Тема Задачи с параметром

Алгебра. Исследование замены

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31912

Найдите наименьшее значение параметра $a$ , при котором система

(| 2 3y 23y 2 {a− 8cos 8 − 2tg 8 = 2cos2x |(2π|1+|x||cos3y+ |x|⋅(πsin23y− 16− 2π)= 0

имеет хотя бы одно решение. Найдите решения системы при данном $a$ .

Показать ответ и решение

Рассмотрим второе уравнение системы. Сделаем замену $|x|= t$ , $cos3y = z$ , тогда уравнение примет вид

2 h(z)= πtz − 2π(1+ t)z+ t(π+ 16)= 0

Это уравнение при $t≥ 0$ должно иметь хотя бы одно решение $z ∈ [− 1;1]$ , причем эти значения $t$ и $z$ должны удовлетворять первому уравнению. Дискриминант уравнения $h(z)= 0$ :

2 Dh =− 4π(16t− 2πt− π)

Рассмотрим $Dh =0$ :

D = 4π(π +16)> 0 Dh

Следовательно, $Dh = 0$ имеет два нуля, причем, так как $Dh(0)< 0$ , то условию $t≥ 0$ удовлетворяет только один корень, назовем его $t0$ . Тогда при $t∈[0;t0]$ имеем $Dh ≥ 0$ , при $t∈ (t0;+ ∞)$ имеем $Dh < 0$ , значит, рассматриваем только $t∈[0;t0].$ Тогда $h(z) =0$ имеет один или два корня.

Обратим внимание, что абсцисса вершины параболы $z(верш) = |1+t|= |1+ 1|> 1 t t$ (так как $t≥ 0$ ), $h(0) >0$ , следовательно, чтобы хотя бы один корень удовлетворял условию $z ∈ [−1;1]$ , парабола $h= h(z)$ должна выглядеть следующим образом:

$PIC$

Поэтому только левый корень может удовлеторять условию $z ∈[−1;1]$ и для этого нужно, чтобы $h(1)≤ 0$ , откуда $π t≤ 8$ .

Так как $(π) Dh 8 > 0$ , то при $π t≤ 8$ уравнение $h(z)= 0$ имеет корень $z =z0 ∈ (0;1]$ .

Рассмотрим первое уравнение системы:

( ) a =8cos2 3y+ 2tg23y +2cos22x ⇔ a= 2cos22x + 4 2cos2 3 y+--1---- −2≥ 7 8 8 ∈[1◟;2]п◝◜ри|x◞|≤ π8 ◟-----8-◝◜-2cos2 38y-◞ ∈[8;+∞)

Следовательно, наименьшее $a= 7$ . Тогда при нем должно быть выполнено

( |||{ |x|≤ π8 ({ π cos22x= 12 ⇔ x= ± 8 |||( 2cos2 3y = 1 (y = ± 2π3-+ 163 πn,n∈ ℤ 8

Ответ:

$a ∈{7};(±π ;2π-+ 16πn);(± π;− 2π+ 16πn) 8 3 3 8 3 3$ , $n∈ ℤ$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#63742

Укажите все значения параметра $a,|a|<1$ , при которых множество решений неравенства

|cost−-a|−-sint ||cost− 34|| >0

для $t∈(0;π)$ представимо в виде двух непересекающихся интервалов.

Источники: ОММО-2023, номер 6 (см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $x =cost,y = sint$ . Тогда, с учётом допустимых значений $t$ , неравенство равносильно системе

(| x2+ y2 =1 |||{ y > 0 | 3 |||( x⁄= 4 y < |x − a|

Решения этой системы - точки на полуокружности $x2+ y2 = 1,y > 0$ , лежащие ниже графика функции $y = |x− a|$ .

$PIC$

При изменении параметра $a$ график функции $y =|x− a|$ перемещается вдоль оси $x$ . При значениях $a$ , близких к $− 1,$ в качестве множества решений имеем $3$ непересекающихся интервала. При значениях $a$ , близких к $1,$ получается $2$ интервала.

Крайнее положение графика, при котором получается два интервала, изображено на рисунке:

$PIC$

Координаты точки $M$ пересечения окружности и прямой $y = x− a$ равны

3 ∘ -------- √7- xM = 4,yM = 1− (3∕4)2 =-4-

Так как $34 − a =yM$ , то $√- a= 3−47$ .

Таким образом, ответом является множество $[ √- ) 3−47,1 .$

Ответ:

$[3−√7,1) 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#63949

При каких значениях параметра $a$ система уравнений

({ -1-- -1-- logx3 + logy3 = 1; ( y =3 − ax

не имеет решений?

Источники: Миссия выполнима - 2023, 11.5 (см. mission.fa.ru)

Показать ответ и решение

Область допустимых значений переменных задается условиями

x> 0,x⁄= 1,y >0,y ⁄= 1.

