Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Уравнения, неравенства и системы без логарифмов и тригонометрии на ДВИ

Тема ДВИ по математике в МГУ

Уравнения, неравенства и системы без логарифмов и тригонометрии на ДВИ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела дви по математике в мгу

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#130308Максимум баллов за задание: 7

Найдите наибольшее целое число, меньшее числа $√7+ √8.$

Источники: ДВИ - 2025, вариант 253, задача 1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как Вы думаете, какими числами удобно ограничить сумму √7 + √8? Может, надо как-то её увеличить и уменьшить?

Подсказка 2

А если взять суммы √7 + √7 и √8 + √8?

Подсказка 3

Оцените числа 2√7 и 2√8. Для удобства можно занести двойки под корни.

Показать ответ и решение

Заметим, что

√- √ - √ - √- 2 7 < 7+ 8< 2 8

Оценим число $2√7-$ снизу:

2√7-= √28> √25= 5

Оценим число $√ - 2 8$ сверху:

2√8-= √32< √36= 6

Получаем цепочку неравенств:

√- √ - √ - √- 5< 2 7 < 7+ 8< 2 8< 6

Отсюда видим, что наибольшее целое число, меньшее числа $√- √- 7 + 8$ — это 5.

Ответ: 5

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#130355Максимум баллов за задание: 7

Последовательность действительных чисел $a ,a ,a,...,a 1 2 3 2025$ удовлетворяет неравенствам

∘ --------- 2 an− (n − 1)≥ an+1− (n− 1)

при каждом $n =1,2,3,...,2024$ и неравенству

√ --------- 2 a2025− 2024≥ a1+1

Найдите все возможные значения $a2025.$

Источники: ДВИ - 2025, вариант 252, задача 6

Показать ответ и решение

Для упрощения неравенств введем новую последовательность $b . n$ Пусть

bn = an− (n − 1) для n= 1,2,...,2025

Из того, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $an− (n− 1) ≥0,$ то есть $bn ≥ 0$ для всех $n= 1,...,2025.$ Перепишем данные неравенства в терминах последовательности $bn.$

Первое неравенство:

∘ --------- 2 an− (n − 1)≥ an+1− (n− 1)

Первое неравенство принимает вид:

2∘b- ≥b + 1 для n =1,2,...,2024. n n+1

Второе неравенство:

2√a2025− 2024≥ a1+ 1

Второе неравенство принимает вид:

∘ ---- 2 b2025 ≥b1+ 1

Теперь у нас есть система из 2025 неравенств для неотрицательных чисел $bn$ :

( √-- ||||| 2√b1 ≥ b2 +1 |||{ 2 b2 ≥ b3 +1 | ... ||||| 2√b2024 ≥ b2025+1 ||( 2√b2025 ≥ b1+1

Просуммируем все эти неравенства:

2∑025 ∘-- 20∑24 n=12 bn ≥(b1+1)+ n=1(bn+1+ 1)

2∑025 ∘-- 2∑025 n=12 bn ≥ n=1bn+ 2025

Перенесем все члены в одну сторону:

0 ≥20∑25bn− 22∑025∘bn-+2025 n=1 n=1

2025 0≥ ∑ (bn− 2∘bn+ 1) n=1

2025 0≥ ∑ (∘bn-− 1)2 n=1

Сумма квадратов действительных чисел всегда неотрицательна, поэтому единственный случай, когда полученное неравенство выполняется — это когда сумма равна нулю:

20∑25∘ -- ( bn − 1)2 = 0 n=1

Сумма неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю. Следовательно, $b =1 n$ для всех $n= 1,2,...,2025.$

Мы нашли, что единственно возможное значение для каждого члена последовательности $bn$ равно 1. Нас просят найти значение $a2025.$ Вернемся к исходной замене:

b2025 = a2025− (2025− 1)

1=a2025 − 2024

a2025 = 1+ 2024= 2025

Таким образом, единственное возможное значение для $a2025$ — это 2025.

Ответ: 2025

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#130846Максимум баллов за задание: 7

Положительные действительные числа $a,b,c$ удовлетворяют равенству $a+ b+c =1.$ Найдите наименьшее возможное значение выражения

∘(1−-a)(1−-b)+ ∘ (1−-b)(1−-c)+ ∘ (1−-c)(1−-a) -----------1+-√ab+√bc-+√ca------------

Источники: ДВИ - 2025, вариант 254, задача 6

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обратите внимание на множители (1-a), (1-b), (1-c) в числителе. Можно ли их выразить через другие переменные?

