Тема Задачи с параметром

Алгебра. Исследование замены

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#63742

Укажите все значения параметра $a,|a|<1$ , при которых множество решений неравенства

|cost−-a|−-sint ||cost− 34|| >0

для $t∈(0;π)$ представимо в виде двух непересекающихся интервалов.

Источники: ОММО-2023, номер 6 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте сделаем естественную вещь в таком не очень хорошем параметре. У нас есть синус и косинус с одинаковым аргументом. Тогда попробуем сделать замену sin(t)=y и cos(t)=x. Какие условия тогда у нас будут?

Подсказка 2

Верно, тогда у нас получается система из 4 условий: основное тригонометрическое тождество, ограничение на t, ОДЗ знаменателя и само исходное неравенство. Тогда как теперь можно сформулировать вопрос задачи и найти а?

Подсказка 3

Ага, получается, что нам удовлетворяют все решения системы, где точки лежат на полуокружности и ниже, чем график y = |x− a|, который двигается вдоль оси х в зависимости от а. Осталось только определить, когда получается два непересекающихся отрезка в решении и найти из графика граничные точки для а.

Показать ответ и решение

Пусть $x =cost,y = sint$ . Тогда, с учётом допустимых значений $t$ , неравенство равносильно системе

(| x2+ y2 =1 |||{ y > 0 | 3 |||( x⁄= 4 y < |x − a|

Решения этой системы - точки на полуокружности $x2+ y2 = 1,y > 0$ , лежащие ниже графика функции $y = |x− a|$ .

$PIC$

При изменении параметра $a$ график функции $y =|x− a|$ перемещается вдоль оси $x$ . При значениях $a$ , близких к $− 1,$ в качестве множества решений имеем $3$ непересекающихся интервала. При значениях $a$ , близких к $1,$ получается $2$ интервала.

Крайнее положение графика, при котором получается два интервала, изображено на рисунке:

$PIC$

Координаты точки $M$ пересечения окружности и прямой $y = x− a$ равны

3 ∘ -------- √7- xM = 4,yM = 1− (3∕4)2 =-4-

Так как $34 − a =yM$ , то $√- a= 3−47$ .

Таким образом, ответом является множество $[ √- ) 3−47,1 .$

Ответ:

$[3−√7,1) 4$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#63949

При каких значениях параметра $a$ система уравнений

({ -1-- -1-- logx3 + logy3 = 1; ( y =3 − ax

не имеет решений?

Источники: Миссия выполнима - 2023, 11.5 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Запишем одз и преобразуем первое уравнение по свойствам логарифма! Как можно теперь выразить y через x?

Подсказка 2

Если вышло, что log_3(xy) = 1, то все верно) Тут мы получаем, что xy = 3, то есть y = 3/x. Давайте подставим во второе уравнение. Какие значения а мы теперь должны найти?

Подсказка 3

Мы должны найти все такие а, что полученное уравнение не имеет положительных корней, которые отличаются от 1 и 3. Наше уравнение выглядит как 3/x = 3 - ax. Домножим на x и получим ax^2 -3x + 3 = 0. Какие случаи стоит рассматривать?

Подсказка 4

Для начала можем посмотреть на a = 0, тогда уравнение не квадратное. С этим случаем легко разобраться. Со случаем a!=0 вот что можно делать: либо у него нет корней, либо они есть, либо они отрицательные, либо положительные корни - 1 или 3)

Показать ответ и решение

Область допустимых значений переменных задается условиями

x> 0,x⁄= 1,y >0,y ⁄= 1.

Из первого уравнения получаем

log3x+ log3y = 1

откуда $xy = 3$ .

Подставив $y = 3x$ во второе уравнение, получим

ax2− 3x+ 3= 0

Мы должны найти все такие $a$ , при которых это уравнение не имеет положительных корней, отличных от 1 и 3.

Если $a= 0$ , то $x= 1$ единственный корень. Но $x⁄= 1$ .

Если же $a ⁄=0$ и дискриминант $D = 9$ - $12a$ отрицателен, то действительных корней нет вообще.

