательно, сходится по признаку Дирихле.

Но тогда получается, что есть сумма расходящегося и сходящегося , таким образом, расходится. Но тогда исходный интеграл есть сумма сходящегося и расходящегося . Следовательно, исходный интеграл - расходится.

Нам нужно исследовать, сходится ли интеграл от модуля функции , т.е. сходится ли интеграл

Этот интеграл, сходится он или расходится, в любом случае по определению равен пределу .

Давайте покажем, что если идти по точкам вида , то такого предела существовать не будет. Откуда будет следовать, что и никакого предела при произвольном стремлении не существует.

Для удобства оценки, давайте оценивать интегралы, начинающиеся не от единицы, а от нуля, то есть - поскольку мы лишь добавили сходящийся абсолютно интеграл - он ни на что не повлияет (подынтегральная функция, хотя и не определена в нуле, но ограничена на , поэтому по критерию Коши легко доказать абсолютную сходимость интеграла ).

Итак, рассмотрим . Тогда:

Но на отрезке функция . Следовательно, можно оценить

Итак, с учётом этого, продолжим:

Но можно вычислить, и он равен 4 (вычисляем =2, и в силу симметричности графика умножаем на 2.)

Откуда в конце концов получаем:

Однако ряд - расходится, поскольку , а ряд расходится как эталонный. Следовательно, по теореме сравнения ряд - расходится.

Но наш предел , как мы показали, и того больше. Следовательно, , то есть исходный интеграл абсолютно не сходится (расходится к ).

Нам нужно исследовать, сходится ли интеграл от модуля функции , т.е. сходится ли интеграл

Сделаем замену . При этой замене промежуток переходит в . . Имеем:

Далее, поскольку , то при любом . Следовательно,

Но интеграл

разбивается на сумму двух интегралов (поскольку )

При этом расходится, так как

А интеграл сходится:

Пусть . Тогда, во-первых, . Видим, что при больших знаменатель положителен, а числитель есть произведение положительного на отрицательную скобку , то есть при больших (если быть точным, при ) - то есть производная всегда одного знака, начиная с , следовательно, при функция - монотонна.

Нетрудно усмотреть, что

(мы дважды воспользовались правилом Лопиталя).

Таким образом, - монотонно стремится к нулю при .

Далее, - имеет ограниченную первообразную на , поскольку

Таким образом, есть сумма расходящегося и сходящегося интегралов. Следовательно, - расходится.

Но в силу неравенства

И расходимости , делаем вывод, что расходится и .

Следовательно, исходный интеграл абсолютно не сходится (расходится к ).

Преобразуем для удобства нашу подынтегральную функцию:

Тогда пусть , .

1. Покажем, что, во-первых, у - ограниченная первообразная на :

2. При : (по таблице эквивалентностей при . ).

Следовательно, при стремится к 0. Более того, это стремление монотонное, коль скоро:

Знаменатель всегда неотрицательный, а числитель:

Первый сомножитель неотрицателен при . А вот в скобках при : - неположительная величина при достаточно больших и . Следовательно, монотонно стремится к нулю при и . Таким образом, по признаку Дирихле исходный интеграл сходится при .

3. При видно, что даже не стремится к нулю. Её предел при равен либо 1 (при ), либо (при ). Так или иначе, но и в том и в другом случае, для достаточно больших можно написать оценку, что (вместо можно было бы взять любую положительную константу).

Давайте по критерию Коши покажем, что при наш интеграл расходится. Для этого достаточно найти такое , что при любом найдутся такие, что

Но при достаточно большом давайте будем в качестве и брать участки неотрицательности . То есть, какое бы большое нам ни дали, мы найдём такое , что , были бы оба больше, чем . И Тогда получим оценку:

Следовательно, при исходный интеграл расходится по критерию Коши.

Пусть , . Тогда при любом интеграл

сходится, поскольку , где - имеет ограниченную на первообразную, а - монотонно стремится к нулю при любом . Таким образом, интеграл сходится по признаку Дирихле.

Но тогда наш исходный интеграл

сходится по признаку Абеля, поскольку, как мы уже показали, - сходится, а - ограничена и монотонна на .