Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Уравнения, неравенства и системы без логарифмов и тригонометрии на ДВИ

Тема ДВИ по математике в МГУ

Уравнения, неравенства и системы без логарифмов и тригонометрии на ДВИ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела дви по математике в мгу

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#92114

Решите неравенство

4x2 − 164x−8 √x2-+4x+-√12+-4x−-x2 > 0.

Источники: ДВИ - 2024, вариант 243, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В неравенстве присутствуют корни и дробь, поэтому сразу выпишем ОДЗ! Что можно сказать про знаменатель?

Подсказка 2

Знаменатель у дроби положительный, значит, можно на него домножить!

Подсказка 3

Теперь нам нужно сравнить степени четверки! А что если перейти к сравнению самих показателей степени?

Показать ответ и решение

Для начала выпишем ОДЗ этого неравенства:

(| x2+ 4x≥ 0 { 12+ 4x − x2 ≥0 |( √-2---- √--------2- x + 4x+ 12+ 4x− x ⁄=0

Первые два условия уже обеспечивают выполнение третьего, так как не может быть одновременно $x2+ 4x= 0,− x2 +4x+ 12= 0.$ Поэтому ОДЗ задаётся системой

{ x(x+ 4)≥ 0 (x − 6)(x+ 2)≤ 0

x ∈[0;6]

С учётом ОДЗ мы можем домножить наше неравенство на положительный знаменатель, получим

4x2 − (42)4x−8 > 0

4x2 − 48x−16 > 0

Так как $t f(t)= 4$ — строго возрастающая функция, то знак разности функций (левой части) будет совпадать со знаком разности аргументов, поэтому получаем

x2− (8x− 16) >0

(x− 4)2 > 0

Пересекая $x⁄= 4$ с ОДЗ, получаем ответ $[0;4)∪(4;6].$

Ответ:

$[0;4)∪(4;6]$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#92117

Найдите все тройки положительных чисел $x,y,z$ удовлетворяющие системе уравнений

{ (x2+ xy +y2)(y2+yz+ z2)(z2+ zx+ x2) =xyz (x4+ x2y2+ y4) (y4+ y2z2+ z4)(z4+ z2x2+x4)= x3y3z3

Источники: ДВИ - 2024, вариант 243, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Уравнения в системе довольно схожие, правая часть второго делится на правую часть первого. А можно ли что-то такое отметить и для левых частей?

Подсказка 2

Попробуйте разделить второе уравнение на первое!

Подсказка 3

(x⁴ + x²y²+ y⁴) = (x² + xy + y²)(x²- xy + y²)

Подсказка 4

Теперь мы умеем представлять x²y²z² в виде произведения трёх скобок. Давайте подумаем, а на что похожи выражения в скобках? Как можно оценить каждую из них?

Подсказка 5

Вспомните, что a² + b² ≥ 2ab!

Показать ответ и решение

Поделим второе уравнение на первое (так как обе части первого уравнения положительны). Отношение первых скобок равно

x4+x2y2+ y4 (x4+ x2y2+y4)(x2− y2) x2-+xy+-y2-= (x2-+xy+-y2)(x−-y)(x+-y) =

6 6 = ---x-−-y----= x2− xy+y2 (x +y)(x3− y3)

Аналогичное равенство имеет место для второй и третьей скобок, тогда после деления получим:

( 2 2) (2 2) ( 2 2) 2 22 x − xy +y ⋅ y − yz+ z ⋅ z − zx +x = x yz

С учетом того, что $a2+ b2 ≥2ab, ∀a,b ∈ℝ$ и того, что все числа положительные (тогда мы можем перемножать неравенства), получим:

2 22 ( 2 2) ( 2 2) (2 2) x y z = x − xy+ y ⋅ y − yz+ z ⋅z − zx+ x ≥

≥ xy⋅yz⋅zx= x2y2z2

А значит, наше равенство выполняется только в случае $a2 +b2 = 2ab,$ то есть в случае равенства всех переменных. Тогда подставляя $y =x,z = x$ в первое уравнение, получим

( ) 3x23 = x3

1 x3 = 27-

x = 1= y = z 3

Ответ:

$(1,1,1) 3 3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#92349

Найдите площадь фигуры, состоящей из точек $(x,y)$ координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению

|x|+|x+ 3y|+ 3|y− 2|=6.