Итак при $a∈ {0}∪(34,+∞ )$ исходная система решений не имеет. При $a ≤ 34$ хотя бы один положительный корень у квадратного уравнения есть, поскольку сумма корней и их произведение имеют одинаковый знак. Если же один из корней равен 3, то $a = 23$ и уравнение $23x2− 3x+ 3= 0$ имеет также корень $x= 32$ , а исходная система имеет решение $(32;2).$

Ответ:

${0}∪(3,+∞ ) 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#33517

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

∘ ---√------- a+ a+ sinx= − sinx

имеет решение.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала, стоит сделать логичную замену t=sin(x). Логична она, потому что здесь есть только синус(то есть, если бы был еще и косинус, то было бы намного неприятнее заменять t=sin(x)). Ну и возвести в квадрат дважды, потому что работать с корнями вообще не понятно как.

Подсказка 2

У нас получилось уравнение 4 степени относительно t. Дааа, такое нам не решить. Но есть одна хитрость - решить его относительно а(если получится, то получим разложение на две скобки), ведь относительно а перед нами квадратное уравнение.

Подсказка 3

Получили разложение (a-t^2+t)(a-t^2-t-1)=0. Когда мы второй раз возводили в квадрат, то добавили к ОДЗ условие: t^2-a>=0. Значит, как минимум, оно точно должно выполняться. Осталось рассмотреть два случая(когда каждая из скобок равна 0) и с помощью оценок на синус, получить два подходящих значения а.

Показать ответ и решение

Так как в левой части выражение хотя бы $0$ , то $sinx ≤0$ . Значит, для неотрицательности подкоренного $a+ sinx≥ 0$ требуется $a ≥0$ .

Возведём в квадрат:

√ ------- 2 a+ sinx= sin x− a

Возведём еще раз в квадрат и заменим $sinx$ на $t$ (в конце надо будет проверить, что $t2− a≥ 0$ , чтобы не потерять условие неотрицательности правой части при возведении в квадрат). Получаем

4 2 2 t − 2at + a − a − t= 0

a2− a(1+ 2t2)+t4− t=0

Перед нами квадратное уравнение относительно $a$ . Значит, можно посчитать его дискриминант $4t4+4t2+ 1− 4t4+ 4t= (2t+ 1)2 =⇒ a= 2t2+1±2(2t+1)$ или разложить уравнение на множители как $(a− t2+ t)(a− t2− t− 1)= 0$ .

Теперь проверяем условие $t2 − a≥ 0$ :

Если $a= t2− t$ , то $t2 − a =t≥ 0$ . В силу $t= sinx ≤0$ , получаем, что подходит только $t= 0$ и $a= 0$ .

Если $a= t2+ t+ 1$ , то $t2− a= −t− 1≥ 0$ . Поскольку $− t− 1= − sinx − 1 ≤0$ , то подходит только $t= −1$ и $a= 1$ .

Ответ:

${0;1}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#51662

Найдите все значения параметра $p,$ при которых уравнение

x x+2 −x 1−x 4 + 2 + 7= p− 4 − 2⋅2

имеет хотя бы одно решение.

Показать ответ и решение

Перепишем уравнение в виде $(4x +4−x)+ 4⋅(2x +2−x)= p− 7$ и сделаем замену $2x+2−x =t.$ Возводя обе части этого равенства в квадрат, получаем, что $2 (x −x)2 x −x t = 2 +2 = 4 +2 +4 ,$ откуда $x −x 2 4 + 4 =t − 2.$ Уравнение принимает вид $2 2 t − 2+4t= p− 7⇔ (t+2) = p− 1$ .

Найдём множество значений левой части уравнения. Поскольку $t≥ 2,$ получаем, что левая часть уравнения принимает значения из промежутка $[16;+∞ )$ .

Уравнение имеет хотя бы одно решение, если правая часть принадлежит этому же промежутку, т. е. при $p− 1≥ 16,$ откуда $p ≥17.$

Ответ:

$[17;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#51663

Найдите все значения параметра $a,$ при которых уравнение $log (3x +log a)= 2x 3 3$ имеет ровно одно решение.

Показать ответ и решение

Данное уравнение на ОДЗ равносильно следующему $:$

x 2x 2x x 3 +log3a =3 ,3 − 3 − log3a= 0

Делаем замену $3x = t.$ Получаем уравнение

2 t − t− log3a =0 (∗)

Исходное уравнение имеет ровно одно решение тогда и только тогда, когда уравнение $(∗)$ имеет ровно одно положительное решение Это возможно в двух случаях.

1) Уравнение $(∗)$ имеет ровно одно решение и это решение положительно.

Это может быть, если $D = 1+ 4log a= 0 3$ , откуда $a= 3−1∕4.$ Тогда получаем, что $t= 1, 2$ т. е. $(∗)$ имеет один положительный корень.

2) Уравнение $(∗)$ имеет два корня, один из которых положителен, а другой - нет. В этом случае удобно разобрать два варианта.

a) Одним из корней уравнения является $t= 0.$ Подставляя это значение $t$ в $(∗)$ находим, что $log a= 0 3$ $(a= 1).$ Тогда $(∗)$ принимает вид $t2 − t= 0,$ т. е. действительно имеет ровно один положительный корень Значит, $a= 1$ подходит.

б) Один из корней положителен, а второй - отрицателен. Для этого необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство $− log3a <0$ , откуда $a> 1.$

Объединяя полученные результаты, находим, что ${ 1-} a ∈ 4√3 ∪ [1;+∞ ).$

Ответ:

${√1} ∪[1;+∞ ) 43$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#92009

Найти все значения $c$ , при которых уравнение $4sinx+ 9cosx= c$ имеет решение.

Показать ответ и решение

Обозначим за $x= tanx 2$ . Выразим синус и косинус через тангенс половинного угла. Получим уравнение

--8x-- 9−-9x2 9+-8x− 9x2 x2+ 1 + x2 +1 = x2+ 1 =c

Домножив на знаменатель, получаем уравнение относительно $x$ .

(9+ c)x2− 8x+ (c− 9)= 0

Если старший член не равен 0, оно имеет решение тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен, а значит, $2 64− 4c +4⋅81≥ 0$ . Откуда $2 c ≤97$ . Поскольку уравнение $x tan 2 = d$ имеет решение при любом вещественном $d$ , все $c$ , удовлетворяющие полученному условию, нам подходят.

Если же старший член равен 0, то также нессложно видеть, что уравнение имеет решение.

Осталось рассмотреть случай, когда мы не можем сделать такую замену. Это значит, что $x cos2 = 0$ . Но тогда $cosx= −1,sinx= 0$ . То есть в этом случае $c=− 9$ , такое число уже входит в полученный отрезок.

Ответ:

$[−√97;√97]$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#92014

Найдите все значения $a$ , при которых уравнение

2(--2x-) ( --x--) 2 log2 1 +x2 +2(a− 1)log2 1+ x2 + a − a − 2 =0

имеет решение.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x> 0.$ После замены

(--2x--) t= log2 1+ x2

получаем уравнение

t2+ 2(a − 1)(t− 1)+a2− a− 2= 0

(t+ (a− 1))2 =a +1

При $a+ 1< 0$ решений нет, иначе получаем

√ ---- t= 1− a ± a+1

При обратной замене каждому решению $t$ будет соответствовать

--2x2 =2t 1 +x

x2 − 2⋅2−t⋅x+ 1= 0

Таким образом, решения исходного уравнения есть при

2−t− 1≥ 0

t≤0

Хотя бы одно решение $√ ---- t= 1− a ± a+ 1$ будет удовлетворять условию $t≤0$ при

√ ---- 1− a− a+ 1≤0

1− a≤ √a+-1

Подходит $a >1$ или

a2 − 2a+ 1≤ a+ 1

a2− 3a≤ 0

a ∈[0;3]

В итоге $a∈ [0;+∞).$

Ответ:

$[0;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#92015

При каких значениях параметра $a$ уравнение

3 3 2 2 √-( 2 2) √----- ∘ -----2- x + y + xy +xy = a x + y + 13− a(x+y)− 13a− a

имеет ровно четыре решения в целых числах?

Показать ответ и решение

ОДЗ: $a∈ [0,13]$

√-( 2 2) √ ----- ∘ -----2- 3 3 2 2 0= a x + y + 13 − a(x+ y)− 13a − a − x +y + x y+ xy =

√ - 2 2 √ ----- = ( a− (x +y))((x +y )− 13− a)= 0

Если $√a$ целое, то подойдет любая пара $x =k$ , $y =√a-− k$ . Значит, $√a$ не целое и поэтому первая скобка не 0. Значит, $x2+ y2 = √13−-a$ и $√13−-a$ целое и < $√13$ .

Если $√13−-a= 3$ , то $x2+y2 = 3$ , а такого не бывает, так как квадраты дают остатки 0 и 1 при делении на 3.

Если $√13−-a= 2$ , то $a= 4$ и $√a$ целое?!

Если $√13−-a= 1$ , то $a= 12$ и корни будут ( $± 1$ , 0) и (0, $±1$ ).

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#77783

Укажите, при каких значениях параметра $a$ уравнение имеет решение:

2(4x−x2−4) √ - ( 4x−x2−3) 2cos 2 = 5a − 3sin 2

Источники: САММАТ - 2021, 11.7 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В глаза бросается выражение, которое следует заменить переменной t. Тогда сразу становится понятно, какие тригонометрические формулы использовать при преобразовании для упрощения уравнения.

Подсказка 2

Заменим t:=2^(4x-x^2-3) , после чего применим формулу понижения степени. Теперь имеем равенство, слева от которого сумма синуса и косинуса с коэффициентами, а справа - число. Как можно решать такие уравнения?)

Подсказка 3

При помощи дополнительного угла! Поделим обе части на 2 и сделаем замену - что получится?

Подсказка 4

cos(pi/3 - t) = (5a-1)/2. При каких a оно имеет решения? Вспоминаем про ОДЗ!

Подсказка 5

Нужный косинус находится в полуинтервале (1/2;1]! Теперь-то мы можем оценить a)

Показать ответ и решение

Сделаем замену: $t= 24x−x2−3,t> 0,$ уравнение примет вид:

2 t √ - 2cos2 = 5a − 3sint,

откуда следует:

√- √- 1+ cost= 5a− 3sint⇒ cost+ 3sint= 5a− 1,

1 √3 5a− 1 π π 5a− 1 2cost+ 2-sint =--2-- ⇒ cos3 cost+ sin3 sint= --2--,

( ) cos π − t = 5a−-1. 3 2

Данное уравнение может иметь решение при $− 1 ≤ 5a−21-≤1,$ но не все значения параметра $a$ , удовлетворяющие этому ограничению, подходят, поскольку

0< t= 24x−x2−3 = 21−(x−2)2 ≤ 2

и, следовательно, $π π π − 3 <t− 3 ≤2 −-3.$

Заметим, что $π 1< 3 <2,$ следовательно $π π 0 <2− 3 < 1< 3.$ Выделяя $( π π] − 3;2 −3$ на тригонометрическом круге (см. рисунок), видим, что при $( ) 12 < cos t− π3 ≤ 1,t∈ (0;2].$

Следовательно, исходное уравнение будет иметь хотя бы одно решение, если

12 < 5a−2-1≤ 1⇒ 25 < a≤ 35.

$PIC$

Ответ:

$(2;3] 5 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#90804

Определите, при каких значениях параметра $a$ уравнение

√ ---- √-- √ - a x+y = 3x+ 2 y

имеет единственное решение $(x,y)$ .

Источники: ДВИ - 2012, вариант 1, задача 7 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам хочется найти единственное решение, тогда, быть может, существует универсальное решение, не зависящее от a? Обратим внимание на то, что и слева, и справа присутствует умножение на корень из числа.

Подсказка 2

После того, как мы найдем одно из решений, нам нужно показать, что других нет. Обратим внимание на то, какие функции присутствуют в обеих частях. Быть может, сделаем оценку на их значения?

Подсказка 3

Квадратный корень гарантирует нам знак, поэтому можно разобрать случаи разных знаков a.

Подсказка 4

Разобрать случаи a = 0, a < 0 не составит труда, а каким является уравнение при a > 0 относительно sqrt(x)? Как добиться того, чтобы оно имело нужное нам количество решений?

Подсказка 5

Уравнение является квадратным относительно sqrt(x), значит имеет смысл разобрать знак дискриминанта!

Показать ответ и решение

Заметим, что пара $(0;0)$ является решением данного уравнения. Тогда нужно найти такой параметр $a,$ при котором у данного уравнения нет других решений.

Запишем ОДЗ:

{ x≥ 0 y ≥ 0

Сделаем замену: $√x-= t, √y = s, t,s≥ 0.$ Если есть решения относительно $(t,s)$ , то есть решения для $(x,y)$

Тогда получаем

∘ -2--2 √- a t +s = t 3+ 2s

При $a= 0$ существует единственное решение $(0;0).$ Тогда $a= 0$ подходит под условия.

При $a< 0$ левая часть не более $0,$ а правая не менее $0,$ значит равенство достигается, когда и левая и правая части равны нулю. Это достигается только при $(0;0),$ значит, $a< 0$ подходит под условия.

При $a> 0$ получаем

a2(t2+ s2)= 3t2 +4s2+ 4ts√3

Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно $t.$

(a2− 3)t2 − 4s√3⋅t+ s2(a2− 4)= 0

Чтобы данное уравнение не имело неотрицательных решений нужно, чтобы выполнялось одно из двух условий:

(a) $D <0$

2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 D= 48s − 4s (a − 3)(a − 4)= 4s(12− a +7a − 12)= 4s (−a )(a − 7)

Если $s= 0,$ то $t=0,$ значит далее рассмотрим $s> 0.$

2 2 2 2 D < 0 ⇐ ⇒ 4s (−a)(a − 7)< 0 =⇒ a − 7> 0

Так как рассматриваются $a> 0,$ то получаем, что при $a> √7$ нет других решений, кроме $(0;0)$

(b) $D ≥0,$ но оба корня отрицательны.

Если $D ≥0,$ то $a≤ √7.$ Выпишем корни:

2s√3-± as√7-− a2 t= ----a2−-3-----≤0

Так как ранее был сделан вывод, что $s> 0,$ то далее опустим его, так как на знак он не влияет.

При $√- a> 3$ получаем, что

√- ∘ ---2- 2 3± a 7− a ≤ 0

Не подходит, так как с плюсом получаем положительное выражение.

При $a< √3$ получаем, что

2√3± a∘7-− a2 ≥ 0

2√3-≥ a∘7−-a2 =⇒ 12≥ a2(7− a2)

a4− 7a2+ 12≥0 =⇒ (a2 − 3)(a2− 4)≥0

При $√- a< 3$ получаем, что корни будут отрицательными, значит, такое ограничение подходит.

Объединим решения и получим, что

√ - √ - a∈ (−∞; 3)∪ ( 7;+ ∞)

Ответ:

$a ∈(−∞;√3)∪ (√7;+ ∞)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#47917

При всех значениях параметра $a$ решите уравнение

ax+3 4x2−ax+9- 2x2+3 + 2 x2+3 = 10.

Источники: ПВГ-2006 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Какая некрасивая дробь в степени, еще и повторяется, давайте сделаем замену! t = 2^((ax + 3)/(x^2 + 3))

Подсказка 2!

Попробуйте понять, как представляется тогда второе слагаемое! Это 16/t!

Подсказка 3!

Осталось найти t и разобраться с вытекащим а)

Показать ответ и решение

Обозначим $t= 2axx+2+33-$ , тогда

4(x2+3) − ax+3 16 t+ 2 x2+3 ⋅2 x2+3 = 10 ⇐ ⇒ t+ -t =10

Получаем $t∈ {2;8} ⇐⇒ axx2++33 ∈ {1;3}$ , то есть у нас такая совокупность (два случая):

[ [ ax+3 =x2 +3 ⇐⇒ ax= x2 ax+3 =3x2+ 9 3x2− ax +6= 0

У первого уравнения могут быть решения $x =0,x= a$ , а у второго при $2 a ≥ 72$ есть решения $a±√a2−-72- x = ---6----$ . Важно заметить, что среди корней уравнений нет общих, потому что при подстановке $x =0$ или $x= a$ во второе уравнение его левая часть будет положительна, а не равна нулю. Тогда осталось учесть только совпадения корней в рамках каждого из уравнений и записать ответ.