Подсказка 2

Вспомните про условие a + b + c = 1.

Подсказка 3

Есть ли какое-то известное неравенство, которое могло бы помочь оценить выражения вида √((x+y)(x+z))? Как можно применить его к нашему случаю?

Подсказка 4

Воспользуйтесь неравенством Коши-Буняковского-Шварца.

Подсказка 5

Что происходит с выражением, когда все переменные равны?

Показать ответ и решение

Преобразуем данное выражение с учетом равенств $1− a= b+c,$ $1− b= a+c$ и $1− c= a+ b:$

∘(b+-c)(a+-c)+ ∘(a+-c)(a+-b)+ ∘ (a-+b)(b+-c)- -----------1+-√ab+√bc-+√ac------------

По неравенству Коши-Буняковского-Шварца:

( ∘---------- √-- ||| (b+ c)(a+c)≥ ab+ c |{ ∘---------- √-- ||| ∘(a+-c)(a+-b)≥ bc+ a |( (a+ b)(b+c)≥ √ac+ b

Получаем

∘---------- ∘---------- ∘ ---------- √-- √-- √ -- -(b+-c)(a+c)+--(√a+-c√)(a+-b)√+---(a+-b)(b+-c)-≥ a+b+-c√+--ab√+--bc√+--ac= 1 1+ ab+ bc+ ac 1+ ab+ bc+ ac

Наименьшее значение выражения равно 1, и это значение достигается при $a= b= c= 1. 3$

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#131015Максимум баллов за задание: 7

Какое из следующих двух чисел больше: $4+ 2- 5 11$ или $6+ 1? 7 8$

Источники: ДВИ - 2025, вариант 255, задача 1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала было бы неплохо сложить дроби.

Подсказка 2

Обратите внимание, что обе получившиеся дроби близки к единице. Как это может нам помочь при сравнении?

Подсказка 3

Попробуйте оценить расстояние от каждой из дробей до единицы!

Показать ответ и решение

Чтобы сравнить два числа, найдем их значения.

Вычислим первое число:

4 2 4⋅11+ 2⋅5 44+ 10 54 5 + 11 =--55----= --55--= 55

Вычислим второе число:

6 1 6 ⋅8 +1⋅7 48 +7 55 7 + 8 =--56--- = -56--= 56-

Теперь нам нужно сравнить получившиеся дроби. Сделать это можно, сравнив их “расстояние” до единицы.

Для первой дроби:

54= 1− -1 55 55

Для второй дроби:

55= 1− -1 56 56

Так как $-1 > 1, 55 56$ то из единицы мы в первом случае вычитаем большее число, а, значит, получаем меньший результат.

1− 1-< 1− 1- 55 56

Следовательно,

4+ 2-< 6 + 1 5 11 7 8

Ответ:

$6 + 1 7 8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#131022Максимум баллов за задание: 7

Положительные действительные числа $a,b,c$ удовлетворяют равенству $a2+$ $b2+$ $c2 =12.$ Найдите наибольшее возможное значение выражения

∘----- ∘----- ∘ ----- 1+ a3+ 1+ b3+ 1+ c3

Источники: ДВИ - 2025, вариант 255, задача 6

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нужно найти наибольшее значение выражения. Наверняка его можно как-то ограничить, ведь у нас фиксирована сумма квадратов!

Подсказка 2

Ограничивать сразу всю сумму сложно, легче ограничить каждое слагаемое отдельно и потом сложить, а еще нам известна сумма квадратов...

Подсказка 3

Как Вы думаете, можно ли применить некоторое известное неравенство для √(1 + x³)?

Подсказка 4

Разложим на множители: 1 + x³ = (1 + x)⋅(1 - x + x²).

Подсказка 5

Воспользуйтесь неравенством о средних.

Подсказка 6

Нам известна сумма квадратов, можем ее подставить! Остается только подобрать пример.