Источники: ДВИ - 2012, вариант 1, задача 5 (pk.cs.msu.ru)

Показать ответ и решение

Воспользуемся неравенством треугольника:

|a|+|b|≥ |a − b|

причем равенство достигается при $ab≤0.$

Тогда

|x|+ |x+3y|≥ |x− x− 3y| =⇒ |x|+ |x+ 3y|≥ |3y|

|x|+|x+ 3y|+ 3|y− 2|≥|3y|+ |3y− 6|≥|3y− 3y+ 6|

В итоге

6= |x|+ |x +3y|+3|y − 2|≥ 6,

поэтому во всех неравенствах должно достигаться равенство. Тогда

{ 3y⋅3(y− 2)≤ 0 x ⋅(x+ 3y)≤0

Первое условие равносильно

y(y− 2) ≤0 ⇐⇒ y ∈ [0;2],

а второе

⌊ { | x≥ 0 ||| { x+ 3y ≤0 ⌈ x≤ 0 x+ 3y ≥0

⌊ ({ | x≥ 0x ||| (( y ≤ −3 |⌈ { x≤ 0 ( y ≥ − x3

Изобразим полученные условия на координатной плоскости:

$PIC$

Тогда искомая площадь равна $6.$

Ответ:

$6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#90040

Решите неравенство

( 2 )x2− 3x 3x − 3x +1 ≤1.

Источники: ДВИ - 2023, вариант 235, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обратим внимание на выражение в скобках: у него отрицательный дискриминант, оно меньше 0. Тогда ограничение на основание степени выполнено всегда! Какой следующий шаг можно сделать?

Подсказка 2

Давайте представим 1 как выражение в скобках в степени 0. Теперь можно применить метод рационализации.

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ

2 3x − 3x +1 >0 =⇒ x∈ ℝ

Представим правую часть как $3x2 − 3x+ 1$ в нулевой степени.

(3x2− 3x+ 1)x2−3x− (3x2− 3x+ 1)0 ≤ 0

Воспользуемся методом рационализации.

{ f g (a− 1)(f − g) ≤0 a − a ≤0 =⇒ ОД З

Тогда получаем

(3x2− 3x+ 1− 1)(x2− 3x)≤ 0 ⇐⇒ 3x2(x− 1)(x− 3) ≤0

Решая методом интервалов неравенство, получаем, что

x ∈{0}∪[1;3]

Ответ:

$x ∈{0}∪[1;3]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#64035

Найдите все положительные числа $x$ , удовлетворяющие неравенству

3x+7 12 x >x

Источники: ДВИ - 2014, вариант 1, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

х есть и в основании и в степени. Каким приемом можем преобразовать выражение, чтобы все иксы оказались “на одном уровне”?

Подсказка 2

Можем обе части прологарифмировать по удобному основанию! А какое основание нам стоит выбрать, чтобы логарифмов при этом в неравенстве не осталось?

Подсказка 3

Конечно, основание стоит взять х! Только необходимо убедиться, что мы так можем делать (или рассмотреть все неподходящие случаи отдельно). А что будет происходить со знаком неравенства?

Подсказка 4

Знак неравенства будет разный, в зависимости от значений х. Не пугаемся и рассматриваем 2 случая отдельно! В каждом получим простейшее неравенство и останется только собрать ответ :)

Показать ответ и решение

Так как функция $f(t)= ln t$ возрастает на области определения $t >0,$ то неравенство $x3x+7 > x12$ равносильно

3x+7 12 lnx >lnx ⇐ ⇒ (3x+ 7)lnx >12lnx

(3x− 5)lnx >0

По методу рационализации при $x> 0$ неравенство эквивалентно

(3x− 5)(x− 1)> 0

Откуда по методу интервалов с учётом $x > 0$ получаем ответ $x∈ (0;1)∪(53;+∞ ).$

Ответ:

$(0;1)∪ (5;+∞ ) 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#64396

Решите систему неравенств

{ 2x2+ 4xy +11y2 ≤ 1; 4x+ 7y ≥ 3.

Источники: ДВИ - 2011, вариант 1, задача 8 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Выделите полный квадрат в первом уравнении системы. Не напрашивается ли сюда какая-нибудь замена?) Пусть, например, u = x + y, а v = 3y

Подсказка 2

Перепишите систему после замены. Попробуйте теперь сложить два неравенства, предварительно умножив одно из них на коэффициент так, чтобы в итоге в правой части сумма была ноль!

Подсказка 3

Давайте повыделяем полные квадраты. И, кажется, у нас вышла красота: сумма двух квадратов меньше, либо равна нулю... Сделайте выводы!

Показать ответ и решение

Перепишем систему

{ 2x2+ 4xy+ 11y2 ≤ 1 { 2(x+ y)2+ (3y)2 ≤ 1 4x +7y ≥ 3. ⇐⇒ − 4(x+ y)− 3y ≤ −3

Пусть $x+y =u,3y = v$ . Получим систему

{ 2u2+ v2 ≤ 1 { 6u2+3v2− 3≤ 0 − 4u − v ≤− 3 ⇐⇒ −8u− 2v+ 6≤0

После сложения получаем

6u2− 8u+ 3v2 − 2v+ 3≤ 0

( ) ( ) 6 u2− 2 ⋅u ⋅ 2+ 4 + 3 v2− 2⋅v⋅ 1 + 1 ≤ 0 3 9 3 9

( )2 ( )2 6 u− 2 + 3 v − 1 ≤0 3 3

2 1 u= 3,v = 3

Легко проверить, что эта пара подходит и в систему неравенств до сложения, потому что неравенства обращаются в равенства. После обратной замены получаем

{ 2 x +y1= 3 y = 9

Откуда $x= 5. 9$

Ответ:

$(5,1) 9 9$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#65352

Найдите все функции $f$ , удовлетворяющие уравнению

3 f(x)+ (x − 2)f(1)+ 3f(0)= x +2, x ∈ℝ

Источники: Вступительные на МехМат МГУ, 2008, задача 5 (mathus.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас в уравнении есть f(0) и f(1), поэтому логично попробовать их найти, подставив что-то в уравнение.

Подсказка 2

Тут выгодно подставить 0 и 1 вместо x и из полученной системы найти f(0) и f(1).

Подсказка 3

Остаётся только подставить найденные значения f(0) и f(1) в исходное уравнение и найти f(x).

Показать ответ и решение

При $x= 1$

f(1)− f(1)+ 3f(0)= 3 =⇒ f(0)=1

При $x= 0$

f(0)− 2f(1)+ 3f(0)= 2 =⇒ f(1)= 1

Получим найденные константы $f(0)$ и $f(1),$ получим

3 3 f(x)+ (x − 2)+ 3= x +2, ⇐⇒ f(x)= x − x+1

Ответ:

$f(x)= x3 − x+ 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#70352

Решите неравенство

∘----√------- 10 3x− 72x− 144> 3x − 12

Источники: Вступительные в МГУ, 2006

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первым делом запишем ОДЗ! Без него никуда.

Подсказка 2

Давайте домножим на сопряжённое, тогда слева под корнем получится полный квадрат.

Подсказка 3

Рассмотрим случай, когда выражение под модулем меньше 0, равно 0 и больше 0.

Подсказка 4

В первом случае получаем -10 меньше корня, тогда все x подходят. Во втором случае корней нет. В третьем случае получаем обычное иррациональное неравенство.

Показать ответ и решение

Для удобства сделаем замену $3x= t$ и выпишем условия ОДЗ:

{ 24t− 144≥0 { t≥6 √ ------- ⇐ ⇒ 2 ⇐⇒ t≥ 6 t− 24t− 144 ≥0 t≥ 24t− 144

В переходе выше возведение в квадрат — равносильное преобразование, так как обе части неравенства $t≥√24t−-144-$ неотрицательны ввиду $t≥ 6.$

Итак, из условия получаем неравенство:

∘ --√-------- 10 t− 24t− 144 >t− 12

Домножив обе части неравенства на сопряжённое $∘t-+-√24t−-144> 0?$ получим

∘ ------2 ∘ --√-------- 10 (t− 12) >(t− 12) t+ 24t− 144

$t=12$ не является решением. Рассмотрим случаи для раскрытия $|t− 12|$ в левой части:

$6 ≤t< 12$ , получаем
$∘ --√-------- −10< t+ 24t− 144$
Что верно при всех $6 ≤t< 12.$ То есть $2≤ x< 4$ — решение.
$t> 12$ , тогда
$∘ ----------- 10 > t+√24t−-144$
Возведём в квадрат обе неотрицательные части неравенства:
$√------- 100− t> 24t− 144$
При $t> 100$ неравенство не выполняется. При $t< 100$ возведём в квадрат обе неотрицательные части:
$t2 − 200t+10000 >24t− 144$

$( √-) ( √- ) t∈ −∞; 112− 20 6 ∪ 112+ 20 6;+∞$
Учитывая все ограничения на $t,$ получим
$12< t<112− 20√6$ и соответственно $- 4 <x < 112−320√6-$ — решение.

Ответ:

$[2;4)∪ (4;112−20√6) 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#67597

Решите уравнение

√------ √------ 3x − 2|x − 2|= 3 3x+ 18 − 2| 3x+ 18 − 2|

Источники: Вступительные в МГУ, 2001

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пупупу… Выглядит страшновато. Есть ли что-то общее между левой и правой частью уравнения? А если заменить √(3x+18) на y?

Подсказка 2

Да, если заменить в правой части √(3x+18) на y, то правая часть уравнения и левая будут одинаковы(только в одной x, а в другой y). Какой вывод из этого можно сделать?

Подсказка 3

Конечно, хочется сказать, что если x=y, то левая часть равна правой! Поэтому осталось решить уравнение x = √(3x+18)

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x≥ −6.$ Рассмотрим функцию $f(t)= 3t− 2|t− 2|.$

{ t+4 при t≥ 2 f (t)= 5t− 4 при t< 2

Тогда исходное равенство примет вид

(√-----) f(x)= f 3x+ 18

Так как $f$ — монотонная функция, то каждое значение она принимает ровно один раз, поэтому равенство $f(t)= f(z)$ равносильно $t= z.$

√ ------ x= 3x +18 ⇐⇒ x= 6

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#67148

Решите уравнение

||x3||− |5x| √2x2− 4x−-1−-|x|+-2 = 0

Источники: Вступительные в МГУ, 1995

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте просто запишем наше уравнение как системку: числитель = 0, знаменатель не равен 0, и одз из-за корня) Думаю, решить уравнение числитель = 0 не сложно)

Подсказка 2

Остаётся подставить получившиеся корни из первого уравнения в оставшиеся условия из системы и проверить, подходят они или нет)

Показать ответ и решение

Для равенства дроби нулю нужно, чтобы числитель равнялся нулю, а знаменатель при этом не обращался в ноль. Исходное уравнение равносильно следующей системе:

( 3 ( 2 |{ |x√-|−2|5x|=-0- ⇔ |{ |x√|(x2−-5)-=0- |( 22x − 4x− 1− |x|+ 2⁄= 0 |( 22x − 4x− 1⁄= |x|− 2 2x − 4x− 1≥ 0 2x − 4x− 1≥ 0

Из первого уравнения получаем:

[ x= 0 x= ±√5

$x= 0$ не подходит, так как $2⋅0− 4 ⋅0 − 1< 0$

$x= √5$ не подходит, так как $∘ -------- ∘2-⋅5−-4⋅√5−-1= (√5-− 2)2 = √5− 2$

$x= −√5$ удовлетворяет всем условиям.

Ответ:

$− √5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#67149

Решите уравнение

( 1)2 5 4|x− 1|+ 2 = 11(x − 1)2+ 4

Источники: Вступительные в МГУ, 1994

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В левой и правой части видно (x-1) и |x-1|... Стоит сделать замену, не так ли? Сделайте правильную замену: не раскрывайте случаи модуля, сразу меняйте модуль!

Подсказка 2

Останется просто квадратное уравнение относительно замены, а такое мы умеем решать)

Показать ответ и решение

Так как $(x − 1)2 = |x− 1|2,$ сделав замену $t=|x− 1|,$ получим

( 1)2 5 4t+ 2 =11t2+ 4

16t2+ 1+ 4t =11t2 + 5 4 4

5t2+ 4t− 1 =0

[ t= −1 t= 15

Так как $t≥ 0,$ то после обратной замены получаем

[ x= 65 x= 45

Ответ:

$6 ; 4 5 5$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#70343

Решите уравнение

( ∘ ------2--) ( ∘ -2---) (2x+1) 2+ (2x+ 1) +3 +3x 2+ 9x + 3 = 0

Источники: Вступительные в МГУ, 1989

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте внимательно посмотрим на уравнение. Где есть похожие множители или слагаемые? Делать замену может быть неэффективным… что тогда можно рассмотреть?

Подсказка 2

Оба слагаемых в левой части имеют одинаковый вид: y(2+ √(y² + 3)). Быть может, рассмотрим такую функцию?