Из первого уравнения получаем

log3x+ log3y = 1

откуда $xy = 3$ .

Подставив $y = 3x$ во второе уравнение, получим

ax2− 3x+ 3= 0

Мы должны найти все такие $a$ , при которых это уравнение не имеет положительных корней, отличных от 1 и 3.

Если $a= 0$ , то $x= 1$ единственный корень. Но $x⁄= 1$ .

Если же $a ⁄=0$ и дискриминант $D = 9$ - $12a$ отрицателен, то действительных корней нет вообще.

Итак при $a∈ {0}∪(34,+∞ )$ исходная система решений не имеет. При $a ≤ 34$ хотя бы один положительный корень у квадратного уравнения есть, поскольку сумма корней и их произведение имеют одинаковый знак. Если же один из корней равен 3, то $a = 23$ и уравнение $23x2− 3x+ 3= 0$ имеет также корень $x= 32$ , а исходная система имеет решение $(32;2).$

Ответ:

${0}∪(3,+∞ ) 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#33517

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

∘ ---√------- a+ a+ sinx= − sinx

имеет решение.

Показать ответ и решение

Так как в левой части выражение хотя бы $0$ , то $sinx ≤0$ . Значит, для неотрицательности подкоренного $a+ sinx≥ 0$ требуется $a ≥0$ .

Возведём в квадрат:

√ ------- 2 a+ sinx= sin x− a

Возведём еще раз в квадрат и заменим $sinx$ на $t$ (в конце надо будет проверить, что $t2− a≥ 0$ , чтобы не потерять условие неотрицательности правой части при возведении в квадрат). Получаем

4 2 2 t − 2at + a − a − t= 0

a2− a(1+ 2t2)+t4− t=0

Перед нами квадратное уравнение относительно $a$ . Значит, можно посчитать его дискриминант $4t4+4t2+ 1− 4t4+ 4t= (2t+ 1)2 =⇒ a= 2t2+1±2(2t+1)$ или разложить уравнение на множители как $(a− t2+ t)(a− t2− t− 1)= 0$ .

Теперь проверяем условие $t2 − a≥ 0$ :

Если $a= t2− t$ , то $t2 − a =t≥ 0$ . В силу $t= sinx ≤0$ , получаем, что подходит только $t= 0$ и $a= 0$ .

Если $a= t2+ t+ 1$ , то $t2− a= −t− 1≥ 0$ . Поскольку $− t− 1= − sinx − 1 ≤0$ , то подходит только $t= −1$ и $a= 1$ .

Ответ:

${0;1}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#51662

Найдите все значения параметра $p,$ при которых уравнение

x x+2 −x 1−x 4 + 2 + 7= p− 4 − 2⋅2

имеет хотя бы одно решение.

Показать ответ и решение

Перепишем уравнение в виде $(4x +4−x)+ 4⋅(2x +2−x)= p− 7$ и сделаем замену $2x+2−x =t.$ Возводя обе части этого равенства в квадрат, получаем, что $2 (x −x)2 x −x t = 2 +2 = 4 +2 +4 ,$ откуда $x −x 2 4 + 4 =t − 2.$ Уравнение принимает вид $2 2 t − 2+4t= p− 7⇔ (t+2) = p− 1$ .

Найдём множество значений левой части уравнения. Поскольку $t≥ 2,$ получаем, что левая часть уравнения принимает значения из промежутка $[16;+∞ )$ .

Уравнение имеет хотя бы одно решение, если правая часть принадлежит этому же промежутку, т. е. при $p− 1≥ 16,$ откуда $p ≥17.$

Ответ:

$[17;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#51663

Найдите все значения параметра $a,$ при которых уравнение $log (3x +log a)= 2x 3 3$ имеет ровно одно решение.

Показать ответ и решение

Данное уравнение на ОДЗ равносильно следующему $:$

x 2x 2x x 3 +log3a =3 ,3 − 3 − log3a= 0

Делаем замену $3x = t.$ Получаем уравнение

2 t − t− log3a =0 (∗)

Исходное уравнение имеет ровно одно решение тогда и только тогда, когда уравнение $(∗)$ имеет ровно одно положительное решение Это возможно в двух случаях.

1) Уравнение $(∗)$ имеет ровно одно решение и это решение положительно.

Это может быть, если $D = 1+ 4log a= 0 3$ , откуда $a= 3−1∕4.$ Тогда получаем, что $t= 1, 2$ т. е. $(∗)$ имеет один положительный корень.