Показать ответ и решение

Докажем, что для любого положительного действительного числа $x$ выполняется неравенство:

∘ ----3 1 2 1+ x ≤ 2x + 1

Так как обе части неравенства положительны, мы можем возвести их в квадрат:

( )2 1+x3 ≤ 1x2+1 2

1 +x3 ≤ 1x4+ x2+ 1 4

2 2 0 ≤x (x− 2)

Это неравенство всегда верно. Равенство достигается при $x =2.$

Теперь применим доказанное неравенство к каждому слагаемому искомого выражения:

∘----- ∘----- ∘ ----- ( ) ( ) ( ) 1+ a3+ 1+ b3+ 1+ c3 ≤ 1a2+ 1 + 1b2+ 1 + 1c2+1 2 2 2

∘1+-a3+ ∘1+-b3+∘1-+-c3 ≤ 1(a2+ b2+ c2)+ 3 2

По условию $a2+ b2+ c2 = 12,$ подставим это значение:

∘----3 ∘----3 ∘ ----3 1 1+ a + 1+ b + 1+ c ≤ 2 ⋅12+ 3= 9

Мы показали, что значение выражения не превышает 9. Осталось показать, что это значение достигается. Равенство в нашем неравенстве достигается тогда и только тогда, когда оно достигается для каждого из трех слагаемых, то есть при $a= 2,$ $b=2,$ и $c= 2.$ Проверим, удовлетворяет ли этот набор чисел исходному условию:

a2 +b2+ c2 =22+ 22+22 =4+ 4+ 4= 12

Условие выполняется. Таким образом, наибольшее возможное значение выражения равно 9.

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#132597Максимум баллов за задание: 7

Положительные действительные числа $a$ и $b$ удовлетворяют равенствам $a3 = a+1$ и $b6 = b+ 3a.$

Определите, какое из чисел $a$ и $b$ больше другого.

Источники: ДВИ - 2025, вариант 256, задача 2

Показать ответ и решение

Пусть

3 f(a)= a − a− 1 =0

Посчитаем производную

′ 2 f(a)= 3a − 1

Точки экстремума функции — это $1√- 3$ и $− 1√-. 3$ Рассмотрим промежутки возрастания и убывания:

$−1√31√3↗↘↗$

Заметим, что

f(0)< 0 и f(1)< 0

По условию, $a >0,$ следовательно, $a> 1,$ так как в точке $a$ функция $f$ должна обращаться в 0.

Пусть

6 g(b)= b− b− 3a= 0

Посчитаем производную

g′(b)= 6b5− 1

Точки экстремума функции — это $15√-- 6$ и $− √15. 6$ Рассмотрим промежутки возрастания и убывания:

$−15√615√6↗↘↗$

Заметим, что

g(0)< 0 и g(1)< 0

По условию, $b> 0,$ следовательно, $b> 1,$ так как в точке $b$ функция $g$ должна обращаться в 0.

Нам даны равенства $a3 = a+ 1$ и $b6 = b+3a.$ Возведем первое в квадрат:

6 2 a =a + 2a+ 1

Заметим, что

a2+ 2a+1 − 4a= a2− 2a +1 =(a− 1)2 ≥ 0

Так как $a> 1,$

(a− 1)2 > 0

Следовательно,

a6 =a2+ 2a+ 1> 4a

Получим, что

6 6 a − b >4a− b− 3a =a − b

6 6 a − a> b − b

Рассмотрим функцию

h(x)= x6− x

Она возрастает при $x> 1,$ следовательно, так как $a > 1$ и $b >1,$

h(a)> h(b)

a> b

Ответ:

$a >b$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#132665Максимум баллов за задание: 7

Положительные действительные числа $a,$ $b,$ $c$ удовлетворяют равенству $a +b+ c= 3.$ Найдите наибольшее возможное значение выражения

(1+ a)2 (1 +b)2 (1 +c)2 ----1-+ ---1--+ ---1-- a + b b+ c c+a

Источники: ДВИ - 2025, вариант 256, задача 6

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим, что нам дана сумма 3 похожих дробей. Как этим можно воспользоваться?

Подсказка 2

Давайте попробуем отдельно оценить одну из дробей, тогда для оценки суммы нам останется лишь умножить ее на 3!

Подсказка 3

Оценка будет иметь следующий вид: (a + b)² / (a + 1/b) ∨ X. Это равносильно (a + b)² ∨ X⋅(a + 1/b). Раскройте скобки в левой части и попробуйте подобрать какое-то X.

Подсказка 4

Скорее всего, что-то получится, если X также будет скобкой, зависящей от a и b.

Подсказка 5

А если взять X = (a + b)?

Подсказка 6

Попробуйте увидеть квадрат разности.

Подсказка 7

Воспользуйтесь тем, что a + b + c ‎ = 3. Останется лишь подобрать пример.

Показать ответ и решение

Докажем, что

(1-+a)2 1 ≤ a+ b a+ b

Для этого преобразуем неравенство

2 ( 1) (1 +a) ≤ (a+ b) a+ b

1+ 2a +a2 ≤ a2+ a+ ab+1 b

2≤ 1 +b b

2b≤ 1+ b2

b2− 2b+ 1≥ 0

2 (b− 1) ≥ 0

Аналогичные утверждения справедливы и для остальных дробей. Тогда

S ≤ (a +b)+ (b+ c)+(a+ c)= 2(a+b+ c)

По условию, $a +b+ c= 3,$ следовательно,

S ≤ 6

Равенство выполняется при

a= b= c=1

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#132901Максимум баллов за задание: 7

Положительные действительные числа $a ,a ,a,b ,b ,b 1 2 3 1 2 3$ удовлетворяют равенству

a1+ a2+ a3 =b1+ b2 +b3 = 3

Найдите наименьшее возможное значение выражения

--a21-- --a22-- --a23-- a1+ b1 + a2+ b2 +a3+ b3

Источники: ДВИ - 2025, вариант 251, задача 6

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вряд ли это сложная задача, что можно сделать с дробями?

Подсказка 2

Можно ли воспользоваться каким-то известным фактом? Нам бы хотелось оценить сумму дробей снизу.

Подсказка 3

Примените неравенство Коши-Буняковского-Шварца для дробей.

Подсказка 4

Нам надо как-то воспользоваться тем, что a₁ + a₂ + a₃ = b₁ + b₂ + b₃ = 3. Попробуйте сгруппировать слагаемые в получившейся дроби. Останется только подобрать пример.

Подсказка 5

А что, если числа a₁, a₂, a₃, b₁, b₂, b₃ будут равны?

Показать ответ и решение

Применим неравенство КБШ для дробей

a21 a22 a23 (a1+ a2+a3)2 a1-+b1 + a2+-b2-+ a3-+b3 ≥ (a1+-b1)+-(a2+-b2)+-(a3+b3)

Так как $a1+ a2+a3 = b1+ b2+ b3 = 3,$ получаем:

2 2 ----(a1+-a2+a3)-----= -3--= 9 = 3 a1+ a2+ a3 +b1+ b2+ b3 3+ 3 6 2

Неравенство достигается при:

a = a = a =b = b = b =1 1 2 3 1 2 3

Действительно:

-12-+ -12-+ -12-= 1 + 1 + 1= 3 1+ 1 1+ 1 1+ 1 2 2 2 2

Ответ:

$3 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#92114Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

4x2 − 164x−8 √x2-+4x+-√12+-4x−-x2 > 0.

Источники: ДВИ - 2024, вариант 243, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В неравенстве присутствуют корни и дробь, поэтому сразу выпишем ОДЗ! Что можно сказать про знаменатель?

Подсказка 2

Знаменатель у дроби положительный, значит, можно на него домножить!

Подсказка 3

Теперь нам нужно сравнить степени четверки! А что если перейти к сравнению самих показателей степени?

Показать ответ и решение

Для начала выпишем ОДЗ этого неравенства:

(| x2+ 4x≥ 0 { 12+ 4x − x2 ≥0 |( √-2---- √--------2- x + 4x+ 12+ 4x− x ⁄=0

Первые два условия уже обеспечивают выполнение третьего, так как не может быть одновременно $x2+ 4x= 0,− x2 +4x+ 12= 0.$ Поэтому ОДЗ задаётся системой

{ x(x+ 4)≥ 0 (x − 6)(x+ 2)≤ 0

x ∈[0;6]

С учётом ОДЗ мы можем домножить наше неравенство на положительный знаменатель, получим

4x2 − (42)4x−8 > 0

4x2 − 48x−16 > 0

Так как $t f(t)= 4$ — строго возрастающая функция, то знак разности функций (левой части) будет совпадать со знаком разности аргументов, поэтому получаем

x2− (8x− 16) >0

(x− 4)2 > 0

Пересекая $x⁄= 4$ с ОДЗ, получаем ответ $[0;4)∪(4;6].$

Ответ:

$[0;4)∪(4;6]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#92117Максимум баллов за задание: 7

Найдите все тройки положительных чисел $x,y,z$ удовлетворяющие системе уравнений

{ (x2+ xy +y2)(y2+yz+ z2)(z2+ zx+ x2) =xyz (x4+ x2y2+ y4) (y4+ y2z2+ z4)(z4+ z2x2+x4)= x3y3z3

Источники: ДВИ - 2024, вариант 243, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Уравнения в системе довольно схожие, правая часть второго делится на правую часть первого. А можно ли что-то такое отметить и для левых частей?

Подсказка 2

Попробуйте разделить второе уравнение на первое!

Подсказка 3

(x⁴ + x²y²+ y⁴) = (x² + xy + y²)(x²- xy + y²)

Подсказка 4

Теперь мы умеем представлять x²y²z² в виде произведения трёх скобок. Давайте подумаем, а на что похожи выражения в скобках? Как можно оценить каждую из них?

Подсказка 5

Вспомните, что a² + b² ≥ 2ab!

Показать ответ и решение

Поделим второе уравнение на первое (так как обе части первого уравнения положительны). Отношение первых скобок равно

x4+x2y2+ y4 (x4+ x2y2+y4)(x2− y2) x2-+xy+-y2-= (x2-+xy+-y2)(x−-y)(x+-y) =

6 6 = ---x-−-y----= x2− xy+y2 (x +y)(x3− y3)

Аналогичное равенство имеет место для второй и третьей скобок, тогда после деления получим:

( 2 2) (2 2) ( 2 2) 2 22 x − xy +y ⋅ y − yz+ z ⋅ z − zx +x = x yz

С учетом того, что $a2+ b2 ≥2ab, ∀a,b ∈ℝ$ и того, что все числа положительные (тогда мы можем перемножать неравенства), получим:

2 22 ( 2 2) ( 2 2) (2 2) x y z = x − xy+ y ⋅ y − yz+ z ⋅z − zx+ x ≥

≥ xy⋅yz⋅zx= x2y2z2

А значит, наше равенство выполняется только в случае $a2 +b2 = 2ab,$ то есть в случае равенства всех переменных. Тогда подставляя $y =x,z = x$ в первое уравнение, получим

( ) 3x23 = x3

1 x3 = 27-

x = 1= y = z 3

Ответ:

$(1,1,1) 3 3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#90040Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

( 2 )x2− 3x 3x − 3x +1 ≤1.

Источники: ДВИ - 2023, вариант 235, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обратим внимание на выражение в скобках: у него отрицательный дискриминант, оно меньше 0. Тогда ограничение на основание степени выполнено всегда! Какой следующий шаг можно сделать?

Подсказка 2

Давайте представим 1 как выражение в скобках в степени 0. Теперь можно применить метод рационализации.

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ

2 3x − 3x +1 >0 =⇒ x∈ ℝ

Представим правую часть как $3x2 − 3x+ 1$ в нулевой степени.

(3x2− 3x+ 1)x2−3x− (3x2− 3x+ 1)0 ≤ 0

Воспользуемся методом рационализации.

{ f g (a− 1)(f − g) ≤0 a − a ≤0 =⇒ ОД З

Тогда получаем

(3x2− 3x+ 1− 1)(x2− 3x)≤ 0 ⇐⇒ 3x2(x− 1)(x− 3) ≤0

Решая методом интервалов неравенство, получаем, что

x ∈{0}∪[1;3]

Ответ:

$x ∈{0}∪[1;3]$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#64035Максимум баллов за задание: 7

Найдите все положительные числа $x$ , удовлетворяющие неравенству

3x+7 12 x >x

Источники: ДВИ - 2014, вариант 1, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перед нами сложная степенная функция. Было бы основание или степени фиксированными, проблем бы не было, а так случаи возникают в зависимости от значений x ( < 1 или ≥ 1). Какой метод позволяет изящно с этим разобраться так, чтоб какое-то выражение было того же знака, как и в исходном неравенстве?

Подсказка 2

Верно! Метод рационализации! Но секунду, у нас степени, значит нужно сначала прологарифмировать, но по какому основанию?

Подсказка 3

На самом деле, подойдет любая константа > 1, чтобы сохранить знак исходного неравенства. Но для красоты возьмём натуральный логарифм. Что мы имеем?

Подсказка 4

ln(x^{3x+7}) > ln(x¹²). Остаётся вынести степени и применить метод рационализации + метод интервалов. У вас всё получится! Успехов!

Показать ответ и решение

Так как функция $f(t)= ln t$ возрастает на области определения $t >0,$ то неравенство $x3x+7 > x12$ равносильно

3x+7 12 lnx >lnx ⇐ ⇒ (3x+ 7)lnx >12lnx

(3x− 5)lnx >0

По методу рационализации при $x> 0$ неравенство эквивалентно

(3x− 5)(x− 1)> 0

Откуда по методу интервалов с учётом $x > 0$ получаем ответ $x∈ (0;1)∪(53;+∞ ).$

Ответ:

$(0;1)∪ (5;+∞ ) 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#92349Максимум баллов за задание: 7

Найдите площадь фигуры, состоящей из точек $(x,y)$ координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению

|x|+|x+ 3y|+ 3|y− 2|=6.

Источники: ДВИ - 2012, вариант 1, задача 5 (pk.cs.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Можно, конечно, все это честно раскрыть и построить, но мы не ищем проторенных путей! Раз просят найти площадь, то попробуем вспомнить, что же такое модуль с точки зрения геометрии. Есть ли в геометрии какие-то факты, связанные с модулями или даже их суммой?

Подсказка 2

Модуль — это по сути своей длина некоторого отрезка, а с суммой длин связано одно прекрасное неравенство — неравенство треугольника. Может быть, здесь будет удобно его применить?

Подсказка 3

|a|+|b|>=|a+b|, где равенство будет достигаться только в том случае, если ab≥0. Но давайте внимательно посмотрим на первые два модуля, может быть, можно чуть-чуть переделать неравенство так, чтобы нам было гораздо удобнее?

Подсказка 4

х+х+3у=2х+3у, а вот х-(х+3у)=-3у — второй вариант выглядит гораздо лучше. Давайте тогда возьмём |a|+|b|=|a|+|-b|>=|a-b|, и тогда равенство будет достигаться при ab≤0. Давайте теперь оценим сумму наших модулей. Сначала первые два, а потом и третий к ним прибавим.

Подсказка 5

Если удачно подобрать порядок, то выйдет, что 6=|x|+|x+3y|+3|y-2|≥6, то есть какое условие обязательно должно выполниться?

Подсказка 6

Получаем систему из x*(x+3y)≤0 и 3y*3(y-2)≤0. Решив их по очереди, а потом отметив результаты на координатной плоскости (не забудьте взять их пересечение!), получим фигуру, площадь которой считается максимально очевидно :)

Показать ответ и решение

Воспользуемся неравенством треугольника:

|a|+|b|≥ |a − b|

причем равенство достигается при $ab≤0.$

Тогда

|x|+ |x+3y|≥ |x− x− 3y| =⇒ |x|+ |x+ 3y|≥ |3y|

|x|+|x+ 3y|+ 3|y− 2|≥|3y|+ |3y− 6|≥|3y− 3y+ 6|

В итоге

6= |x|+ |x +3y|+3|y − 2|≥ 6,

поэтому во всех неравенствах должно достигаться равенство. Тогда

{ 3y⋅3(y− 2)≤ 0 x ⋅(x+ 3y)≤0

Первое условие равносильно

y(y− 2) ≤0 ⇐⇒ y ∈ [0;2],

а второе

⌊ { | x≥ 0 ||| { x+ 3y ≤0 ⌈ x≤ 0 x+ 3y ≥0

⌊ ({ | x≥ 0x ||| (( y ≤ −3 |⌈ { x≤ 0 ( y ≥ − x3

Изобразим полученные условия на координатной плоскости:

$PIC$

Тогда искомая площадь равна $6.$

Ответ:

$6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#64396Максимум баллов за задание: 7

Решите систему неравенств

{ 2x2+ 4xy +11y2 ≤ 1; 4x+ 7y ≥ 3.

Источники: ДВИ - 2011, вариант 1, задача 8 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Выделите полный квадрат в первом уравнении системы. Не напрашивается ли сюда какая-нибудь замена?) Пусть, например, u = x + y, а v = 3y

Подсказка 2

Перепишите систему после замены. Попробуйте теперь сложить два неравенства, предварительно умножив одно из них на коэффициент так, чтобы в итоге в правой части сумма была ноль!

Подсказка 3

Давайте повыделяем полные квадраты. И, кажется, у нас вышла красота: сумма двух квадратов меньше, либо равна нулю... Сделайте выводы!

Показать ответ и решение

Перепишем систему

{ 2x2+ 4xy+ 11y2 ≤ 1 { 2(x+ y)2+ (3y)2 ≤ 1 4x +7y ≥ 3. ⇐⇒ − 4(x+ y)− 3y ≤ −3

Пусть $x+y =u,3y = v$ . Получим систему

{ 2u2+ v2 ≤ 1 { 6u2+3v2− 3≤ 0 − 4u − v ≤− 3 ⇐⇒ −8u− 2v+ 6≤0

После сложения получаем

6u2− 8u+ 3v2 − 2v+ 3≤ 0

( ) ( ) 6 u2− 2 ⋅u ⋅ 2+ 4 + 3 v2− 2⋅v⋅ 1 + 1 ≤ 0 3 9 3 9

( )2 ( )2 6 u− 2 + 3 v − 1 ≤0 3 3

2 1 u= 3,v = 3

Легко проверить, что эта пара подходит и в систему неравенств до сложения, потому что неравенства обращаются в равенства. После обратной замены получаем

{ 2 x +y1= 3 y = 9

Откуда $x= 5. 9$

Ответ:

$(5,1) 9 9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#65352Максимум баллов за задание: 7

Найдите все функции $f$ , удовлетворяющие уравнению

3 f(x)+ (x − 2)f(1)+ 3f(0)= x +2, x ∈ℝ

Источники: Вместо ЕГЭ - 2008

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас в уравнении есть f(0) и f(1), поэтому логично попробовать их найти, подставив что-то в уравнение.

Подсказка 2

Тут выгодно подставить 0 и 1 вместо x и из полученной системы найти f(0) и f(1).

Подсказка 3

Остаётся только подставить найденные значения f(0) и f(1) в исходное уравнение и найти f(x).

Показать ответ и решение

При $x= 1$

f(1)− f(1)+ 3f(0)= 3 =⇒ f(0)=1

При $x= 0$

f(0)− 2f(1)+ 3f(0)= 2 =⇒ f(1)= 1

Получим найденные константы $f(0)$ и $f(1),$ получим

3 3 f(x)+ (x − 2)+ 3= x +2, ⇐⇒ f(x)= x − x+1

Ответ:

$f(x)= x3 − x+ 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#70352Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

∘----√------- 10 3x− 72x− 144> 3x − 12

Источники: Вступительные в МГУ, 2006

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первым делом запишем ОДЗ! Без него никуда.

Подсказка 2

Давайте домножим на сопряжённое, тогда слева под корнем получится полный квадрат.

Подсказка 3

Рассмотрим случай, когда выражение под модулем меньше 0, равно 0 и больше 0.

Подсказка 4

В первом случае получаем -10 меньше корня, тогда все x подходят. Во втором случае корней нет. В третьем случае получаем обычное иррациональное неравенство.

Показать ответ и решение

Для удобства сделаем замену $3x= t$ и выпишем условия ОДЗ:

{ 24t− 144≥0 { t≥6 √ ------- ⇐ ⇒ 2 ⇐⇒ t≥ 6 t− 24t− 144 ≥0 t≥ 24t− 144

В переходе выше возведение в квадрат — равносильное преобразование, так как обе части неравенства $t≥√24t−-144-$ неотрицательны ввиду $t≥ 6.$

Итак, из условия получаем неравенство:

∘ --√-------- 10 t− 24t− 144 >t− 12

Домножив обе части неравенства на сопряжённое $∘t-+-√24t−-144> 0?$ получим

∘ ------2 ∘ --√-------- 10 (t− 12) >(t− 12) t+ 24t− 144

$t=12$ не является решением. Рассмотрим случаи для раскрытия $|t− 12|$ в левой части:

$6 ≤t< 12$ , получаем
$∘ --√-------- −10< t+ 24t− 144$
Что верно при всех $6 ≤t< 12.$ То есть $2≤ x< 4$ — решение.
$t> 12$ , тогда
$∘ ----------- 10 > t+√24t−-144$
Возведём в квадрат обе неотрицательные части неравенства:
$√------- 100− t> 24t− 144$
При $t> 100$ неравенство не выполняется. При $t< 100$ возведём в квадрат обе неотрицательные части:
$t2 − 200t+10000 >24t− 144$

$( √-) ( √- ) t∈ −∞; 112− 20 6 ∪ 112+ 20 6;+∞$
Учитывая все ограничения на $t,$ получим
$12< t<112− 20√6$ и соответственно $- 4 <x < 112−320√6-$ — решение.

Ответ:

$[2;4)∪ (4;112−20√6) 3$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#67597Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

√------ √------ 3x − 2|x − 2|= 3 3x+ 18 − 2| 3x+ 18 − 2|

Источники: Вступительные в МГУ, 2001

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пупупу… Выглядит страшновато. Есть ли что-то общее между левой и правой частью уравнения? А если заменить √(3x+18) на y?

Подсказка 2

Да, если заменить в правой части √(3x+18) на y, то правая часть уравнения и левая будут одинаковы(только в одной x, а в другой y). Какой вывод из этого можно сделать?

Подсказка 3

Конечно, хочется сказать, что если x=y, то левая часть равна правой! Поэтому осталось решить уравнение x = √(3x+18)

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x≥ −6.$ Рассмотрим функцию $f(t)= 3t− 2|t− 2|.$

{ t+4 при t≥ 2 f (t)= 5t− 4 при t< 2

Тогда исходное равенство примет вид

(√-----) f(x)= f 3x+ 18

Так как $f$ — монотонная функция, то каждое значение она принимает ровно один раз, поэтому равенство $f(t)= f(z)$ равносильно $t= z.$

√ ------ x= 3x +18 ⇐⇒ x= 6

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#113667Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

|x− 1|+ |x +1|+|x− 2|+ |x +2|+ ⋅⋅⋅+|x− 100|+ |x+ 100|= 200x.

Источники: Вступительные в МГУ - 2001 (см. pk.cs.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте вспомним какое-то полезное неравенство, в котором использовалась сумма модулей!

Подсказка 2

|a| + |b| >= |a+b|. Отлично, теперь мы можем записать цепочку неравенств и получить ограничения на x ;)

Подсказка 3

Попробуйте раскрыть модули в сумме |x+k| + |x-k|

Подсказка 4

Иногда |x+k| + |x-k| больше, чем нам нужно) Когда?

Показать ответ и решение

Так как $|a|+ |b|≥|a+ b|,$ то получаем, что

200x= |x+1|+ |x− 1|+|x− 2|+ |x +2|+⋅⋅⋅+|x+ 100|+|x− 100|≥

≥|x+1 +x − 1|+|x− 2+ x+2|+ ...+ |x+ 100 +x − 100|= 200|x|

200x≥ 200|x|

Это равносильно $x≥ 0.$

При $x≥ k,$ где $k= 1,...,100:$

|x +k|+ |x− k|= x+k +x − k= 2x

При $x< k,$ где $k= 1,...,100:$

|x+k|+ |x− k|= x+k +k − x =2k> 2x

Отсюда видно, что при $x ≥100$ равенство выполнено (так как у нас 100 пар с суммой $2x$ ), но если же $x< 100,$ то сумма модулей будет больше $200x.$

Ответ:

$[100;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#67148Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

||x3||− |5x| √2x2− 4x−-1−-|x|+-2 = 0

Источники: Вступительные в МГУ, 1995

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте просто запишем наше уравнение как системку: числитель = 0, знаменатель не равен 0, и одз из-за корня) Думаю, решить уравнение числитель = 0 не сложно)

Подсказка 2

Остаётся подставить получившиеся корни из первого уравнения в оставшиеся условия из системы и проверить, подходят они или нет)

Показать ответ и решение

Для равенства дроби нулю нужно, чтобы числитель равнялся нулю, а знаменатель при этом не обращался в ноль. Исходное уравнение равносильно следующей системе: