Экстремальные задачи в планиметрии

Пусть известные длины сторон четырехугольника равны и В условии не указан порядок расположения этих сторон: или Но вместо четырехугольника в котором, скажем рассмотрим четырехугольник в котором, В нем тот же набор известных длин сторон (но в другом порядке), а площади этих четырехугольников равны, так как это суммы и причем

Поэтому можно считать, что

Заметим, что двигая точку по дуге окружности радиуса с центром в точке мы будем получать четырехугольник с тем же набором известных длин сторон, с той же частью а площадь части будет наибольшей тогда, когда (иначе при том же основании высота из точки будет короче, чем Двигая аналогично точку вокруг точки получим, что из свойства максимальной площади четырехугольника вытекает

Итак, имеются два прямоугольных треугольника и с общей гипотенузой и равными катетами и Значит, треугольники равны, как и их высоты на гипотенузу, т.е. — равнобедренная трапеция с тупыми углами и

Пусть где и — проекции точек и на Тогда из свойства высоты прямоугольного треугольника получаем

Отсюда, с учётом того, что получаем

Подставляем и получаем