Подсказка 3

Наше равенство имеет вид f(2x+1)=-f(3x). Нам нужны корни. А что если проверить f(x) на монотонность и четность?

Показать ответ и решение

Рассмотрим функцию $f(y)=y (2 +∘y2-+-3) .$

При $y ≥ 0 f(y)$ возрастает как произведение двух положительных возрастающих функций. При $y ≤ 0$ функция также возрастает. $f(0)=0.$

Итого, $f(y)$ — монотонно возрастающая функция. Заметим также, что эта функция нечетная, то есть $f(−y)= −f(y).$

Исходное неравенство принимает вид

f(2x+ 1)=− f(3x)

f(2x+ 1)=f(−3x)

В силу монотонности равенство возможно только в случае

1 2x+ 1= −3x ⇐⇒ x= − 5

Ответ:

$− 1 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#89911

Решите неравенство $√ ----- x− 3≤ 3− |x − 6|.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В неравенстве есть похожие выражения, давайте тогда сделаем замену r = √(x-3). Какой вид тогда примет неравенство?

Подсказка 2

r + |r² - 3| - 3 ≤ 0. Как можно работать с неравенствами с модулями?

Подсказка 3

Разобрать случаи и раскрыть модули! Когда под модульное выражение отрицательно, а когда — положительно?

Подсказка 4

Разберите случаи 0 ≤ r ≤ √3 и √3 < r. Не забываем про обратную замену и объединяем решения!

Показать ответ и решение

Пусть $√----- r = x − 3.$ Помним, что $r ≥ 0:$

2 r ≤ 3− |r − 3|,

2 r +|r − 3|− 3 ≤0.

Рассмотрим случай $0 ≤r ≤ √3$ (помним, что $r ≥ 0$ ). В этом случае модуль раскрывается со знаком «минус»:

2 r− r + 3− 3≤ 0,

r(1− r)≤ 0.

С учетом ограничения $√ - 0≤ r ≤ 3$ получаем, что $r = 0$ или $√- 1≤ r ≤ 3.$

Обратная замена:

$[ √x-−-3= 0, √----- √- 1≤ x − 3 ≤ 3.$

$[ x =3, 4≤ x≤ 6.$

Рассмотрим случай $√- r > 3:$

r+ r2− 3− 3≤ 0,

r2 +r − 6 ≤0,

(r+ 3)(r− 2)≤ 0,

−3≤ r ≤2.

С учетом ограничения $r > √3$ получаем, что $√3 < r ≤ 2.$

Обратная замена:

√ - √----- 3< x − 3≤ 2,

6 <x ≤ 7.

Объединяя решения в обоих случаях, получаем $x ∈{3}∪ [4;7].$

Ответ:

$x ∈{3}∪ [4;7].$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#90141

Решите уравнение $8x− 1= 4x2.$

Показать ответ и решение

Перед нами квадратное уравнение, решим его.

2 4x − 8x + 1= 0

2 √- 2 D = 8 − 4 ⋅4⋅1= 64− 16= 48= (4 3)

$⌊ 8− 4√3 2− √3 |x1 =---8---= --2--- |⌈ 8+ 4√3 2+ √3- x2 =---8---= --2---$

Ответ:

$√- 2−--3- x = 2$ , $√ - 2+---3 x = 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#90143

Решите уравнение $---1-− x---+ 1= --1-. (2− x)(x− 3) 2 − x$

Показать ответ и решение

Приведём дроби к общему знаменателю:

1− x (2− x)(x− 3) x − 3 (2−-x)(x-−-3) + (2−-x)(x−-3)= (2−-x)(x−-3),

1− x+ (2− x)(x− 3)− (x− 3) -------(2-− x)(x−-3)-----,

{ 2 1− x+ 2x− 6− x + 3x− x +3, (2− x)(x− 3)⁄= 0

( ( |{ −x2 +3x − 2 = 0, |{ x2− 3x+ 2= 0 (1) | x⁄= 2, | x⁄= 2 (2) ( x⁄= 3 ( x⁄= 3 (3)

Решим уравнение (1):

D = 9− 8= 1

$⌊ 3+-1 ||x1 = 2 ⌈ 3−-1 x2 = 2$

$[x = 2 1 x2 = 1$

С учётом ограничений (2) и (3) корень $x1$ нам не подходит. Остаётся только $x2 =1.$

Ответ: 1

Предыдущий раздел

Следующий раздел