2) Уравнение $(∗)$ имеет два корня, один из которых положителен, а другой - нет. В этом случае удобно разобрать два варианта.

a) Одним из корней уравнения является $t= 0.$ Подставляя это значение $t$ в $(∗)$ находим, что $log a= 0 3$ $(a= 1).$ Тогда $(∗)$ принимает вид $t2 − t= 0,$ т. е. действительно имеет ровно один положительный корень Значит, $a= 1$ подходит.

б) Один из корней положителен, а второй - отрицателен. Для этого необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство $− log3a <0$ , откуда $a> 1.$

Объединяя полученные результаты, находим, что ${ 1-} a ∈ 4√3 ∪ [1;+∞ ).$

Ответ:

${√1} ∪[1;+∞ ) 43$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#92014

Найдите все значения $a$ , при которых уравнение

2(--2x-) ( --x--) 2 log2 1 +x2 +2(a− 1)log2 1+ x2 + a − a − 2 =0

имеет решение.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x> 0.$ После замены

(--2x--) t= log2 1+ x2

получаем уравнение

t2+ 2(a − 1)(t− 1)+a2− a− 2= 0

(t+ (a− 1))2 =a +1

При $a+ 1< 0$ решений нет, иначе получаем

√ ---- t= 1− a ± a+1

При обратной замене каждому решению $t$ будет соответствовать

--2x2 =2t 1 +x

x2 − 2⋅2−t⋅x+ 1= 0

Таким образом, решения исходного уравнения есть при

2−t− 1≥ 0

t≤0

Хотя бы одно решение $√ ---- t= 1− a ± a+ 1$ будет удовлетворять условию $t≤0$ при

√ ---- 1− a− a+ 1≤0

1− a≤ √a+-1

Подходит $a >1$ или

a2 − 2a+ 1≤ a+ 1

a2− 3a≤ 0

a ∈[0;3]

В итоге $a∈ [0;+∞).$

Ответ:

$[0;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#92015

При каких значениях параметра $a$ уравнение

3 3 2 2 √-( 2 2) √----- ∘ -----2- x + y + xy +xy = a x + y + 13− a(x+y)− 13a− a

имеет ровно четыре решения в целых числах?

Показать ответ и решение

ОДЗ: $a∈ [0,13]$

√-( 2 2) √ ----- ∘ -----2- 3 3 2 2 0= a x + y + 13 − a(x+ y)− 13a − a − x +y + x y+ xy =

√ - 2 2 √ ----- = ( a− (x +y))((x +y )− 13− a)= 0

Если $√a$ целое, то подойдет любая пара $x =k$ , $y =√a-− k$ . Значит, $√a$ не целое и поэтому первая скобка не 0. Значит, $x2+ y2 = √13−-a$ и $√13−-a$ целое и < $√13$ .

Если $√13−-a= 3$ , то $x2+y2 = 3$ , а такого не бывает, так как квадраты дают остатки 0 и 1 при делении на 3.

Если $√13−-a= 2$ , то $a= 4$ и $√a$ целое?!

Если $√13−-a= 1$ , то $a= 12$ и корни будут ( $± 1$ , 0) и (0, $±1$ ).

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#77783

Укажите, при каких значениях параметра $a$ уравнение имеет решение:

2(4x−x2−4) √ - ( 4x−x2−3) 2cos 2 = 5a − 3sin 2

Источники: САММАТ - 2021, 11.7 (см. sammat.samgtu.ru)

Показать ответ и решение

Сделаем замену: $t= 24x−x2−3,t> 0,$ уравнение примет вид:

2 t √ - 2cos2 = 5a − 3sint,

откуда следует:

√- √- 1+ cost= 5a− 3sint⇒ cost+ 3sint= 5a− 1,

1 √3 5a− 1 π π 5a− 1 2cost+ 2-sint =--2-- ⇒ cos3 cost+ sin3 sint= --2--,

( ) cos π − t = 5a−-1. 3 2

Данное уравнение может иметь решение при $− 1 ≤ 5a−21-≤1,$ но не все значения параметра $a$ , удовлетворяющие этому ограничению, подходят, поскольку

0< t= 24x−x2−3 = 21−(x−2)2 ≤ 2

и, следовательно, $π π π − 3 <t− 3 ≤2 −-3.$

Заметим, что $π 1< 3 <2,$ следовательно $π π 0 <2− 3 < 1< 3.$ Выделяя $( π π] − 3;2 −3$ на тригонометрическом круге (см. рисунок), видим, что при $( ) 12 < cos t− π3 ≤ 1,t∈ (0;2].$

Следовательно, исходное уравнение будет иметь хотя бы одно решение, если

12 < 5a−2-1≤ 1⇒ 25 < a≤ 35.

$PIC$

Ответ:

$(2;3] 5 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#90804

Определите, при каких значениях параметра $a$ уравнение

√ ---- √-- √ - a x+y = 3x+ 2 y

имеет единственное решение $(x,y)$ .

Источники: ДВИ - 2012, вариант 1, задача 7 (pk.math.msu.ru)

Показать ответ и решение

Заметим, что пара $(0;0)$ является решением данного уравнения. Тогда нужно найти такой параметр $a,$ при котором у данного уравнения нет других решений.

Запишем ОДЗ:

{ x≥ 0 y ≥ 0

Сделаем замену: $√x-= t, √y = s, t,s≥ 0.$ Если есть решения относительно $(t,s)$ , то есть решения для $(x,y)$

Тогда получаем

∘ -2--2 √- a t +s = t 3+ 2s

При $a= 0$ существует единственное решение $(0;0).$ Тогда $a= 0$ подходит под условия.

При $a< 0$ левая часть не более $0,$ а правая не менее $0,$ значит равенство достигается, когда и левая и правая части равны нулю. Это достигается только при $(0;0),$ значит, $a< 0$ подходит под условия.

При $a> 0$ получаем

a2(t2+ s2)= 3t2 +4s2+ 4ts√3

Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно $t.$

(a2− 3)t2 − 4s√3⋅t+ s2(a2− 4)= 0

Чтобы данное уравнение не имело неотрицательных решений нужно, чтобы выполнялось одно из двух условий:

(a) $D <0$

2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 D= 48s − 4s (a − 3)(a − 4)= 4s(12− a +7a − 12)= 4s (−a )(a − 7)

Если $s= 0,$ то $t=0,$ значит далее рассмотрим $s> 0.$

2 2 2 2 D < 0 ⇐ ⇒ 4s (−a)(a − 7)< 0 =⇒ a − 7> 0

Так как рассматриваются $a> 0,$ то получаем, что при $a> √7$ нет других решений, кроме $(0;0)$

(b) $D ≥0,$ но оба корня отрицательны.

Если $D ≥0,$ то $a≤ √7.$ Выпишем корни:

2s√3-± as√7-− a2 t= ----a2−-3-----≤0

Так как ранее был сделан вывод, что $s> 0,$ то далее опустим его, так как на знак он не влияет.

При $√- a> 3$ получаем, что

√- ∘ ---2- 2 3± a 7− a ≤ 0

Не подходит, так как с плюсом получаем положительное выражение.

При $a< √3$ получаем, что

2√3± a∘7-− a2 ≥ 0

2√3-≥ a∘7−-a2 =⇒ 12≥ a2(7− a2)

a4− 7a2+ 12≥0 =⇒ (a2 − 3)(a2− 4)≥0

При $√- a< 3$ получаем, что корни будут отрицательными, значит, такое ограничение подходит.

Объединим решения и получим, что

√ - √ - a∈ (−∞; 3)∪ ( 7;+ ∞)

Ответ:

$a ∈(−∞;√3)∪ (√7;+ ∞)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#47917

При всех значениях параметра $a$ решите уравнение

ax+3 4x2−ax+9- 2x2+3 + 2 x2+3 = 10.

Источники: ПВГ-2006 (см. pvg.mk.ru)

Показать ответ и решение

Обозначим $t= 2axx+2+33-$ , тогда

4(x2+3) − ax+3 16 t+ 2 x2+3 ⋅2 x2+3 = 10 ⇐ ⇒ t+ -t =10

Получаем $t∈ {2;8} ⇐⇒ axx2++33 ∈ {1;3}$ , то есть у нас такая совокупность (два случая):

[ [ ax+3 =x2 +3 ⇐⇒ ax= x2 ax+3 =3x2+ 9 3x2− ax +6= 0

У первого уравнения могут быть решения $x =0,x= a$ , а у второго при $2 a ≥ 72$ есть решения $a±√a2−-72- x = ---6----$ . Важно заметить, что среди корней уравнений нет общих, потому что при подстановке $x =0$ или $x= a$ во второе уравнение его левая часть будет положительна, а не равна нулю. Тогда осталось учесть только совпадения корней в рамках каждого из уравнений и записать ответ.

Ответ:

при $|a|>6√2$ решения ${0;a;a+√a2−72;a−√a2−72} 6 6$ ;

при $√- |a|= 6 2$ решения $a {0;a;6}$ ;

при $√ - 0< |a|< 6 2$ решения ${0;a};$

при $a= 0$ решение только $x = 0$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#105474

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

2( 2x−x2) √- (2x−x2+1) 2cos 2 = a+ 3sin 2

имеет хотя бы одно решение.

Источники: Вступительные в МГУ - 1996 (см. pk.cs.msu.ru)

Показать ответ и решение

Сделаем замену $t=22x−x2.$ Так как $2x− x2$ — это парабола с ветвями вниз, то максимум достигается в вершине, в данном случае при $x =1,$ тогда $t∈(0;2].$ Преобразуем наше уравнение: