Уравнения, неравенства и системы без логарифмов и тригонометрии на ДВИ

Для начала выпишем ОДЗ этого неравенства:

Первые два условия уже обеспечивают выполнение третьего, так как не может быть одновременно Поэтому ОДЗ задаётся системой

С учётом ОДЗ мы можем домножить наше неравенство на положительный знаменатель, получим

Так как — строго возрастающая функция, то знак разности функций (левой части) будет совпадать со знаком разности аргументов, поэтому получаем

Пересекая с ОДЗ, получаем ответ

Поделим второе уравнение на первое (так как обе части первого уравнения положительны). Отношение первых скобок равно

Аналогичное равенство имеет место для второй и третьей скобок, тогда после деления получим:

С учетом того, что и того, что все числа положительные (тогда мы можем перемножать неравенства), получим:

А значит, наше равенство выполняется только в случае то есть в случае равенства всех переменных. Тогда подставляя в первое уравнение, получим

Запишем ОДЗ

Представим правую часть как в нулевой степени.

Воспользуемся методом рационализации.

Тогда получаем

Решая методом интервалов неравенство, получаем, что

Так как функция возрастает на области определения то неравенство равносильно

По методу рационализации при неравенство эквивалентно

Откуда по методу интервалов с учётом получаем ответ

Воспользуемся неравенством треугольника:

причем равенство достигается при

Тогда

В итоге

поэтому во всех неравенствах должно достигаться равенство. Тогда

Первое условие равносильно

а второе

Изобразим полученные условия на координатной плоскости:

Тогда искомая площадь равна

Перепишем систему

Пусть . Получим систему

После сложения получаем

Легко проверить, что эта пара подходит и в систему неравенств до сложения, потому что неравенства обращаются в равенства. После обратной замены получаем

Откуда

При

При

Получим найденные константы и получим

Для удобства сделаем замену и выпишем условия ОДЗ:

В переходе выше возведение в квадрат — равносильное преобразование, так как обе части неравенства неотрицательны ввиду

Итак, из условия получаем неравенство:

Домножив обе части неравенства на сопряжённое получим

не является решением. Рассмотрим случаи для раскрытия в левой части:

• , получаем

  

  Что верно при всех То есть — решение.

• , тогда

  

  Возведём в квадрат обе неотрицательные части неравенства:

  

  При неравенство не выполняется. При возведём в квадрат обе неотрицательные части:

  
  

  Учитывая все ограничения на получим

  и соответственно — решение.

ОДЗ: Рассмотрим функцию

Тогда исходное равенство примет вид

Так как — монотонная функция, то каждое значение она принимает ровно один раз, поэтому равенство равносильно

Так как то получаем, что

Это равносильно

При где

При где

Отсюда видно, что при равенство выполнено (так как у нас 100 пар с суммой ), но если же то сумма модулей будет больше

Для равенства дроби нулю нужно, чтобы числитель равнялся нулю, а знаменатель при этом не обращался в ноль. Исходное уравнение равносильно следующей системе:

Из первого уравнения получаем:

не подходит, так как

не подходит, так как

удовлетворяет всем условиям.

Заметим, что слева можно выделить полный квадрат:

Квадрат неотрицателен, так что уравнение равносильно следующему

Разберем три случая:

1) В этом случае после раскрытия модулей уравнение примет следующий вид

То есть корней в таком случае нет.

2) В этом же случае после раскрытия модулей уравнение примет следующий вид

Второй корень меньше нуля, следовательно, он не подходит, а первый:

Значит, первый корень в этом случае идёт в ответ.

3) В этом же случае после раскрытия модулей уравнение примет следующий вид

Первый корень положительный, а второй отрицательный. Значит, второй нам походит.

В итоге у нас 2 подходящих корня.

Так как сделав замену получим

Так как то после обратной замены получаем

Рассмотрим функцию

При возрастает как произведение двух положительных возрастающих функций. При функция также возрастает.

Итого, — монотонно возрастающая функция. Заметим также, что эта функция нечетная, то есть

Исходное неравенство принимает вид

В силу монотонности равенство возможно только в случае

Пусть Помним, что

Рассмотрим случай (помним, что ). В этом случае модуль раскрывается со знаком «минус»:

С учетом ограничения получаем, что или

Обратная замена:

Рассмотрим случай

С учетом ограничения получаем, что

Обратная замена:

Объединяя решения в обоих случаях, получаем

Перед нами квадратное уравнение, решим его.

Приведём дроби к общему знаменателю:

Решим уравнение (1):

С учётом ограничений (2) и (3) корень нам не подходит. Остаётся только